Gab 3ºEE 2012.2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2012 
Terceiro Exercício Escolar de Cálculo 2 - 10/04/2013 
 
Nome:____________________________________________________ 
 
 
ATENÇÃO: 
• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
• Não esqueça de justificar as respostas. 
• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
• Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
 
1ª Questão: (1,0 ponto) Determine o valor da integral dupla 
���� + ���	
��
�� 	��	
�
 
para o qual � ⊆ ℝ� é o interior de um quadrado cujos vértices estão sobre os eixos coordenados. 
Resposta: Necessariamente, � ⊆ ℝ� é um quadrado de vértices ��, 0�, �0, ��, �−�, 0�,		e 	�0, −��, para algum � > 0. 
 
Considere ���, �� = ��� + ���	
��
�� . Note que 
��−�,−�� = ��−��� + �−����	
� ���
� ��� = −��� + ���	
��
�� = −���, ��. 
Portanto, ∬ ���, ����	" = 0 para qualquer aberto # ⊆ ℝ� que seja simétrico em relação à origem 
e, portanto, 
���� + ���	
��
�� 	��	
�
= 0.		∎ 
2ª Questão: Usando a definição de integrais iteradas, calcule: 
 
a) (1,0 ponto) O número 
% = & & �2� + 4����
)
	��	���
*
. 
Resposta: 
% = & & �2� + 4����
)
	��	���
*
= % = & ��� + 4��|��
)� 	��
�
*
 
= & ,12 − 	.�2 + 1/
� − 4 .�2 + 1/0
�
*
�� = & 1−��4 − 3� + 74��
�
*
 
 
= 1−��12 −
3��
2 + 7�45*
�
= − 812 − 6 + 14 =
22
3 . 
b) (1,0 ponto) O número 
8 = & & �2� + 4��� �
*
	��	���
)
. 
Resposta: 
8 = & & �2� + 4��� �
*
	��	���
)
= & �2� + 4� ∙ �|*�� �	��
�
)
 
= & �2� + 4� ∙ �2� − 2�	���
)
= & �4�� + 4� − 8�	���
)
 
= 14��3 + 2�� − 8�45)
�
= 323 + 8 − 16 −
4
3 − 2 + 8 =
22
3 . 
c) (1,0 ponto) Qual das seguintes relações é verdadeira: % < 8, % = 8, ou % > 8? 
Explique, usando um argumento teórico, por que já se espera que tal relação seja 
verdadeira, mesmo antes de se calcular % e 8. 
Resposta: Dos ítens anteriores, temos % = 8. Observe que % e 8 são definidas como valores 
das integrais iteradas relativas à integral dupla ∬ �2� + 4���	� , para a qual � ⊆ ℝ� é o 
interior do triângulo de vértices �1,0�, �2,0�	e �2,2�. 
 
Como ���, �� = 2� + 4	é contínua em �, o teorema de Fubini garante que 
��2� + 4���	
�
= & & �2� + 4����
)
	��	���
*
= & & �2� + 4��� �
*
	��	���
)
. 
 Portanto, o resultado % = 8 já era de se esperar. 		∎ 
 
3ª Questão: (1,0 ponto) O mapa abaixo mostra a precipitação pluviométrica média anual, em 
mm, para Pernambuco, em 2012. O Estado é aproximadamente um retângulo de 100	Km ×980	Km = 98.000	Km�. Usando a área retangular e as sub-divisões indicadas na figura, estime o 
valor médio da precipitação pluviométrica para o Estado como um todo, naquele ano. Use a 
aproximação do ponto médio. 
Resposta. 
 
A interseção das linhas em vermelho no mapa acima indicam os pontos médios de cada sub-
retangulo dado. Cinco deles recaem sobre fronteitas, e assim, estimaremos o valor médio entre os 
das regiões fronteiriças. Assim, para cada �?@ , relativo à i-ésima linha e j-ésima coluna, os 
valores estimados para a função nos pontos médios �?@ = ���̅?@, �B?@� serão: 
 													�)) = 625, 	�)� = 625, �)� = 	625, �)D = 775, �)� = 775, �)E = F��
GG�� = 850,														�)G = )���
)FG�� = 1750, 
e 
 ��) = 475, 	��� = 475, 	��� = 	475, ��D = 475, 	��� = FG�
GG�� = 850, 	��E = GG�
E��� = 700,��G = ��G�
)FG�� = 2125. 
Usando estas estimativas, obtemos o valor médio da função sobre o retangulo, �̅ = )H���∬ ���	� , 
usando a regra do ponto médio para estimar a integral, ∬ ���	� ≅ ∑ ∑ �K�̅?@ , �B?@L	G@M) N�?M) �, 
onde usamos a divisão dada, em 2 × 7 = 14 sub-retangulos. Como ���� = 100	 × 980	 =
98000, N� = �K�?@L = )**� × FO*G = 7000. Logo PHH��� = ))D e: 
�̅ = 114 �3 × 625 + 2 × 775 + 2 × 850 + 1750 + 4 × 475 + 700 + 2125� =
11600
14 = 828,6. 
 
4ª Questão: A seção reta do interior de uma taça é descrita pela equação Q = sen�U�,		onde U = 0 corresponde ao fundo da taça e U = V/2 à sua altura. 
Note: Como a taça tem simetria axial, usamos coordenadas cilíndricas! 
a) (2,0 pontos) Esboce a seção reta e determine sua área; 
b) (1,0 pontos) Determine o volume contido na taça. 
 
Resposta: (a) 
 
 
 
 
O sólido é definido por X = Y�Q, Z, U�	|	0 ≤ Q ≤ sen U , 0 ≤ Z ≤ 2V, 0 ≤ U ≤ V/2}.		Para cada 
valor de U	ϵ	�0, V/2�, temos uma seção reta horizontal ^ = Y�Q, Z�	|	0 ≤ Q ≤ sen U , 0 ≤ Z ≤
2V},		cuja área será ��U� = ∬ ��	_ = ` ` Q�Q	�Zabc d*�e* = V sen� U. 
(b) Integrando em U, obtemos o volume: f =∭ �f	h = ` ��U�	�Ue/�* = V ` sen� U 	�Ue/�* =
e
� ` �1 − cos 2U�	�Ue/�* = e� kU − abc�d� l*
e �⁄ = e�D . 
Note. A área da seção reta vertical para cada valor de Z	ϵ	�0,2V�, ^′ = Y�Q, U�	|	0 ≤ Q ≤
sen U , 0 ≤ U ≤ V/2} é simplesmente �′ = ∬ ��	_o = ` ` �Q	�Uabcd*e/�* = ` sin U 	�Ue/�* = 1, mas 
não pode ser simplesmente integrada em Z, pois o elemento de arco Q�Z depende de Q, que já foi 
integrado! Assim, para o cálculo do volume, precisamos fazer a integral tripla f =∭ �f	h . 
 
5ª Questão: Seja q a região do espaço definida pelas desigualdades: 
q: 0 ≤ � ≤ s9 − ��, 0 ≤ � ≤ 3, 0 ≤ U ≤ s9 − ��� + ���. 
a) (0,5 ponto) Escreva 
 
tUs�� + �� + U�
	
u
	�f	 
 
como uma integral repetida (iterada), sem contudo efetuar os cálculos. 
b) (0,5 ponto) Faça o mesmo que em (a), agora usando coordenadas cilíndricas. 
c) (1,0 ponto) Faça o mesmo que nos ítens anteriores, usando coordenadas esféricas, e 
calcule o valor da integral. 
 
Resposta: (a) q é, pela descrição em termos das desigualdades, a porção da esfera de raio 3 
centrada na origem situada no primeiro octante (veja a figura). 
 
P Temos então, diretamente da descrição de q,	que: 
tUs�� + �� + U��f
	
u
= & & & Us�� + �� + U��U����sF �
� ��
*
sF ��
*
�
*
. 
(b) Em coordenadas cilíndricas, temos que � = Q cos Z , � = Q sen Z , U = U. A projeção da figura 
sobre o plano �� é a parte do círculo centrado na origem de raio 3 situada no primeiro quadrante, 
pontanto q pode ser escrito como: 
0 ≤ Z ≤ V2 , 0 ≤ Q ≤ 3, 0 ≤ Q ≤ s9 − Q�. 
Consequentemente, a integral tripla dada se escreve como: 
tUs�� + �� + U�
	
u
�f = & & & UsQ� + U�√F w
�
*
�
*
e/�
*
Q	�U	�Q	�Z, 
visto que o elemento de volume �f é dado em coordenadas cilíndricas por Q	�Q	�Z	�U. 
(c) Primeiro, lembremos que as coordenadas esféricas são descritas como: 
� = x cos Z seny , � = x sen Z seny , U = x cos y, 
e que o elemento de volume nestas coordenadas é �f = x� seny �x	�y	y�Z. 
Como a superfície esférica de raio 3 centrada na origem é descrita em coordenadas esféricas 
simplesmente por x = 3, temos que q fica descrita pelas desigualdades: 
0 ≤ Z ≤ V2 , 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤
V
2, 
e Us�� + �� + U��f = x cosy xx� seny = xD cos y sen y 	�x	�y	�Z. Temos então que 
tUs�� + �� + U�
	
u
�f = & & & xD�
*
e/�
*
e/�
*
cos y seny 	�x	�y	�Z. 
Calculemos esta última integral: 
& & & xD�
*
e/�
*
e/�
*
cos y seny 	�x	�y	�Z = & & zx�5 {*
�e/�
*
e/�
*
cos y sen y 	�x	�y	�Z = 
243
5 & z
sen� y
2 {*
e/�
�Ze/�
*
= 24310 & �Z
e/�
*
= 243V20 .