4. Derivada

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Lista 4: Derivada (2a Parte)
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Diferencie implicitamente em relac¸a˜o a` x:
a) x2 + y2 = 1
b) x2 + x2y + 4y2 = 6
c) x2y + xy2 = 3x
d) x2y2 + x sin (y) = 4
e) 4 cos (x) sin (y) = 1
f) ex
2y = x+ y
g)
√
xy = 1 + x2y
h) xy = cot (xy)
Questa˜o 2: Use a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para determinar a equac¸a˜o da reta tangente
a` curva no ponto dado.
a) x2 + xy + y2 = 3, no ponto (1, 1).
b) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, no ponto (0, 1
2
).
c) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), no ponto (3, 1).
d) y2 = 5x4 − x2, no ponto (1, 2).
Questa˜o 3: Se V e´ o volume de um cubo de aresta a e a` medida que o tempo passa o
cubo se expande, encontre
dV
dt
em termos de
da
dt
.
Questa˜o 4: Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o
sul a 60km/h, e o outro para o oeste a 25km/h. A que taxa esta´ crescendo
a distaˆncia entre os carros 2h depois?
Questa˜o 5: Se dois resistores R1 e R2 esta˜o conectados em paralelo, enta˜o a resisteˆncia
equivalente deles e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
. Se R1 e R2 esta˜o crescendo
a taxas de 0, 3Ω/s e 0, 2Ω/s, respectivamente, qua˜o ra´pido esta´ variando
R quando R1 = 80Ω e R2 = 100Ω?
Questa˜o 6: Uma escada com 10m de comprimento esta´ apoiada contra uma parede
vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma veloci-
dade de 2m/s, qua˜o ra´pido esta´ variando o aˆngulo entre o topo da escada
e a parede quando o aˆngulo e´
pi
4
rad?
1