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Apostila Conversão e Aritm Binaria

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BACHARELADO EM Ciência da Computação
	CC1TA e CC1NA
	
	Disciplina: Introdução à Computação
	
	Professora: 
	Data:
	
	Nome:
Conversão de Bases e Aritmética Binária
1. Notação Posicional: É a forma mais empregada de notação numérica
O valor de cada algarismo (dígito) que compõe um número depende de sua posição relativa no número.
Num sistema qualquer de numeração posicional, um número N é expresso da seguinte maneira:
N = (dn-1 dn-2 dn-3 ... d1 d0)b
onde:
d: indica cada algarismo do nº;
n-1, n-2, 1, 0: são índices que indicam a posição de cada algarismo;
b: indica a base de numeração;
n: indica o número de algarismos inteiros
2. Sistemas de Numeração
2.1. Sistema Decimal: sistema de numeração adotado pela cultura ocidental.
Possui dez diferentes algarismos (dígitos): 0 ao 9.
É um sistema de base 10.
Obs.: 
Base: refere-se à quantidade de algarismos diferentes disponíveis em um dado sistema de numeração. Serve para que grandezas maiores sejam calculadas, dando noção de grupamento. Ex.: nº 1303 na base 10 = (1303)10
2.2. Sistema Binário: sistema utilizado pelos computadores para a representação das informações.
Possui dois diferentes algarismos (dígitos): 0 e 1.
É um sistema de base 2.
Um algarismo (ou dígito) binário é chamado de bit (binary digit). Desta forma, o número binário 11010 possui 5 algarismos, logo, é constituído de 5 bits.
2.3. Sistema Octal
Possui oito diferentes algarismos (dígitos): 0 e 7.
É um sistema de base 8.
2.4. Sistema Hexadecimal
Nos sistemas de numeração cuja base é superior a 10, usam-se letras do alfabeto para representação de algarismos maiores que 9.
Possui 16 diferentes algarismos (dígitos): 0 e 9 e de A a F.
No sistema hexadecimal os “algarismos” A, B, C, D, E e F representam, respectivamente, os valores (na base 10): 10, 11, 12, 13, 14 e 15.
É um sistema de base 16.
Tabela de Conversão de Bases
	Base 2
Binária
	Base 8
Octal
	Base 10
Decimal
	Base 16
Hexadecimal
	0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
	0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
	0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
	0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3. Conversão de Bases
3.1. Conversão de números de uma Base B Qualquer para a Base 10
A conversão de um número expresso em uma base B qualquer para um número na base 10 acontece a partir da aplicação da equação a seguir:
N = dn-1 x bn-1 + dn-2 x bn-2 + ... + d1 x b1 + d0 x b0
Ex.: 
a) (101101)2 = ()10 ( (101101)2 = (45)10
1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 32 + 8 + 4 + 1= 45
 
b) (27)8 = ()10 ( (27)8 = (23)10
2 x 81 + 7 x 80 = 16 + 7 = 23
c) (2A5)16 = ()10 ( (2A5)16 = (677)10
2 x 162 + 10 x 161 + 5 x 160 = 512 + 160 + 5 = 677
d) (457)9 = ()10 ( (457)9 = (376)10
4 x 92 + 5 x 91 + 7 x 90 = 324 +45 + 7 = 376
 e) (243)5 = ()10 ( (243)5 = (73)10
2 x 52 + 4 x 51 + 3 x 50 = 50 + 20 + 3 = 73
3.2. Conversão de Números Decimais para uma Base B Qualquer
Divide-se o número decimal pelo valor da base B desejada;
Reserva-se o resto. O primeiro resto encontrado é o algarismo menos significativo do valor da base B (posicionado mais à direita, de posição 0);
Enquanto o quociente resultante for diferente de zero deve-se dividi-lo pelo valor da base B;
Os restos encontrados são sempre colocados à esquerda do primeiro resto. O último resto é o algarismo mais significativo do valor da base b (posicionado mais à esquerda).
Ex.:
a) (45)10 = ()2 ( (45)10 = (101101)2
45/2 = 22 ( resto0 = 1 (algarismo menos significativo)
22/2 = 11 ( resto1 = 0
11/2 = 5 ( resto2 = 1
5/2 = 2 ( resto3 = 1
2/2 = 1 ( resto4 = 0 
 1/2 = 0 ( resto5 = 1 (algarismo mais significativo)
b) (3964)10 = ()8 ( (3964)10 = (7574)8
 3964/8 = 495 ( resto0 = 4 (algarismo menos significativo)
 495/8 = 61 ( resto1 = 7
 61/8 = 7 ( resto2 = 5
7/8 = 0 ( resto3 = 7 (algarismo mais significativo)
c) (2754)10 = ()16 ( (2754)10 = (AC2)16
2754/16 = 172 ( resto0 = 2 algarismo 216 (algarismo menos significativo)
172/16 = 10 ( resto1 = 12 algarismo C16
10/16 = 0 ( resto2 = 10 algarismo A16 (algarismo mais significativo)
3.3. Conversão entre Números Binários (Base 2) e Números Octais (base 8)
De acordo com a tabela acima, observa-se que são necessários somente 3 (8=23) bits (algarismos binários) para representar um número em base 8.
a) Conversão de Números Binários para Octais: a conversão de um número binário para um número octal (em base 8) consiste em dividir, da direita para a esquerda, o número binário em grupos de 3 bits e encontrar o número octal equivalente a cada grupo. Acrescenta-se quantos zeros forem necessários ao grupamento mais à esquerda quando este não for múltiplo de 3.
Ex.: 
	 (111010111)2 = ( )8
(111)(010)(111) 2 = (727)8
 7 2 7
	 (1010011111)2 = ( )8
(001)(010)(011)(111) 2 = (1237)8
 1 2 3 7
b) Conversão de Números Octais para Binários: substituiu-se cada número octal pelos seus 3 bits correspondentes. Os zeros mais à esquerda podem ser desprezados.Ex.:
	(327)8 = ( )2
(011)(010)(111) = (011010111)2
(11010111)2
 
	(653)8 = ( )2
(110)(101)(011) = (110101011)2
3.4. Conversão entre Números Binários (Base 2) e Números Hexadecimais (Base 16)
De acordo com a tabela, observa-se que são necessários 4 (16=24) bits (algarismos binários) para representar um número em base 16.
a) Conversão de Números Binários para Hexadecimais: a conversão de um número binário para um número hexadecimal (em base 16) consiste em dividir, da direita para a esquerda, o número binário em grupos de 4 bits e encontrar o número hexadecimal equivalente a cada grupo. Acrescenta-se quantos zeros forem necessários ao grupamento mais à esquerda quando este não for múltiplo de 4.
Ex.: 
	 (1011011011)2 = ( )16
(0010)(1101)(1011)2 = (2DB)16
 2 D B 
	 (10011100101101)2 = ( )16
(0010)(0111)(0010)(1101) 2 = (272D)16
 2 7 2 D
b) Conversão de números Hexadecimais para Binários: substituiu-se cada número hexadecimal pelos seus 4 bits correspondentes. Os zeros mais à esquerda podem ser desprezados.Ex.: 
	 (306)16 = ( )2
(0011)(0000)(0110)2 = (1100000110)2
	 (F50)16 = ( )2
(1111)(0101)(0000)2 = (111101010000)16
3.5. Conversão entre Números Octais (Base 8) e Números Hexadecimais (Base 16)
Como a base de referência para substituição de valores é a base 2, usa-se esta como intermediária para a conversão entre as bases 8 e 16.
a) Conversão de números Octais para Hexadecimais: converte-se o número octal em um número binário, o resultado binário deve ser convertido para um número hexadecimal.
Ex.: 
	 (3174)8 = ()16
(011)(001)(111)(100)2 = ()16
 (011001111100)2 = ()16
 (0110)(0111)(1100)2 = ()16
 6 7 C = (67C)16
	 (254)8 = ( )16
 (010)(101)(100)2 = ()16
 (010101100)2 = ()16
(0000)(1010)(1100)2 = ()16
 0 A C = (AC)16
b) Conversão de números Hexadecimais para Octais: converte-se o número hexadecimal em um número binário, o resultado binário deve ser convertido para um número octal.
Ex.: 
	 (2E7A)16 = ()8
(0010)(1110)(0111)(1010)2 = ()8
 (0010111001111010)2 = ()8
(010)(111)(001)(111)(010)2 = ()8
 2 7 1 7 2 = (27172)8
	 (3C7)16 = ( )8
 (0011)(1100)(0111)2 = ()8
 (001111000111)2 = ()8
 (001)(111)(000)(111)2 = ()8
 1 70 7 = (1707)8
4. Aritmética Binária
Nesta seção, serão apresentadas as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) executadas sobre números binários.
Serão considerados números positivos (sem sinal) e sem limite de tamanho, apesar de existir nos sistemas de computadores uma preocupação com o limite dos números (quantidade máxima de algarismos permitida para um dado número), a fim de evitar overflow, ou seja, estouro do limite da capacidade de armazenamento, quando uma operação aritmética resulta em um valor acima do limite máximo possível.
4.1. Soma Binária
A soma binária é executada conforme as relações abaixo:
	0 + 0 = 0
	0 + 1 = 1
	1 + 0 = 1
	1 + 1 = 0 , “vai 1” ou 102
Ex.:
a) Efetuar a soma entre 4510 e 4710
	Decimal
	Binário
	1
 45
 + 47
(((
 92
	 1 1111
101101
 + 101111
((((
 1011100
b) Efetuar a soma entre 16510 e 3510
	Decimal
	Binário
	 1
165
 +35
 (((( 
 200
	 1 111 
 10100101
 + 100011
((((((
11001000
4.2. Subtração Binária
A subtração binária é executada conforme a seguinte relação:
	0 - 0 = 0
	1 - 1 = 0
	1 - 0 = 1
	0 - 1 = o resultado depende do empréstimo de um valor igual a base (valor = 2), obtido do primeiro algarismo diferente de zero, existente mais à esquerda
Ex.:
a) Efetuar a subtração 4510 - 3910
	Decimal
	Binário
	 
 45
- 39
 ((( 
 06
	 2
 002
101101
 - 100111
(((((
000110
b) Efetuar a subtração 14610 - 4010
	Decimal
	Binário
	 
 146
- 40
 ((( 
 106
	 12
 02 02
 10010010
 - 101000
((((((
 1101010
�
4.3. Multiplicação Binária
A multiplicação binária é executada conforme as relações abaixo:
	0 x 0 = 0
	0 x 1 = 0
	1 x 0 = 0
	1 x 1 = 1 
Ex.:
 a) Efetuar a multiplicação 610 x 510
	Decimal
	Binário
	
 6
x 5
(((
 30
	 
 110
 x 101
 ((((
 110
 000
 + 110
 ((((
 11110
	Decimal
	Binário
	
 37 | 4
 ¯¯¯¯¯
- 36 9
 ¯¯¯
 - 1 - 
	 
 100’1’0’1’|100
 ¯¯¯¯¯
- 100 1001
 ¯¯¯¯
 0101
 - 100
¯¯¯¯¯
 - 1 -
b) Efetuar a multiplicação 2110 x 1310
	Decimal
	Binário
	
 21
x 13
(((
 273
	 
 10101
 x 1101
 ((((
 10101
 00000
 10101
 + 10101
 ((((
 100010001
4.4. Divisão Binária
Na divisão binária o quociente só pode assumir dois possíveis valores: 1 e 0.
Ex.: 
a) Efetuar a divisão 910 ÷ 510 
	Decimal
	Binário
	
 9 | 5
 ¯¯¯¯¯
- 5 1
¯¯¯
- 4 - 
	 
 1001 | 101
 ¯¯¯¯¯¯
- 101 1
 ¯¯¯¯
- 0100 -
b) Efetuar a divisão 3710 ÷ 410
� PAGE �1�

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