Cálculo Aplicado - Aula 04B - Frações Parciais - Exercício Complementar

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1 Exercı´cio
1) Vamos integrar
∫
2x − 3
x2 − 25 dx.
2) Integre a expressa˜o
∫
11x − 15
4x2 − 3x dx.
3) Integre
∫
x
4x2 + 4x + 1
dx.
4) Realize a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e integre
∫
2x3 − 5x2 + 6x − 3
x4 + 3x2
dx.
2 Soluc¸o˜es
1) (i) Inicialmente temos que:
2x − 3
x2 − 25 =
2x − 3
(x + 5)(x − 5)
(ii) Utilizando as frac¸o˜es parciais, temos:
2x − 3
(x + 5)(x − 5) =
A
x + 5
+
B
x − 5
(iii) Efetuando-se as operac¸o˜es, temos:
A(x − 5) + B(x + 5) = 2x − 3
Ax − 5A + Bx + 5B = 2x − 3
Ax + Bx − 5A + 5B = 2x − 3
(iv) Em seguida, obtemos o sistema:{
A + B = 2
−5A + 5B = −3
Cuja soluc¸a˜o e´:
A =
13
10
e B =
7
10
(v) Segue que: ∫
2x − 3
x2 − 25 dx =
∫
A
x + 5
dx +
∫
B
x − 5 dx
=
∫ 13
10
x + 5
dx +
∫ 7
10
x − 5 dx
=
13
10
∫
1
x + 5
dx +
7
10
∫
1
x − 5 dx
(vi) Por fim, integrando, temos:∫
2x − 3
x2 − 25 dx =
13
10
∫
1
x + 5
dx +
7
10
∫
1
x − 5 dx
=
13
10
`n|x + 5| + 7
10
`n|x − 5| + C
1
2) (i) Inicialmente, temos que:
11x − 15
x(4x − 3)
(ii) Transformando em frac¸o˜es parciais, temos:
11x − 15
x(4x − 3) =
A
x
+
B
4x − 3
(iii) Efetuando-se as operac¸o˜es, temos:
11x − 15
x(4x − 3) =
A
x
+
B
4x − 3
= A(4x − 3) + Bx
(iv) Desenvolvendo, obtemos:
4Ax − 3A + Bx = 11x − 15
4Ax + Bx − 3A = 11x − 15
(v) Dessa forma, obtemos o sistema:{
4A + B = 11
−3A = −15
Cuja soluc¸a˜o e´:
A = 5 e B = −9
(vi) Por fim, temos: ∫
11x − 15
x(4x − 3) =
∫
A
x
dx +
∫
B
4x − 3 dx
=
∫
5
x
dx −
∫
9
4x − 3 dx
= 5
∫
1
x
dx − 9
∫
1
4x − 3 dx
Fazendo a substituic¸a˜o u = 4x − 3, temos:
u = 4x − 3→ du = 4dx→ du
4
= dx
= 5
∫
1
x
dx − 9
∫
1
4x − 3 dx
= 5
∫
1
x
dx − 9
∫
1
u
du
4
= 5
∫
1
x
dx − 9
4
∫
1
u
du
= 5`n|x| − 9
4
`n|u| + C∫
11x − 15
x(4x − 3) = 5`n|x| −
9
4
`n|4x − 3| + C
2
3) (i) Inicialmente, temos que
x
4x2 + 4x + 1
=
x
(2x + 1)2
(ii) Aplicando as frac¸o˜es parciais, temos:
x
(2x + 1)2
=
A
2x + 1
+
B
(2x + 1)2
(iii) Desenvolvendo, temos:
A(2x + 1)2 + B(2x + 1) = x
A(4x2 + 4x + 1) + B(2x + 1) = x
4Ax2 + 4Ax + A + 2Bx + B = x
(iv) Montando o sistema, temos: 
4A = 0
4A + 2B = 1
A + B = 0
Cuja soluc¸a˜o e´:
A =
1
2
e B = −1
2
(v) Segue que: ∫
x
4x2 + 4x + 1
dx =
∫
A
2x + 1
dx +
∫
B
(2x + 1)2dx
=
∫ 1
2
2x + 1
dx −
∫ 1
2
(2x + 1)2dx
=
1
2
∫
1
2x + 1
dx − 1
2
∫
1
(2x + 1)2dx
Fazendo a substituic¸a˜o u = 2x + 1, temos:
u = 2x + 1→ du = 2dx =⇒ du
2
= dx
Segue que:
=
1
2
∫
1
2x + 1
dx − 1
2
∫
1
(2x + 1)2dx
=
1
2
∫
1
u
du
2
− 1
2
∫
1
u2
du
2
=
1
2
.
1
2
∫
1
u
du − 1
2
.
1
2
∫
1
u2
du
=
1
4
∫
1
u
du − 1
4
∫
1
u2
du
=
1
4
`n|u| − 1
4
∫
u−2 du
=
1
4
`n|u| − 1
4
u−2+1
(−2 + 1)
=
1
4
`n|u| − 1
4
u−1
(−1)
=
1
4
`n|u| + 1
4
.
1
u
=
1
4
`n|u| + 1
4u
3
Por fim, colocando
1
4
em evideˆncia, temos:∫
x
4x2 + 4x + 1
dx =
1
4
`n|u| + 1
4u
=
1
4
(
`n|u| + 1
u
)
=
1
4
(
`n|2x + 1| + 1
2x + 1
)
+ C
4) (i) Inicialmente, a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ dada por:
2x3 − 5x2 + 6x − 3
x4 + 3x2
=
2x3 − 5x2 + 6x − 3
x2(x2 + 3)
(ii) Segue que:
2x3 − 5x2 + 6x − 3
x2(x2 + 3)
=
A
x
+
B
x2
+
Cx +D
x2 + 3
Observac¸a˜o 1 O numerador das minifrac¸o˜es devera´ ser um grau menor que o denominador.
Por exemplo, se o denominador for x + 3, o numerador sera´ Ax0 = A. Se o denominador for
x2 + 3, o numerador sera´ Ax + B (ou Cx +D, as letras na˜o importam.)
(iii) Efetuando-se as operac¸o˜es, temos:
Ax(x2 + 3) + B(x2 + 3) + x2(Cx +D) = 2x3 − 5x2 + 6x − 3
Ax3 + 3Ax + Bx2 + 3B + Cx3 +Dx2 = 2x3 − 5x2 + 6x − 3
Ax3 + Cx3 + Bx2 +Dx2 + 3Ax + 3B = 2x3 − 5x2 + 6x − 3
(iv) Montando o sistema, temos: 
A + C = 2
B +D = −5
3A = 6
3B = −3
Cuja soluc¸a˜o e´:
A = 2,B = −1,C = 0 e D = −4
(v) Segue que:∫
2x3 − 5x2 + 6x − 3
x4 + 3x2
dx =
∫
A
x
dx +
∫
B
x2
dx +
∫
Cx +D
x2 + 3
dx
=
∫
2
x
dx −
∫
1
x2
dx −
∫
1
x2 + 3
dx
Desenvolvendo e integrando, obtemos:∫
2x3 − 5x2 + 6x − 3
x4 + 3x2
dx =
∫
2
x
dx −
∫
1
x2
dx −
∫
4
x2 + 3
dx
= 2
∫ 1
x
dx − ∫ x−2 dx − 4 ∫ 1
x2 + 3
dx
= 2`n|x| − x
−1
−1 − 4
(
x√
3
)
arctan
(
x√
3
)
+ C
= 2`n|x| + 1
x
− 4x√
3
arctan
(
x√
3
)
+ C
4