Prova com Gab - 3ºEE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - A´REA II
SEGUNDO SEMESTRE DE 2011
GABARITO do Terceiro Exerc´ıcio Escolar de Ca´lculo 2 - 05/12/2011
1aQuesta˜o - Considere a integral dupla
∫ 4
0
∫ 2
√
x
ey
3
dydx.
a)(1,5 ponto) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
b)(2,0 pontos) Calcule esta integral.
Soluc¸a˜o :
a)
2
4
y
x
xy=
b)
∫ 4
0
∫ 2
√
x
ey
3
dydx =
∫ 2
0
∫ y2
0
ey
3
dxdy =
∫ 2
o
y2ey
3
dy =
1
3
ey
3
∣∣∣∣2
0
=
1
3
(e8 − 1).
2aQuesta˜o - Seja E o so´lido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 1, pelo plano z=4, e pela
semi-esfera z = +
√
1− x2 − y2.
a)(1,0 ponto) Esboce o so´lido E.
b)(2,0 pontos) Calcule o volume do so´lido E usando integrac¸a˜o dupla.
c)(0,5 ponto) Escreva uma integral tripla, em coordenadas cil´ındricas, que represente o vo-
lume de E. Na˜o precisa calcular a integral!
Soluc¸a˜o :
a)
E
z
y
x
região D de itegração
(0,1,0)
.(0,0,4)
z= 1- x - y2 2
b) V =
∫ ∫
D
(4−
√
1− x2 − y2)dA =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(4−
√
1− r2)rdrdθ =
=
∫ 2pi
0
[∫ 1
0
(4r −
√
1− r2r)dr
]
dθ =
∫ 2pi
0
[
2r2
∣∣∣1
0
+ 1/3(1− r2)3/2
∣∣∣1
0
]
dθ =
∫ 2pi
0
5
3
dθ =
10pi
3
c) V =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 4
√
1−r2
1rdzdrdθ
3aQuesta˜o - Seja Q a regia˜o do R3 descrita, em coordenadas esfe´ricas, pelas desigualdades
0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi/2, 0 ≤ φ ≤ pi/2 .
a)(1,5 pontos) Fac¸a um esboc¸o de Q.
b)(1,5 pontos) Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = z sobre Q, ou seja,
∫∫∫
zdV .
Q
Soluc¸a˜o :
a)
.
.
.
x
y
z
0 (0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,1)
Q=p/2
F=p/2
b)
∫∫∫
Q
zdV =
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
∫ 1
0
ρ cosφρ2senφdρdφdθ =
1
4
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
senφ cosφdφdθ =
=
1
4
∫ pi/2
0
(
sen2φ
2
∣∣∣pi/2
0
)
dθ =
1
8
∫ pi/2
0
dθ =
pi
16
.