A matematica do Ensino Medio - Resolvida - Volume 1

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A Matemática do 
Ensino Médio 
Volume 1 
Elon Lages Lima 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
Eduardo Wagner 
Augusto Cézar Morgado 
 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 
 
SOLUCIONÁRIO 
COMPLETO 
 
Soluc¸o˜es do Livro: A Matema´tica do Ensino Me´dio - SBM
(Elon Lages Lima e col.)
nibblediego@gmail.com
Compilado dia 23/09/2016
Esse documento esta´ em constante revisa˜o. Vez ou outra um
erro de portugueˆs e´ corrigido, uma passagem que na˜o ficou muito
clara e´ refeita, uma soluc¸a˜o equivocada e´ substitu´ıda ou a soluc¸a˜o
de uma das questo˜es ainda na˜o resolvidas aparece magicamente
em minha cabec¸a, sendo inclu´ıda em verso˜es atualizadas do doc-
umento. Assim, verifique se o que voceˆ tem em ma˜os e´ de fato
a versa˜o mais recente do documento. Todas as atualizac¸o˜es dele
esta˜o dispon´ıveis em www.number.890m.com sem br mesmo.
Se quiser informar algum erro de portugueˆs, digitac¸a˜o ou mesmo de lo´gica nos exerc´ıcios
escreva para: nibblediego@gmail.com
Suma´rio
1 Conjuntos 2
2 Nu´meros Naturais 14
3 Nu´meros Cardinais 22
4 Nu´meros Reais 28
5 Func¸o˜es Afins 35
6 Func¸o˜es Quadra´ticas 56
7 Func¸o˜es Polinomiais 80
8 Func¸o˜es Exponencias e Logar´ıtmicas 87
9 Func¸o˜es Trigonome´tricas 95
10 Agradecimento 102
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
1 Conjuntos
1. Sejam P1, P2, Q1, Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto universo U.
Suponha que P1 e P2 esgotam todos os casos poss´ıveis (ou seja, um elemento qualquer de U
ou tem propriedade P1 ou teˆm P2). Suponha ainda que Q1 e Q2 sa˜o incompat´ıveis (isto e´,
excluem-se mutualmente). Suponha, finalmente, que P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2. Prove que valem as
rec´ıprocas: Q1 ⇒ P1 e Q2 ⇒ P2.
Soluc¸a˜o:
Como P1 e P2 esgotam todas as possibilidades e P1 ⇒ Q1 bem como P2 ⇒ Q2, enta˜o um
elemento de U ou teˆm propriedade Q1 ou teˆm propriedade Q2. Ou em outras palavras: na˜o pode
haver elemento de U que na˜o goze de Q1 e Q2 ao mesmo tempo.
Suponha por absurdo que Q1 ⇒ P2. Neste caso um elemento u pertencente a U teˆm tambe´m
propriedade Q2, pois P2 ⇒ Q2. O que gera um absurdo ja´ que Q1 e Q2 se excluem mutualmente.
Logo Q1 ⇒ P1.
Analogamente se prova que Q2 ⇒ P2.
2. Enquadre no contexto do exerc´ıcio anterior o seguinte fato geome´trico: Duas obl´ıquas que
se afastam igualmente do pe´ da perpendicular sa˜o iguais. Se se afastam desigualmente enta˜o sa˜o
desiguais e a maior e´ a que mais se afasta.
Soluc¸a˜o:
Fazendo uma comparac¸a˜o com o exerc´ıcio anterior teremos:
P1: Propriedade de se afastar igualmente.
Q1: Propriedade de serem de tamanhos iguais.
P2: Propriedade de se afastar desigualmente.
Q2: Propriedade de terem tamanhos desiguais.
De modo que P1 ⇒ Q1, P2 ⇒ Q2 e a reciproca tambe´m e´ verdadeira.
3. Sejam X1X2, Y1Y2 subconjuntos do conjunto universo U. Suponha que X1∪X2 = U e
Y1∩Y2 = ∅, que X1 ⊂Y1 e que X2 ⊂T2. Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2.
Soluc¸a˜o:
Como por hipo´tese X1 ⊂ Y1 enta˜o basta provar que X1 ⊃ Y1 que por dupla inclusa˜o teremos
mostrado que: X1 = Y1.
Para mostrar que X1 ⊃ Y1 tomemos um elemento y ∈ Y1. Como por hipo´tese X1 ∪ X2 = U
enta˜o y pertence a X1 ou pertence a X2.
2
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Se y ∈ X2 e X2 ⊂ Y2 enta˜o y ∈ Y2. O que seria um absurdo ja´ que Y1 ∩ Y2 = ∅. Logo y ∈
X1 o que prova que X1 ⊃ Y1. E portanto que X1 = Y1.
Analogamente se prova que X2 = Y2.
4. Compare o exerc´ıcio anterior com o primeiro em termos de clareza e simplicidade dos
enunciados. Mostre que qualquer um deles pode ser resolvido pelo outro.
Soluc¸a˜o:
Para provarmos que X1 = Y1, por exemplo precisa´vamos apenas mostrar que: X1 ⊃ Y1.
Assim se tomarmos um elemento u de U, P1 como a propriedade de pertencer a X1 e Q1
como a propriedade de pertencer a Y1. Enta˜o podemos afirmar que P1 ⇒ Q1. Ja´ que X1 ⊂ Y1.
Neste caso provar a reciproca (Q1 ⇒ P1), seria o equivalente a provar X1 ⊃ Y1.
Em outras palavras provar a questa˜o 3 implica na prova da questa˜o 1 e vice-versa.
5. Ainda no tema do primeiro exerc´ıcio, seria va´lido substituir as implicac¸o˜es P1 ⇒ Q1 e P2
⇒ Q2 na hipo´tese por suas reciprocas Q1 ⇒ P1 e Q2 ⇒ P2?
Soluc¸a˜o:
Essa substituic¸a˜o na˜o obriga a implicac¸a˜o P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2. Basta imaginar o exemplo
em que U = N, P1 e´ a propriedade “n e´ par”, P2 significa “n e´ impar”, Q1 que dizer “n e mu´ltiplo
de 4” e Q2 diz “n e´ um numero primo maior do que 2”.
6. Escreva as implicac¸o˜es lo´gicas que correspondem a` resoluc¸a˜o da equac¸a˜o
√
x+ 2 = 2, veja
quais sa˜o revers´ıveis e explique o aparecimento de ra´ızes estranhas. Fac¸a o mesmo com a equac¸a˜o√
x+ 3 = x.
Soluc¸a˜o:
Fazendo y =
√
x teˆm se: ⇒ y + 2 = y2 ∗
⇒ y2 − y − 2 = 0
⇒ (y − 2)(y + 1) = 0 (1)
⇒ y = 2, y = −1 (2)
como y =
√
x de (1) e (2) temos:
2 =
√
x (3)
−1 = √x (4)
3
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De (3) segue que x = 4.
(
√
x)2 = 22
x = 4
De (4) segue que x = 1.
(
√
x)2 = (−1)2
x = 1
Testando estas ra´ızes chegamos a conclusa˜o de que a soluc¸a˜o de
√
x+ 2 = x e´ apenas 4.
√
x+ 2 = x
√
4 + 2 = 4
2 + 2 = 4
4 = 4
A passagem marcada por ∗ e´ a u´nica implicac¸a˜o irrevers´ıvel. Como y2 = (±√x)2 a sub-
stituic¸a˜o de x por y acaba gerando uma equac¸a˜o com duas ra´ızes. Uma delas seria a tal “raiz
estranha”.
Analogamente se resolve
√
x+ 3 = x.
7. Mostre que, para todo m > 0, a equac¸a˜o
√
x+m = x tem exatamente uma raiz.
Soluc¸a˜o:
Seja y =
√
x enta˜o:
√
x+m = x pode ser escrita como y +m = y2
⇒ y2 − y −m = 0
Aplicando bhaskara:
y =
−(−1)±√(−1)2 − 4(1)(−m)
2(1)
=
1±√1 + 4m
2
Como por hipo´tese m > 0 enta˜o a (1 + 4m) > 0 e a equac¸a˜o y2 − y −m = 0 possuira´ duas
ra´ızes, uma positiva e uma negativa que chamaremos de k1 e −k2 (com k1, k2 ∈ R).
Se y = −k2 enta˜o
√
x = −k2 e x = (k2)2 sendo assim:
4
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√
x+m = x⇒ −k2 +m = (k2)2
⇒ m = (k2)2 + k2
⇒ m > (k2)2 (1)
mas como
√
x = −k2 enta˜o:
m > (k2)
2 ⇒ m > x
Essa implicac¸a˜o no entanto e´ um absurdo pois analisando a equac¸a˜o (
√
x + m = x), e a
condic¸a˜o de que m > 0 enta˜o devemos ter x ≥ m. Logo x na˜o pode ser igual a −k2 pois isso
resultaria em m > x
Logo a equac¸a˜o so´ possui uma raiz. E ela e´ positiva.
8. Considere as seguintes (aparentes) equivaleˆncias lo´gicas:
x = 1⇔ x2 − 2x+ 1 = 0
⇔ x2 − 2 · 1 + 1 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ x = ±1
Conclusa˜o (?): x = 1⇔ x = ±1. Onde esta´ o erro?
Soluc¸a˜o:
O problema esta´ na segunda implicac¸a˜o. Enquanto x2 − 2x + 1 = 0 ⇒ x2 − 2 · 1 + 1 = 0 a
reciproca na˜o e´ verdadeira, pois se x = −1 enta˜o (−1)2 − 2 · 1 + 1 tambe´m e´ igual a zero. Ou
seja, a passagem de x2 − 2x+ 1 = 0 para x2 − 2(1) + 1 = 0 e´ irrevers´ıvel.
9. As ra´ızes do polinoˆmio x3−6x2 +11x−6 sa˜o 1, 2 e 3. Substitua, nesse polinoˆmio, o termo
11x por 11 · 2 = 22, obtendo enta˜o x3 − 6x2 + 16, que ainda tem 2 como raiz mas na˜o se anula
para x = 1 nem x = 3. Enuncie um resultado geral que explique este fato e o relacione com o
exerc´ıcio anterior.
Soluc¸a˜o:
Dado um polinoˆmio p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d cuja raiz e´ α enta˜o p(α) = 0. Tomando agora
um segundo polinoˆmio q(x) = cx pode-se escrever p(x) como:
p(x) = ax3 + bx2 + q(x) + d
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Repare que esta´ substituic¸a˜o nada muda em p(x). De modo que p(α) continua sendo raiz
de p(x). Desse modo substituir q(α) pelo termo “qx” em p(x) significa apenas que estamos
substituindo x por α em “qx”.
p(x) = ax3 + bx2 + cα+ d
Assim α continua sendo raiz de p(x), mas as suas demais ra´ızes perdem o sentido.
Esse fato tambe´mse verifica no exerc´ıcio anterior quando substitu´ımos x por 1 na equac¸a˜o
x2 − 2x+ 1 = 0
10. Seja P(x) uma condic¸a˜o envolvendo a varia´vel x.
(1) “Para todo x, e´ satisfeita a condic¸a˜o P(x)”
(2) “Existe algum x que satisfaz a condic¸a˜o P(x).
a) Sendo A o conjunto de objetos x (de um certo conjunto universo U) que satisfazem a
condic¸a˜o P(x), escreva as sentenc¸as (1) e (2) acima, usando a linguagem dos conjuntos.
b) Quais as negac¸o˜es de (1) e (2)?
c) Para cada sentenc¸a abaixo diga se ela e´ verdadeira ou falsa e forme sua negac¸a˜o:
• Existe um numero real x tal que x2 = −1.
• Para todo numero inteiro n, vale n2 > n.
• Para todo numero real x, tem-se x > 1 ou x2 < 1.
• Para todo numero real x existe um numero natural n tal que n > x.
• Existe um numero natural n tal que, para todo numero real x, tem se n > x.
Soluc¸a˜o de A:
Da sentenc¸a (1) conclui-se apenas que: todo x ∈ U tambe´m pertence a A. Na˜o se pode dizer
que A = U porque na˜o se sabe se U e´ constitu´ıdo apenas de objetos x.
De (2) se conclui-que A 6= ∅
Assim as sentenc¸as (1) e (2) escritas na forma de conjunto seriam respectivamente:
(1) A = {x|x ∈ U}
(2) A 6= ∅
Soluc¸a˜o de B:
A negac¸a˜o de (1) e´: Existe um x, tal que P(x) na˜o e´ satisfeita. Que na forma de conjunto
seria:
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A ⊂ U
Essa notac¸a˜o sugere que mesmo que U seja composto apenas de objetos x enta˜o, “A” ainda
seria subconjunto de U ja´ que ao menos um elemento x pertenceria ao conjunto universo mas,
na˜o a “A”.
A negac¸a˜o de (2) e´: Nenhum elemento x satisfaz a condic¸a˜o P(x). Que na forma de conjunto
seria:
A = ∅
Soluc¸a˜o de C:
• Falsa. Pois isso implicaria na existeˆncia de uma raiz negativa.
A negac¸a˜o da afirmac¸a˜o sera´: Para todo numero real x, teˆm se x2 6= −1.
• Falsa. Pois 1 e´ um numero inteiro e 12 na˜o e´ maior que ele mesmo (12 > 1).
A negac¸a˜o da afirmac¸a˜o sera´: Existe um numero inteiro n tal que n2 ≤ n.
• Falsa. Pois 2 e´ um numero real e 22 > 1
A negac¸a˜o da afirmac¸a˜o sera´: Existe um numero real x tal que x ≤ 1 e x2 ≥ 1.
• Verdadeira. Dado um numero real r na forma r = p
q
enta˜o qr = p e pertence
aos naturais de modo que qr > r.
A negac¸a˜o da afirmac¸a˜o sera´: Existe um numero real x tal que n < x para
todo numero natural n.
• Falsa. O problema aqui esta´ no fato da afirmac¸a˜o garantir a unicidade do numero
natural. O que ocorre e´ que, dado um r ∈ R existem diversos naturais n tais que
n > r.
A negac¸a˜o da afirmac¸a˜o sera´: Para todo numero natural n, existe um numero
real x tal que n ≤ x.
11. Considere os conjuntos abaixo:
F = conjunto de todos os filo´sofos.
M = conjunto de todos os matema´ticos.
C = conjunto de todos os cientistas.
P = conjunto de todos os professores.
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a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos.
1) Todos os matema´ticos sa˜o cientistas.
2) Alguns matema´ticos sa˜o professores.
3) Alguns cientistas sa˜o filo´sofos.
4) Todos os filo´sofos sa˜o cientistas ou professores.
5) Nem todo professor e´ cientista.
b) Fac¸a o mesmo com as afirmativas abaixo:
6) Alguns matema´ticos sa˜o filo´sofos
7) Nem todo filosos e´ cientista
8) Alguns filo´sofos sa˜o professores
9) Se um filosofo na˜o e´ matema´tico, ele e´ professor.
10) Alguns filo´sofos sa˜o matema´ticos.
c) Tomando as 5 primeiras afirmativas como hipo´teses, verifique quais das afirmativas (6a em
diante), sa˜o necessariamente verdadeiras.
Soluc¸a˜o de A:
1) M ⊆ C
2) M ∩ P 6= ∅
3) C ∩ F 6= ∅
4) C ∪ P ⊃ F
5) P ∩ Cc 6= ∅
Soluc¸a˜o de B:
6) M ∩ F 6= ∅
7) F ∩ Cc 6= ∅
8) F ∩ P 6= ∅
9) F ⊂ M ∪ P
10) F ∩ M 6= ∅
Soluc¸a˜o de C:
A u´nica alternativa verdadeira e´ a de numero nove.
12. O artigo 34 da Constituic¸a˜o Brasileira de 1988 diz o seguinte: “A Unia˜o na˜o intervira´
nos Estados nem no Distrito Federal, exceto para:
I. Manter a integridade nacional;
II. Repelir invasa˜o estrangeira ou de unidade da Federac¸a˜o em outra”
III. ...;
a) Suponhamos que o estado do Rio de Janeiro seja invadido por tropas do estado de Sa˜o
Paulo. O texto acima obriga a Unia˜o a intervir no estado? Na sua opinia˜o, qual era a intenc¸a˜o
dos legisladores nesse caso:
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
b) Reescreva o texto do artigo 34 de modo a torna´-lo mais preciso.
Soluc¸a˜o de a:
O texto na˜o obriga a intervenc¸a˜o da federac¸a˜o.
Soluc¸a˜o de b:
A Unia˜o intervira´ nos Estados ou no Distrito (...).
13. Prove que x2 + x− 1 = 0⇒ x3 − 2x+ 1 = 0.
Soluc¸a˜o:
Se x2 + x − 1 = 0 enta˜o (x − 1)(x2 + x − 1) = 0. Como (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 2x + 1
enta˜o pode se afirmar que:
x2 + x− 1 = 0⇒ x3 − 2x+ 1 = 0
14. Prove que, para x, y e k inteiros, tem se x+ 4y = 13k ⇔ 4x+ 3y = 13(4k − y). Conclua
que 4x+ 3y e x+ 4y sa˜o divis´ıveis por 13 para os mesmos valores inteiros de x e y.
Soluc¸a˜o:
x+ 4y = 13k ⇒ 4x+ 16y = 52k
⇒ 4x+ (3y + 13y) = 52k
⇒ 4x+ 3y = 52k − 13y
⇒ 4x+ 3y = 13(4k − y)
A conclusa˜o de que x+ 4y e´ divis´ıvel por 13 e´ evidente ja´ que k e´ inteiro e:
k =
x+ 4y
13
O que obriga a x+ 4y a` divisibilidade por 13.
Analogamente se conclui que 4x+ 3y tambe´m e´ divis´ıvel por 13. Ja´ que o produto de inteiros
tambe´m e´ inteiro (3k) e a subtrac¸a˜o entre eles tambe´m (3k − y).
15. O diagrama de Venn para os conjuntos X, Y, Z decompo˜e o plano em oito regio˜es. Numere
essas regio˜es e exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunia˜o de algumas dessas regio˜es.
(Por exemplo: X − Y = 1 ∪ 2).
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a) (Xc ∪ Y c);
b) (Xc ∪ Y ) ∪ Zc;
c) (Xc ∩ Y ) ∪ (X ∩ Zc);
d) (X ∪ Y )c ∩ Z
Soluc¸a˜o de D:
Uma representac¸a˜o poss´ıvel para essas oito regio˜es e´ a seguinte.
1
2 3
4
5
6
8
7
X Y
Z
Assim:
(X ∪ Y ) = 3 ∪ 4 ∪ . . . ∪ 8
(X ∪ Y )c = (1 ∪ 2 . . . ∪ 8)− (X ∪ Y ) = 1 ∪ 2
(X ∪ Y )c ∩ Z = (1 ∪ 2) ∩ (1 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6) = 1
As demais respostas seguem a mesma lo´gica.
16. Exprimindo cada membro como reunia˜o de regio˜es numeradas, prove as desigualdades:
a) (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z);
b) X ∪ (Y ∩ Z)c = X ∪ Y c ∪ Zc
Soluc¸a˜o de A:
Nesse caso pode-se usar o diagrama do exerc´ıcio anterior.
1
2 3
4
5
6
8
7
X Y
Z
Considerando apenas o lado direito da igualdade (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) temos:
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(X ∪ Y ) ∩ Z = [(7 ∪ 8 ∪ 5 ∪ 4) ∪ (3 ∪ 8 ∪ 5 ∪ 6)] ∩ (4 ∪ 5 ∪ 6 ∪ 1)
(X ∪ Y ) ∩ Z = [(7 ∪ 8 ∪ 5 ∪ 4 ∪ 3 ∪ 6)] ∩ (4 ∪ 5 ∪ 6 ∪ 1)
(X ∪ Y ) ∩ Z = 4 ∪ 5 ∪ 6 (1)
Considerando agora o lado esquerdo:
(X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) = ((4, 5, 7, 8) ∩ (4, 5, 6, 1)) ∪ ((3, 5, 6, 8) ∩ (1, 4, 5, 6))
(X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) = (4, 5) ∪ (5, 6)
(X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) = 4, 5, 6 (2)
Comparando (1) e (2) fica provado a igualdade.
Soluc¸a˜o de B:
Ana´loga a anterior.
17. Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condic¸a˜o necessa´ria e suficientes para que se
tenha A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ C.
Soluc¸a˜o:
Para este problema novamente usaremos a imagem a seguir.
1
2 3
4
5
6
8
7
X Y
Z
Primeiro vamos calcular o lado direito da igualdade:
A ∪ (B ∩ C) = 7 ∪ 4 ∪ 8 ∪ 5 ∪ 6
e agora o lado esquerdo.
(A ∪B) ∩ C = 4 ∪ 5 ∪ 6
Para que (7∪ 4∪ 8∪ 5∪ 6) e (4∪ 5∪ 6) sejam iguais seria necessa´rio que a regia˜o 7 ∪ 8 fosse
vazia ou que: 7 ∪ 8 = 4 ou 7 ∪ 8 = 5 ou mesmo 7 ∪ 8 = 6.
Se 7 ∪ 8 for vazio enta˜o A ⊂ C. Se 7 ∪ 8 for igual a 4, 5 ou mesmo 6 tambe´m teremos A ⊂ C.
Portanto a condic¸a˜o para que a igualdade seja verdadeira e´ de que: A ⊂ C.
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18. A diferenc¸a entre conjuntos e´definida por A−B = {x|x ∈ A e x /∈ B}. Determine uma
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que se tenha A− (B − C) = (A−B)− C.
Soluc¸a˜o:
Usando a figura da questa˜o anterior teremos:
A− (B − C) = (7, 8, 4, 5) -[(3, 8, 5, 6)-(4, 5, 6, 1)]
A− (B − C) = (7, 8, 4, 5) -[(3, 8)]
A− (B − C) = (7, 4, 5) = A ∩ C
Do lado direito teˆm se:
(A−B)− C = [(7, 4, 5, 8)− (3, 8, 5, 6)]− (4, 5, 6, 1)
(A−B)− C = [(7, 4)]− (4, 5, 6, 1)
(A−B)− C = (7) Que sa˜o somente os pontos de A.
Assim para que a igualdade seja verdadeira ou 4∪5 = 7 ou 4∪5 = ∅. Em ambos os casos se
conclui que A ∩ C = ∅.
19. Prove que se um quadrado perfeito e´ par enta˜o sua raiz quadrada e´ par e que se um
quadrado perfeito e´ impar enta˜o sua raiz quadrada e´ impar.
Soluc¸a˜o:
O produto de dois nu´meros impares e´ impar.
(2k + 1) · (2q + 1) =
4kq + 2k + 2q + 1 = 2(2kq + k + q) + 1
= 2p+ 1
Assim se tomamos um n qualquer de modo que seu quadrado (n2) seja par, enta˜o n na˜o pode
ser impar. Como
√
n2 = n fica provado que a raiz de um quadrado perfeito par tambe´m e´ par.
De modo ana´logo se prova que se n2 e´ impar n tambe´m o e´.
20. Prove o teorema de Cantor: se A e´ um conjunto e P(A) e´ o conjunto das partes de A,
na˜o existe uma func¸a˜o f: A → P(A) que seja sobrejetiva.
Sugesta˜o: Suponha que exista uma tal func¸a˜o f e considere X = {x ∈ A : x /∈ f(x)}.
Soluc¸a˜o:
Essa demonstrac¸a˜o consta no livro “Matema´tica Discreta” do Edward R. Scheinerman na
pa´gina 189.
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Seja A um conjunto e seja f : A → P (A). Para mostrar que f na˜o e´ sobrejetora, devemos
achar um B ∈ P(A) (isto e´, B ⊆ A) para o qual na˜o existe a ∈ A com f(a) = B. Em outras
palavras, Be´ um conjunto que f “perde”. Para este fim, seja
B = {x ∈ A : x /∈ f(x)}
Afirmamos que na˜o existe nenhum a ∈ A com f(a) = B.
Como f(x) e´ um conjunto - na verdade, um subconjunto de A - a condic¸~ao x /∈ f(x)
tem sentido
Suponhamos, por contradic¸a˜o, que exista um a ∈ A tal que f(a) = B. Ponderamos: a ∈ B?
• Se a ∈ B, enta˜o, como B = f(a), temos a ∈ f(a). Assim, pela definic¸a˜o de B,
a /∈ f(a); isto e´ a /∈ B. ⇒⇐
• Se a /∈ B = f(a), enta˜o, pela definic¸a˜o de B, a ∈ B. ⇒⇐
Tanto a ∈ B como a /∈ B levam a contradic¸o˜es; da´ı, nossa suposic¸a˜o [existe um a ∈ A com
f(a) = B] e´ falsa e, assim, f na˜o e´ sobrejetora.
Observac¸a˜o
O livro do Scheinerman ainda traz uma ilustrac¸a˜o desta prova.
Sejam A = {1, 2, 3} e f : A→ P (A) conforme definida na tabela a seguir.
a f(a) a ∈ f(a)?
1 {1, 2} sim
2 {3} na˜o
3 {} na˜o
Ora, B = {x ∈ A : x /∈ f(x)}. Como 1 ∈ f(1), mas 2 /∈ f(2) e 3 /∈ f(3), temos B = {2, 3}.
Note que na˜o ha´ a ∈ A com f(a) = B
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correc¸a˜o.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse: www.number.890m.com
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
A MATEMA´TICA DO ENSINO ME´DIO
A matema´tica do Ensino me´dio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto Ce´sar Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira.
2 Nu´meros Naturais
1. Dado o numero natural a, seja Y ⊂ N um conjunto com as seguintes propriedades:
(1) a ∈ Y;
(2) n ∈ Y ⇒ n + 1 ∈ Y.
Prove que Y contem todos os nu´meros naturais maiores do que ou iguais a a.
Soluc¸a˜o:
Considere um conjunto X = Ia∪ Y onde Ia = {n ∈ N;n < a}. Se provarmos que X = N,
enta˜o logicamente Y = {n ∈ N;n ≥ a}. Como a primeira demonstrac¸a˜o e´ mais simples vamos
focar nela.
Passo base:
• Se 1 < a enta˜o 1∈Ia o que implica em 1 ∈ X;
• Se 1 ≥ a enta˜o 1 ∈ Y que implica que 1 ∈ X.
Em todo caso 1 ∈ X.
Passo indutivo:
Supondo que k ∈ N enta˜o ou k ∈ Ia ou k ∈ Y .
• Se k ∈ Ia enta˜o k < a que implica que:
◦ k + 1 ≥ a, nesse caso k + 1 ∈ Y;
◦ ou enta˜o k + 1 < a, nesse caso k + 1 ∈ Ia.
Em todo caso k + 1 ∈ X.
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
• Se k ∈ Y, enta˜o k ≥ a ⇒ k + 1 > a ∈ Y que implica novamente que k + 1 ∈ X,
pois Y ⊂ X.
Como o numero 1 e todos os seus sucessores pertencem a X enta˜o X = N. O que conduz a
conclusa˜o de que Y = {n ∈ N;n ≥ a}.
2. Use o exerc´ıcio anterior para provar que 2n + 1 < 2n em seguida, que n ≤ 2 < 2n para
todo n ≤ 5.
Soluc¸a˜o de A:
Essa proposic¸a˜o simplesmente na˜o ocorre para n = 2 (verifique!). No entanto para n ≥ 3 isso
ocorre. Vamos prova-la pela induc¸a˜o ja´ que pro outro caso isso na˜o seria poss´ıvel.
Passo base:
Para n = 3 temos:
2(3) + 1 < 23
Logo a desigualdade e´ valida para n = 3.
Passo indutivo:
Se a desigualdade e´ verdadeira para n = k, enta˜o:
2k + 2 + 1 = 2k + 2
2(k + 1) + 1 = 2k + 2
Acontece que 2k + 2 < 2k+1. Veja:
2k + 2 < 2k+1
2 < 2k+1 − 2k
2 < 2k(2− 1)
2 < 2k
Como n = k, enta˜o k na˜o pode ser menor que treˆs. O que prova essa ultima desigualdade.
Assim:
2(k + 1) + 1 = 2k + 2 < 2k+1
⇒ 2(k + 1) + 1 < 2k+1
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Completando o passo indutivo e tambe´m a demonstrac¸a˜o.
Soluc¸a˜o de B:
Passo base:
Para n = 5 temos:
52 < 25
Logo a desigualdade e´ valida para n = 5.
Passo indutivo:
Se a formula e verdadeira para n = k, enta˜o:
(k + 1)2 = (2k + 1) + k2 ≤ 2k + k2
Vamos provar que 2k + k2 < 2k+1.
2k + k2 < 2k+1
k2 < 2k+1 − 2k
k2 < 2k(2− 1)
k2 < 2k
Essa ultima inequac¸a˜o e verdadeira por hipo´tese assim:
(k + 1)2 < 2k + k2 < 2k+1
Que simplificando fica:
(k + 1)2 < 2k+1
O que completa o passo indutivo e a demonstrac¸a˜o.
3. Complete os detalhes da seguinte demonstrac¸a˜o do Principio da Boa ordenac¸a˜o:
Seja A⊂ N um conjunto que na˜o possui um menor elemento. Considere o conjunto X formado
pelos nu´meros naturais n tais que 1, 2,... na˜o pertence a A. Observe que 1 ∈ X e, ale´m disso, se
n ∈ X enta˜o todos os elementos de A, conclua que n + 1 ∈ X logo, por induc¸a˜o, segue-se que X
= N, portanto A e vazio.
Soluc¸a˜o:
O enunciado do problema sugere que N = X∪A. Mostrar que X = N seria simplesmente
aplicar o Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o (PBO). No entanto o exerc´ıcio e´ de induc¸a˜o portanto
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
seguiremos os dois passos:
Passo base:
1 ∈ X por hipo´tese.
Passo indutivo:
Tomando k ∈ X enta˜o k + 1 ∈ A ou enta˜o k + 1 ∈ X.
Contudo na˜o pode ocorrer de k + 1 ∈ A pois pelo PBO A teria de ter um menor elemento.
O que iria contrariar a tese. Portanto, k + 1 ∈ N. Como 1 e todo os seus sucessores pertencem
a X enta˜o se conclui que X = N e que A e´ vazio.
4. Prove por induc¸a˜o que
(
n+ 1
n
)n
≤ n. Para todo n ≥ 3 e conclua da´ı que a sequencia
1, 2
√
2, 3
√
3, 4
√
4, ... e decrescente a partir do terceiro termo.
Soluc¸a˜o de A:
Passo base:
Para n = 3 temos:(
3 + 1
3
)3
< 3
O que e´ verdadeiro.
Passo indutivo:
O que desejamos agora e´ provar que a desigualdade(
(k + 1) + 1
k + 1
)k+1
< k + 1
Ocorre que (
(k + 1) + 1
k + 1
)k+1
=
(
k + 2
k + 1
)k
·
(
k + 2
k + 1
)
enta˜o podemos escrever a desigualdade como:(
k + 2
k + 1
)k
·
(
k + 2
k + 1
)
< k + 1
(k + 2)k+1
(k + 1)k+1
< k + 1
(k + 2)k+1 < (k + 1)k+1(k + 1) = (k + 1)k+2
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Simplificando:
(k + 2)k+1 < (k + 1)k+2
O que evidencia a afirmac¸a˜o, concluindo que:
(
(k + 1) + 1
k + 1
)k+1
< k + 1
Soluc¸a˜o de B:
Sabemos que:(
n+ 1
n
)n
< n
⇒ n+ 1
n
< n1/n
⇒ n+ 1 < n1/n · n
⇒ n+ 1 < n
n+ 1
n
⇒
(n+ 1) nn+ 1
1/n < n1/n
⇒ (n+ 1)
n
n2 + n < n1/n⇒ (n+ 1)
1
n+ 1 < n1/n
Essa ultima desigualdade nos leva a conclusa˜o de que a sequeˆncia e´ decrescente a partir do
3◦ termo.
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
5. Prove por induc¸a˜o que:
1 + 22 + 33 + ...+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Soluc¸a˜o:
O passo base pode ser facilmente demonstrado.
Passo indutivo:
1 + 22 + 32 + . . .+ k2 + (k + 1)2 =
k(k + 1)(2k + 1)
6
+ (k + 1)2
=
k(k + 1)(2k + 1)
6
+ (k + 1)2
=
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
6
=
(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
6
que implica em:
1 + 22 + 32 + . . .+ k2 + (k + 1)2 =
(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
6
Completando o passo indutivo.
6. Critique a seguinte argumentac¸a˜o: Quer-se provar que todo numero natural e´ pequeno.
Evidentemente, 1 e´ um numero pequeno. Ale´m disso, se n for pequeno, n+ 1 tambe´m sera, pois
na˜o se torna grande um numero pequeno simplesmente somando-lhe uma unidade. Logo, por
induc¸a˜o, todo numero natural e pequeno.
Soluc¸a˜o:
O problema aqui ocorreria no passo indutivo. Pois quando tomamos um n natural “pequeno”
temos de nos perguntar, pequeno em relac¸a˜o a que? Se em relac¸a˜o ao maior de todos os nu´meros
naturais pequenos enta˜o n+ 1 seria grande?
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
7. Use a distributividade para calcular (m + n)(1 + 1) de duas maneiras diferentes e em
seguida use a lei do corte para concluir que m+ n = n+m.
Soluc¸a˜o:
1◦ Forma: Usamos a distributividade a direita.
(m + n)(1 + 1) = m(1 + 1) + n(1 + 1) = m + m + n + n = 2m + 2n;
2◦ Forma: Usamos a distributividade a esquerda.
(m + n)(1 + 1) = 1(m + n) + 1(m + n) = m + n + m + n = 2m + 2nm + m + n + n =
m + n + m + n
Usando a associatividade
m + (n + n) + m = m + n + m + n
(m + (n + n)) + m = m + n + m + n
((m + n) + n) + m = m + n + m + n
(m + n) + (n + m) = (m + n) + (m + n)
Finalmente usando a Lei do corte (A + B = A + C ⇒ B = C) enta˜o:
n + m = m + n.
8. Seja X ⊂ N um conjunto na˜o vazio, com a seguinte propriedade: para qualquer n ∈ N, se
todos os nu´meros naturais menores do que n pertencem a X. Prove que X = N.
Soluc¸a˜o:
Como o pro´prio livro diz demonstrac¸o˜es que envolvem o PBO sa˜o normalmente feitas por
absurdo. Enta˜o suponha por absurdo que X = N logo ∃A ⊂ N onde N = X ∪ A. Assim pelo
PBO ∃ a = minA e X = {n ∈ N; n < a}. No entanto considerando a hipo´tese a ∈ X, o que gera
o absurdo. Assim A = {} e enta˜o X = N.
9. Seja P(n) uma propriedade relativa ao numero natural n. Suponha que P(1), P(2) sa˜o
verdadeiras e que, para qualquer n ∈ N, a verdade de P(n) e P(n + 1) implica a verdade de P(n
+ 2). Prove que P(n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Soluc¸a˜o:
Considere A como o conjunto de elementos a ∈ N, tal que P(a) seja falsa. Suponha por
absurdo que A 6= ∅. Nesse caso A deve ter um elemento mı´nimo (min(A)) que chamaremos de
a1. Como P(1) e P(2) sa˜o verdadeiras enta˜o a1 > 2 e´ como a1 e´ elemento mı´nimo de A enta˜o
P(a1 − 2) e P(a1 − 1) tambe´m sa˜o verdadeiras. Entretanto como P(n) e P(n + 1) implicam em
P(n + 2) verdadeira enta˜o P(a1−2) e P(a1−1) implica em P(a) verdadeiro, o que e´ um absurdo,
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
pois a1 ∈ A
10. Use induc¸a˜o para provar que 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 =
1
4
n2(n+ 1)2
Soluc¸a˜o:
Base:
A igualdade se verifica para 1.
1 =
1
4
· 12(1 + 1)2
1 = 1
Passo indutivo:
Considerando a proposic¸a˜o verdadeira para k enta˜o:
13 + 23 + 33 + . . .+ k3 + (k + 1)3 =
1
4
· k2(k + 1)2 + (k + 1)3
Operando com o lado direito da igualdade acima facilmente se chega a´:
1
4
· k2(k + 1)2 + (k + 1)3 = k
2(k + 1)2 + 4(k + 1)3
4
e apo´s certa a´lgebra:
k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3
4
=
1
4
(k + 1)2(k + 2)2
concluindo o passo indutivo.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correc¸a˜o.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse: www.number.890m.com
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A MATEMA´TICA DO ENSINO ME´DIO
A matema´tica do Ensino me´dio (volume 1)
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Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto Ce´sar Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira.
3 Nu´meros Cardinais
1. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. A imagem inversa por f de um conjunto B ⊂ Y e o
conjunto f−1(B) = {X ∈ x; f(x) ∈ B}. Prove que se tem sempre f−1(f(A)) ⊃ A para todo
A ⊂ X.e f(f−1(B)) ⊂ B para todo B ⊂ Y . Prove tambe´m que f e´ injetiva se, e somente se,
f−1(f(A)) = A para todo A ⊂ X. Analogamente, mostre que f e´ sobrejetiva se, e somente se,
f(f−1(B)) = B para todo B ⊂ Y .
Soluc¸a˜o
• Prova de que f−1(f(A)) ⊃ A para todo A ⊂ X.
Por definic¸a˜o temos que f−1(f(A)) = {x ∈ X; f(x) ∈ f(A)}. Assim tomando um x ∈
A ⇒ f(x) ∈ f(A). Assim x ∈ f−1(f(A)). Ou seja, dado qualquer elemento contido
em A ele tambe´m estara´ contido em f−1(f(A)), concluindo que f−1(f(A)) ⊃ A
• Prova de que f(f−1(B)) ⊂ B para todo B ⊃ Y.
Por definic¸a˜o temos que f(f−1(B)) = {x ∈ X; f(x) ∈ B}. Isso implica que qualquer
elemento de f(f−1(B)) pertencera´ tambe´m a B. Logo f(f−1(B)) ⊂ B.
• Prova de que f e´ injetiva ⇔ f−1(f(A)) = A para todo A ⊂ X
(⇒) A inclusa˜o de A em f−1(f(A)) ja´ foi demonstrada no primeiro item. Resta agora
mostrar que A ⊃ f−1(f(A)) e com isso f−1(f(A)) = A.
Suponha por absurdo que exista um x ∈ f−1(f(A)), mas que na˜o pertenc¸a a A.
Como x ∈ f−1(f(A)) enta˜o f(x) ∈ f(A). E como f e´ uma func¸a˜o injetora existe um
a ∈ A tal que, f(x) = f(a). Isso resulta enta˜o em um absurdo pois se f(x) = f(a) e f
e´ injetora isso implicaria em x = a, e por hipo´tese x /∈ A. Logo conclui-se que se x ∈
f−1(f(A)) enta˜o x ∈ A e portanto A ⊃ f−1(f(A)).
Por fim se A ⊃ f−1(f(A)) e f−1(f(A)) ⊂ A enta˜o A = f−1(f(A)).
(⇐) ???
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
• Prova de que f e´ sobrejetiva ⇔ f−1(f(B)) = B para todo B ⊂ X.
???
2. Prove que a func¸a˜o f : X → Y e´ injetiva se, e somente se, existe uma func¸a˜o g : Y → X
tal que g(f(x)) = x para todo x ∈ X.
Soluc¸a˜o:
(⇒)
Se f : X → Y e´ uma func¸a˜o injetiva enta˜o existe uma func¸a˜o g : Y → X.
Tomando agora um y ∈ Y e um x ∈ X enta˜o o par (y, x) ∈ g e f(x) = y, pois f e´ injetiva.
Sendo assim g(f(x)) = g(y) = x para todo x ∈ X. C.Q.D..
(⇐)
Se g : Y → X e´ uma func¸a˜o, enta˜o existe uma func¸a˜o f : X → Y , onde (x, y) ∈ f .
Supondo por absurdo que f na˜o seja injetora, enta˜o existe um x e um x′ pertencentes a X
tal que (x, y) ∈ f e (x′, y) ∈ f logo, g(f(x′) = g(y) = x. Mas, como por hipo´tese g(f(x)) = x e
x′ 6= x temos enta˜o um absurdo. Logo f e´ injetora. C.Q.D.
3. Prove que a func¸a˜o f : X → Y e´ sobrejetiva se, e somente se, existe uma func¸a˜o h : Y ⇒ X
tal que f(h(y)) = y para todo y ∈ Y .
Soluc¸a˜o:
(⇒)
Se f : X → Y e uma func¸a˜o enta˜o existe uma func¸a˜o h : Y → X.
Dado tambe´m um x ∈ X existe um y ∈ Y de modo que o par (x, y) ∈ f . E como h e´ uma
func¸a˜o de X e Y enta˜o f(h(y)) = f((y, x)) = f(x) = y. C.Q.D.
(⇐)
Se existe uma func¸a˜o h : Y → X enta˜o existe uma func¸a˜o f : X → Y .
Tomando por absurdo que f na˜o seja sobrejetora, enta˜o existe um y ∈ Y onde nenhum x ∈ X
resulte em (x, y) ∈ h. O que e´ um absurdo, pois por hipo´tese f(h(y)) = y para todo y ∈ Y .
4. Dada a func¸a˜o f : X → Y , suponha que g, h : Y → X sa˜o func¸o˜es tais que g(f(x)) = x
para todo x ∈ X e f(h(y)) = y para todo y ∈ Y . Prove que g = h.
Soluc¸a˜o:
Para todo y ∈ Y temos
h(y) = x (1)
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Por hipo´tese
g(f(x)) = x (2)
o que implica em
g(f(h(y))) = h(y) (3)
Como f : X → Y de (2) podemos concluirque existe um y′ ∈ Y tal que
g(y
′
) = x (4)
de modo que por (1) e (4) podemos dizer que
h(y) = g(y
′
) (5)
• Prova de que y = y′ .
Supondo por absurdo que y 6= y′ , enta˜o atrave´s da igualdade imediatamente acima conclu´ımos
que f(x) 6= y. Ou seja, existe enta˜o um y ∈ Y tal que nenhum x ∈ X implique em g(f(x)) = x.
O que contraria o enunciado do problema. Portanto, y = y
′
e assim (por meio da equac¸a˜o 5)
temos que g = h. C.Q.D.
5. Defina uma func¸a˜o sobrejetiva f : N → N tal que, para todo n ∈ N, a equac¸a˜o f(x) = n
possui uma infinidade de ra´ızes x ∈ N. (Sugesta˜o: todo nu´mero natural se escreve, de modo
u´nico sob a forma 2a · b, onde a, b ∈ N e b e´ ı´mpar.)
Soluc¸a˜o:
A func¸a˜o pedida e´ f : N→ N com f(n) = a sendo n = 2a · b com b inteiro e ı´mpar.
• Prova de que a func¸a˜o e´ sobrejetora.
Isso e´ evidente, pois como a e´ qualquer, enta˜o f e´ sobrejetora.
• Prova de que a func¸a˜o possui infinitas ra´ızes.
Se f(n) = a enta˜o f(20 · b) = 0 para todo valor de b. Assim, f possui infinitas ra´ızes.
f(20 · 1) = 0
f(20 · 3) = 0
f(20 · 5) = 0
...
6. Prove, por induc¸a˜o, que se X e´ um conjunto finito com n elementos enta˜o existem n!
bijec¸o˜es f : X → X.
Soluc¸a˜o:
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
(Base da induc¸a˜o) Para n = 1 enta˜o X e´ um conjunto unita´rio e, portanto, so´ pode ter
uma bijec¸a˜o (n! = 1). Provando a base da induc¸a˜o.
(Passo indutivo) Seja X um conjunto com n = k+ 1 elementos enta˜o a func¸a˜o f tera´ k+ 1
elementos no domı´nio e no contradomı´nio.
Dm Cm
a1
a2
...
ak+1
a1
a2
...
ak+1
Fixando o elemento a1 do Dm podemos relaciona´-lo a qualquer elemento do Cm, sendo assim,
temos k + 1 possibilidades para f(a1): f(a1) = a1, ou f(a1) = a2,...,ou f(a1) = ak+1.
Feito enta˜o essa relac¸a˜o (um elemento do Dm com um elemento do Cm), sobrara˜o k elementos
no Dm e no Cm a serem relacionados de modo a formarem uma bijec¸a˜o. Por hipo´tese de induc¸a˜o
o numero de bijec¸o˜es que podem ser feitos com esses k elementos e´ igual a k!.
Finalmente, aplicando o princ´ıpio fundamental da contagem teremos (k+ 1) · k! = (k+ 1)! de
bijec¸o˜es que podem ser constru´ıdas. Concluindo a prova da induc¸a˜o.
7. Qual o erro da seguinte demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o:
Teorema: Todas as pessoas teˆm a mesma idade.
Prova: Provaremos por induc¸a˜o que se X e´ um conjunto de n (n ≥ 1) pessoas, enta˜o todos
os elementos de X teˆm a mesma idade. Se n = 1 a afirmac¸a˜o e´ evidentemente verdadeira pois se
X e´ um conjunto formado por uma u´nica pessoa, todos os elementos de X teˆm a mesma idade.
Suponhamos agora que a afirmac¸a˜o seja verdadeira para todos os conjuntos de n elementos.
Consideremos um conjunto com n+1 pessoas, {a1, a2, · · · , an, an+1}. Ora, {a1, a2, · · · , an} e´ um
conjunto de n pessoas, logo a1, a2, · · · , an teˆm a mesma idade. Mas {a2, · · · , an, an+1} tambe´m
e´ um conjunto de n elementos, logo todos os seus elementos, em particular an e an+1, teˆm a
mesma idade. Mas de a1, a2, · · · , an teˆm a mesma idade de an e an+1 teˆm a mesma idade, todos
os elementos de {a1, a2, · · · , an, an+1} teˆm a mesma idade, conforme quer´ıamos demonstrar.
Soluc¸a˜o:
O passo indutivo, no processo de prova por induc¸a˜o, e´ a demonstrac¸a˜o da condic¸a˜o.
P (n)⇒ P (n+ 1)
Entretanto, para n = 1 a implicac¸a˜o e´ falha
P (1)⇒ P (2)
25
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
pois, a induc¸a˜o e´ feita sobre o conjunto {a2, ..., an+1} o qual a1 na˜o pertence. E´ a desconsid-
erac¸a˜o desse fato que acarreta o erro na induc¸a˜o.
8. Prove, por induc¸a˜o, que um conjunto com n elementos possui 2n subconjuntos.
Soluc¸a˜o1:
• Provando para 1.
Seja A um conjunto com 1 elemento (A = {a1}), enta˜o P(A) = {∅, a1} ⇒= 21.
• Provando para n = k + 1.
Precisamos provar que se B e´ um conjunto com n+1 elementos enta˜o P(B) teˆm 2k+1 elementos.
Se n(B) = k + 1 enta˜o ele pode ser escrito como
B = A ∪ {ak+1}
Ja´ que por hipo´tese de induc¸a˜o n(A) = k. Assim, para cada subconjunto S de A existem 2
subconjuntos de B: S e S ∪ {ak+1}. Logo n(P(B)) = 2 o que implica em n(P(A)) = 2 ·2k = 2k+1.
Obs: A notac¸a˜o n(B) e´ usada para denotar o numero de elementos do conjunto B.
9. Dados n (n ≥ 2) objetos de pesos distintos, prove que e´ poss´ıvel determinar qual o mais
leve e qual o mais pesado fazendo 2n− 3 pesagens em uma balanc¸a de pratos. E´ esse o nu´mero
mı´nimo de pesagens que permitem determinar o mais leve e o mais pesado?
Soluc¸a˜o da primeira parte:
Para n = 2 e´ obvio. Colocamos um objeto em cada prato da balanc¸a e observamos que com
apenas uma (2 · 2− 2 = 1) pesagem e´ poss´ıvel perceber qual o mais pesado e o mais leve.
Se tivermos n = k+1 objetos enta˜o podemos separar um deles em 2n−3 pesagens, descobrimos
qual o mais pesado e qual o mais leve entre os k objetos restantes. Em seguida comparamos o
objeto que foi separado inicialmente com o objeto mais pesado dos k objetos ja´ pesados. Agora
temos duas possibilidades.
• O objeto separado inicialmente e´ mais pesado.
Nesse caso ja´ e´ poss´ıvel distinguir o objeto mais leve e o mais pesado com apenas (2n−3)+1 =
2(n− 1) pesagem.
Contudo, como 2(n− 1) < 2(n+ 1)− 3 enta˜o fica provado a afirmac¸a˜o.
• O objeto separado inicialmente e´ mais leve.
1Soluc¸a˜o retirada das notas de aula da professora Anjolina Grisi de Oliveira da UFPE em 2007. Dispon´ıvel
em: http://www.cin.ufpe.br/ if670/1-2007/apinducao.pdf
26
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Nesse caso devemos realizar mais uma pesagem, pois o objeto separado pode ser o mais leve.
Assim, nesse caso teremos realizado (2n− 3) + 2 = 2n− 1 pesagens.
Como 2n− 1 = 2(n+ 1)− 3 enta˜o fica novamente provado que 2n− 3 e´ um numero suficiente
de pesagens para determinar o objeto mais leve e o mais pesado.
Soluc¸a˜o da segunda parte
Na˜o. Como vemos na prova do passo indutivo pode ocorrer de conseguirmos determinar o
objeto mais leve e mais pesado com um numero maior de pesagens. Entretanto, 2n − 3 e´ o n◦
mı´nimo que garante o resultado para qualquer situac¸a˜o.
10. Prove que, dado um conjunto com n elementos, e´ poss´ıvel fazer uma fila com seus
subconjuntos de tal modo que cada subconjunto da fila pode ser obtido a partir do anterior pelo
acre´scimo ou pela supressa˜o de um u´nico elemento.
Soluc¸a˜o:
Para n = 1 e´ obvio.
Suponhamos enta˜o um conjunto X com n elementos dispostos numa fila tal como e´ descrito
como no enunciado.
Tomamos agora um (n + 1) elemento e o acrescentamos a fila, na ordem inversa, a cada
subconjunto da fila anterior, comec¸ando com o u´ltimo. Assim teremos uma fila com todos os
elementos de X, dispostos como descritos no enunciado.
11. Todos os quartos do Hotel Georg Cantor esta˜o ocupados, quando chegam os trens T1,
T2, ..., Tn, ... (em quantidade infinita), cada um deles com infinitos passageiros. Que deve fazer
o gerente para hospedar todos?
Soluc¸a˜o2:
No hotel, cujos quartos sa˜o Q1, Q2, ..., Qn, ..., passe o ho´spede do quarto Qn para o quarto
Q2n−1. Assim, todos os quartos de nu´mero par ficara˜o vazios e os de numero ı´mpar, ocu-
pados. Em seguida, numere os treˆs assim, T1, T3, T5, T7, ... Os passageiros do trem Ti sera˜o
pi1, pi2, pi3, ..., pik, ..., de modo que pik e´ o k-e´simo passageiro de Ti. Finalmente, complete a
lotac¸a˜o do hotel alojando o passageiro pik no quarto de nu´mero 2
k · i. Como todo nu´mero par
se escreve, de modo u´nico, sob a forma 2k · i com k ∈ N e´ impar, havera´ um hospede apenas em
cada quarto.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correc¸a˜o.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse: www.number.890m.com
2Soluc¸a˜oretirada da pa´gina do professor Luciano Monteiro de Castro da UFRN
(http://www.cerescaico.ufrn.br/matematica/arquivos/capmem/cardinais.pdf)
27
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
A MATEMA´TICA DO ENSINO ME´DIO
A matema´tica do Ensino me´dio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto Ce´sar Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira.
4 Nu´meros Reais
1. Dados os intervalos A = [−1, 3), B = [1,4], C = [2,3), D = (1,2] e E = (0,2] dizer se 0
pertence a ((A−B)−(C∩D))−E.
Soluc¸a˜o
Observe os segmentos:
−1 3
1 4
Assim A − B = [−1,1). Do mesmo modo se conclui que C∩D = (1,2]. Enta˜o (A−B) −
(C∩D) e´ o pro´prio A − B como se mostra na figura a seguir:
−1 1
1 2
Por fim temos (A−B)−E
−1 1
0 2
Como 0 ∈ A−B e 0 /∈ E ∴ 0 ∈ ((A−B)−(C∩D))−E.
2. Verifique se cada passo na soluc¸a˜o das inequac¸o˜es abaixo esta correto:
5x+ 3
2x+ 1
> 2 ⇒ 5x+ 3 > 4x+ 2 ⇒ x > −1
2x2 + x
x2 + 1
< 2 ⇒ 2x2 + x < 2x2 + 2 ⇒ x < 2
28
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Soluc¸a˜o
O processo para resolver inequac¸o˜es fraciona´rias e´ o seguinte:
5x+ 3
2x+ 1
> 2
5x+ 3− 2(2x+ 1)
2x+ 1
> 2
x+ 1
2x+ 1
> 0
Resolvendo o numerador teremos: x+ 1 > 0⇒ x > −1.
Resolvendo o denominador teremos: 2x+ 1 > 0⇒ x > −0.5.
−
−
+
+
−
−
+ x+ 1
+ 2x+ 1
+ x+12x+1
1 0.5
Chegando a conclusa˜o de que x > −0.5 ou x < −1. O que confirma a suspeita de que as
implicac¸o˜es da letra a esta˜o erradas. Isso porque ela assume que 2x + 1 seja sempre maior que
zero para todo valor de x ∈ R. A segunda implicac¸a˜o no entanto e´ verdadeira uma vez que x2 +1
e´ de fato maior que zero para todo x ∈ R.
3. Seja a, b, c, d > 0 tais que
a
b
<
c
d
. Mostre que
a
b
<
a+ c
b+ d
<
c
d
Soluc¸a˜o
ad < bc
ad+ ab < bc+ ab
a(d+ b) < b(c+ a)
a
b
<
c+ a
d+ b
ad < bc
ad+ cd < bc+ cd
29
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
d(a+ c) < c(b+ d)
a+ c
b+ d
<
c
d
Das duas desigualdades anteriores e do fato de que
a
b
<
c
d
resulta que:
a
b
<
c+ a
d+ b
<
c
d
Uma pergunta que pode surgir e´: Como se soube que devia se somar ab na primeira desigual-
dade ou cd na segunda?
A resposta para isso e´ bem simples. Como ja´ sabemos o resultado fica fa´cil. Por exemplo,
queremos provar que:
a
b
<
c+ a
d+ b
<
c
d
Do lado esquerdo temos:
a
b
<
c+ a
d+ b
Onde podemos proceder do seguinte modo:
a(d+ b) < (c+ a)b
ad+ ab < bc+ ab
Assim percebemos que para provar o lado esquerdo precisamos somar ab em ambos os lados.
4. Qual e´ a aproximac¸a˜o da raiz cu´bica de 3 com precisa˜o de uma casa decimal.
Soluc¸a˜o
Como a precisa˜o e´ de uma u´nica casa decimal a forma mais simples de se resolver o problema
e´ por inspec¸a˜o, que nesse caso e´ 1,4. Outro me´todo e´ por meio da formula de Newton (pa´g. 163).
5. Ao terminar um problema envolvendo radicais, os alunos sa˜o instados a racionalizar o
denominador do resultado. Por que?
Soluc¸a˜o
Segundo o BLOG MANTHANO o costume de racionalizar os denominadores das frac¸o˜es
remonta a e´poca em que na˜o existia calculadoras, ou seja, era uma questa˜o operacional; que
facilitava os ca´lculos manuais. Considerando a frac¸a˜o
1√
2
e sua forma ja´ racionalizada
√
2
2
30
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
e´ muito mais simples por meio desta ultima encontrar uma representac¸a˜o decimal para estas
quantidades. Isso porque e´ muito mais fa´cil realizar a divisa˜o
1.4142
2
do que
1
1.4142
.
Para mais detalhes consulte o link:
http://manthanos.blogspot.com.br/2011/03/porque-racionalizar-o-
denominador.html
6. Considere todos os intervalos da forma
[
0,
1
n
]
. Existe um numero em comum entre todos
estes intervalos? E se forem tomados intervalos aberto?
Soluc¸a˜o
O zero pertence a todos os intervalos. No entanto se considerarmos os intervalos abertos e
tomarmos n ∈
(
0,
1
k
)
com k > n, tem se que n /∈
(
0,
1
n
)
. Logo na˜o existe um n comum a
todos esses intervalos.
7. Considere um numero racional m/n, onde m e n sa˜o primos entre si. Sob que condic¸o˜es
este numero admite uma representac¸a˜o decimal finita? Quando a representac¸a˜o e´ uma dizima
perio´dica simples?
Soluc¸a˜o
Nesse caso aplica-se as seguintes regras:
• Se n e´ uma potencia de 10 enta˜o m/n admite uma representac¸a˜o decimal finita.
• Se n no entanto for primo com 10 enta˜o m/n admite uma representac¸a˜o por meio de
uma dizima perio´dica simples.
8. O numero 0, 123456789101112131415... e´ racional ou irracional?
Soluc¸a˜o
Como a sequencia de nu´meros depois da virgula na˜o e´ perio´dica o numero e´ irracional.
9. Utilize a interpretac¸a˜o geome´trica de modulo para resolver as equac¸o˜es e inequac¸o˜es abaixo:
a) |x− 1| = 4
b) |x+ 1| < 2
31
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
c) |x− 1| < |x− 5|
d) |x− 2|+ |x+ 4| = 8
e) |x− 2|+ |x+ 4| = 1
Soluc¸a˜o
a) |x− 1| = 4
|x− 1| = 4⇒ x− 1 = 4 ou 1− x = 4 enta˜o x = 5 ou x = 3.
b) |x+ 1| < 2
|x+ 1| < 2⇔ −2 < x+ 1 < 2⇒ −3 < x < 1
c) |x− 1| < |x− 5|
|x− 1| < |x− 5| · 1
|x− 1|
|x− 5| < 1∣∣∣∣x− 1x− 5
∣∣∣∣ < 1⇔ −1 < x− 1x− 5 < 1
Para resolver a primeira inequac¸a˜o faremos o seguinte:
−1 < x− 1
x− 5
x− 1
x− 5 > −1
x− 1
x− 5 +
x+ 5
x+ 5
> 0
x− 1 + (x+ 5)
x− 5 > 0
2x+ 6
x− 5 > 0
Cuja desigualdade ocorre para x > 5 e x < 3.
Ja´ a segunda inequac¸a˜o faremos assim:
x− 1
x− 5 < 1
32
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
(−1) · x− 1
x− 5 < 1 · (−1)
1− x
x− 5 > −1
1− x
x− 5 +
x− 5
x− 5 > 0
1− x+ (x− 5)
x− 5 > 0
1− x+ x− 5
x− 5 > 0
−4
x− 5 > 0
Cuja soluc¸a˜o ocorre somente para x < 5 (basta olhar pro denominador). Assim fazendo a
intercessa˜o entre as soluc¸o˜es encontramos como soluc¸a˜o a condic¸a˜o de que x < 3.
d) Nesse caso procedemos da seguinte forma:
|x− 2|+ |x+ 4| =
{
x− 2 + |x+ 4| = 8
−(x− 2) + |x+ 4| = 8
De cada equac¸a˜o acima ainda tem-se:
x− 2 + |x+ 4| =
{
x− 2 + x+ 4 = 2x+ 2 = 8
x− 2− (x+ 4) = −6 6= 8
e tambe´m:
2− x+ |x+ 4| =
{
2− x+ x+ 4 = 6 6= 8
2− x− x− 4 = −2x− 2 = 8
Dos dois u´ltimos sistemas percebemos que as u´nicas soluc¸o˜es poss´ıveis veˆm de 2x+ 2 = 8⇒
x = 3 e de −2x− 2 = 8⇒ x = −5.
De fato testando estes valores temos:
|(−5)− 2|+ |(−5) + 4| = | − 7|+ | − 1| = 8
|(3)− 2|+ |(3) + 4| = |1|+ |7| = 8
33
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Assim a soluc¸a˜o para a equac¸a˜o seria: x = −5 e x = 3.
e) Procedendo da mesma forma que na questa˜o anterior chega-se a conclusa˜o de que esta
equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o.
10. Sejam a e b nu´meros reais na˜o negativos. Mostre que:
(
a+ b
2
)2
<
a2 + b2
2
Interprete geometricamente esta desigualdade.
Soluc¸a˜o
a2 + b2
2
−
(
a+ b
2
)2
=
a2 + b2
2
− a
2 + 2ab+ b2
4
=
a2 − 2ab+ b2
4
=
(
a− b
2
)2
> 0.
Portanto
a2 + b2
2
>
(
a+ b
2
)2
11. Sabendo que os nu´meros reais x, y satisfazem as desigualdades
1, 4587 < x < 1, 4588 e 0, 1134 < y < 0, 1135, teˆm-se os valores exatos de x e y ate´ mile´simos.
Que grau de precisa˜o, a partir da´ı, podemos ter para o valor xy? Determine esse valor aproxi-
mado. Como proceder´ıamos para obter um valor aproximado de x/y? Qual o grau de precisa˜o
encontrado no caso do quociente?
Soluc¸a˜o
Tendo 1, 4587 < x < 1, 4588 e 0, 1134 < y < 0, 1135 multiplicando termo a termo temos:
0.16541 < xy < 0.16557. Perceba que dentro deste intervalo podemos determinar com certeza
que xy= 0.165 com erro inferior a um de´cimo de mile´simo.
De forma parecida chegamos que 12.851 <
x
y
< 12.864 onde determinamos que
x
y
= 12.8 com
erro inferior a um cente´simo.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correc¸a˜o.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse: www.number.890m.com
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
A MATEMA´TICA DO ENSINO ME´DIO
A matema´tica do Ensino me´dio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto Ce´sar Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira.
5 Func¸o˜es Afins
1. Quando dobra o percusso em uma corrida de ta´xi, o custo da nova corrida e´ igual ao dobro,
maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida original?
Soluc¸a˜o:
Seja x o valor da bandeirada e y o valor por Km percorrido enta˜o o custo (C) sera´:
C = x + ky; Onde k e´ uma constante.
Se dobra´ssemos o percusso enta˜o o custo seria:
C = x + 2ky
Se no entanto dobra´ssemos o custo:
2C = 2(x+2ky) = 2x + 4ky
Como 2x + 4ky > x + 2ky enta˜o conclui-se que e´ menor que o dobro.
2. A escala da figura abaixo e´ linear. Calcule o valor correspondente ao ponto assinalado.
17 59
Soluc¸a˜o:
Graduamos a reta do seguinte modo:
17 59
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
Agora fazemos:
35
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
59− 17
8− 0 =
x− 17
3− 0
Onde se conclui que x = 41.
3. A escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas ma´ximas e minimas em
Nova Iguac¸u. A correspondeˆncia com a escala Celsius e´ a seguinte:
N C
0 18
100 43
Em que temperatura ferve a a´gua na escala N?
Soluc¸a˜o:
C N
018
10043
100 x
De acordo com o diagrama acima devemos fazer:
43− 18
100− 0 =
100− 43
x− 100
Onde se conclui que x = 328◦.
4. Uma caixa d’a´gua de 1000l tem um furo por onde escoa a´gua a uma vaza˜o constante. Ao
meio dia ela foi cheia e as 6 da tarde do mesmo dia ela tinha apenas 850l. Quando ficara´ pela
metade?
Soluc¸a˜o:
Vamos pensar do seguinte modo.
As zero horas a caixa possu´ıa 1000 litros. Seis horas depois possu´ıa 850. Esta situac¸a˜o pode
ser entendida pelo gra´fico abaixo.
36
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
0h
1000L
6h
850L
θ1
θ2
xh
O ponto onde a reta vertical intercepta o eixo x e´ a quantidade de horas que a caixa leva para
ficar vazia. Como a inclinac¸a˜o de uma reta e´ constante em qualquer ponto θ1 = θ2 de modo que
suas tangentes tambe´m sa˜o iguais assim:
1000− 850
6− 0 =
1000− 0
x− 0
Onde se conclui que a caixa ficara´ vazia apos 40h (x = 40). E como a vaza˜o e´ constante ficara´
pela metade apo´s 20h (40h/2) do inicio da vasa˜o.
5. Um garoto brinca de fazer quadrados com palitos como na figura. Se ele fizer n quadrados
quantos palitos usara´?
Soluc¸a˜o:
1 quadrado = 4 palitos ou 4 + (1− 1)3
2 quadrado = 7 palitos ou 4 + (2− 1)3
3 quadrado = 10 palitos ou 4 + (3− 1)3
...
n quadrado = 4 + (n− 1)3
Ou seja n quadrados levariam 4 + (n − 1)3 palitos, o que pode ser expresso pela fo´rmula a
seguir
n = 3n+ 1
37
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
6. Admita que 3 opera´rios, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36 metros
em 5 dias.
a) Quantos dias sa˜o necessa´rios para que uma equipe de 5 opera´rios, trabalhando
6 horas por dia, construam um muro de 15 metros?
b) Que hipo´teses foram implicitamente utilizadas na soluc¸a˜o do item anterior.
c) Dentro dessa mesma hipo´tese, exprima o numero D de dias necessa´rios a` con-
struc¸a˜o de um muro em func¸a˜o do numero N de opera´rios, do comprimento C do
muro e do numero H de horas trabalhadas por dia.
Soluc¸a˜o a:
a) O problema em questa˜o e´ um problema de regra de treˆs composta.
5
3
· 6
8
· 36
15
=
5
x
Que implica em x =
5
3
que e´ aproximadamente 1d e 16h.
Soluc¸a˜o b:
b) O tempo e o numero de opera´rios e´ inversamente proporcional ao tempo. Enquanto a
quantidade de metros constru´ıda e´ diretamente proporcional aos dias.
Soluc¸a˜o c:
c) Usando a ideia de resoluc¸a˜o da regra de treˆs composta chega-se a conclusa˜o de que:
D =
10
3
· C
NH
7. As leis da f´ısica, muitas vezes, descrevem relac¸o˜es de proporcionalidade direta ou inversa
entre grandezas. Para cada uma das leis abaixo, escreva a expressa˜o matema´tica correspondente.
a) (Lei da gravitac¸a˜o Universal). Mate´ria atrai mate´ria na raza˜o direta das massas
e na raza˜o inversa do quadrado da distaˆncia.
b) (Gases perfeitos). A pressa˜o exercida por uma determinada massa de ga´s
e´ diretamente proporcional a temperatura absoluta e inversamente proporcional ao
volume ocupado pelo ga´s.
c) (Resisteˆncia ele´trica). A resisteˆncia de um fio condutor e´ diretamente pro-
porcional ao seu seu comprimento e inversamente proporcional a` a´rea de sua sec¸a˜o
reta.
d) (Dilatac¸a˜o te´rmica). A dilatac¸a˜o te´rmica sofrida por uma barra e´ diretamente
proporcional ao comprimento da barra e a` variac¸a˜o de temperatura.
38
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Soluc¸a˜o:
a) F = k
m1m2
d2
b) pv = ct
c) r = k
l
s
d) ∆l = k l ∆t
8. As grandezas X e Y sa˜o inversamente proporcionais. Se X sofre um acre´scimo de 25% qual
o decre´scimo percentual sofrido por Y?
Soluc¸a˜o:
Suponhamos que Y =
1
X
k se X for acrecido de 25% teremos:
Y =
1
X + 14X
k
Simplificando
Y =
4
5
· k
X
Ou seja Y sofre uma reduc¸a˜o de 45 , para determinar a porcentagem desta reduc¸a˜o usamos
regra de treˆs.
Y = 100%
4
5
Y = X%
Que implica em X = 80%.
9. Os termos a1, a2, ..., an de uma PA sa˜o os valores f(1), f(2),...,f(n) de uma func¸a˜o afim.
a) Mostre que cada ai e´ igual a` a´rea de um trape´zio delimitado pelo gra´fico de f,
pelo eixo OX e pelas retas verticais de equac¸o˜es.
x = i− 1
2
e x = i+
1
2
b) Mostre que a soma S = a1 + . . .+an e´ igual a a´rea do trape´zio delimitado pelo
gra´fico de f, pelo eixo OX e pelas retas verticais x = 12 e x = n +
1
2 .
c) Conclua que S =
a1 + an
2
n.
Soluc¸a˜o a
A func¸a˜o a ser considerada aqui e´: f(i) = a1 + (i - 1)r pois a1,..., an sa˜o termos de uma PA.
39
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
A a´rea do trape´zio e´ o produto entre altura e base me´dia. Pelo gra´fico verificamos que a
altura e´ igual a 1.
h
i− i2 i+ i2
h = i+
1
2
−
(
i− 1
2
)
= 1
Ja´ a base me´dia e´ igual a an.
i− i2 i+ i2
Base media =
f(i− 1/2) + f(i+ 1/2)
2
= a1 + (n− 1)r.
Assim fazendo a base me´dia vezes a altura chega-se a an.
1·an = an
Soluc¸a˜o b
Seguindo a mesma lo´gica anterior se conclui que S =
a1 + an
2
n que e´ o resultado da soma
a1 + . . .+ an, como e´ demonstrado na letra c.
40
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Soluc¸a˜o c
Esta deduc¸a˜o se encontra em TODO LIVRO de matema´tica do ensino me´dio que se propo˜em
a trabalhar com progresso˜es de modo que na˜o sera´ feita aqui.
10. Pessoas apresada podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns
degraus da escada no percusso. Para uma certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30
segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. Quantos sa˜o
os degraus da escada e qual o tempo normalmente gasto no percusso.
Soluc¸a˜o
Seja d o numero total de degraus enta˜o:
(d− 5)t = 30s
(d− 10)t =20s
Onde se conclui que:
d = 20
Ou seja existem 20 degraus na escada. Substituindo este valor em:
((20)− 5)t = 30s
Chegamos a t= 2. Isto e´, a escada leva 2 segundos para deslocar cada degrau. Como
existem 40 degraus na escada enta˜o sera˜o necessa´rio 40 segundos para subi-la ou desce-la sem se
movimentar.
11. Augusto certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade do que tinha e
pagou na sa´ıda 2 R$ de estacionamento. Se apo´s toda essa atividade ainda ficou com R$ 20,00
que quantia ele tinha inicialmente?
Soluc¸a˜o
Como ele gasta sempre metade do que teˆm enta˜o:
D
2
+
D
4
+
D
8
+
D
16
+
D
32
=
31
32
D
Assim:
31
32
D + 22 = D
Que resulta em D = 704 R$.
41
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
12. Seguindo as ideias de E.W., construa uma re´gua para medir nu´meros de sapatos.
Soluc¸a˜o
A cargo do leitor.
13. Estuda-se a implementac¸a˜o da chamada fo´rmula 95. Por essa fo´rmula os trabalhadores
teriam direito a` aposentadoria quando a soma de suas idades e tempo de servic¸o chegasse a 95.
Adotando essa fo´rmula, quem comec¸asse a trabalhar com 25 anos, com que idade se aposentaria?
Soluc¸a˜o
A equac¸a˜o e´ a seguinte:
Idade + Tempo de servic¸o = 95.
No entanto para cada ano de servic¸o e´ somado um ano a idade atual, portanto:
Idade = Idade atual + Tempo de servic¸o.
Portanto:
Idade atual + 2·Tempo de servic¸o = 95
se a idade atual do individuo e´ de 25 anos enta˜o:
Tempo de servic¸o = 35.
14. Em uma escola ha´ duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda com peso 3.
Se o aluno na˜o alcanc¸ar me´dia 7 nessas provas, fara´ prova final. Sua me´dia final sera´ enta˜o a
me´dia entre a nota da prova final, com peso 2 e a media das provas mensais, com peso 3. Joa˜o
obteve 4 e 6 mas provas mensais. Se a media final para aprovac¸a˜o e´ 5, quanto ele precisa obter
na prova final para ser aprovado?
Soluc¸a˜o
A me´dia antes da prova e´:
4(2) + 6(3)
5
= 5, 2
Assim a nota que ele precisa tirar e´:
5.2(3) + 2n
5
≥ 5
n ≥ 47
42
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
15. Arnaldo da a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e da a Carlos tantos reais quanto
Carlos possui. Em seguida, Beatriz da´ a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui.
Finalmente, Carlos faz o mesmo. Terminam todos com 16,00 R$ cada. Quanto cada um possu´ıa
no inicio?
Soluc¸a˜o
Suponha que de inicio Bia tenha x reais, Carlos y reais e Arnaldo z reais.
Arnaldo da a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e da a Carlos tantos reais quanto
Carlos possui.
Bia = 2x
Carlos = 2y
Arnaldo = z − (x+ y)
Em seguida, Beatriz da´ a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui.
Bia = 3x− y − z
Carlos = 4y
Arnaldo = 2z − 2x− 2y
Finalmente, Carlos faz o mesmo.
Bia = (3x− y − z) + (3x− y − z) = 6x− 2y − 2z
Carlos = 4y − [(3x− y − z) + (2z − 2x− 2y)] = 4y − (x− 3y + z) = 7y − x− z
Arnaldo = (2z − 2x− 2y) + (2z − 2x− 2y) = 4z − 4x− 4y
Terminam todos com 16,00 R$ cada.
Bia = 6x− 2y − 2z = 16
Carlos = 7y − x− z = 16
Arnaldo = 4z − 4x− 4y = 16
Resolvendo o sistema de equac¸o˜es chega-se a`: x = 14, y = 8 e z = 26.
Assim Bia tinha 14 reais, Carlos possu´ıa 8 reais e Arnaldo 26 reais.
16. Um carro sai de A para B e outro de B para A, simultaneamente, em linha reta, com
velocidade constante e se cruzam em um ponto situado a 720m do ponto de partida mais pro´ximo.
Completada a viagem, cada um deles para por 10 min e regressa, com a mesma velocidade de ida.
Na volta, cruzam-se em um ponto situado a 40m do outro ponto de partida. Qual a distaˆncia de
A ate´ B.
Soluc¸a˜o3:
Seja va a velocidade do carro que sai de A e vb a velocidade do carro que sai de B enta˜o,
suponha que apo´s um tempo t de viagem eles se encontram a 720m de A.
3 Soluc¸a˜o retirada da pa´gina da UFPR. Dispon´ıvel em: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
43
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Nesse caso podemos dizer que vat = 720 e, chamando de d a distaˆncia entre A e B, temos
vbt = d− 720.
Fazendo a raza˜o entre as igualdades:
vat
vbt
=
720
d− 720
va
vb
=
720
d− 720
Seja t′ o tempo decorrido desde o in´ıcio do percurso ate´ o segundo encontro dos carros.
Levando em conta os 10 minutos em que cada carro esteve parado, temos:
va(t
′ − 10) = d+ 400
e
vb(t
′ − 10) = 2d− 400
Dividindo membro a membro estas duas igualdades resulta
va
vb
=
d+ 400
2d− 400 .
Comparando, obtemos
720
d− 720 =
d+ 400
2d− 400 . Segue-se imediatamente que d = 1760.
17. Em uma ferrovia, as estac¸o˜es A e B distam entre si 3 km e a cada 3 min parte um trem
de cada uma delas em direc¸a˜o a` outra. Um pedestre parte de A para B, no exato momento em
que um trem parte de A para B e outro chega a A vindo de B. Ele chega a B no exato momento
em que um trem parte de B para A e outro trem chega a B vindo de A. Em seu caminho, o
pedestre encontrou 17 trens que iam no mesmo sentido que ele e com 23 trens que iam no sentido
oposto ao seu, a´ı inclu´ıdos os 4 trens ja´ citados anteriormente. As velocidades dos trens sa˜o
iguais. Calcule as velocidades dos trens e do pedestre.
Soluc¸a˜o4
Seja t minutos o tempo gasto pelo pedestre para ir de A a B. Ate´ chegar a B, ele foi ultra-
passado por 16 trens (contando com o ultimo, que chegou junto com ele). Este ultimo trem saiu
de A 16× 3 = 48 minutos apos o pedestre, logo levou t− 48 minutos para ir de A a B. Seja v a
velocidade do pedestre e w a dos trens. Enta˜o w(t− 48) = vt = 3km.
Por outro lado, o primeiro trem que cruzou com o pedestre (na direc¸a˜o contra´ria) saiu de
B 22 × 3 = 66 minutos antes do trem que estava saindo de B no momento em que chegava o
pedestre. Logo, o tempo que aquele primeiro trem gastou para ir de B ate´ A foi 66− t minutos.
(Saiu ha´ 66 minutos mas ja´ chegou ha´ t minutos.) Enta˜o w(66− t) = vt = 3km.
Assim, t − 48 = 66 − t, donde t = 57 minutos e t − 48 = 9 minutos. Como w(t − 48) = 3k,
segue-se que w = 1Km/3min = 20km/h. A velocidade dos trens e´, portanto, 20km por hora. A
velocidade do pedestre e´ v = 3/t = 3/57km por minuto, ou seja 180/57 km/h = 60/19 Km/h.
4Soluc¸a˜o retirada da pa´gina da UFPR: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
44
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
18. Dado o gra´fico abaixo, obtenha, em cada caso, o gra´fico da func¸a˜o g tal que:
O
f
y
x
a) g(x)=f(x)-1
b) g(x)=f(x-1)
c) g(x)=f(-x)
d) g(x)=2(f(x))
e) g(x)=f(2x)
f) g(x)=|f(x)|
g) g(x)=f(|x|)
h) g(x)=max{f(x), 0}
Soluc¸a˜o
a) O gra´fico e´ deslocado uma unidade para baixo.
b) O gra´fico e´ deslocado uma unidade a direita.
c) A imagem do gra´fico e´ refletida em torno do eixo y.
d) Duas semi retas com origem no ponto (1,−2). Uma passa pelo ponto (0,2) e a
outra (2,0) (UFPR).
e) Duas semi retas com origem no ponto (0.5,−1). Uma passa pelo ponto (0,1) e a
outra (1,0) (UFPR).
f) A parte da func¸a˜o abaixo do eixo x e´ refletida para cima formando um W.
g) A parte do gra´fico que tem x > 0 mais a reflexa˜o dessa mesma parte em torno do
eixo Y (UFPR).
h) O gra´fico de f , com a parte que tem y < 0 substitu´ıda pelo intervalo [0.5, 2] do
eixo X (UFPR).
45
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
19. Determine os valores reais de x que satisfazem:
a) 2x+ 3− (x− 1) < x+ 1
b) 2x+ 3− (x− 1) < x+ 5
c) min{x+ 1; 5− x} > 2x− 3
d) min{x+ 1; 5− x} < 2x
e) min{2x− 1; 6− x} = x
f) 2|x+ 1| − |1− x| ≤ x+ 2
g) (2x+ 3)(1− x) = (2x+ 3)(x− 2)
h) |x+ 1− |x− 1|| ≤ 2x− 1
Soluc¸a˜o:
a) 2x+ 3− (x− 1) < x+ 1
2x+ 3− x+ 1 < x+ 1
x+ 4 < x+ 1
4 < 1
Como a condic¸a˜o na˜o e´ verdadeira para nenhum x enta˜o a inequac¸a˜o na˜o teˆm soluc¸a˜o.
b) 2x+ 3− (x− 1) < x+ 5
2x+ 3− x+ 1 < x+ 5
x+ 4 < x+ 5
4 < 5
Ou seja, a inequac¸a˜o se satisfaz paraqualquer valor de x.
c) min{x+ 1; 5− x} > 2x− 3
min{x+ 1; 5− x} > 2x− 3
x+ 1 > 2x− 3⇒ x < 4
5− x > 2x− 3⇒ x < 8
3
46
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Como
8
3
< 4 enta˜o a soluc¸a˜o sera´ x <
8
3
.
d) min{x+ 1; 5− x} < 2x
Ana´logo ao anterior.
e) min{2x− 1; 6− x} = x
x = 1 ou x = 3
f) 2|x+ 1| − |1− x| ≤ x+ 2
2|x+ 1| − |1− x| ≤ x+ 2 =
{
2(x+ 1)− |1− x| ≤ x+ 2
−2(x+ 1)− |1− x| ≤ x+ 2
2(x+ 1)− |1− x| ≤ x+ 2 =
{
2(x+ 1)− 1 + x ≤ x+ 2 (1)
2(x+ 1) + 1− x ≤ x+ 2 (2)
−2(x+ 1)− |1− x| ≤ x+ 2 =
{ −2(x+ 1)− 1 + x ≤ x+ 2 (3)
−2(x+ 1) + 1− x ≤ x+ 2 (4)
De (1) teˆm-se:
2x+ 2− 1 + x ≤ x+ 2
3x+ 1 ≤ x+ 2
2x ≤ 1⇒ x ≤ 1
2
A inequac¸a˜o (2) na˜o teˆm soluc¸a˜o.
A inequac¸a˜o (3) teˆm soluc¸a˜o para todo valor de x ≥ −5
2
.
A inequac¸a˜o (4) teˆm soluc¸a˜o apenas para x ≥ −3
4
.
Assim a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o sera´: x ∈
[
−3
4
,
1
2
]
g) x = ±3
2
47
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
h) Ana´logo aos anteriores.
20. Resolva a inequac¸a˜o.
1
2x+ 1
<
1
1− x
Soluc¸a˜o:
1
2x+ 1
1
1− x < 0
(1− x)− (2x+ 1)
(1− x)(2x+ 1) < 0
− 3x−2x2 + x+ 1 < 0
Ou seja, resolver a inequac¸a˜o inicial e´ o equivalente a resolver:
3x
−2x2 + x+ 1 > 0
Cuja soluc¸a˜o ocorre para x ∈ (−∞,−0.5) ∪ [0, 1).
21. Determine a imagem da func¸a˜o f : R→ R tal que f(x) = max{x− 1, 10− 2x}.
Soluc¸a˜o:
A imagem e´ o intervalo
[
8
3
,∞
]
. Para visualizar essa imagem e´ necessa´rio esboc¸ar o gra´fico
da func¸a˜o.
22. Fac¸a os gra´ficos de:
a) f(x) = min{4− x;x+ 1}
b) f(x) = |x+ 1| − |x− 1|
48
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Soluc¸a˜o5:
a) O angulo reto com ve´rtice no ponto (3/2, 5/2) e lados passando pelos pontos (−1, 0) e
(4, 0).
b)As semi-retas horizontais S = {(x,−2); x ≤ −1} e S′ = {(x, 2); x ≥ 1}, juntamente com
o segmento de reta que liga os pontos A = (−1,−2) a B = (1, 2), os quais sa˜o as origens dessas
semi-retas.
23. Identifique o conjunto dos pontos (x,y) tais que:
|x|+ |y| = 1
|x− y| = 1
Soluc¸a˜o:
a) (x,y) = {(1, 0); (0, 1); (−1, 0); (0,−1)}
b) |x− y| = 1⇒ x− y = 1 ou y − x = 1. Nesse caso a soluc¸a˜o seria ambas as possibilidades,
a saber: a reta y = x+ 1 e y = x− 1.
24. Um supermercado esta´ fazendo uma promoc¸a˜o na venda de alcatra: um desconto de 10%
e´ dado nas compras de treˆs quilos ou mais. Sabendo que o prec¸o do quilo de alcatra e´ de R$ 4.00
pede-se:
a) O gra´fio do total pago em func¸a˜o da quantidade comprada.
b) O gra´fico do prec¸o me´dio por quilo em func¸a˜o da quantidade comprada.
c) A determinac¸a˜o de quais consumidores poderiam ter comprado mais alcatra pelo
mesmo prec¸o.
Soluc¸a˜o:
a) f(x) =
{
4x para x ∈ (0, 3)
3.6x para x ∈ [3,∞)
b)
f(x)
x
=
{
4 para x ∈ (0, 3)
3.6 para x ∈ [3,∞)
5Soluc¸a˜o retirada da pa´gina da UFPR: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
49
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
c) (Soluc¸a˜o retirada da pa´gina da UFPR6)
Se 2.7 < x < 3 enta˜o, pondo x′ =
4
3.6
x, temos x′ > x e f(x′) = 3.6x′ (pois x′ > 3), portanto
f(x′) = 4x = f(x).
25. Um supermercado esta´ fazendo uma promoc¸a˜o na venda de alcatra: um desconto de 10%
e´ dado nos quilos que excederem a 3. Sabendo que o prec¸o do quilo de alcatra e´ de R$ 4.00
pede-se:
a) O gra´fico do total pago em func¸a˜o da quantidade comprada.
b) O gra´fico do prec¸o me´dio por quilo em func¸a˜o da quantidade comprada.
c) A determinac¸a˜o de quantos quilos foram compradas por um consumidor que pagou
R$.
Soluc¸a˜o:
a) f(x) =
{
4x para x ∈ (0, 3]
12 + 3.6(x− 3) para x ∈ (3,∞)
A equac¸a˜o 12 + 3.6(x− 3) foi deduzida atrave´s da tabela a seguir:
Quantidade Valor
4 12+3.6·1
5 12+3.6·2
6 12+3.6·3
7 12+3.6·4
No entanto, perceba que o valor pode ser expresso em termos de quantidade de alcatra (seja
la´ o que isso for), comprada.
Quantidade Valor
4 12+3.6·(4-3)
5 12+3.6·(5-3)
6 12+3.6·(6-3)
7 12+3.6·(7-3)
x 12+3.6·(x-3)
b)
f(x)
x
=
{
4 para x ∈ (0, 3]
3.6 +
1.2
x
para x ∈ (3,∞)
6http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
50
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
c) O consumidor que pagou R$ 15,00 levou 3.83Kg.
12 + 3.6(x− 3) = 15⇒ x = 3.83Kg
26. Os novos valores de IR-fonte:
Base de ca´lculo Al´ıquota Parcela a deduzir
Ate´ R$ 900 Isento 0
De R$ 900 a R$ 1800 15% R% 135%
Acima de R$ 1800 25% R% 315%
Baseado na tabela acima, construa o gra´fico do imposto a pagar em func¸a˜o do rendimento.
Soluc¸a˜o:
Para resolver esta questa˜o assumi as condic¸o˜es do problema 27. Isto e´: supondo que a renda
liquida e´ calculada atrave´s de uma expressa˜o da fora y = ax − p, onde a seria a al´ıquota e p a
parcela a se deduzir.
f(x) =
 0 para x ∈ [0, 900]0.15x− 135 para x ∈ (900, 1800]
0.25x− 315 para x ∈ (1800,∞)
27. O imposto de renda y pago por uma pessoa que, em 1995, teve uma renda l´ıquida y
calculado atrave´s de uma expressa˜o da forma y = ax− p, onde a al´ıquota a e a parcela a deduzir
p dependem da renda x e sa˜o dadas por uma tabela, parcialmente fornecida a seguir:
Renda (em R$) Al´ıquota (a) Parcela a Deduzir (p)
Ate´ 8800 0% 0
De 8800 a 17.160 15%
De 17.160 a 158.450 26%
Mais de 158.450 35%
(a) Complete a tabela, de modo que o imposto a pagar varie continuamente com a renda (isto
e´, na˜o haja saltos ao se passar de uma faixa de renda para outra).
(b) Se uma pessoa esta´ na terceira faixa e sua renda aumenta de R$ 5 000,00, qual sera´ seu
imposto adicional (supondo que este acre´scimo na˜o acarrete uma mudanc¸a de faixa)?
(c) E comum encontrar pessoas que lamentam estar no in´ıcio de uma faixa de taxac¸a˜o (“que
azar ter recebido este dinheiro a mais!”). Este tipo de reclamac¸a˜o e´ procedente?
(d) A tabela de taxac¸a˜o e´, as vezes, dada de uma outra forma, para permitir o ca´lculo do
imposto atrave´s de uma expressa˜o da forma y = b(x− q) (isto e´, primeiro se deduz a parcela q e
depois se aplica a al´ıquota). Converta a tabela acima para este formato (isto e´, calcule os valores
de b e q para cada faixa de renda).
(e) Qual a renda para a qual o imposto e´ igual a R$ 20.000,00?
51
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Soluc¸a˜o7:
(a) As parcelas a deduzir sa˜o 0, 1320, 3207, 60 e 17468, 10.
(b) 0, 26 · 5000 = 1300.
(c) Na˜o, porque a func¸a˜o que descreve a renda l´ıquida (renda menos o imposto) em termos
da renda e´ uma func¸a˜o crescente.
(d) Em cada faixa de renda, devemos ter ax− p = b(x− q) = bx− bq, para todo x. Ou seja,
b = a e p = bq. Assim, b = 0% e q e´ arbitra´rio para a faixa 1, b = 15% e q = 8800 para a faixa
2, b = 26% e q = 12.336, 92 para a faixa 3 e b = 35% e q = 49908, 86 para a faixa 4.
(e) Inicialmente, vamos calcular o IR nos pontos de mudanc¸a de faixa:
Renda IR
8800 0
17160 1254,24
158450 37983,40
Logo, um IR igual a R$ 20 000,00 e´ pago na faixa de tributac¸a˜o de 17.160 a 158,450. A renda
correspondente satisfaz 0, 26x− 3207, 60 = 20.000, ou seja, ela e´ igual a R$ 89.260, 00.
28. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de prec¸os:
Numero de co´pias Prec¸o por co´pia
de 1 a 19 R$ 0.1
de 20 a 49 R$ 0.08
50 ou mais R$ 0.06
Esboce o gra´fico da func¸a˜o que associa a cada natural n o custo de n co´pias de um mesmo
original.
Soluc¸a˜o:
f(x) =
 0.1x para x ∈ [0, 900]0.08x para x ∈ (900, 1800]
0.06x para x ∈ (1800,∞)
29. Discuta o nu´mero de soluc¸o˜es da equac¸a˜o |x − 2| = ax + b que ocorre em func¸a˜o dos
paraˆmetros a e b.
Soluc¸a˜o:
|x− 2| = ax+ b =
{
x− 2 = ax+ b⇒ (a− 1)x+ (b+ 2)
2− x = ax+ b⇒ (a+ 1)x+ (b− 2)
7Resolvida por Humberto Jose´Bortolossi. Dispon´ıvel em:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2011.1/gma00116/listas/gma00116-lista-12.pdf
52
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Repare que em cada caso temos apenas uma u´nica possibilidade de soluc¸a˜o. Assim a equac¸a˜o
teˆm duas soluc¸o˜es poss´ıveis, a saber: − b+ 2
a− 1 e −
b− 2
a+ 1
.
30. Chama-se de func¸a˜o rampa a uma func¸a˜o poligonal f : [a, b]→ R, cujo gra´fico e´ de uma
das formas abaixo:
Isto e´, f tem dois patamares [a, c] e [d, b], onde assume, respectivamente, os valores 0 e D,
ligados por uma rampa.
a) Mostre que toda func¸a˜o rampa pode ser escrita na forma
f(x) =
α
2
[(d− c) + |x− c|+ |x− d|],
para todo x ∈ [a, b], onde
α =
D
d− c
e´ a inclinac¸a˜o da rampa.
b) Mostre que toda func¸a˜o poligonal definida em um intervalo [a, b] pode ser expressa como
uma soma de uma func¸a˜o constante (que pode ser vista como uma func¸a˜o rampa de inclinac¸a˜o
zero) com um nu´mero finito de func¸o˜es rampa. Escreva nesta forma a func¸a˜o poligonal cujo
gra´fico e´ dado abaixo.
1 2 3
4
-1
-1
x
y
53
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
c) Conclua que toda func¸a˜o poligonal definida em um intervalo [a,b] pode ser escrita na forma
f(x) = A+ α1|xα1|+ α2|x− a2|+ · · ·+ α11|x− αn|,
para todo x ∈ [a, b], onde α1, α2, ..., αn sa˜o as abscisas dos ve´rtices da poligonal. Escreva
nesta forma a func¸a˜o poligonal cujo gra´fico e´ dado acima.
31. Dadas as progresso˜es aritme´ticas
(a1, a2, ..., an, ...) e (b1, b2, ..., bn, ...)
mostre que existe uma, e somente uma, func¸a˜o afim f : R→ R tal que f(a1) = b2, ..., f(an) =
bn, ...
Soluc¸a˜o:
Suponha por absurdo que exista uma func¸a˜o afim g 6= f tal que g(a1) = b2, ..., g(an) = bn, ...
Sendo assim:
g(a1) = f(a1)
g(a2) = f(a2)
g(a3) = f(a3)
...
Sendo g(a1) = a(a1) + b e f = a
′(a1) + b′ enta˜o:
g(a1) = f(a1)⇒ a1 = b
′ − b
a− a′
g(a2) = f(a2)⇒ a2 = b
′ − b
a− a′
g(a3) = f(a3)⇒ a3 = b
′ − b
a− a′
...
O que implica em um absurdo, pois se todos os termos da sequeˆncia (a1, a2, a3, ...) sa˜o iguais
a mesma na˜o pode ser uma progressa˜o aritme´tica.
32. A e B sa˜o duas locadoras de automo´vel. A cobra 1 real por quiloˆmetro rodado mais uma
taxa fixa de 100 reais. B cobra 80 centavos por quiloˆmetro rodado mais uma taxa fixa de 200
reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou d B sobre A em func¸a˜o do numero de quiloˆmetros a
serem rodados.
54
A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
Soluc¸a˜o:
Vamos determinar quando A e´ mais vantajoso que B.
1x+ 100 < 200 + 0.8x
0.2x < 100⇒ x < 500
Assim ate´ 500 quiloˆmetros a empresa A e´ mais vantajosa que a B.
Agora determinemos quando B e´ mais vantajoso que A.
1x+ 100 > 200 + 0.8x
0.2x > 100⇒ x > 500
Assim acima de 500 quiloˆmetros a empresa B e´ mais vantajosa que a A.
33. Defina uma func¸a˜o f : R → R pondo f(x) = 2x se x e´ racional e f(x) = 3x se x e´
irracional. Mostre que se tem f(nx) = nf(x) para todo n ∈ Z e todo x ∈ R mas f na˜o linear.
Soluc¸a˜o:
34. Prove que a func¸a˜o f : R→ R, definida por f(x) = 3x+sen(2pix), e´ crescente e, para todo
x ∈ R fixado, transforma a progressa˜o aritme´tica x, x+ 1, x+ 2, ... numa progressa˜o geome´trica.
Entretanto, f na˜o e´ afim. Por que isto na˜o contradiz o fato provado no final da sec¸a˜o 4 (pa´g.
102)?
Soluc¸a˜o8:
Para todo x ∈ R, como sen[2x(x+ 1)] = sen(2pix), segue-se que f(x+ 1)−f(x) = 7, portanto
a sequeˆncia f(x), f(x+ 1), ..., f(x+n), ... e´ uma progressa˜o aritme´tica de raza˜o 7. A maneira de
f e f
′
(x) = 7 + 2pi · cos(pix). Como [2pi · cos(pix) ≤ 2pi < 7, teˆm-se f ′(x) > 0 para todo x, logo f
e´ crescente.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correc¸a˜o.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse: www.number.890m.com
8Soluc¸a˜o retirada da pa´gina da UFPR. Dispon´ıvel em: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
A MATEMA´TICA DO ENSINO ME´DIO
A matema´tica do Ensino me´dio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto Ce´sar Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira
6 Func¸o˜es Quadra´ticas
1. Encontre a func¸a˜o quadra´tica cujo gra´fico e´ dado em cada figura abaixo:
2 2
8
(1.9)(5,13)
(3,5)
Soluc¸a˜o 1a:
Usando a forma canoˆnica:
f(x) = a(x− 3)2 + 5
como f(5) = 13 enta˜o:
a(5− 3)2 + 5 = 13
Que implica em a = 2. Assim a func¸a˜o quadra´tica sera´
f(x) = 2(x− 3)2 + 5.
Soluc¸a˜o 1b:
Explorando a simetria da para´bola a coordenada “x” do ve´rtice estara´ a 2 unidades da reta
y = 2 e y = −2.
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A Matema´tica do Ensino Me´dio Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista / BA
|2|+ | − 2|
2
= 2uc
Logo a coordenada “x” do ve´rtice esta´ em 0.
Usando a forma canoˆnica.
f(x) = a(x− 0)2 + y1
= ax2 + y1
Assim sabemos que a func¸a˜o e´ da forma f(x) = ax2 + y1 com isso montamos o sistema.{
3 = a(−2)2 + y1
9 = a(1)2 + y1
⇒ a = −2; y = 11
Assim a equac¸a˜o do gra´fico sera´: f(x) = −2x2 + 11.
2. Identifique os sinais de a, b e c nos gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas f(x) = ax2 + bx + c
dados abaixo.
GRA´FICO UM
O
GRA´FICO DOIS
O
GRA´FICO TREˆS
O
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Soluc¸a˜o:
1◦ gra´fico: a < 0, b > 0, c > 0.
2◦ gra´fico: a > 0, b > 0, c < 0.
3◦ gra´fico: a > 0, b < 0, c > 0.
3. Escreva cada uma da func¸o˜es quadra´ticas abaixo na forma f(x) = a(x− b)2 + c. A seguir,
calcule suas ra´ızes (se existirem), o eixo de simetria de seu gra´fico e seu valor mı´nimo ou ma´ximo.
a) f(x) = x2 − 8x+ 23
b) f(x) = 8x− 2x2
Soluc¸a˜o 3a:
Encontrando o ve´rtice da func¸a˜o:
− b
2a
= − (−8)
2(1)
= 4
f(4) = 42 − 8(4) + 23 = 7
Logo o ve´rtice ocorre em (4,7). Assim a forma canoˆnica da func¸a˜o e´:
f(x) = 1(x− 4)2 + 7
Como o ponto (4,7) ocorre acima do eixo x e a para´bola e´ voltada para cima, enta˜o a func¸a˜o
na˜o teˆm raiz. O eixo de simetria e´ a reta x = 4 e o ponto de minimo e´ 7.
Soluc¸a˜o 3b:
As ra´ızes da equac¸a˜o ocorrem para x = 0 e x = 4.
f(x) = 8x− 2x2
x(8− 2x)
O ve´rtice da func¸a˜o ocorre em (2, 8).
− b
2a
= − 8
2(−2) = 2
f(2) = 2(8− 2(2)) = 8
Logo a forma canoˆnica da func¸a˜o e´: f(x) = −2(x− 2)2 + 8. Como a para´bola e´ voltada para
baixo enta˜o: o eixo de simetria e´ a reta x = 2 e o valor de ma´ximo e´ 8.
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4. Observe os gra´ficos abaixo, que representam as para´bolas y = ax2 para diversos valores
de a. Estas para´bolas sa˜o semelhantes entre si?
O
3
1/3
1
a=3 a=1
a=1/3
y = ax2
Soluc¸a˜o:
Dada uma func¸a˜o y = ax2 enta˜o toda func¸a˜o y′ = (ka)x2 com k ∈ R sa˜o semelhantes entre
si e a y = ax2. Logo todas as func¸o˜es do problema sa˜o semelhantes.
5. Encontre a unidade que deve ser usada nos eixos cartesianos de modo que a para´bola
abaixo seja o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x2.
O
Soluc¸a˜o:
No gra´fico trac¸amos a func¸a˜o g(x) = x.
(0,0)
P
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Os pontos de intercessa˜o ira´ ocorrer em (0,0) e (0.5, 0.5).
g(x) = f(x)
x = 2x2
2x2 − x = 0
x(2x− 1) = 0⇒ x = 0 ex = 0.5
Onde f(0) = 0 e f(0.5) = 0.5
Duplicando a coordenada x de (0.5, 0.5) encontramos a unidade.
6. Encontre os valores mı´nimos e ma´ximo assumidos pela func¸a˜o f(x) = x2− 4x+ 3 em cada
um dos intervalos abaixo:
a) [1, 4]
b) [6, 10]
Soluc¸a˜o
A func¸a˜o teˆm concavidade para cima e