PRODUTOS NOTÁVEIS

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COLÉGIO CASCAVELENSE
Apresenta
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
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PRODUTOS NOTÁVEIS
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
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REALIZAÇÃO
 COLÉGIO CASCAVELENSE
SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA
 
 DIREÇÃO
 PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
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Quadrado da soma de dois termos
(a + b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: 
 (3 + 4)² = 3² + 4² + 2×3×4
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
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Interpetração
Geométrica
 (a + b)² = a² + 2ab + b² 
a
a²
b²
ab
ab
ab 
ab
a²
 b²
b
b
a
=
+
+
+
Trinômio quadrado perfeito
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
*
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Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: 
(7 - 5)²=7² + 5² - 2×7×5
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
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Diferença de potências 
(ordem 2)
a² - b² = (a + b).(a - b)
 Exemplo:
 7² - 5² =(7 + 5) . (7 - 5)
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Interpetração
Geométrica
a² - b² = (a + b).(a - b)
a - b
a(a – b)
a(a – b) 
b(a – b)
b(a – b)
a
b²
b
a - b
b
a
=
+
Diferença entre dois quadrados
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
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Quadrado de um trinômio
(a + b + c) ² =
 = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
 = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
Ex: (1 + 2 + 3) ² =
 = 1² + 2² + 3² + 2.1.2 + 2.1.3 + 2.2.3
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
*
*
Interpetração
Geométrica
(a + b + c) ² =
 = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
a
a²
C ²
ab
ab
b
b
a
b²
ac
ac
bc
bc
a²
ab
ab
ac
ac
b²
bc
bc
c
c
C ²
+
+
+
+
+
+
=
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
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Decorrências
(a + b – c)² = 
 = a² + b³ + c² + 2(ab – bc –ac)
(a – b – c)² = 
 = a² + b³ + c² + 2(-ab + bc –ac)
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
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Cubo da soma de dois termos
(a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³
 = a³ + b³ + 3ab(a + b)
Exemplo: 
 (4 + 5)³ = 4³ + 3×4²×5 + 3×4×5² + 5³
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Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo:
(4 + 5)³ = 4(4-3×5)² + 5(5-3×4)²
Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc
*Produos
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Cubo da diferença de dois termos
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
 = a³ - b³ - 3ab(a – b)
Exemplo:
(4 - 5)³= 4³ - 3×4²×5 + 3×4×5² - 5³
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Identidade de Fibonacci
(a² + b²)(p² + q²) = 
 = (ap - bq)²+(aq + bp)²
Exemplo: 
(1² + 3²)(5² + 7²)=
 = (1×5-3×7)² + (1×7+3×5)²
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*Produos
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Identidade de Platão
(a² + b²)² = (a² - b²)² + (2ab)²
Exemplo:
 (3² + 8²)² = (3² - 8²)² + (2×3×8)²
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Identidade de Lagrange 
(4 termos)
(a² + b²)(p² + q²)-(ap + bq)² = (aq –bp)²
Exemplo:
 (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)² = (9×3-7×5)²
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*Produos
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Identidade de Lagrange 
(6 termos)
(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+ bq + c r)² =
 = (aq - bp)² + (ar - cp)² + (br - c q)²
Exemplo: 
(1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² = 
 = (1×8 - 3×7)² + (1×9 - 5×7)² + (3×9 - 5×8)²
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Identidade de Cauchy 
(n=3)
 (a + b)³ - a³ - b³ = 3ab(a + b)
Exemplo:
 (2 + 7)³ - 2³ -7³ = 3×2×7×(2 + 7)
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*Produos
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Identidade de Cauchy 
(n=5) 
(a + b) – a - b = 5ab(a + b)(a² + ab + b²)
Exemplo:
(1 + 2) - 1 - 2 = 5×1×2×(1 + 2)(1² + 1×2 + 2²)
5
5
5
5
5
5
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Quadrado da soma de n termos
sendo que i<j. 
Ex:
 (a + b)² = a² +b² + 2(ab) 
(a + b + c)²= a² + b² + c² + 2(ab+ac+bc) 
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) 
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Diferença entre os quadrados da soma e diferença
(a + b)² - (a - b)² = 4ab
Exemplo: 
 (7 + 9)² - (7 - 9)²= 
 = 4×7×9
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Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)
Exemplo: 
 (3 + 5)² + (3 - 5)² = 2(3² + 5²)
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Soma de dois cubos
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
Exemplo:
 2³ + 4³ = (2 + 4)³ - 3×2×4×(2 + 4)
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Soma / diferença de dois cubos na forma fatorada
 a ³ + b ³ = (a + b)(a² - ab + b²)
 a ³ - b ³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Exemplo:
 5³ + 7³=(5 + 7) (5² - 5×7 + 7²)
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Transformação do produto na diferença de quadrados
ab = [½(a + b)]² - [½(a - b)]²
Exemplo:
3×5 = [½(3 + 5)]² - [½(3 - 5)]²
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*Produos
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Diferença de potências 
(ordem 4)
a4 - b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²)
Exemplo:
 54 – 14 = (5 - 1)(5 + 1)(5² +1²)
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Diferença de potências 
(ordem 6)
a6 - b6 = (a - b)(a + b)(a²+ab +b²)(a²- ab +b²)
Exemplo: 
56 - 16=(5 - 1)(5 +1)(5² + 5×1+1²)(5²- 5×1+1²)
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*Produos
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Diferença de potências 
(ordem 8)
a8 - b8 = (a - b)(a + b)(a² + b²)(a4 + b4)
Exemplo: 
58 – 18 = (5 - 1)(5 + 1)(5² + 1²)(54 + 14)
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Produto de três diferenças
(a - b)(a - c)(b - c) = 
 = ab(a - c)+ bc(b - c) + ca(c - a)
Ex: (1 - 3)(1 - 5)(3 - 5)=
 = 1×3×(1 - 5) + 3×5×(3 - 5) + 5×1×(5 - 1)
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*Produos
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Produto de três somas
(a + b)(b + c)(c + a) = 
 = (a + b + c)(ab + bc + ac) - abc
Ex: (1 + 3)(3 + 5)(5 + 1) =
= (1 + 3 + 5)(1×3 + 3×5 + 1×5) - 1×3×5
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Soma de cubos das diferenças de três termos
(a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³ =
 = 3(a - b)(b - c)(c - a)
Ex: (1 - 3)³ + (3 - 5)³ + (5 - 1)³ =
 = 3(1 - 3)(3 - 5)(5 - 1)
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Cubo da soma de três termos
(a + b + c)³ =
 =(a + b - c)³ + (b + c - a)³ + (a + c - b)³+24abc 
 = a³ + b³ + c³ + 3(a + b) (b + c) (c + a)
Exemplo: (7 + 8 + 9)³ =
= (7 +8 -9)³+(8 +9 -7)³+(7+9 -8)³ +24×7×8×9
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Cubo da soma de n termos
sendo que i < j e i < j < k.
Ex: (a + b + c)³ = a³ + b ³ + c ³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)
 = a³ + b ³ + c ³ + (a + b + c)(ab+bc+ca)-3abc 
 = a³ + b ³ + c ³ + 3ª²(b + c) + 3b²(a + c) + 3c²(a + b) + 6abc
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Exercícios:
1. Desenvolva (x² + x + 1) ³
2. Se a³ + b³ + c³ = 0, calcule o valor 
 de _____( a + b + c)³__________ 
 (a + b + c)(ab+ac+bc) - 3abc
Resp: 1. x6 +x³ + 1 + 3(x²+x)(x²+1)(x+1)
 2. 1
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Soma nula de produtos de cubos por diferençasa³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b) + 
 + (a + b + c)(a - b)( b - c)(a - c) = 0
Ex: 2³(4 - 6) + 4³(6 - 2) + 6³(2 - 4) +
 + (2 + 4 + 6)(2 - 4)(4 - 6)(2 - 6) = 0
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Soma de produtos de cubos com diferenças
a³(b - c)³ + b³(c - a)³ + c³(a- b)³ =
 = 3abc(a - b)(b - c)(a - c)
Ex: 7³(8 - 9)³ + 8³(9 - 7)³ + 9³(7 - 8)³ = 
 = 3.7.8.9(7 - 8)(8 - 9)(7 - 9)
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*Produos
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 Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a² + ab + b²) (a² - ab + b²) = 
 = a4 + a² b² + b4
Ex: (5² + 5×7 + 7²)(5² - 5×7 + 7²) =
 =54 + 5² 7² + 74
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Soma de quadrados de somas de dois termos
(a + b)² + (b + c)² + (a + c)² = 
 = (a + b + c)² + a² + b² + c²
 Ex: (1 + 3)² + (3 + 5)² + (1 + 5)² =
 = (1 + 3 + 5)² + 1² + 3² + 5²
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*Produos
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Produto de quadrados de fatores especiais
(a - b)² (a + b)² (a² + b²)² =
 = (a4 - b4)²
Ex: (7 - 3)² (7 + 3)² (7² + 3²)²= 
 = (74 - 34)²
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Soma de quadrados de expressões homogêneas de 1º grau 
(a + b + c)² + (a - b)² + (b - c)² + (c -a)² =
 = 3(a²+b²+c²)
Ex:
(7 + 8 + 9)² + (7 - 8)² + (8 - 9)² + (9 -7)² = 
 = 3(7² + 8² + 9²) 
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Multiplicando Binômios tipo (x + a)
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = 
 = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc.
(x – a)(x – b)(x –c) =
 = x³ - (a + b + c)x² + (ab + bc +ca)x - abc
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Exercícios: Calcule usando a regra dos binômios:
1. (x + 5)(x + 7) =
2. (x – 6)(x + 9) =
3. (x – 10)(x – 12) =
4. (x + 2)(x + 5)(x + 3) =
5. (x – 4)(x + 6)(x – 3) =
Resp: 1. x² + 12x + 35; 2. x² + 3X – 54;
 3. x² - 22x + 120; 4. x³ + 10x² + 31x + 30
 5. x³ - x² - 30x + 72
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Identidade Trinômica de Gauss
(x2m + x m y n + y 2n)(x2m – x my n +y2n) = 
 = x4m + x2my2n + y4n
Ex: Calcule:
( x4 + x² + 1 ) ( x4 – x² + 1) =
( x6 + x³ y + y² ) ( x6 – x³ y + y² ) =
( x² + x + 1 ) ( x² - x + 1 ) =
Resp: a) x8 + x4 + 1 b) x12 – x6y² + y4 c) x4 + x² + 1
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Identidade de interpolação
Ex: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:
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*Produos
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Conteúdo
 Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)
Produção e Diagramação
Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)
Revisão Final
Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)
Realização
Colégio Cascavelense
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*Produos
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