Calculo 2 - 57 questões do banco de dados com respostas de algumas

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1. Descreva a curva definida pela função vetorial: . 
 
Resposta: 
 
2. Encontrando Primitivas: Seja ∫ , qual a resposta correta? 
 
Resposta: 
 ∫ 
∫ (
 
 
) 
 
3. Calcule ∫ ∫
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ . 
 
Resposta: 
 
 
 
4. Verifique se a função é harmônica. 
 
Resposta: 
 
 
5. Esboce a região limitada pelas funções e expressando a área da região como uma integral 
dupla iterada e encontre o valor de sua área. 
Resposta: 
 
6. Determine o vetor posição de uma partícula que se move em função do tempo , sabendo-se que o vetor 
aceleração é dado pela equação vetorial e que primeiramente a partícula saiu de 
um ponto com uma velocidade . 
Resposta:
 
7. Seja 
 
 
 a posição de uma partícula no plano no instante . Encontre o vetor velocidade e 
aceleração da partícula no instante . 
 
Resposta: 
 
 
8. Calcule a integral tripla ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Resposta: 
 
 
9. A integral ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 fornece a área de uma região no plano . Esboce a região, identifique cada curva limite 
com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da 
região. 
 
Resposta: 
 
 
 
10. Resolva a equação diferencial para como função vetorial de : 
 
 
 com a condição inicial: 
 . 
 
Resposta: 
 
 
 
 
11. Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial , considerando . 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. Se , então a integral definida: ∫ 
 
 
 
 é: 
 
Resposta: 
 
 
 
13. Encontre 
 
 
 e 
 
 
 para a função 
 
 
. 
a) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
14. Seja a função . Encontre 
 
 
. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
15. Calcule a integral tripla ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 no espaço . 
 
 
16. Sendo , qual é o resultado da soma: 
 
 
 ? 
Resposta: 
 
17. Se , então: ∫ é: 
Resposta: – 
 
18. A integral ∫ ∫ 
 
 
 
 
 fornece a área de uma região no plano . Esboce a região, identifique cada curva limite 
com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da 
região. 
Resposta: 
 
19. Encontre uma função potencial para o campo . 
Resposta:
 
 
20. Seja a função , encontre 
 
 
. 
Resposta: 
 
21. Encontre a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano de equação . 
Resposta: 
 
22. Encontre uma equação potencial para o campo . 
Resposta: 
 
23. Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
 
 
 no instante . 
Resposta: 
 
 
 
24. Seja a função . Encontre 
 
 
. 
 
Resposta: 
 
 
25. Calcule a integral ∫ ∫ ∫
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 mudando a ordem de integração de maneira apropriada. 
 
Resposta: 
 
 
26. Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição . 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo , encontre o módulo da velocidade da 
asa-delta em qualquer instante . 
 
Resposta: 
 
 
 
27. Calcule 
 
 
 e 
 
 
 para a função 
( (
 
 
))
 
 
. 
Resposta: 
 
28. Verifique se a função é harmônica. 
Resposta: 
 
29. Esboce a região limitada pelas funções , , e expressando a área da região como uma 
integral dupla iterada e encontre o valor de sua área. 
Resposta: 
 
 
 
 
30. Calcule a integral ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Resposta: 
 
31. Os conceitos e aplicações de derivada direcional e gradiente de uma função são ferramentas matemáticas de 
grande utilidade na Engenharia onde se buscam as respostas para uma série de perguntas. Determine a derivada 
direcional de no ponto na direção do vetor ⃗ . 
Resposta: 
 
32. Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição . Indique a única resposta correta. 
a) Resposta: Eu acho dv/dt = 
b) 
c) 
d) 
e) 
33. Encontre a derivada direcional da função em na direção do vetor . 
a) √ 
b) √
 
 
 
c) √
 
 
 
d) 
 
√ 
 
e) 
√ 
 
 
34. Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor 
posição dado por . Indique a única resposta correta que determina a aceleração em um 
tempo qualquer. Observação: . 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
35. Encontre a 
 
 
 para usando derivação implícita. 
 
36. Encontre 
 
 
 e 
 
 
 para a função . 
 
37. Se resistores elétricos de , e ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de ohms, o 
valor de pode ser encontrado a partir da equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Encontre o valor de 
 
 
 quando , 
 e ohms. 
 
Resposta: 
∂r/∂ r₁ = r²/ r₁² = (r/ r₂)² => 1/R = 1/30+1/45+1/90 
= (3+2+1)/90 = 6/90 = 1/15 
R = 15 ∂r/∂r₂ = (15/45)² = (1/3)² = 1/9 
 
 
38. Encontre os valores de 
 
 
 e 
 
 
 no ponto se – . 
 
39. Encontre o volume da região limitada pelas superfícies e – . 
a) √ 
b) √ 
c) √ 
d) √ 
e) √ 
 
40. Encontre o volume da região formada pelo cilindro e o plano que é limitado pelos planos , 
 , e . 
 
41. Uma partícula se move ao longo do topo de uma curva da esquerda para a direita a uma velocidade 
constante de unidades por segundo. Encontre a velocidade da partícula enquanto ela se move sobre o ponto . 
 
Resposta: 
 
 
42. Calcule a integral tripla iterada ∫ ∫ ∫ 
√ 
 
√ 
 
 
 
. 
 
43. Não existe nada que prove ao se tomar, sucessivamente, derivadas de uma função tantas vezes quantas forem 
necessárias, que as funções derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio. Conforme a afirmativa, determine 
as derivadas de todas as ordens da função polinomial . 
 
44. Calcule a integral tripla: ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
45. Encontre um vetor tangente unitário da curva para pertencente ao intervalo. 
 
Resposta: 
 
 
46. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por . Determine a velocidade do 
objeto no instante . 
a) 
b) 
c) Resposta: v(t) = dr/dt = 
d) 
e) 
 
47. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫ ∫ 
√ 
 
 
 
. 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
e) 
 
48. A posição de uma partícula é dada pela seguinte função vetorial: (
 
 
 
 
 
). Encontrar a função 
vetorial para a velocidade da partícula. 
 
 
49. Calcule a integral de linha ∫ 
 
 
 onde é o segmento de reta de a . 
 
Resposta: 
 
 
 
 
50. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar ∫ ∫ 
√ 
 √ 
 
 
. 
a) 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
51. Considere as seguintes informações: 
1 - O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes. 
2 - O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes. 
3 - O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas (ou três) integrais simples, de 
diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 
4 - A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
5 - O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas (ou três) integrais simples, sempre 
da mesma forma. 
As seguintes informações são verdadeiras: 
a) 1, 2, 3 
b) 2, 4, 5 
c) 2, 3, 4 
d) 1, 3, 5 EU ACHO QUE È ESTA 
e) 1, 3, 4 
 
52. Calcule a integral 
 
 
∫ 
 
 
 e indique a única resposta correta. 
Resposta: 
 
53. é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e 
velocidade no instante para 
 
 ⁄ . 
Resposta:
 
 
54. Quando uma curva , passa pelo domínio de uma função no 
espaço, os valores de ao longo da curva são dados pela função composta . Quando integramos 
essa função composta em relação ao comprimento de arco de a , calcula-se a integral de linha de 
 ao longo da curva. Portanto ∫ ∫ 
 
 
 
 
 onde | | . Calcule a integral de 
linha ∫ 
 
 
 onde é a hélice circular dada por , . 
 
Resposta: 
 
 
55. Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa , é dada pela fórmula 
 ∫ (√(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ∫ | | 
 
 
 
 
, encontre o comprimento da curva , 
 . 
 
Resposta: 
 
 
56. Calcule a integral ∮ 
 
 
 onde é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas e . 
 
57. O plano apresenta intersecção com a paraboloide em uma parábola. Encontre o coeficiente 
angular da tangente à parábola em .