Medidas Estatísticas: Posição e Dispersão

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Estatística Aplicada
 Valeria Ferreira
Aula 3
Medidas Estatísticas
Medidas de Posição ou Tendência Central
Têm o objetivo de apresentar um ponto central em torno do qual os dados se distribuem. As mais conhecidas são: a média, a mediana e a moda.
Medidas de Dispersão
Servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central.
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Medidas de Tendência Central
 
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Medidas de Tendência Central
A média aritmética de um conjunto de dados apresentados numa distribuição de frequências é calculada da seguinte maneira:
em que:
 são os valores que a variável assume;
 é a frequência referente a cada valor;
 é a soma dos valores das frequências.
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Exemplo 1: Os dados abaixo são referentes às idades de funcionários do setor administrativo de uma empresa:
24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25
Vamos calcular a idade média dos funcionários:
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Agora, vamos calcular a média aritmética por meio dos dados organizados numa distribuição de frequências.
 Tabela 1: Distribuição das idades dos funcionários.
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Idade
Frequência
F.R.(%)
18
1
8,33
18
19
1
8,33
19
21
1
8,33
21
22
2
16,67
44
24
2
16,67
48
25
3
25,00
75
28
2
16,67
56
Total
12
100,00
281
Utilizando as informações do quadro, temos:
Portanto, podemos concluir que a idade média dos funcionários da empresa é 23,42 anos.
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Moda
A moda de um conjunto de dados é a resposta (ou respostas) que ocorre(m) com maior frequência. A moda, diferentemente das outras medidas de posição, também pode ser encontrada quando a variável em estudo for qualitativa. 
Um conjunto de dados pode não apresentar moda (amodal), apresentar uma moda, duas modas (bimodal) ou mais de duas modas (multimodal).
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Moda
 
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Mediana
A mediana é outra medida de posição, dita mais robusta que a média, pois, da forma como ela é determinada, não permite que alguns valores muito altos ou muito baixos interfiram de maneira significativa em seu valor.
A mediana é encontrada ordenando os dados do menor para o maior valor e, em seguida, identificando o valor central desses dados ordenados. É uma medida que divide o conjunto de dados em duas partes, deixando a mesma quantidade de valores abaixo dela e acima.
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Mediana
Se o número de elementos do conjunto de dados for ímpar, então a mediana será exatamente o valor central, ou seja:
Se o número de elementos do conjunto de dados for par, então a mediana será exatamente a média dos dois valores centrais, isto é:
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Mediana
Exemplo 2: Vamos utilizar os dados do Exemplo 1 para calcular a mediana.
24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25
Para encontrar a mediana, os dados devem estar ordenados:
18 19 21 22 22 24 24 25 25 25 28 28
12
Resolução
Como n = 12 é um número par, encontraremos a mediana por meio da seguinte fórmula:
Portanto, podemos afirmar no mínimo 50% dos valores são maiores ou iguais a 24 anos.
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Medidas de posição para dados agrupados em classes
Quando o conjunto de dados for apresentado sob a forma agrupada, perdemos a informação dos valores das observações. Nesse caso, vamos supor que todos os valores dentro de uma classe tenham seus valores iguais ao ponto médio dessa classe.
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Exemplo 3:
Tabela 2: Distribuição de frequências dos salários de funcionários de uma empresa.
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Salário (R$)
Nº de funcionários
F.R.(%)
750|―1062
22
55
1062|―1374
4
10
1374|―1686
2
5
1686|―1998
6
15
1998|―2310
2
5
2310|―2622
4
10
Total
40
100
Para calcular as medidas de posição por meio da Tabela 2, vamos seguir o procedimento:
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Salário (R$)
Nº de funcionários
F.R.(%)
750|―1062
22
55
906
19932
1062|―1374
4
10
1218
4872
1374|―1686
2
5
1530
3060
1686|―1998
6
15
1842
11052
1998|―2310
2
5
2154
4308
2310|―2622
4
10
2466
9864
Total
40
100
53088
Então, a média aritmética para as informações contidas no quadro é:
Se calcularmos a média aritmética por meio dos dados brutos (sem agrupar), vamos obter 
 .
Isso nos mostra que as medidas descritivas obtidas por meio dos dados agrupados são apenas aproximações dos verdadeiros valores. 
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Referências Bibliográficas
BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. São Paulo: Edgard Blucher, 2002. 
TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
VIEIRA, Sonia. Elementos de estatística. São Paulo: Atlas, 2003.
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Estatística Aplicada
 Valeria Ferreira
Atividade 3
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Um treinador mediu a circunferência abdominal de 10 homens que se apresentaram para uma aula na academia de ginástica. Os valores em centímetros são:
88 83 79 76 78 70 80 82 86 105
Com os dados apresentados:
a) Indique e classifique a variável em estudo.
b) Encontre as medidas de posição: média, moda e mediana por meio do conjunto de dados brutos.
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Resolução
A variável em estudo é a circunferência abdominal de 10 homens.
 Classificação: variável quantitativa contínua.
b)
Média:
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Resolução
Mediana: Para encontrar a mediana, os dados devem estar ordenados:
88 83 79 76 78 70 80 82 86 105
Ordenados:
70 76 78 79 80 82 83 86 88 105
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Resolução
Como n = 10 é um número par, encontraremos a mediana por meio da seguinte fórmula:
30
Resolução
 
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