dinâmica leis de Newton

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Universidade de Santa Cruz do Sul 
Disciplina de Física para Engenharia I- 1º Semestre de 2015 - Profª. Cláudia Mendes Mählmann 
 
Dinâmica 
 
As leis de Newton 
A mecânica clássica, ou newtoniana, é a teoria do movimento que se baseia nas idéias de 
massa e de força e que relaciona estes conceitos físicos às grandezas cinemáticas – 
deslocamento, velocidade e aceleração. Todos os fenômenos da mecânica clássica podem ser 
descritos mediante a utilização de três leis simples, denominadas Leis de Newton do movimento. 
As Leis de Newton relacionam a aceleração de um corpo à sua massa e às forças que atuam 
sobre ele. Os enunciados das três leis são: 
 
1ª Lei de Newton 
 
Um corpo permanece no seu estado inicial de repouso, ou de movimento com velocidade 
uniforme, a menos que sofra ação de uma força resultante externa não nula. A força resultante 
que atua sobre o corpo é igual à soma vetorial de todas as forças que agem sobre ele: 
 
 
2ª Lei de Newton 
 
A aceleração de um corpo é inversamente proporcional à massa do corpo e diretamente 
proporcional à força resultante externa que atua sobre ele: 
 
ou 
 
 
 
3ª Lei de Newton 
 
As forças sempre ocorrem aos pares. Se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, 
o corpo B exerce sobre A uma força igual, porém oposta. 
 
A Primeira Lei de Newton: A Lei da Inércia 
 
A primeira Lei de Newton afirma que um corpo em repouso, ou em movimento com 
velocidade constante, permanecerá em repouso ou em movimento uniforme, a menos que sobre 
ele atue uma força externa resultante não nula. Descreve-se esta tendência dizendo que um 
corpo tem inércia. 
Segundo a primeira lei: o movimento uniforme é o estado natural de qualquer objeto. Nada 
é necessário para mantê-lo neste estado. De acordo com Newton, a questão apropriada a ser 
proposta é: o que faz variar a velocidade de um objeto? Newton, com ajuda de Galileu, nos deu a 
resposta: é necessária uma força para variar a velocidade de um objeto. 
Um referencial em que as leis de Newton são válidas é um referencial inercial. Qualquer 
referencial que se mova com velocidade constante em relação a um referencial inercial é, por sua 
vez, um referencial inercial. 
 
Questão 1: Cite alguns exemplos cotidianos do princípio da inércia. 
STi
Nota
STi
Realce
O que é uma força? 
 
• Uma força é um empurrão ou um puxão. 
• Qualquer força é um vetor. Possui módulo e orientação. 
• Qualquer força requer um agente. Algo que empurre ou puxe. 
• Uma força pode ser de contato ou de ação à distância (magnética, gravitacional). 
 
Alguns tipos de forças 
 
Força gravitacional – é o puxão gravitacional de um planeta sobre um corpo em sua superfície ou 
próximo dela. O agente é o planeta inteiro que puxa o corpo. A gravidade é exercida sobre todos 
os corpos, estejam eles se movendo ou parados. O vetor força gravitacional sempre aponta para 
baixo (centro do planeta). 
Força elástica de uma mola – as molas exercem uma das forças de contato mais comuns. Ela 
pode empurrar (quando comprimida) ou puxar (quando esticada). 
Força de tensão – quando uma corda (arame) puxa um objeto, ele exerce uma força de contato, 
denominada força de tensão (tração). 
Força normal – é a força exercida por uma superfície sobre um objeto que a está pressionando. 
Esta força é sempre perpendicular à superfície de apoio. 
Força de atrito – é uma força de resistência ou resistiva. O atrito, assim como a força normal, é 
exercido por uma superfície. É sempre tangente à superfície e contrária ao movimento. Há o atrito 
cinético (quando existe deslocamento) e o atrito estático (que impede o deslocamento). 
Força de arraste – é a força resistiva de um fluido (resistência do ar). 
Força de empuxo – ocorre devido ao deslocamento de fluidos, devido à diferença de pressão 
gerada em diferentes pontos de um corpo submerso. 
Força elétrica ou magnética – de ação a distância, são exercidas sobre partículas eletricamente 
carregadas. 
Os problemas envolvendo força e movimentos envolvem, basicamente, dois passos: 
� Identificação de todas as forças (vetores) exercidas sobre o objeto, ou sobre cada objeto 
envolvido. 
� O uso das leis de Newton e da cinemática para determinar e caracterizar o movimento. 
 
Diagrama de corpo livre 
 
O objetivo principal de um diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um 
corpo de forma clara, lógica e organizada. Consiste em separarmos o nosso “corpo de interesse” 
de todos os corpos do sistema com o qual ele interage. 
A palavra livre enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao estudado são 
removidos e substituídos pelas forças que exercem no corpo em questão. 
O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou que parte do corpo está em 
estudo, assim como identifica as forças que devem ser incluídas nas equações de equilíbrio. 
O diagrama de corpo livre de um corpo tem como objetivo mostrar de forma esquemática 
as forças que nele atuam. Para tanto se procede: 
1 Identificação de todas as forças exercidas sobre o objeto de interesse. 
2 Desenho do sistema de coordenadas a ser usado. 
3 Representação do objeto por um ponto na origem do sistema de coordenadas. 
4 Desenho dos vetores que representam cada força identificada. 
5 Desenho e caracterização da força resultante. 
Questão 2: Identifique as forças que agem nos corpos dos casos abaixo, e desenhe o diagrama 
de corpo livre para cada caso: 
a) um praticante de bungee jump, no final 
do salto; 
 
b) um esquiador; 
 
c) um foguete; 
 
d) uma pedra que foi chutada e que está 
escorregando sobre o solo. 
 
 
 
Força, Massa e Segunda Lei de Newton 
 
A primeira e a segunda lei de Newton podem ser consideradas como a definição de força. 
Uma força é qualquer influência sobre o corpo que provoca a modificação da velocidade do corpo 
(estado de movimento), isto é, a aceleração do corpo. A direção da força é a direção da 
aceleração que provoca, quando só há uma força atuando sobre o corpo (se for um conjunto de 
forças vale a força resultante). 
 
Massa é propriedade intrínseca de um corpo que mede sua resistência à aceleração. 
Podem-se relacionar duas massas quaisquer por: 
 
 
 
Assim, a razão entre as massas de dois corpos quaisquer se define pela aplicação de uma 
mesma força a cada um deles e pela razão entre as acelerações assim provocadas. 
A unidade básica de força no S. I. é kg m/s2, que é o Newton (N). Um Newton é a força que 
acelera 1 kg de massa a 1m/s2. 
 
Exercícios 
3 Certa força provoca uma aceleração de 5 m/s² no corpo padrão de massa. Quando a mesma 
força é aplicada a outro corpo, provoca uma aceleração de 15 m/s². Qual a massa do segundo 
corpo e qual o valor da força? 
4 Um corpo de 4 kg está em repouso em t=0. Uma única força horizontal constante Fx atua sobre 
o corpo. Em t=3 s o bloco percorreu a distância 2,25 m. Achar a força Fx . 
5 Uma força de 3 N provoca uma aceleração de 2 m/s² num corpo de massa desconhecida. a) 
Qual a massa do corpo? b) Se a força aumentar para 4 N, qual será a aceleração provocada? 
6 Se um corpo não tem aceleração, é possível concluir que não existem forças atuando sobre 
ele? 
7 A massa de um corpo pode ser negativa? 
8 Uma força constante é exercida sobre um objeto, fazendo-o acelerar a 10 m/s2. Qual será sua 
aceleração se: a) A força for reduzida à metade? b) A massa do objeto for reduzida à metade? c) 
A força e a massa do objeto forem reduzidas, ambos, à metade? 
 
A Força da Gravidade: O Peso 
 
A força mais comum de nossa experiência cotidiana é a força de atração gravitacional da 
terra sobre um corpo. Esta força é o peso do corpo. Se deixarmos cair um corpo nas 
vizinhanças da superfície da Terra, e desprezarmos a resistência do ar, de modo que a única 
força que atua sobre ocorpo é a força da gravidade, o corpo será acelerado para a terra com a 
aceleração (g) de 9,81m/s². Em qualquer ponto do espaço (nas vizinhanças da terra), esta 
aceleração é a mesma para todos os corpos, independente das respectivas massas. Assim, a 
força peso que atua sobre os corpos é: 
 
 
 
Embora o peso de um corpo varie de local para local, em virtude da variação de g, esta 
variação é muito pequena para ser notada na maioria das aplicações práticas. 
A sensação de nosso próprio peso provém de outras forças que o equilibram. Por exemplo, 
ao sentar em uma cadeira, sente-se a força que equilibra o peso, exercida pela cadeira, que 
impede a queda. Quando estamos sobre uma balança de molas, os nossos pés sentem a força 
exercida sobre nós pelas molas da balança. A balança está calibrada de modo a dar a força que 
ela deve exercer a fim de equilibrar o nosso peso. A força que equilibra o nosso peso é o nosso 
peso aparente. É o peso aparente que é medido na balança de molas. Se não houver qualquer 
força para equilibrar o peso, como na queda livre, o peso aparente será nulo. Esta condição, a 
imponderabilidade, é observada no caso de astronautas em órbita. 
 
Deformação Elástica 
 
Se uma mola for comprimida ou esticada (Figura que segue), e depois fica livre, retorna ao 
seu comprimento inicial ou natural, desde que a deformação não tenha sido muito grande. Há um 
limite de deformação a partir do qual a mola permanecerá deformada. Se forem admitidas 
deformações menores que este limite pode-se relacionar a extensão ou compressão (∆x) da mola 
em termos da força necessária para realizar esta deformação. 
Pode-se enunciar isto, por: Em regime elástico, a deformação sofrida por uma mola é 
diretamente proporcional à intensidade da força que a provoca. Este relação é a Lei de Hooke, e 
pode ser expressa por: 
F = - k. ∆∆∆∆x 
Onde k é a constante elástica da mola, ou constante de força da mola (N/m). A força F é 
uma força restauradora, pois tende a restaurar a mola à sua configuração original. 
O sinal negativo da equação indica que, se a mola estiver esticada (∆x positivo) a força 
será negativa, se a mola estiver comprimida (∆x negativo) a força será positiva. 
 
 
 
 
Quando a mola não está tensionada, não 
exerce força sobre o bloco. 
 
 
 
 
Quando a mola está esticada, de modo que ∆x 
seja positivo, exerce uma força sobre o bloco, 
de módulo k. ∆x, na direção dos x negativos. 
 
 
 
 
Quando a mola está comprimida, de modo 
que ∆x seja negativo, exerce uma força sobre 
o bloco, de módulo k. ∆x, na direção dos x 
positivos. 
Exercícios 
9 Uma mola é submetida à ação de uma força de 
tração. O gráfico abaixo indica a intensidade da 
força tensora em função da deformação x. 
Determine: a) a constante elástica da mola; b) a 
deformação x quando F=60N. 
 
10 Uma mola com constante elástica de 400 N/m, está acoplada a um bloco de 3 kg que está 
sobre um trilho de ar, de forma que o atrito seja desprezível. Qual deve ser a deformação da mola 
para que o bloco tenha uma aceleração de 4 m/s2? 
11 Uma mola tem constante de força de 300 N/m. Um corpo de 4 kg está 
suspenso, e imóvel, na mola, conforme a figura. Achar a extensão 
provocada na mola. Usar g = 10 m/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio de Forças 
 
Um objeto encontra-se em equilíbrio quando a força resultante exercida sobre ele é nula. O 
objeto pode estar em equilíbrio estático ou pode estar se movendo em linha reta com velocidade 
constante, em equilíbrio dinâmico. Do ponto de vista da primeira lei, ambos são idênticos, pois: 
 
 
 
A soma vetorial das forças é obtida diretamente do diagrama de corpo livre. Como as leis 
de Newton constituem equações vetoriais, pode-se colocar que cada componente vetorial ( x e y) 
deve ser simultaneamente igual a zero, assim escreve-se: 
 
 
Estas equações não se aplicam para corpos extensos que podem sofrer rotações. 
 
A Terceira Lei de Newton – Ação e Reação 
 
A terceira Lei de Newton pode ser denominada, também, de lei de interação ou ação e 
reação. Descreve uma importante propriedade das forças, a de sempre aparecerem aos pares. 
Se uma força for exercida sobre um corpo A, então existirá outro corpo B exercendo esta 
força. Além disso, se B exerce uma força sobre A, então A exercerá uma força sobre B, na 
mesma intensidade (módulo) e na mesma direção. 
As forças de ação e reação nunca podem se equilibrar uma à outra, uma vez que atuam 
em corpos diferentes. 
Para um corpo apoiado em uma mesa, por exemplo, a força peso exercida pelo corpo 
sobre a mesa, é equilibrada pela força de reação da superfície de apoio (mesa) sobre o corpo. 
Esta força de reação chama-se normal N, pois é uma força normal à superfície de apoio (forma 
90° com a superfície). 
 
Exercícios 
12 Um cavalo recusa puxar uma carroça. O cavalo pensa assim: “ de acordo com a terceira lei de 
Newton qualquer que seja a força que exerça sobre a carroça, esta exercerá sobre mim uma 
força igual e oposta, de modo que a força resultante será nula e não terei a menor possibilidade 
de acelerar a carroça”. O que há de errado com este raciocínio? 
 
O Atrito 
 
Se uma grande caixa que está sobre o piso for empurrada, com uma pequena força, é 
possível que a caixa não se desloque. A razão deste efeito é a força horizontal que o piso exerce 
sobre a caixa, denominada força de atrito estático fe. Para ocorrer o início do movimento a força 
aplicada deverá ter mesmo módulo da força de atrito estático ( valor máximo da força de atrito). A 
partir do início do movimento começa a atuar uma força contrária à direção do movimento, 
chamada força de atrito cinético fc. A força de atrito cinético é sempre menor que a força de atrito 
estático. Ainda, se o corpo em questão estiver sobre rodas, o que atua é a força de atrito de 
rolamento fr, que é similar à força de atrito cinético, porém com menor módulo. 
Para a determinação da força de atrito usam-se as equações: 
 
fe(máx)= µe . N fc = µc . N fr = µr . N 
 
onde, µe coeficiente de atrito estático, µc é o coeficiente de atrito cinético, e µr é o coeficiente de 
atrito de rolamento, cujos valores aproximados são apresentados na Tabela 1. Estes coeficientes 
são adimensionais. 
Verificou-se experimentalmente que: 
− o coeficiente de atrito cinético é menor que o coeficiente de atrito estático; 
− O coeficiente de atrito cinético depende da velocidade relativa das duas superfícies, (entre 
1cm/s a vários metros por segundo) este coeficiente é aproximadamente constante; 
− Os coeficientes cinético e estático dependem da natureza das superfícies em contato, mas são 
independentes da área em contato. 
 
Tabela 1 Valores aproximados de coeficientes de atrito 
Materiais µe µc µr 
Aço sobre aço (seco) 0,8 0,6 0,002 
Bronze sobre aço 0,5 0,4 
Aço sobre aço (com lubrificação) 0,1 0,05 
Cobre sobre ferro fundido 1,1 0,3 
Vidro sobre vidro 0,9 0,4 
Teflon sobre teflon 0,04 0,04 
Teflon sobre aço 0,04 0,04 
Borracha sobre concreto (secos) 1,0 0,8 0,02 
Borracha sobre concreto (molhados) 0,3 0,25 
Madeira sobre madeira 0,5 0,2 
Esqui encerado sobre a neve (0°C) 0,1 0,05 
Fonte: adaptado de Tipler, P. Física,v.1. Ed.LTC: RJ, 1995, 100p; e Knight, R. D. Física uma abordagem estratégica, v. 1. Bookman: Porto Alegre, 
2009. 
 
Resolução de problemas envolvendo sistemas de forças 
 
Para resolver estes tipos de problemas é necessário trabalhar com diagrama de corpo livre. 
A obtenção da força resultante exige aplicação de operações com vetores, uma vez que as forças 
aplicadas são grandezas vetoriais. 
Para um corpo no plano inclinado, o Peso do corpo apoiado na parte inclinada deve ser 
decomposta de forma que Px=P. senθ e Py= P.cosθ, sendo que o primeiro é o peso envolvido 
com o deslize do corpo (movimento do sistema), e o segundo é a componente do peso vinculada 
à normal. 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
a) mB = 2 kg, sem atrito, F= 100N. 
 
 
b) mB = 2 kg, com atrito, µ= 0,6; F= 100N. 
 
 
c) mA = 2 kg, mB = 3 kg, sem atrito, F= 100N. 
 
 
d) mA = 2 kg, mB = 3 kg, µB= 0,6 e µA= 0,4; F= 
100N. 
 
e) mA = 2 kg, mB = 3 kg, mC = 5 kg, sem atrito; 
F= 500N. 
 
 
f) mA = 2 kg, mB = 3 kg, mC = 5 kg; µ= 0,5; F= 
500N. 
 
 
g) m= 4 kg; sem atrito, θ = 30o. 
 
 
h) m= 4 kg; θ = 30o; µ= 0,4. 
 
 
i) m= 4 kg; sem atrito, θ = 60o; F = 10N. 
 
 
j) m= 4 kg; µ= 0,1; θ = 60o; F = 10N. 
 
 
k) mA = 4 kg, mB = 2 kg; µ= 0,2; α = 30o. 
 
 
l) mA = 3 kg, mB = 2 kg, mC = 4 kg; µ= 0,1. 
 
 
 
 
m) mA = 3 kg, mB = 2 kg, mC = 4 kg; sem atrito; 
F = 100N. 
 
 
n) mA = 3 kg, mB = 2 kg; sem atrito. 
 
o) mA = 3 kg, mB = 2 kg; qual o coeficiente de 
atrito entre A e a superfície para o sistema 
permanecer em equilíbrio estático. 
 
 
 
 
Exercícios 
13 Dois corpos de massas m1 e m2 estão sobre uma mesa horizontal 
sem atrito, conforme a figura ao lado. Uma força F está aplicada 
sobre o corpo 1. 
a) Se m1 = 2kg e m2 = 4kg e F = 3N, achar a aceleração dos corpos; 
b) E achar a força exercida por um corpo sobre o outro. 
14 Determine nos sistemas abaixo, o quê está indicado em cada caso. Obs.: Quando o 
coeficiente de atrito não é fornecido considerar a ausência desta força. 
a) aceleração 
Força de A sobre B 
Força de C sobre B 
 
 
b) aceleração 
tensão nas cordas 
 
 
c) aceleração 
tensão na corda 
 
 
d) aceleração 
tensão nas cordas 
 
 
15 Dois alpinistas, ligados por uma corda de segurança de 30m, acabaram por ficar na difícil 
situação colocada na figura abaixo, na tentativa de escalar uma rampa gelada (sem atrito). No 
instante t=0, a velocidade de cada um é nula, mas o alpinista líder da equipe, Paulo (massa 74 
kg), deu um passo em falso e o seu companheiro, José (massa 52 kg), perdeu a picareta. 
a) Achar a tensão na corda durante a queda de Paulo e a sua velocidade ao chegar ao solo. 
b) Se Paulo soltar a corda depois da queda no solo, calcular a velocidade de José ao chegar ao 
pé da rampa. Admitir que o comprimento da corda fosse sempre 30m. 
 
16 Você e dois amigos dispõem de três pedaços de corda amarrados juntos por um nó e decidem 
brincar de cabo de guerra com três pontas. O primeiro amigo puxa para oeste com 100 N de 
força, enquanto o segundo puxa para o sul com 200 N. Com que valor de força e orientação você 
deve puxar a corda a fim de que o nó não saia do lugar? 
17 Um carro de peso 15.000 N está sendo puxado para cima, com velocidade constante, em uma 
rampa inclinada em 20o. O atrito é desprezível. A tensão máxima indicada pelo fabricante do cabo 
é de 6.000N. Ele se romperá? 
18 Um carro de 1.500 kg é rebocado por um caminhão. A tensão no cabo é de 2.500 N, e uma 
força de atrito de 200 N se opõe ao movimento. Se o carro parte do repouso, qual será sua 
velocidade após 5 s? 
19 Um modelo de foguete de 500 g e com força gravitacional (peso) de 4,90 N é lançado 
verticalmente para cima. O motor do pequeno foguete queima durante 5 s e desenvolve um 
empuxo de 20,0 N. Qual é a altitude máxima que ele atingirá? Considere desprezível a perda de 
massa pela queima de combustível. Usar g = 9,8 m/s2. 
20 O coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro e a estrada, num certo dia é de 0,7. 
Qual a inclinação máxima da estrada na qual o carro pode permanecer estacionado, com as 
rodas travadas, sem o risco de escorregar estrada abaixo? 
21 Um carro entra numa rampa de 15°, na velocidade de 30m/s. O coeficiente de atrito entre os 
pneus e o pavimento da rampa é 0,7. 
a) Qual a distância mínima que o carro leva para parar? 
b) Qual a distância mínima que o carro levaria para parar se estivesse descendo a rampa? 
22 Para vencer o atrito e deslocar um grande contêiner C, no sentido 
indicado, é necessária uma força horizontal que supere 500 N. Na 
tentativa de movê-lo, blocos de massa m = 15 kg são pendurados em 
um fio, que é esticado entre o contêiner e o ponto P na parede. Para 
movimentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no mínimo: a) 1 
bloco. c) 3 blocos. e) 5 blocos. b) 2 blocos. d) 4 blocos. 
 
 
23 Três blocos de massas m1, m2 e m3 estão unidos por cordas 
de massa desprezível, conforme mostrado na figura. O sistema 
encontra-se em equilíbrio estático. Considere que não há atrito 
no movimento da roldana e que o bloco de massa m1 está sobre 
uma superfície horizontal. Qual a relação entre o coeficiente de 
atrito estático entre o bloco m1 e a superfície em que ele está 
apoiado e as massas m1 e m3? 
 
a) µ= m1/m3 b) µ= m1/2m3 c) µ= m3/2m1 d) µ= m1/3m3 e) µ= m3/3m1