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BACHARELADO EM Ciência da Computação CC1TA e CC1NA Disciplina: Introdução à Computação Professora: Data: Nome: Conversão de Bases e Aritmética Binária 1. Notação Posicional: É a forma mais empregada de notação numérica O valor de cada algarismo (dígito) que compõe um número depende de sua posição relativa no número. Num sistema qualquer de numeração posicional, um número N é expresso da seguinte maneira: N = (dn-1 dn-2 dn-3 ... d1 d0)b onde: d: indica cada algarismo do nº; n-1, n-2, 1, 0: são índices que indicam a posição de cada algarismo; b: indica a base de numeração; n: indica o número de algarismos inteiros 2. Sistemas de Numeração 2.1. Sistema Decimal: sistema de numeração adotado pela cultura ocidental. Possui dez diferentes algarismos (dígitos): 0 ao 9. É um sistema de base 10. Obs.: Base: refere-se à quantidade de algarismos diferentes disponíveis em um dado sistema de numeração. Serve para que grandezas maiores sejam calculadas, dando noção de grupamento. Ex.: nº 1303 na base 10 = (1303)10 2.2. Sistema Binário: sistema utilizado pelos computadores para a representação das informações. Possui dois diferentes algarismos (dígitos): 0 e 1. É um sistema de base 2. Um algarismo (ou dígito) binário é chamado de bit (binary digit). Desta forma, o número binário 11010 possui 5 algarismos, logo, é constituído de 5 bits. 2.3. Sistema Octal Possui oito diferentes algarismos (dígitos): 0 e 7. É um sistema de base 8. 2.4. Sistema Hexadecimal Nos sistemas de numeração cuja base é superior a 10, usam-se letras do alfabeto para representação de algarismos maiores que 9. Possui 16 diferentes algarismos (dígitos): 0 e 9 e de A a F. No sistema hexadecimal os “algarismos” A, B, C, D, E e F representam, respectivamente, os valores (na base 10): 10, 11, 12, 13, 14 e 15. É um sistema de base 16. Tabela de Conversão de Bases Base 2 Binária Base 8 Octal Base 10 Decimal Base 16 Hexadecimal 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3. Conversão de Bases 3.1. Conversão de números de uma Base B Qualquer para a Base 10 A conversão de um número expresso em uma base B qualquer para um número na base 10 acontece a partir da aplicação da equação a seguir: N = dn-1 x bn-1 + dn-2 x bn-2 + ... + d1 x b1 + d0 x b0 Ex.: a) (101101)2 = ()10 ( (101101)2 = (45)10 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 32 + 8 + 4 + 1= 45 b) (27)8 = ()10 ( (27)8 = (23)10 2 x 81 + 7 x 80 = 16 + 7 = 23 c) (2A5)16 = ()10 ( (2A5)16 = (677)10 2 x 162 + 10 x 161 + 5 x 160 = 512 + 160 + 5 = 677 d) (457)9 = ()10 ( (457)9 = (376)10 4 x 92 + 5 x 91 + 7 x 90 = 324 +45 + 7 = 376 e) (243)5 = ()10 ( (243)5 = (73)10 2 x 52 + 4 x 51 + 3 x 50 = 50 + 20 + 3 = 73 3.2. Conversão de Números Decimais para uma Base B Qualquer Divide-se o número decimal pelo valor da base B desejada; Reserva-se o resto. O primeiro resto encontrado é o algarismo menos significativo do valor da base B (posicionado mais à direita, de posição 0); Enquanto o quociente resultante for diferente de zero deve-se dividi-lo pelo valor da base B; Os restos encontrados são sempre colocados à esquerda do primeiro resto. O último resto é o algarismo mais significativo do valor da base b (posicionado mais à esquerda). Ex.: a) (45)10 = ()2 ( (45)10 = (101101)2 45/2 = 22 ( resto0 = 1 (algarismo menos significativo) 22/2 = 11 ( resto1 = 0 11/2 = 5 ( resto2 = 1 5/2 = 2 ( resto3 = 1 2/2 = 1 ( resto4 = 0 1/2 = 0 ( resto5 = 1 (algarismo mais significativo) b) (3964)10 = ()8 ( (3964)10 = (7574)8 3964/8 = 495 ( resto0 = 4 (algarismo menos significativo) 495/8 = 61 ( resto1 = 7 61/8 = 7 ( resto2 = 5 7/8 = 0 ( resto3 = 7 (algarismo mais significativo) c) (2754)10 = ()16 ( (2754)10 = (AC2)16 2754/16 = 172 ( resto0 = 2 algarismo 216 (algarismo menos significativo) 172/16 = 10 ( resto1 = 12 algarismo C16 10/16 = 0 ( resto2 = 10 algarismo A16 (algarismo mais significativo) 3.3. Conversão entre Números Binários (Base 2) e Números Octais (base 8) De acordo com a tabela acima, observa-se que são necessários somente 3 (8=23) bits (algarismos binários) para representar um número em base 8. a) Conversão de Números Binários para Octais: a conversão de um número binário para um número octal (em base 8) consiste em dividir, da direita para a esquerda, o número binário em grupos de 3 bits e encontrar o número octal equivalente a cada grupo. Acrescenta-se quantos zeros forem necessários ao grupamento mais à esquerda quando este não for múltiplo de 3. Ex.: (111010111)2 = ( )8 (111)(010)(111) 2 = (727)8 7 2 7 (1010011111)2 = ( )8 (001)(010)(011)(111) 2 = (1237)8 1 2 3 7 b) Conversão de Números Octais para Binários: substituiu-se cada número octal pelos seus 3 bits correspondentes. Os zeros mais à esquerda podem ser desprezados.Ex.: (327)8 = ( )2 (011)(010)(111) = (011010111)2 (11010111)2 (653)8 = ( )2 (110)(101)(011) = (110101011)2 3.4. Conversão entre Números Binários (Base 2) e Números Hexadecimais (Base 16) De acordo com a tabela, observa-se que são necessários 4 (16=24) bits (algarismos binários) para representar um número em base 16. a) Conversão de Números Binários para Hexadecimais: a conversão de um número binário para um número hexadecimal (em base 16) consiste em dividir, da direita para a esquerda, o número binário em grupos de 4 bits e encontrar o número hexadecimal equivalente a cada grupo. Acrescenta-se quantos zeros forem necessários ao grupamento mais à esquerda quando este não for múltiplo de 4. Ex.: (1011011011)2 = ( )16 (0010)(1101)(1011)2 = (2DB)16 2 D B (10011100101101)2 = ( )16 (0010)(0111)(0010)(1101) 2 = (272D)16 2 7 2 D b) Conversão de números Hexadecimais para Binários: substituiu-se cada número hexadecimal pelos seus 4 bits correspondentes. Os zeros mais à esquerda podem ser desprezados.Ex.: (306)16 = ( )2 (0011)(0000)(0110)2 = (1100000110)2 (F50)16 = ( )2 (1111)(0101)(0000)2 = (111101010000)16 3.5. Conversão entre Números Octais (Base 8) e Números Hexadecimais (Base 16) Como a base de referência para substituição de valores é a base 2, usa-se esta como intermediária para a conversão entre as bases 8 e 16. a) Conversão de números Octais para Hexadecimais: converte-se o número octal em um número binário, o resultado binário deve ser convertido para um número hexadecimal. Ex.: (3174)8 = ()16 (011)(001)(111)(100)2 = ()16 (011001111100)2 = ()16 (0110)(0111)(1100)2 = ()16 6 7 C = (67C)16 (254)8 = ( )16 (010)(101)(100)2 = ()16 (010101100)2 = ()16 (0000)(1010)(1100)2 = ()16 0 A C = (AC)16 b) Conversão de números Hexadecimais para Octais: converte-se o número hexadecimal em um número binário, o resultado binário deve ser convertido para um número octal. Ex.: (2E7A)16 = ()8 (0010)(1110)(0111)(1010)2 = ()8 (0010111001111010)2 = ()8 (010)(111)(001)(111)(010)2 = ()8 2 7 1 7 2 = (27172)8 (3C7)16 = ( )8 (0011)(1100)(0111)2 = ()8 (001111000111)2 = ()8 (001)(111)(000)(111)2 = ()8 1 70 7 = (1707)8 4. Aritmética Binária Nesta seção, serão apresentadas as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) executadas sobre números binários. Serão considerados números positivos (sem sinal) e sem limite de tamanho, apesar de existir nos sistemas de computadores uma preocupação com o limite dos números (quantidade máxima de algarismos permitida para um dado número), a fim de evitar overflow, ou seja, estouro do limite da capacidade de armazenamento, quando uma operação aritmética resulta em um valor acima do limite máximo possível. 4.1. Soma Binária A soma binária é executada conforme as relações abaixo: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 , “vai 1” ou 102 Ex.: a) Efetuar a soma entre 4510 e 4710 Decimal Binário 1 45 + 47 ((( 92 1 1111 101101 + 101111 (((( 1011100 b) Efetuar a soma entre 16510 e 3510 Decimal Binário 1 165 +35 (((( 200 1 111 10100101 + 100011 (((((( 11001000 4.2. Subtração Binária A subtração binária é executada conforme a seguinte relação: 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 0 - 1 = o resultado depende do empréstimo de um valor igual a base (valor = 2), obtido do primeiro algarismo diferente de zero, existente mais à esquerda Ex.: a) Efetuar a subtração 4510 - 3910 Decimal Binário 45 - 39 ((( 06 2 002 101101 - 100111 ((((( 000110 b) Efetuar a subtração 14610 - 4010 Decimal Binário 146 - 40 ((( 106 12 02 02 10010010 - 101000 (((((( 1101010 � 4.3. Multiplicação Binária A multiplicação binária é executada conforme as relações abaixo: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Ex.: a) Efetuar a multiplicação 610 x 510 Decimal Binário 6 x 5 ((( 30 110 x 101 (((( 110 000 + 110 (((( 11110 Decimal Binário 37 | 4 ¯¯¯¯¯ - 36 9 ¯¯¯ - 1 - 100’1’0’1’|100 ¯¯¯¯¯ - 100 1001 ¯¯¯¯ 0101 - 100 ¯¯¯¯¯ - 1 - b) Efetuar a multiplicação 2110 x 1310 Decimal Binário 21 x 13 ((( 273 10101 x 1101 (((( 10101 00000 10101 + 10101 (((( 100010001 4.4. Divisão Binária Na divisão binária o quociente só pode assumir dois possíveis valores: 1 e 0. Ex.: a) Efetuar a divisão 910 ÷ 510 Decimal Binário 9 | 5 ¯¯¯¯¯ - 5 1 ¯¯¯ - 4 - 1001 | 101 ¯¯¯¯¯¯ - 101 1 ¯¯¯¯ - 0100 - b) Efetuar a divisão 3710 ÷ 410 � PAGE �1�
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