DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO lll

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Unidade III
Unidade III
7 O MODELO DE SOLOW
Os conceitos apresentados e discutidos anteriormente deixaram clara a ideia de que o produto 
por trabalhador – ou renda per capita – de uma economia é maior que o de outra devido ao fato de 
a primeira dispor de um maior estoque de capital por trabalhador. Ou seja, um país é mais rico (sua 
renda é maior) porque ele dispõe de um volume maior de máquinas, equipamentos, ferramentas 
e instalações, relativamente ao número de trabalhadores. Por exemplo, o produto per capita dos 
Estados Unidos era 3,5 vezes maior que o do Brasil em 2014 – US$ 52 mil contra US$ 15 mil – porque 
o estoque de capital por trabalhador, no primeiro país, era de aproximadamente US$ 113 mil e, no 
segundo, de US$ 9 mil.
Quando se introduziu a questão do crescimento do ponto de vista contábil – a contabilidade do 
crescimento –, argumentou-se que a taxa de crescimento de um país depende, entre outros aspectos, 
da taxa de crescimento do capital, gK. 
 Lembrete
A contabilidade do crescimento é a metodologia de análise da evolução 
da renda a partir de mudanças que ocorrem na dotação relativa a capital-
trabalho e no conhecimento (ou progresso tecnológico).
Essa é a taxa segundo a qual o capital de uma economia se acumula de forma a compor um estoque 
em determinado momento do tempo. De modo geral, as estatísticas sobre indicadores e conceitos do 
desenvolvimento econômico já analisadas mostraram que os países que mais cresceram foram aqueles 
que apresentaram processos de acumulação de capital mais vigorosos. 
Apesar de apresentar uma boa resposta às questões fundamentais já formuladas sobre indicadores 
e conceitos do desenvolvimento econômico, essas explicações nos remetem a outras perguntas: afinal, 
por que é maior o estoque de capital por trabalhador dos Estados Unidos do que o do Brasil? Por que 
Japão e Coreia do Sul acumularam mais capital que as economias latino-americanas entre 1960 e 2014? 
Essas questões serão respondidas de um ponto de vista teórico. 
Primeiramente, apresentaremos a equação dinâmica de acumulação de capital do conhecido modelo 
de Solow e suas implicações na determinação do capital por trabalhador e do produto per capita. Depois, 
discutiremos as questões relativas ao crescimento econômico: as trajetórias de longo prazo e a convergência 
condicionada. Dessa análise surge a conclusão de que a taxa de poupança das economias é o principal 
determinante econômico da renda e também é importante para a análise das taxas de crescimento.
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
7.1 Acumulação de capital e estado estacionário
A contribuição de Robert Solow (1956, 1957) para o estudo do crescimento econômico foi identificar 
os fatores que determinam a acumulação de capital, ou ainda, o crescimento do estoque de capital 
por trabalhador ao longo do tempo. Entendidos esses fatores, o próximo passo será entender, a partir 
da teoria dinâmica do capital de Solow, as diferenças de renda por trabalhador. Como essa última 
variável é uma função da dotação relativa de fatores (capital e trabalho), para determinar o produto por 
trabalhador de uma economia, basta substituir o valor do estoque de capital por trabalhador previsto 
por ela na função de produção agregada. 
 Saiba mais
O modelo de Solow teve um enorme impacto na análise econômica. 
Apesar de ser uma ferramenta simples de análise do processo de crescimento 
econômico, o modelo foi generalizado de várias formas. Foi ampliado 
pela introdução de outros tipos de fatores de produção e foi reformulado 
para incluir características estocásticas. Mas, acima de tudo, o modelo de 
crescimento de Solow constitui uma estrutura dentro da qual parte da 
teoria macroeconômica de longo prazo é organizada. Para saber mais sobre 
desdobramentos do modelo de Solow, consultar:
JONES, C. I.; VOLLRATH, D. Introdução à teoria do crescimento econômico. 
3. ed. Rio de Janeiro: Campus Elsevier, 2015.
As consequências da abordagem de Solow para o crescimento são também interessantes. Sua 
teoria prevê um crescimento estável do produto das economias no longo prazo, o qual depende 
fundamentalmente de dois processos: (i) de inovação tecnológica; e (ii) de crescimento da força de 
trabalho. Esses conceitos serão desenvolvidos mais à frente. 
O modelo básico proposto por Solow considera inicialmente uma função de produção neoclássica 
com dois fatores de produção agregada – capital (K) e trabalho (L):
Y = f(K;L)
As hipóteses iniciais do modelo são as seguintes:
• A tecnologia é dada.
• Os rendimentos marginais dos fatores de produção são decrescentes. 
• Há rendimentos constantes de escala.
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Essas hipóteses já foram tratadas antes nos fundamentos teóricos do crescimento econômico, 
quando os economistas clássicos propuseram que, a partir dessas hipóteses, a economia atinge o mais 
alto grau de eficiência na divisão do trabalho. Dessa forma, é necessário replicar a economia de modo a 
continuar produzindo sempre as mesmas quantidades alcançadas no maior nível de eficiência.
 Observação
De acordo com a teoria neoclássica, o nível de máxima eficiência 
da economia ocorre quando há plena utilização dos fatores de produção 
(capital e trabalho). Isso significa dizer que a economia trabalha em regime 
de pleno emprego e que todo capital poupado será investido. Portanto, em 
um determinado instante do tempo, as ofertas de capital e de trabalho na 
economia são inelásticas.
Considerando as hipóteses anteriores, podemos reescrever a função de produção agregada do 
modelo de Solow em termos de unidades de trabalho, ou seja, per capita:
y = f(k)
em que:
• f(k)=f(K⁄L;L⁄L)=f(K⁄L,1);
• y=Y⁄L: produto por trabalhador; 
• k=K⁄L: estoque de capital por trabalhador.
A partir das hipóteses apresentadas, podemos representar f(k) graficamente conforme a figura 26.
y
k
y f k
com f k
f k
f k
k
=
>
<
=
→∞
( )
: ’( )
’’( )
lim ’’( )
0
0
0
Figura 26 – Função de produção agregada por unidades de trabalho
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
 Lembrete
O produto por trabalhador y cresce, f’(k) > 0, porém a taxa de 
crescimento do produto é decrescente, ou seja, a produtividade marginal 
de k é decrescente, f’’ (k) < 0. 
Com base nessas hipóteses, a função de produção agregada do modelo de Solow deve descrever a 
trajetória de crescimento de longo prazo da economia.
Consideremos agora a seguinte relação macroeconômica, atentando para uma economia fechada 
sem governo:
y = c+i
em que:
• y = produto por trabalhador (Y/L);
• c = consumo por trabalhador (C/L); 
• i = investimento por trabalhador (I/L).
Essa relação decorre da hipótese macroeconômica de que o produto agregado é igual à 
demanda agregada.
 Observação
Em contas nacionais, pela ótica do dispêndio, toda a renda proveniente 
dos fatores de produção (capital e trabalho) deve ser utilizada pelos 
agentes econômicos (consumidores, capitalistas, governo e setor externo) 
na aquisição de bens e serviços. Daí que a renda agregada (Y) seja igual à 
demanda agregada.
A última equação mostra que o produto por trabalhador é igual à renda agregada per capita. Esta, 
por sua vez, é utilizada na forma de consumo pelas famílias e na forma de investimento pelas firmas. 
Para ser comparável coma renda per capita, a distribuição das despesas deve ser medida em termos 
de unidades de trabalho. Dessa forma, o produto por trabalhador (y) é igual à soma das despesas por 
trabalhador das famílias (c) e das firmas (i).
Alternativamente, a equação da demanda agregada por unidades de trabalho pode ser reescrita em 
termos do consumo por trabalhador:
c = y - i
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Adicionamos agora a hipótese comportamental de que o consumo por trabalhador é uma função da 
renda per capita, ou seja:
c c(y)=
em que c é a propensão marginal a consumir. Considere, ainda, que uma fração da renda per capita não 
é consumida, ou seja, é poupada. Então, temos que:
c s 1+ =
c 1 s= −
em que s é a taxa de poupança da economia. Esse valor é uma fração s da renda agregada e representa 
a propensão marginal a poupar das famílias. Nesse sentido, a fração s não excede 100% da renda 
agregada e nem é inferior a 0% dessa renda (0 < s < 1). Dessa forma, podemos reescrever a função 
consumo por trabalhador como:
c = (1 - s)y
Combinando a equação anterior com a relação que determina o consumo do trabalhador a partir da 
demanda agregada, obtém-se:
y-i = (1 - s)y
Resolvendo a última relação em função de i, temos que:
y - i = y - sy
i = sy
Como y = f(k), então:
i = sf(k)
Portanto, o valor do investimento agregado da economia é igual ao montante da renda agregada 
poupada pelas famílias, isto é, a renda que não é consumida ao longo do período. A taxa de poupança s 
determina a divisão do produto agregado por trabalhador entre consumo e investimento. Em qualquer 
nível de k, o produto é f(k), o investimento é sf(k) e o consumo é f(k) - sf(k). Assim, quanto maior a taxa de 
poupança s – alternativamente, quanto maior for a relação K/L –, mais próximo o nível de investimento 
relativo estará do produto por trabalhador e menor será o nível de consumo por trabalhador. Essa 
relação pode ser observada graficamente na figura 27:
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y
k
c
i
i = sf(k)
y
y = f(k)
Figura 27 – Taxa de poupança e produção agregada por unidades de trabalho
O modelo de Solow propõe, desse modo, que há uma relação entre propensão a poupar, dotação 
relativa de capital-trabalho e investimento por trabalhador com o produto per capita.
A variação do estoque de capital de uma economia de um ano para outro é o resultado do 
comportamento de duas variáveis: (i) o investimento realizado no período, ou seja, a aquisição de novas 
máquinas, equipamentos, ferramentas e instalações; e (ii) a depreciação, que é a diminuição do estoque 
prévio de capital devido ao seu desgaste natural no tempo. 
 Observação
A depreciação pode ser compreendida por meio de um exemplo simples. 
Quando uma família adquire uma residência nova, ela está comprando 
um bem de capital. Essa aquisição representa um investimento da família 
e o valor do imóvel adquirido é seu estoque de capital. Com o tempo, 
entretanto, a pintura da casa irá descascar, os canos apresentarão problemas 
de vazamento e a fiação elétrica será desgastada pelo uso. Esse desgaste – 
ou depreciação – deve ser reposto para manter o valor do imóvel.
O investimento acrescenta novo capital ao antigo, enquanto a depreciação retira uma parcela desse 
estoque de capital, a qual deixa de ser produtiva. Assim, vamos supor que o estoque de capital se 
deprecie a uma taxa constante δ, ou seja:
depreciação do capital = δk
A relação entre a taxa de depreciação δ e o estoque de capital por trabalhador k pode ser representada 
linearmente, conforme demonstrado na figura 28.
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δk
δk
k
Figura 28 – Depreciação do capital por trabalhador
A variação do estoque de capital por trabalhador é igual ao investimento por trabalhador (que 
representa um acréscimo no estoque de capital) subtraído da depreciação do capital (que representa 
uma redução no estoque de capital):
k i k= − δ�
A equação anterior também é chamada de equação dinâmica de acumulação de capital por unidades 
de trabalho, em que k� denota a variação do estoque de capital ao longo do tempo; i representa o 
investimento por trabalhador e foi definido anteriormente como i = sf(k); e δk representa o montante 
de capital depreciado. 
Logo, podemos reescrever a equação dinâmica de acumulação do capital por trabalhador da 
seguinte forma:
( )k sf k k= − δ�
Essa nova expressão nos diz que a variação do capital por trabalhador é positiva se a renda agregada 
por trabalhador poupada for maior que a parcela do capital depreciado. Caso contrário, a acumulação 
de capital por trabalhador será negativa.
7.2 Crescimento equilibrado
O crescimento equilibrado – ou estado estacionário de longo prazo – ocorre quando a variação 
do estoque de capital por trabalhador é nula. Fazendo k 0=� na equação dinâmica de acumulação do 
capital por trabalhador, chegamos a: 
0 = sf(k) - δk
sf(k) = δk
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Ou seja, no estado estacionário, o nível de investimento sf(k) deve ser igual à parcela do capital 
depreciado δk. Para entendermos melhor esse equilíbrio, podemos combinar os gráficos da função 
de produção agregada (figura 27) e da depreciação do capital (figura 28), resultando no gráfico da 
figura 29.
y, i, δk
A
k
k’ k*
y*
k’’
δk
i = sf(k)
Figura 29 – Equilíbrio de estado estacionário
O ponto A na figura 29 representa o equilíbrio de estado estacionário no longo prazo, em que 
o investimento por trabalhador é exatamente igual à parcela de capital depreciado. Nesse ponto, o 
estoque de capital por trabalhador é igual a k*, constituindo-se no equilíbrio de longo prazo ou de 
estado estacionário, no qual não existe crescimento nem do produto por trabalhador y nem do estoque 
de capital por trabalhador k. O ponto A trata-se de um equilíbrio estável, já que qualquer estoque de 
capital por trabalhador diferente de k* tende a levar a economia ao desequilíbrio de longo prazo.
Consideremos inicialmente que a economia esteja com um estoque de capital por trabalhador igual 
a k’, como no gráfico da figura 29. Nessa situação, a depreciação excede os investimentos na economia. 
Ao longo do tempo, há redução de k até o nível igual a k*, com a consequente redução do produto por 
trabalhador até y*. 
Por outro lado, se a economia apresentar estoque de capital por trabalhador igual a k’’, os 
investimentos excederiam a depreciação. Ao longo do tempo, haverá crescimento de k até o nível igual 
a k*, tendo como resultado a elevação do produto por trabalhador até y*
 Observação
Uma economia está no estado estacionário quando a renda per capita 
e o capital per capita permanecem constantes.
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Em resumo:
• Se k<k*, então: ∆k>0 ⇒ ∆y>0 
• Se k>k*, então: ∆k<0 ⇒ ∆y<0 
• Em k* ⇒ i=δk*
Exemplo de aplicação
Considere, no modelo de Solow, a função de produção agregada Cobb-Douglas:
Y = K1/2 L1/2
em que Y representa o produto agregado da economia; K é o estoque de capital; e L é a mão de obra.
a) Encontre a função de produção agregada por trabalhador (ou per capita) do modelo de Solow que 
apresenta a trajetória de crescimento equilibrado de longo prazo.Resposta
Sabe-se que o produto por trabalhador (ou renda per capita) e o capital por trabalhador são iguais, 
respectivamente, a:
Y K
y e k
L L
= =
A função de produção agregada por trabalho é encontrada a partir da divisão de ambos os lados da 
função Cobb-Douglas apresentada por L, ou seja:
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Y K L
L L
L
y K
L
1
y K
L
K
ky
y
L
=
=
=
 =
=
  
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Portanto, a função de produção do modelo de Solow que apresenta a trajetória de crescimento de 
longo prazo é:
f(k) = k1/2 
b) Calcule o nível de capital por trabalhador do estado estacionário, k*, considerando uma taxa de 
poupança igual a 35% e uma taxa de depreciação igual a 10%.
Resposta
Dados:
f(k) = k1/2 
s = 0,35
δ = 0,10
O valor de k*, ou seja, o estoque de capital por trabalhador em que k 0=� , será determinado a partir 
da equação dinâmica de acumulação do capital por trabalhador, da seguinte forma:
( )
( )
( )
1/2
1/2
1/2
1/2
221/2
*
k sf k k
0 0,35k 0,1k
0 k 0,35k 0,1
0 0,35k 0,1
0,1
k
0,35
0,1
k
0,35
k 12,25
−
−
−
−−−
= − δ
= −
= −
= −
=
 =   
=
�
Assim, no estado estacionário, a economia mantém sua trajetória de crescimento desde que o nível 
de capital por trabalhador seja igual a 12,25 unidades.
Como o crescimento de longo prazo pode ser definido por elevações no produto por trabalhador 
(renda per capita), torna-se necessário analisar os fatores que permitem a um país passar de um estado 
estacionário para outro, de tal sorte que tanto k como y sejam maiores. Nesse caso, devemos efetuar 
uma análise de estática comparada. Começaremos a análise de estática comparativa com uma alteração 
na taxa de poupança. 
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Imagine uma economia que tenha atingido o estado estacionário com um determinado nível de *0k 
e uma dada taxa de poupança 0s . Suponha agora que, nessa economia, ocorra uma elevação da taxa 
de poupança de 0s para 1s . Os efeitos dessa elevação em k e em y podem ser observados na figura 30.
y,i
k
A
E
E’
A’
y1*
i1*
y0*
i0*
k0* k1*
s0f(k)
s1f(k)
y = f(k)
δk
Figura 30 – Expansão da taxa de poupança em uma economia no estado estacionário
Por hipótese, no curto prazo, tanto k quanto δ permanecem constantes. Com o aumento da taxa 
de poupança, de s0 para s1, os níveis de investimento por trabalhador dessa economia se elevarão (de 
*
0i para 
*
1i ) do ponto A para o ponto A’ no gráfico da figura 30. No longo prazo, o estoque de capital por 
trabalhador se elevará de *0k para 
*
1k , , pois os níveis de investimento superam a taxa de depreciação (i > 
δ). Assim, paulatinamente, um novo estado estacionário é atingido no ponto A’. Por fim, uma elevação na 
taxa de poupança também reflete em um aumento no produto por trabalhador (de *0y para *1y ), em virtude 
da migração de um estado estacionário para outro (do ponto E para o ponto E’). Portanto, aumentos na 
taxa de poupança equivalem a um nível mais elevado de capital por trabalhador e, consequentemente, 
estão associados a maior renda per capita. Ou seja, a economia ficou mais rica do que antes. 
 Observação
Um aumento na taxa de poupança equivale a um aumento na taxa de 
investimento da economia. Dado o aumento da taxa de poupança, o nível 
de investimento excede a depreciação da economia e a taxa de crescimento 
do estoque de capital torna-se positiva.
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Concluindo, se a economia apresentar elevado nível de poupança, será proporcionado um grande 
estoque de capital por trabalhador (K/L), que culminará num alto nível de renda per capita (Y/L). No 
entanto, isso não significa que a economia conseguirá taxas de crescimento cada vez mais altas no 
longo prazo. A mudança de patamar na taxa de crescimento do produto ocorrerá apenas na passagem 
para um novo estado estacionário.
7.3 O nível ótimo de acumulação de capital
Ao escolher um estado estacionário, o objetivo dos formuladores de política econômica é maximizar 
o bem-estar da população. Os habitantes de um país não se preocupam com a quantidade de capital de 
uma economia, nem mesmo com o volume do produto agregado. As pessoas se interessam tão somente 
pela quantidade de bens e serviços que podem consumir.
Dessa forma, um gestor público interessado na qualidade de vida da população procura escolher 
um estado de equilíbrio de longo prazo que contenha o máximo de consumo possível. Esse equilíbrio é 
chamado de nível de acumulação de capital definido pela Regra de Ouro e é expresso por k**.
 Saiba mais
Robert Solow demonstrou que podem existir várias trajetórias para 
o crescimento econômico, ou seja, vários estados estacionários sujeitos 
às condições que fundamentam cada trajetória. Dentro das situações 
determinadas pela trajetória escolhida, define-se um ótimo para cada 
uma das variáveis envolvidas, como o consumo das famílias. Na literatura 
econômica, esse ótimo é definido como Regra de Ouro (Golden Rule). Essa 
proposição é bem detalhada em:
PHELPS, E. The Golden Rule of accumulation: a fable for growthmen. 
American Economic Review, n. 51, p. 638-643, Sept. 1961.
Para sabermos quando uma economia alcança seu nível ótimo, partiremos, inicialmente, de uma 
função de produção agregada por unidade de trabalho em um determinado momento t: 
yt = f(k)
Consideremos, também, que o gestor público esteja planejando aumentar o estoque de capital por 
trabalhador de k* para k* + 1. Nesse caso, espera-se que essa ação econômica produza um volume 
adicional de produto no período seguinte (t + 1) na ordem de:
yt+1 -yt = f(k* + 1) - f(k*)
O lado direito da equação anterior, f(k*+1) - f(k*), representa a variação esperada do estoque de 
capital por trabalhador que proporcionará, em algum grau, um acréscimo no produto por trabalhador. 
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Essa é, portanto, uma medida aproximada da produtividade marginal do capital (PMgK). A depreciação 
resultante de uma unidade a mais de capital K é igual a δ. Assim, o efeito líquido do acréscimo de K é:
PMgK - δ
O consumo per capita do país no estado estacionário pode ser verificado no gráfico da figura 31. 
Observe que o produto da economia é destinado tanto para o consumo quanto para o investimento. No 
estado estacionário (ponto A), o investimento é igual à depreciação. Portanto, no estado estacionário, o 
consumo (c*) é a diferença entre f(k*) e a parcela de capital depreciado δk*:
c* = f(k* ) - δk*
y,δ
k*
A
i*
c*
k**
y = f(k)
i = sf(k)
δk
Figura 31 – Consumo, taxa de poupança e a Regra de Ouro
O estado estacionário que maximiza o consumo é aquele determinado pelo estoque de capital 
definido pela Regra de Ouro, representado por k**. Dessa forma:
• Se k* < k**, no caso de o gestor público ampliar os investimentos, com efeito na elevação de k, 
ocorrerá um aumento em c, pois a produtividade marginal de K é maior que a taxa de depreciação 
(PMgK > δ).
• Se k* > k**, quando o gestor público ampliar os investimentos, com efeito na elevação de 
k, provocará uma redução em c, pois a produtividade marginal de K é menor que a taxa de 
depreciação (PMgK < δ).
• Se k* = k**, caso ogestor público amplie os investimentos, com efeito na elevação de k, não 
causará nenhum efeito em c, pois a produtividade marginal de K é igual à taxa de depreciação 
(PMgK = δ).
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Dessa forma, em k**:
PMgK = δ ⇒ PMgK - δ = 0
ou seja, a produtividade decorrente dos acréscimos de capital na produção equivale à própria taxa de 
depreciação.
Observa-se na figura 31 que existe também uma taxa de poupança correspondente ao nível 
do estoque de capital que equivale à Regra de Ouro, k**. Uma mudança na taxa de poupança iria 
deslocar a curva sf(k), o que levaria a economia a um estado estacionário com um nível menor 
de consumo.
Portanto, a escolha de determinada acumulação de capital correspondente ao estado estacionário é 
resultado da escolha de uma taxa de poupança específica, ou seja:
• Se a propensão a poupar que conduz ao nível de acumulação de capital definido pela Regra de 
Ouro for maior que a propensão a poupar no futuro, o estoque de capital por trabalhador no 
estado estacionário crescerá muito.
• Por outro lado, se a propensão a poupar que conduz ao nível de acumulação de capital definido 
pela Regra de Ouro for menor que a propensão a poupar no futuro, o estoque de capital por 
trabalhador no estado estacionário crescerá pouco.
 Observação
Países com elevadas taxas de poupança têm elevados níveis de produto 
no estado estacionário; países com baixas taxas de poupança têm um baixo 
nível de produto no estado estacionário.
Exemplo de aplicação
Suponha, dentro do modelo de Solow, as seguintes informações:
• Função de produção per capita: y = k1/2
• Taxa de depreciação de 10%: δ = 0,10
Considerando que o objetivo dos formuladores de política pública consiste em maximizar o bem-
estar da população (maximização do consumo), que taxa de poupança deveria ser escolhida para que 
tal objetivo seja alcançado no estado estacionário?
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Unidade III
Resposta
Primeiramente é necessário descobrir o volume de consumo por trabalhador no estado estacionário 
dado por:
c = y - i
No estado estacionário, sabemos que k 0=� . Logo, a equação dinâmica de acumulação do capital por 
trabalhador pode ser escrita da seguinte forma:
( )
( )
( )
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
221/2
* 2
2
k sf k k
0 sk 0,1k
0 k sk 0,1
0 sk 0,1
sk
0,1
k
s
0,1
k
s
0,1
100
k 100s
s
−
−
−
−
−−−
−
= − δ
= −
= −
= −
=
 =   
= =
=
�
Portanto, no estado estacionário, o nível de produto é definido a partir da função de produção 
agregada do modelo de Solow:
( )
*1/2
1/22
y k
y 100s 10s
=
= =
O nível de investimento por trabalhador no estado estacionário é dado por:
( )
*
2 2
i k
i 0,1 100s 10s
= δ
= =
Como c = y - i, substituindo os valores de y e i encontrados anteriormente:
2c 10s 10s= −
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
O objetivo do gestor público é maximizar o consumo per capita. Logo, a função-objetivo do 
administrador público é:
2
s
max c 10s 10s= −
Para resolver esse problema de otimização, devemos encontrar a taxa de poupança que maximiza o 
consumo. Logo:
c
10 20s 0
s
20s 10
10
s 0,5
20
∂
= − =
∂
=
= =
Portanto, a taxa de poupança necessária para determinar a acumulação de capital por trabalhador 
que maximize o consumo das famílias é igual a 50% da renda agregada. Dessa forma, o nível do estoque 
de capital que equivale à Regra de Ouro será:
* 2
** 2
k 100s
k 100 0,5 25
=
= ⋅ =
Logo, esse é o nível ótimo de acumulação de capital por trabalhador ou Regra de Ouro.
7.4 Crescimento demográfico e tecnologia
Consideremos, inicialmente, que a taxa de crescimento demográfico seja representada como:
n
L
g
L
=
�
Por hipótese, a taxa de participação da força de trabalho será mantida constante e a taxa de 
crescimento populacional será dada pelo parâmetro gn. Dessa hipótese resulta que a taxa de crescimento 
da força de trabalho L / L� é igual à taxa de crescimento demográfico. Ou seja, se gn = 0,02, então, a 
população do país e sua força de trabalho crescem à taxa de 2%.
Na sequência, modelaremos o progresso tecnológico, que, neste momento, iremos supor que existe 
e que cresce a uma taxa constante gA, ou seja:
A
A
g
A
=
�
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Unidade III
Para compreendermos melhor a dinâmica de acumulação de capital no modelo de Solow com 
crescimento demográfico e progresso técnico, é conveniente expressar a evolução do estoque de capital 
em termos de unidades de trabalho efetivo.
 Observação
Unidades de trabalho efetivo são aquelas que passam a ser afetadas por 
alguma medida de aumento de produtividade, como acúmulo de capital 
humano, inventos ou inovações em processos gerenciais.
Dessa forma, partiremos de uma função de produção com especificação Harrod-neutra:
Y=f(K;AL)
em que AL representa as unidades de trabalho efetivo. O capital por unidade de trabalho efetivo 
(denotado por k) é definido da seguinte forma:
K
k
AL
=
Ao diferenciarmos k em relação ao tempo ( k / t k∂ ∂ = � ), temos que:
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
K AL K AL AL
k
AL
K AL K AL K AL
k
AL AL AL
K K A K L
k
AL AL A AL L
⋅ − +
=
⋅ ⋅ ⋅
= − −
= − −
� � �
�
� � �
�
� � �
�
Como k = K/AL, ng L / L= � e Ag A / A= � , podemos simplificar a expressão anterior da seguinte 
forma:
( )
A n
A n
K
k kg kg
AL
K
k g g k
AL
= − −
= − +
�
�
�
�
Essa é a equação que define a acumulação de capital por trabalho efetivo. Nessa equação, o estoque 
de capital por trabalhador efetivo varia ao longo do tempo conforme a variação do capital descontado 
das taxas de crescimento do trabalho efetivo e da tecnologia.
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
Sabemos, de acordo com o tópico “Crescimento Equilibrado”, que a equação dinâmica de acumulação 
do capital por trabalhador (K / L� ) é descrita da seguinte forma:
( )k sf k k= − δ�
em que f(k)=y. Entretanto, o valor do produto por trabalhador y, na especificação da função de produção 
Harrod-neutra, deve ser descrito em unidades de trabalho efetivo, ou seja:
Y
y
AL
=
Da mesma forma, o estoque de capital por trabalhador também deve ser denotado em unidades de 
trabalho efetivo, isto é:
K
k
AL
=
Agora, a equação dinâmica que define ( )K /L, k sf k k= − δ� � , substituída na expressão que define a 
acumulação de capital por trabalho efetivo, ( )A n
K
k g g k
AL
= − +
�
� , resulta em:
( ) ( )
( )
( )
A n
A n
A n
k sf k k g g k
k sy k g g k
k sy g g k
= − δ − +
= − δ − +
= − + + δ
�
�
�
A equação anterior descreve a dinâmica de acumulação de capital por unidade de trabalho efetivo. 
Nela, há dois componentes que se subtraem: sy é a poupança por unidade de trabalho efetivo da 
economia e (gA+gn+δ)k é o chamado investimento de break-even. 
 Observação
O investimento de break-even é o montante de investimento necessário 
para manter a relação capital-trabalho (k) constante.
Da última equação decorrem três possibilidades quanto à variaçãodo estoque de capital por unidade 
de trabalho efetivo:
• Quando ( )A nsy g g k> + + δ : a variação do estoque de capital por unidade de trabalho efetivo é 
positiva, isto é, cresce o valor de k ao longo do tempo. 
• Quando ( )A nsy g g k< + + δ : há diminuição do estoque de capital por unidade de trabalho efetivo.
• Quando ( )A nsy g g k= + + δ : a variação do estoque de capital por unidade de trabalho efetivo é nula. 
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Unidade III
 Observação
A ideia básica da acumulação de capital consiste em que o investimento 
torna o estoque de capital maior e a depreciação menor.
O terceiro caso também é chamado de estado estacionário, ou seja, a situação em que a variável 
k não se altera no tempo. Isso ocorre em função de a sociedade poupar exatamente o suficiente para 
repor as unidades de capital depreciadas e para compensar o crescimento do trabalho efetivo, dado pela 
soma das taxas gA e gn. Esses três casos podem ser analisados com o auxílio da figura 32.
(gA + gn + δ)k
(gA + gn + δ)k*
y,i
k k
A
E E
i*
y*
(a) (b)
k* k*
y = f(k)
i = sy
�k = sy - (gA + gn + δ)k
�k
Figura 32 – Os componente da acumulação de capital na teoria de Solow
Na figura 32 vemos o desmembramento da acumulação de capital por unidade de trabalho efetivo 
em seus dois componentes. De um lado, painel (a) da figura 32, está o investimento bruto, representado 
pelo componente que acrescenta unidades ao estoque de capital: sy. Essa nova função nada mais é que 
a função de produção f(k) multiplicada pela taxa de poupança. Por esse motivo, a função investimento 
bruto é uma curva que passa por baixo da função de produção da economia. Para cada estoque de 
capital por unidade de trabalho efetivo (k*, por exemplo), há um nível de renda por unidade de trabalho 
efetivo determinado pela função de produção (y*) e, consequentemente, um volume de investimento 
por unidade de trabalho efetivo definido pela propensão marginal a poupar (i*). 
De outro lado, painel (b) da figura 32, temos a curva que descreve a relação entre a acumulação 
de capital e o chamado investimento de break-even: (gA + gn + δ)k. Da mesma forma que no caso 
anterior, para cada estoque de capital por unidade de trabalho efetivo (k*), há um nível de investimento 
de break-even determinado pela soma das taxas de crescimento da força de trabalho, de inovação 
tecnológica e de depreciação: (gA + gn + δ) k*. Como as taxas gA, gn e δ são constantes e, portanto, 
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
independem do nível de capital, a relação entre o investimento de break-even e o estoque de capital por 
unidade de trabalho efetivo é uma função linear. 
Juntando os dois componentes da equação acumulação de capital por unidade de trabalho efetivo, 
chegamos à figura 33.
sy > (gA + gn + δ)k
sy < (gA + gn + δ)k
y,i
k
k0
A
E
E
i*
y*
(a) (b)
k*
k*
y = f(k)
i = sy
�k < 0
�k < 0
�k > 0
�k > 0
(gA + gn + δ)k
�k
Figura 33 – O equilíbrio do modelo de Solow
O painel (a) da figura 33 ilustra a junção das duas curvas: investimento bruto (sy) e investimento 
de break-even [(gA + gn + δ)]. Das três situações possíveis que apresentamos anteriormente, a mais 
fácil de ser visualizada é o terceiro caso, em que os dois componentes se igualam. Esse caso ocorre 
quando as duas curvas se cruzam no ponto E, no qual sy = (gA + gn + δ) e, portanto, 
�k = 0. Esse ponto 
está associado ao estoque de capital por trabalho efetivo k*. Observe que à esquerda do ponto E do 
painel (a), quando sy > (gA + gn + δ), o investimento bruto supera o de break-even, o que implica 
uma variação positiva do estoque de capital por unidade de trabalho efetivo (�k > 0), ou seja, uma 
acumulação positiva de capital. Ao contrário, quando a economia se encontra à direita de k*, o 
investimento de break-even supera o investimento bruto, ou seja, sy < (gA + gn + δ), provocando uma 
acumulação negativa de capital (�k < 0). 
Conclui-se desses resultados que, ao longo do tempo, a economia acima caminha para o equilíbrio 
de estado estacionário E, em que o estoque de capital por unidade de trabalho efetivo é imutável e é 
dado por k*. Isso porque, quando o estoque de capital por unidade de trabalho efetivo está aquém desse 
valor, k < k*, essa economia acumula capital, fazendo k crescer em direção a k*. Quando o estoque de 
capital por unidade de trabalho efetivo atinge esse último valor, temos que �k = 0, pois sy = (gA + gn + δ)k. 
Por outro lado, quando o estoque de capital por unidade de trabalho efetivo está além de k*, a economia 
desacumula capital, fazendo k diminuir em direção a k*. 
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Unidade III
Assim, independentemente do ponto em que a economia se encontre em determinado momento, 
sabemos que ela irá convergir para k* e que aí irá permanecer indefinidamente ou até ocorrer um 
movimento exógeno que leve a curva sy para um patamar superior. Por esse motivo, chamamos o ponto 
E associado a k* de equilíbrio de estado estacionário: ao atingir esse estoque de capital por unidade 
de trabalho efetivo, a economia apenas investe o suficiente para repor o capital depreciado e para dar 
conta do crescimento da mão de obra e do aumento de produtividade.
 Observação
Do ponto de vista matemático, o equilíbrio de estado estacionário 
é estável, no sentido em que, ao ser atingido, a economia não é capaz de 
sair dele.
O mesmo raciocínio está ilustrado no painel (b) da figura 33, que descreve o diagrama de fase do 
sistema dinâmico do modelo de Solow. Notamos que, à esquerda do ponto k* de equilíbrio de estado 
estacionário, a variação do estoque de capital por unidade de trabalho efetivo é positiva. Mas, conforme 
o estoque de capital se aproxima do valor k*, diminui a variação de capital (�k) até ele se tornar nulo. 
À direita do ponto k*, a variação do estoque de capital por unidade de trabalho efetivo é negativa e, 
conforme o estoque de capital se aproxima do valor k*, essa variação vai se tornando cada vez mais 
próxima de zero. Isso significa que a economia converge para o ponto k*, em que a variação de capital 
por unidade de trabalho efetivo é nula. 
A economia possui o comportamento descrito na figura 33 em razão das premissas quanto ao 
formato da função de produção agregada da economia. 
 Lembrete
As três hipóteses que são estabelecidas em relação às características 
da função de produção são: retornos constantes de escala; ausência de 
produção livre; e retornos decrescentes de fatores produtivos.
Agora, recordemos as hipóteses levantadas sobre a produtividade marginal do capital:
• Para um nível de capital por unidade de trabalho efetivo muito pequeno (k→0), sabemos 
que a produtividade marginal desse capital é muito elevada (↑PMgK). Isso implica que os 
investimentos adicionais geram elevado crescimento do produto por unidade de trabalho 
efetivo (↑y). Como a poupança e, portanto, o investimento por unidade de trabalho efetivo 
são frações constantes desse produto, eles também irão crescer bastante, sobrepujando o 
investimento de break-even. 
• Para um nível muito elevado de capital por unidade de trabalho efetivo (k→∞), em que a 
produtividade marginal é praticamente nula (↓PMgK), a renda a mais gerada pelo investimento 
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
adicional é reduzida (↓y). Assim, também é reduzidoo crescimento da poupança por unidade de 
trabalho efetivo. Nesse caso, o aumento do investimento não é capaz de compensar o crescimento 
do investimento de break-even.
Do exposto anteriormente, concluímos que as economias irão, em algum momento, atingir 
seus respectivos equilíbrios de estado estacionário. Quando isso ocorrer, teremos que a variação do 
estoque de capital por unidade de trabalho efetivo será nula. Essa condição nos permite calcular o 
estoque de capital e o produto, ambos por unidade de trabalho efetivo, que prevalecem no estado 
estacionário. Esse cálculo torna possível a comparação entre economias com diferentes taxas 
de poupança e de crescimento da mão de obra. Para tal, basta considerar a equação dinâmica 
de acumulação de capital por trabalho efetivo em que a variação do estoque de capital é nula e 
substituir k por k*:
( ) *A nk sy g g k 0= − + + δ =�
Com isso, podemos igualar o investimento bruto ao investimento de break-even e encontrar o 
estoque de capital de estado estacionário:
( )
( )
*
A n
*
A n
sy g g k
sy
k
g g
= + + δ
=
+ + δ
Ao considerarmos que a função de produção é uma Cobb-Douglas Harrod-neutra:
( ) 1Y f K;AL K AL , 0 1α −α= = < α <
e tendo em vista (i) a propriedade de retornos constantes de escala da função de produção agregada; 
e (ii) que k = k*, segue que o produto por trabalho efetivo (y = Y/AL) pode ser determinado da 
seguinte forma:
y (k*)α=
 Observação
Assumindo o pressuposto dos retornos constantes de escala, o 
trabalho analítico fica facilitado, pois isso nos permitirá utilizar uma função 
de produção agregada na forma intensiva, ou seja, em termos de unidade 
de trabalho.
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Unidade III
Substituído esse resultado na expressão anterior para k*, temos:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
*
*
A n
*
* A n
1*
A n
1
1*
A n
s k
k
g g
k s
g gk
s
k
g g
s
k
g g
α
α
−α
−α
=
+ + δ
=
+ + δ
=
+ + δ
 
=  + + δ 
Da última expressão, é possível calcular o valor do capital por unidade de trabalho efetivo de estado 
estacionário. Um aspecto importante a ressaltar é o fato de que uma mudança na propensão a poupar 
implica, nesse modelo, uma variação no valor da poupança por unidade de trabalho efetivo. Por exemplo, 
conforme já observamos na figura 30, o crescimento de s provoca o deslocamento para cima da curva 
sf(k), implicando a elevação do capital por trabalhador e de renda per capita de estado estacionário. 
Considerando o modelo completo, com crescimento demográfico e tecnologia, esse comportamento 
se mantém. Tomando-se a derivada de k*, da expressão anterior, com relação à propensão marginal a 
poupar (s), confirma esse efeito positivo, ou seja:
( ) ( )
*
A n
A n
k f(k)
0, em que g g sf '(k) 
s g g sf '(k)
∂
= > + + δ >
∂ + + δ −
Por fim, podemos calcular o produto por unidade de trabalho efetivo de estado estacionário. 
Considerando novamente que y = (k*)α, então:
1
*k y α=
Substituindo esse valor na equação que identifica o valor do capital por trabalho efetivo no estado 
estacionário (k*), obteremos:
( )
( )
1
1
1
A n
1*
A n
s
y
g g
s
y
g g
−α
α
α
−α
 
=  + + δ 
 
=  + + δ 
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
Na expressão anterior, o produto por trabalho efetivo no estado estacionário (ou renda per capita), 
y*, resulta da combinação das taxas de poupança, de crescimento da força de trabalho, de inovação 
tecnológica e de depreciação. Quando tomamos o logaritmo dos dois lados da equação anterior, ou seja:
( )
( )
1*
A n
*
A n
s
lny ln
g g
lny lns ln g g
1 1
α
−α 
=  + + δ 
α α
= − + + δ
− α − α
em que α⁄(1-α) representa o coeficiente associado ao diferencial entre a taxa de investimento bruto s 
e o investimento de break-even (gA + gn + δ). Esse coeficiente também pode ser interpretado em termos 
de elasticidade: uma variação percentual da taxa de investimento líquido sy - (gA + gn + δ)k produz uma 
variação percentual no produto agregado por trabalho efetivo na ordem de α⁄(1-α). 
 Observação
O coeficiente α⁄(1-α) também é conhecido como elasticidade-capital 
físico de longo prazo do produto per capita.
As duas expressões para obtenção de k* e y* nos dão, respectivamente, as fórmulas de cálculo dos 
valores do capital e do produto de estado estacionário de uma economia. Por meio delas, também é 
possível calcular o estoque de capital e produto por trabalhador de distintas economias. Como y = Y/AL 
e k = K/AL, obtemos as seguintes equações:
( )
( )
1
* 1
A n
* 1
A n
K s
A
L g g
Y s
A
L g g
−α
α
−α
   =     + + δ 
   =     + + δ 
Exemplo de aplicação
Considere uma economia com função de produção agregada dada por: Y = K1/2 (AL)1/2, em que Y 
é o produto agregado (em milhares de $), K é o estoque de capital (em milhares de $) e L é a força 
de trabalho (em milhares de trabalhadores). Sejam, também, os seguintes valores de parâmetros 
dessa economia:
• Taxa de poupança: s = 0,20
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Unidade III
• Taxa de depreciação: δ = 0,05
• Taxa de crescimento demográfico: gn = 0,025
• Taxa de progresso tecnológico: gA = 0,025 
a) Calcular os valores do capital (k*) e do produto (y*) por trabalhador efetivo no estado estacionário.
Resposta
A condição de estado estacionário com progresso técnico, considerando uma função de produção 
agregada Cobb-Douglas com especificação Harrod-neutra, é a de que:
�k = 0
em que:
K
k
AL
=
O produto por trabalho efetivo (y = Y/AL), no caso de uma função de produção agregada Cobb-
Douglas Harrod-neutra, é definido como:
y kα=
em que α = 1/2. Dessa forma, o valor do capital por trabalhador efetivo no estado estacionário pode ser 
definido pela fórmula:
( )
1
1*
A n
s
k
g g
−α 
=  + + δ 
Substituindo os valores informados na fórmula anterior, obteremos:
( )
1
1 1/2*
*
0,20
k
0,025 0,025 0,05
k 4
− 
=  + + 
=
Logo, o estoque de capital por trabalhador efetivo no estado estacionário é igual a $ 4 mil. 
O produto por trabalho efetivo (ou renda per capita) no estado estacionário é obtido através da 
seguinte fórmula:
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
( )
1*
A n
s
y
g g
α
−α 
=  + + δ 
Substituindo os parâmetros pelos valores informados, obtemos:
( )
1/2
1 1/2*
*
0,20
y
0,025 0,025 0,05
y 2
− 
=  + + 
=
Logo, o produto por trabalhador efetivo no estado estacionário é igual a $ 2 mil. 
b) Qual é a interpretação que pode ser efetuada para o coeficiente α⁄(1-α)?
Resposta
Como α = 0,5, então:
0,5
1
1 1 0,5
α
= =
− α −
Ou seja, a elasticidade do produto agregado por trabalho efetivo em relação à taxa de investimento 
líquido é igual a 1. Isso significa dizer que qualquer aumento percentual na taxa de investimento líquido 
da economia proporcionará um crescimento do produto per capita em igual magnitude.
7.5 Estática comparativa
Nas seções anteriores, ao estudarmos o modelo de Solow, consideramos que os valores dos 
parâmetros – taxa de crescimento demográfico (gn) e taxa de progresso tecnológico (gA) – são constantes. 
Analisaremoscomo o modelo de Solow responde a mudanças nos valores de seus parâmetros. Em 
particular, veremos o que acontece com a renda per capita, que se encontra inicialmente em estado 
estacionário (y*), quando a economia passa por um choque.
7.5.1 Aumento na taxa de crescimento demográfico
O primeiro choque que investigaremos é o efeito de um aumento na taxa de crescimento 
demográfico na renda per capita de estado estacionário. Considere, inicialmente, uma economia que 
atingiu o estado estacionário para o valor do produto por trabalho efetivo. Suponha adicionalmente 
que essa economia sofra um surto imigratório que eleve a taxa de crescimento da força de trabalho 
permanentemente de gn0 para gn1, mantendo-se os demais parâmetros constantes. Os efeitos desse 
choque sobre k e y são verificados na figura 34.
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y,i
k
E
A
E’
A’
k1*
i1*
y1*
i0*
y0*
k0*
y = f(k)
sf(k) = sy
(gA + gn1 + δ)k
(gA + gn0 + δ)k
Figura 34 – Efeito de um aumento da taxa de crescimento demográfico no estado estacionário
Um aumento da taxa de crescimento da força de trabalho, como a ilustrada na figura 34, representa 
um impacto negativo sobre o capital e o produto por trabalhador de estado estacionário, visto que ele 
aumenta o investimento de break-even, deslocando a curva (gA + gn0 + δ)k para a esquerda. Dado o 
montante corrente de capital por trabalho efetivo ( *0k ), o investimento por trabalhador já não é mais 
suficiente para manter constante a razão capital-trabalho no contexto de aumento da força de trabalho 
(cai de *0i para 
*
1i ). Dessa forma, k começa a cair, pois (K⁄AL↑) ⇒ ↓k. A queda prossegue até o ponto A’, 
em que sy = (gA + gn1 + δ)k e 
*
1k . Nesse ponto, a economia dispõe de menos capital por trabalho efetivo 
do que antes ( * *1 0k k< ).
Na figura 34, o ponto A’ equivale ao ponto E’, que representa o novo estado estacionário da economia, 
em que a renda per capita cai (de *0y para *1y ) e a população se torna mais pobre. Conclui-se, portanto, 
que economias com altas taxas de crescimento populacional tendem a apresentar baixos níveis de 
capital por trabalho efetivo e, por consequência, rendas per capita mais baixas. Observe que a taxa de 
crescimento demográfico não afeta a taxa de crescimento equilibrado da economia (não há alteração 
de estado estacionário), mas tão somente seu nível de renda de equilíbrio.
 Observação
O modelo de Solow prediz que países com uma elevada taxa de 
crescimento populacional terão baixos níveis de capital e renda per capita 
no longo prazo.
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7.5.2 Aumento na taxa de progresso técnico
Imaginemos, agora, que uma economia, que atingiu o estado estacionário para o valor do produto 
por trabalho efetivo, tenha um aumento permanente na taxa de progresso tecnológico de gA0 para 
gA1, mantendo-se os demais parâmetros constantes. Os efeitos desse choque sobre k e y podem ser 
verificados na figura 35.
y,i
k
E
A
E’
A’i1*
y1*
i0*
y0*
k0*
y0 = f(k)
y1 = f(k)
sy0
sy1
(gA1 + gn + δ)k
(gA0 + gn + δ)k
Figura 35 – Efeito de um aumento da taxa de progresso tecnológico no estado estacionário
Um aumento da taxa de crescimento de progresso tecnológico representa, num primeiro momento, 
um impacto inicial negativo sobre o capital e o produto por trabalhador de estado estacionário, visto 
que ele aumenta o investimento de break-even, deslocando a curva (gA0 + gn + δ)k para a esquerda. 
Entretanto, dadas as hipóteses relativas à função de produção Harrod-neutra, em que uma elevação do 
nível tecnológico provocaria uma redução na necessidade de trabalho e, consequentemente, elevação 
da razão capital-trabalho, ou seja:
K
k k
AL
= ⇒
↑ ↓
então, o nível de capital por trabalho efetivo será o mesmo, para um nível de investimento de 
break-even maior. Dado o montante corrente de capital por trabalho efetivo ( *0k ), o investimento 
por trabalhador é mais do que suficiente para manter constante a razão capital-trabalho no 
contexto de redução da necessidade de força de trabalho. Nesse caso, haverá uma expansão 
da função de produção com as seguintes consequências: sobe o investimento por trabalhador 
efetivo (de *0i para 
*
1i ) e sobe o produto (de 
*
0y para 
*
1y ). Dessa forma, a economia dispõe da 
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Unidade III
mesma quantidade de capital por trabalho efetivo do que antes, mas a elevação da PTF provoca 
crescimento econômico e enriquecimento da população. 
O modelo de Solow assume, por hipótese, que o parâmetro gA cresce a uma taxa exponencial, 
constante e exógena. O crescimento tecnológico, dessa forma, seria uma espécie de “maná” que cai 
do céu, no sentido de que ele surge automaticamente na economia. Assim, temos que o progresso 
tecnológico pode ser visto como um aumento na oferta efetiva de trabalho, a qual cresce não apenas 
em função do crescimento populacional, mas também do progresso técnico. 
 Observação
A tecnologia é definida como sendo o modo pelo qual os insumos são 
transformados em produto no processo de produção.
O progresso técnico no modelo neoclássico é pensado como sendo 
exógeno.
Consideremos gY a taxa de crescimento do produto agregado da economia e gy a taxa de crescimento 
do produto por trabalho efetivo ou, ainda, da renda per capita. No longo prazo, pelo que descrevemos na 
figura 35, o produto agregado da economia, Y, deve crescer de acordo com o crescimento do trabalho 
efetivo, ou seja:
gy = gA + gn
em que gA + gn é a taxa de crescimento do trabalho efetivo. O produto por trabalho efetivo, y, por sua 
vez, cresce à taxa gA no equilíbrio de estado estacionário:
gy = (gY - gn) = (gA - gn) - gn = gA 
Portanto, de modo geral, as variáveis per capita crescem à taxa gA e as variáveis em nível crescem 
à taxa gA + gn. Esses resultados, para o crescimento do produto agregado, estão sintetizados na 
tabela a seguir.
Tabela 7 – Valores da taxa de crescimento do produto agregado no modelo de Solow
Variável Descrição Taxa de crescimento
y=Y/L Produto por trabalho efetivo (PIB per capita) gA
Y Produto agregado (PIB) gA + gn
Considerando a análise desenvolvida até aqui sobre o modelo de Solow, podemos concluir 
que o progresso tecnológico tem papel fundamental na determinação das diferenças de taxa 
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de crescimento econômico entre os países. Pelo modelo de Solow, somente o progresso técnico 
permite sucessivos deslocamentos de f(k) para cima, como observado na figura 35, que implicaria 
elevação da renda per capita no longo prazo. 
 Observação
Países com um elevado nível tecnológico têm um nível de produto mais 
alto do que países com um baixo nível tecnológico no estado estacionário.
Exemplo de aplicação
Regra de Ouro com progresso técnico e crescimento demográfico
Como discutido anteriormente, a Regra de Ouro é o estado estacionário que maximiza o consumo. 
Sendo assim, suponhamos uma economia fechada simples em que o produto agregado per capita, y, 
seja dado por:
y c i c y i= + ⇒ = −
em que c e i são, respectivamente, o consumo per capita e o investimento per capita. No modelo de 
Solow sem crescimento demográfico e sem progresso técnico, y é definido por uma função de produção 
agregada f(k) e o investimento de break-evené determinado por δk. Logo:
( )c f k k= − δ
em que k é a razão capital-trabalho e δ é a taxa de depreciação do capital. O estado estacionário ótimo 
é aquele que maximiza o consumo em relação à quantidade de capital por trabalhador que a sociedade 
deseja. Dessa forma:
( )
k
max c f k k= − δ
Resolvendo o problema de otimização anterior, obtemos:
( )
( )
'
'
c
f k 0
k
f k
∂
= − δ =
∂
= δ
em que f’(k) é a primeira derivada da função de produção agregada e equivale ao crescimento do 
produto per capita.
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Unidade III
Suponha agora as seguintes informações:
• y = k1/2
• δ = 0,05
a) Qual a taxa de poupança, s, necessária para manter o crescimento do produto agregado per capita 
em equilíbrio de estado estacionário?
Resposta
No equilíbrio de estado estacionário, o produto agregado per capita cresce da seguinte forma:
f’(k) = δ
f’(k) = 0,05
em que f’(k) é igual a:
1/21y ' dy k
2
−= =
Como y’=δ, então:
( )
1/2
2
1
k 0,05
2
k 0,1 100
−
−
=
= =
Sabemos adicionalmente que, pelo modelo de Solow:
sy = δk
sy = 0,05k
Como y = k1/2 e k = 100, então:
sk1/2 = 0,05k
s(100)1/2 = 0,05(100)
s = 0,5
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Observe que, numa função de produção agregada Cobb-Douglas com retornos constantes de escala, 
a taxa de poupança no estado estacionário será igual ao coeficiente α.
b) Suponha agora uma Regra de Ouro sem progresso técnico, mas com aumento populacional, gn. 
Nesse caso, a equação de demanda agregada torna-se:
c = y - i - gn
c = f(k) - δk - gnk
A solução maximizadora do consumo no estado estacionário impõe que:
( ) n
k
n
c
max c f ' k g 0
k
f '(k) g
∂
= = − δ − =
∂
= δ +
Suponha, agora, os seguintes dados:
1/2
1/2
n
y k
1
y ' k
2
0,05
g 0,05
−
=
=
δ =
=
Qual a taxa de poupança, s, necessária para manter o crescimento do produto agregado per capita 
em equilíbrio de estado estacionário nessas circunstâncias?
Resposta
Pelas informações apresentadas, o produto agregado per capita cresce da seguinte forma:
( )
n
1/2
2
y ' g
1
k 0,05 0,05
2
k 0,2 25
−
−
= δ +
= +
= =
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Nesse ponto, a taxa de poupança s é determinada da seguinte forma:
sy = k(δ +gn)
sk1/2 = k(0,05 +0,05)
s(25)1/2 = 25(0,1)
s = 0,5
Logo, a taxa de poupança não se altera com a introdução do crescimento populacional.
c) Suponha agora uma Regra de Ouro com progresso técnico, gA, e com crescimento demográfico, 
gn. Nesse caso, a equação de demanda agregada torna-se:
c = y - i - gn - gA
c = f(k) - δk - gnk - gAk
A solução que maximiza o consumo no estado estacionário resulta em:
max ’
’
k
n A
n A
c
c
k
f k g g
f k g g
=
∂
∂
= ( ) − − − =
( ) = + +
δ
δ
0
Suponha, agora, os seguintes dados:
1/
n
A
2
1/2
y
0
k
,05
g
1
y ' k
0,05
g 0,02
2
5
−
=
δ =
=
=
=
Qual a taxa de poupança, s, necessária para manter o crescimento do produto agregado per capita 
em equilíbrio de estado estacionário nessas circunstâncias?
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Resposta
Dadas as informações anteriores, o produto agregado per capita cresce da seguinte forma:
( )
n A
1/2
2
y ' g g
1
k 0,05 0,05 0,025
2
k 0,25 16
−
−
= δ + +
= + +
= =
Nesse ponto, a taxa de poupança s é determinada da seguinte forma:
( )
( )
( ) ( )
n A
1/2
1/2
sy k g g
sk k 0,05 0,05 0,025
s 25 25 0,125
s 0,5
= δ + +
= + +
=
=
Portanto, a taxa de poupança não se altera nem com a introdução do crescimento populacional nem 
com a taxa de progresso tecnológico.
As informações deduzidas aqui permitem que se estabeleça um resumo (tabela a seguir) do 
crescimento do produto agregado per capita, tanto no estado estacionário quanto no estado estacionário 
na Regra de Ouro.
Tabela 8 – Taxa de crescimento do produto agregado no estado 
estacionário e na Regra de Ouro
Estado da 
economia no 
longo prazo
Sem gn e sem gA Com gn e Sem gA Com gn e Com gA
Estado Estacionário sy = δk sy = (δ + gn)k sy = (δ + gn + gA)k
Estado Estacionário 
na Regra de Ouro y’ = δ y’ = δ + gn y’ = δ + gn + gA
8 INOVAÇÃO TECNOLÓGICA E CAPITAL HUMANO
No modelo de Solow apresentado no capítulo anterior, a dinâmica das economias é dada pelas 
decisões de acumulação de capital, já que os outros dois insumos de produção – trabalho e conhecimento 
– são tratados como variáveis exógenas, ou seja, têm suas dinâmicas de acumulação determinadas fora 
da economia.
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Além disso, consideramos que a mão de obra é um fator de produção homogêneo. Isso 
significa que supomos, até o momento, que todos os trabalhadores brasileiros, por exemplo, 
têm a mesma produtividade, isto é, igual capacidade de produzir bens e serviços ou de 
adicionar valor à produção. E admitimos que todos os países disponham de força de trabalho 
igualmente produtiva.
No entanto, essas hipóteses são extremamente fortes. É difícil supor que um trabalhador pouco 
instruído de um país subdesenvolvido tenha a mesma capacidade produtiva de um trabalhador alemão 
ou japonês.
Agora, vamos ampliar a abordagem da teoria do crescimento, introduzindo mais uma variável 
dinâmica no modelo de Solow: a acumulação de capital humano. Nessa abordagem, o próprio conceito 
de capital é redefinido e passa a ser interpretado em um sentido mais amplo: além do capital físico, as 
economias dependem de seu capital humano, ou seja, das habilidades, da destreza e do conhecimento 
de seus trabalhadores.
8.1 Definição de capital humano
O conceito de capital humano envolve as habilidades e conhecimentos próprios de cada indivíduo. 
Especificamente, o capital humano refere-se às habilidades inatas das pessoas; além disso, depende de 
educação formal ou informal, do aprendizado e treinamento ocorrido no trabalho e da condição de 
saúde de cada um, pois esta também afeta sua produtividade.
Pela definição proposta, é possível notar que o capital humano é pessoal e intransferível. Do ponto 
de vista econômico, diz-se que é um bem rival e excludente. 
 Observação
Bens rivais são aqueles cujo consumo por uma pessoa reduz a 
quantidade disponível para as demais.
Bens excludentes são aqueles que, após serem produzidos, os 
consumidores podem ter seu acesso negado. 
O capital humano é um bem rival, pois existe um custo adicional relacionado a seu uso por 
mais pessoas – no caso, o pagamento de salário pelo serviço prestado. Ele também é excludente, 
porque é possível restringir seu acesso a outras pessoas – pelo fato de ser inerente à pessoa. 
O capital humano difere, portanto, do conceito geral e abstrato de conhecimento, o qual é, na 
maior parte das situações, tratado como sendo não rival e não excludente, uma vez que, dessa 
forma, ele estaria à disposição de todos, com a possibilidade de uso simultâneo por todos, e sem 
custo de aquisição.
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 Observação
Teoremas matemáticos são de conhecimento público, pois eles estão 
disponíveis em livros, espalhados por bibliotecas e, portanto, acessíveis a 
qualquer um, sem custos. Por outro lado, o uso deles para, por exemplo, 
construir uma obra de infraestrutura, dependerá de um conhecimento 
mais específico, ou seja, do capital humano individual.
Na microeconomia, em específico em Economia do Trabalho, a teoria do capital humano tornou-
se um campo de estudo importante a partir de trabalhos como os de Gary Becker (1964) e Jacob 
Mincer (1974). 
 Saiba mais
Gary Becker inovou os estudos sobre Educação, pois passou a tratá-la 
não mais como apenas um bem de consumo, mas como um investimento. 
A decisão de investimento em capital humano é feita nos moldes da 
decisão de investimento em capital físico, sendo seu retorno medido em 
termos da renda futura, possibilitada pela aquisição de capital humano. 
A teoria do capital humano tornou-se um instrumento amplamente 
utilizado para a análise microeconômica, e também acabou incorporada 
na análise macroeconômica do crescimento econômico. Para saber mais 
detalhes, consultar:
BECKER, G. Human capital: a theoretical and empirical analysis 
with special reference to education. Chicago: The University of Chicago 
Press, 1964.
Na teoria do capital humano, a decisão de investimento em capital humano é entendida como 
uma decisão individual e racional, em que cada indivíduo pesa os custos envolvidos, monetários ou 
não, e o retorno futuro de seu investimento para determinar quanto capital humano irá adquirir. 
Essa relação entre ganho e a vida do indivíduo é observada na figura 36.
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Custos diretos
Custos indiretos
Benefício da 
educação
18 22 26 45
Idade 
(anos)
Ganhos 
salariais 
(w)
Ganhos do indivíduo 
com educação formal
Ganhos do indivíduo 
sem educação formal
wE
wA
-w0
0
Figura 36 – Retornos da educação formal
No gráfico da figura 36, observe que um indivíduo sem educação formal (por exemplo, que não 
ingressou em uma universidade) entra no mercado de trabalho com 18 anos e aufere um ganho 
wA. Entretanto, a ausência de qualificação não permite que ele aumente substancialmente sua 
produtividade ao longo da vida e, com isso, seus ganhos permanecem estáveis. É possível dizer, 
assim, que esse indivíduo incorreu num custo indireto (custo de oportunidade), entre 18 e 22 anos, 
por não ter adquirido educação formal.
O indivíduo que ingressa na faculdade aos 18 anos, por sua vez, incorre num custo direto 
representado pelas mensalidades a serem pagas. Entretanto, aos 22 anos, ele ingressa no mercado de 
trabalho e, rapidamente, seus ganhos começam a subir, fruto do conhecimento adquirido, que eleva 
sua produtividade. Todo ganho salarial a mais que o indivíduo com qualificação aufere refere-se ao 
benefício da educação formal.
Mais formalmente, o indivíduo calcula o valor presente dos custos de adquirir capital humano e 
dos fluxos futuros da renda determinada por esse nível de capital humano, dada a taxa de retorno da 
economia, e compara o retorno da qualificação adicional com o de outro nível educacional. Os custos 
de aquisição de capital humano considerados envolvem não só o gasto monetário efetivo, mas também 
o custo da oportunidade de não estar trabalhando no período de estudo. 
 Observação
Um indivíduo irá investir em capital humano até o ponto no qual os 
retornos marginais (benefícios marginais) da educação sejam iguais aos 
custos marginais.
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
Supõe-se que o capital humano aumenta a produtividade, e que esta determina o salário. A 
magnitude de variação do salário em função do aumento de capital humano depende, porém, da relação 
de demanda e de oferta dos trabalhadores com determinado nível de qualificação: em um país em que 
toda a população possui nível superior, adquiri-lo não trará retorno tão alto como em uma população 
em que a grande maioria tem apenas primário completo e, portanto, há escassez de trabalhadores com 
melhor formação.
 Saiba mais
Langoni (1974) mostrou que uma das explicações para a concentração 
de renda no Brasil nos anos 1970 baseava-se no aumento da demanda 
por trabalhadores qualificados, gerado pelo rápido crescimento econômico 
do país. Ou seja, a escassez de oferta levou a um aumento mais que 
proporcional na renda dos indivíduos mais qualificados. Em estudos atuais, 
há relativo consenso de que o fator capital humano naquele momento foi 
relevante para a dinâmica da distribuição de renda. Para entender o debate 
sobre distribuição de renda e capital humano no Brasil, consultar:
LEAL, C. I. S.; WERLANG, S. R. C. Educação e distribuição de renda. In: 
CAMARGO, J. M.; GIAMBIAGI, F. Distribuição de renda no Brasil. Rio de 
Janeiro: Paz e Terra, 1991.
Dado que o aumento de capital humano melhora a produtividade, a decisão de investimento a 
ele relacionada afetaria não só a renda individual, mas também o crescimento do país. Essa análise é 
similar ao que vimos no modelo de Solow original: o maior ou menor investimento em capital físico 
também afeta o crescimento. Dessa forma, parece razoável considerar o capital humano como mais um 
fator determinante do crescimento, distinto do fator trabalho, pois este não leva em conta diferentes 
qualificações, enquanto o capital humano incorpora habilidades específicas dos indivíduos e pode ser 
acumulado como um investimento.
Alguns autores ainda consideram que, além de aumentar diretamente a produtividade individual, a 
aquisição de capital humano pode gerar externalidades positivas, isto é, de algum modo outras pessoas 
também usufruem da aquisição individual de capital humano e, portanto, o capital humano teria 
características não só de bem privado, mas também de bem público. 
 Observação
Uma externalidade positiva significa que, em uma ação econômica, o 
benefício marginal social é maior que o benefício marginal privado.
Por exemplo, a maior escolaridade de uma parcela da população pode gerar externalidades para 
a sociedade como um todo na forma de menores taxas de criminalidade, maior acesso à informação, 
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melhorias na qualidade de vida e da saúde dos indivíduos, entre outros benefícios. Por outro lado, 
em um âmbito mais privado, a melhor qualificação de um funcionário pode contribuir para a maior 
produtividade de seus colegas de serviço.
No que respeita à aplicação dos conceitos da teoria do capital humano ao crescimento econômico, há 
duas vertentes básicas: a que distingue mão de obra qualificada e não qualificada, como a apresentada 
em Mankiw, Romer e Weil (1992), e a teoria da mão de obra ajustada à produtividade, desenvolvida por 
Lucas Jr. (1988) e, posteriormente, por Hall e Jones (1999). Essas duas abordagens serão estudadas nas 
próximas duas seções.
8.2 O modelo de Solow com trabalho qualificado
A introdução do capital humano no modelo de Solow visa a aumentar o poder explicativo da 
acumulação de capital, agora em seu sentido mais amplo, em relação ao crescimento de longo prazo 
e à diferença de renda entre países. Como visto anteriormente, o modelo básico de Solow não prevê a 
magnitude das diferenças de renda existentes entre países: explica apenas uma parte dessas diferenças. 
Assim, aos incorporarmos o capital humano ao modelo, buscamos determinar como o estoque 
desse fator afeta a produçãocorrente e qual é a alocação de poupança – ou de tempo – dedicada à 
acumulação desse mesmo capital humano. Com isso, esperamos que se eleve o poder de explicação do 
modelo e que os coeficientes estimados fiquem mais próximos do esperado. 
O modelo de Solow com trabalho qualificado segue a especificação de Mankiw, Romer e Weil (1992), 
também conhecido como modelo MRW. Essa modelagem mantém a função de produção agregada 
Cobb-Douglas com especificação Harrod-neutra e as hipóteses de retornos marginais decrescentes dos 
fatores de produção e de retorno constante de escala para a introdução da variável capital humano. 
A nova especificação da função de produção agregada considera a distinção entre capital físico (K) e 
capital humano (H):
( )1Y K H AL ; , 0 e 1−α−βα β= α β > α + β <
em que α e β são parâmetros positivos da função de produção e determinam a participação dos 
fatores capital físico (K), capital humano (H) e trabalho não qualificado ajustado à tecnologia (AL) na 
composição do produto Y. Dessa forma, supondo que cada fator seja pago de acordo com seu produto 
marginal, teremos:
• A participação percentual do capital físico (K) é igual a α.
• A participação percentual do trabalho (L) é igual a 1- α, sendo esta dividida entre:
— Trabalho qualificado (H), cuja participação percentual é igual a β; 
— Trabalho não qualificado ajustado pela tecnologia disponível (AL), cuja participação percentual 
é igual a 1 - α - β. 
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
De acordo com essa nova especificação, um trabalhador fornece dois tipos de trabalho: o trabalho 
não qualificado, que é sempre igual para todos os indivíduos, e o trabalho qualificado, isto é, o capital 
humano, o qual pode variar entre indivíduos, dependendo de suas qualificações inatas. Por hipótese, os 
trabalhadores são idênticos em sua escolha do nível de capital humano que desejam adquirir, de forma 
que não precisamos nos preocupar com a composição de H entre os vários indivíduos, e simplesmente 
supomos que cada um contribui com certa quantidade de capital humano efetivo, H/L. Também há 
a suposição de que a tecnologia, medida por A, afeta como antes apenas a produtividade do fator 
trabalho não qualificado. 
Em termos de produto por trabalho efetivo (y), temos:
( )
( )
( ) ( )
1K H ALY
y
AL AL
1
y K H
AL
K H
y
AL AL
−α−βα β
α β
α+β
α β
α β
= =
=
=
Fazendo o capital físico por unidade de trabalho efetivo igual a k = K/AL e o capital humano por 
unidade de trabalho efetivo representado por h = H/AL, chegamos finalmente a:
y = kαhβ
Precisamos agora definir a função de acumulação de capital humano. Consideramos, como 
simplificação, que tanto o capital físico quanto o humano evoluem de forma similar ao especificado no 
modelo de Solow, ou seja:
K
H
K s Y K
H s Y H=
−
δ
= δ
−
�
�
Na primeira equação de acumulação, �K indica que o estoque de capital físico varia ao longo do 
tempo de acordo com o investimento realizado, sKY, descontado da parcela do capital que é depreciado, 
δK, em que sK é a taxa de investimento em capital físico.
Na segunda equação de acumulação, H� indica que o estoque de capital humano varia ao longo do 
tempo de acordo com o investimento realizado em educação, sHY, descontado da parcela do capital 
humano que é depreciada, δH, em que sH é a taxa de investimento em capital humano. Portanto, o 
capital humano também se acumula em função do investimento nele realizado, medido pela proporção 
fixa do produto destinada à acumulação de capital humano, sH. Supõe-se a mesma taxa de depreciação 
para os dois tipos de capital.
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Unidade III
 Observação
O capital humano também se deprecia, sobretudo em função 
da obsolescência do conhecimento. Em um exemplo simples, um 
médico-cirurgião, formado em meados do século XX, foi treinado com a 
tecnologia dessa época. Com a evolução tecnológica, esse conhecimento 
adquirido anteriormente se torna obsoleto (ou, na melhor das hipóteses, 
menos produtivo) nos dias atuais.
De forma análoga ao estudado no modelo de Solow original, em termos de quantidades por unidade 
de trabalho efetivo, as duas funções de acumulação tornam-se:
( )
( )
K A n
H A n
k s y g g k
h s y g g h
= − + + δ
= − + + δ
�
�
em que gA e gn são, respectivamente, as taxas de crescimento da tecnologia (taxa de progresso 
tecnológico) e da população (taxa de crescimento demográfico).
Nota-se que a função do capital humano é similar à do capital físico. Em estado estacionário, definido 
por k h 0= =� � , o sistema gera um equilíbrio estável, em que as variáveis k*, h* e y* são constantes; as 
variáveis per capita crescem à taxa gA; e as variáveis em nível, K, H e Y, crescem à taxa (gA + gn), em uma 
trajetória de crescimento balanceado. Continua, portanto, valendo, como no modelo de Solow, que a 
taxa de crescimento do produto agregado per capita (gy = gA + gn) é determinada exogenamente pelas 
taxas de crescimento da tecnologia e da população.
A dinâmica de acumulação do capital físico e do capital humano difere do modelo de Solow, pois 
o novo modelo com trabalho qualificado impõe que o crescimento econômico ocorra em função de 
ambos os fatores. Iniciemos com o capital físico. Como y = kαhβ , podemos reescrever a expressão da 
acumulação do capital físico como sendo igual a:
( )K A nk s k h g g kα β= − + + δ�
Em estado estacionário �k = 0, temos a condição ( )K A ns k h g g kα β = + + δ , que é equivalente a:
( )
( )
( ) ( )
K
A n
1 K
A n
1
1
K 1
A n
k s
h
g gk
s
k h
g g
s
k h
g g
β
α
−α β
β−α
−α
=
+ + δ
=
+ + δ
 
=  + + δ 
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DESENVOLVIMENTO SOCIOECONÔMICO
O capital físico (k) aparece, na equação anterior, como uma função crescente do capital humano 
(h), pois a primeira derivada de k com respeito a h é positiva. No entanto, como β < 1 - α, a segunda 
derivada é negativa, expressando os retornos decrescentes do fator de produção k. Assim, podemos 
obter as combinações de k e h que satisfazem a condição �k = 0, como ilustrado na figura a seguir.
k k
h h
(a) (b)
�k < 0
�k > 0 �h < 0
�h > 0
�h = 0
�k = 0
Figura 37 – Condição de estabilidade do capital físico e do capital humano
Observe que a curva ilustrada no painel (a) da figura anterior cresce a taxas decrescentes. Note-se 
que, acima da curva que retrata o capital por trabalho efetivo em estado estacionário, �k = 0, a taxa de 
variação do capital físico é negativa, porque o estoque de capital físico por unidade de trabalho efetivo 
é maior do que aquele que equilibra o sistema. Nessa situação:
( )K A ns k h g g kα β < + + δ
fazendo com que �k < 0. Assim, o ajuste dinâmico indica que o estoque de capital por unidade de 
trabalho efetivo deve diminuir. Já abaixo da curva �k = 0, a taxa de variação do capital físico é positiva, 
porque o estoque de capital físico por unidade de trabalho efetivo é menor do que aquele que equilibra 
o sistema. Nesse caso, ao contrário, �k > 0, pois:
( )K A ns k h g g kα β > + + δ
O mesmo raciocínio pode ser feito com relação à dinâmica do capital humano. Substituindo a 
expressão do produto por trabalho efetivo na equação de acumulação de capital humano, obtemos:
( )H A nh s k h g g hα β= − + + δ�
A variação, no tempo, do capital humano será igual a zero (�h = 0) quando a seguinte condição for 
satisfeita: ( )H A ns k h g g hα β = + + δ