Limites - Parte 3
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Limites - Parte 3


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Ca´lculo I - Lista de Exerc´\u131cios no¯ 7 - 1o¯ semestre/2015
1. A func¸a\u2dco f : R\u2192 R definida por f(x) = { 2x, se x \u2264 3
7, se x > 3
e´ cont´\u131nua em p = 3? Justifique.
2. Determine L para que a func¸a\u2dco dada seja cont´\u131nua no ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x2 \u2212 4
x\u2212 2
, se x 6= 2
L, se x = 2
em p = 2 (b) f(x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x2 \u2212 x
x
, se x 6= 0
L, se x = 0
em p = 0
3. Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a\u2dco dada e´ cont´\u131nua.
(a) f(x) =
{
1, se x \u2208 Q
\u22121, se x 6\u2208 Q (b) f(x) =
{
2x, se x \u2264 3
7, se x > 3
(c) f(x) = dxe
(d) f(x) =
{
x, se x \u2208 Q
\u2212x, se x 6\u2208 Q (e) f(x) = x\u2212 bxc
4. De\u2c6 exemplo de uma func¸a\u2dco definida em R que seja cont´\u131nua em todos os pontos, exceto em
\u22121, 0 e 1.
5. De\u2c6 exemplo de uma func¸a\u2dco definida em R que seja cont´\u131nua em todos os pontos, exceto no
conjunto dos nu´meros inteiros.
6. De\u2c6 exemplo de uma func¸a\u2dco definida em R que seja cont´\u131nua apenas nos pontos \u22121, 0 e 1.
7. De\u2c6 o valor (caso exista) que a func¸a\u2dco deve assumir no ponto dado para ser cont´\u131nua neste
ponto. Justifique.
(a) f(x) =
\u221a
x\u2212
\u221a
3
x\u2212 3
em p = 3 (b) f(x) =
| x\u2212 5 |
x\u2212 5
em p = 5
8. Suponha que | f(x) \u2212 f(1) |\u2264 (x\u2212 1)2, para todo x. Prove que f e´ cont´\u131nua em p = 1.
9. Suponha que para todo x, | g(x) |\u2264 x4 . Calcule lim
x\u21920
g(x)
x
.
10. Prove que a func¸a\u2dco f(x) = 2x\u2212 1 e´ cont´\u131nua em x = 1.
11. Prove que a func¸a\u2dco f(x) = x2 e´ cont´\u131nua em x = 0.
12. Prove que a func¸a\u2dco f(x) = x3 e´ cont´\u131nua em x = 1.
13. Mostre que a equac¸a\u2dco x3 \u2212 4x2 + x+ 3 = 0 tem pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
14. Mostre que a equac¸a\u2dco x3 \u2212 4x+ 2 = 0 admite tre\u2c6s ra´\u131zes reais distintas.
15. Seja \u3b1 a menor raiz positiva da equac¸a\u2dco x3\u22124x+2 = 0. Determine intervalos de amplitudes
1
2
,
1
4
e
1
8
que contenham \u3b1.
16. Mostre que a equac¸a\u2dco x3 \u2212
1
1+ x4
= 0 admite pelo menos uma raiz real.
17. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite um ma´ximo e um m\u131´nimo.
(a) A =
{
x
1+ x2
| \u22122 \u2264 x \u2264 2
}
(b) B =
{
x2 + x
1+ x2
| \u22121 \u2264 x \u2264 1
}
18. Seja f : [\u22121, 1]\u2192 R dada por x2 + x
1+ x2
.
(a) Prove que f(1) e´ um valor ma´ximo de f.
(b) Prove que existe c \u2208 (\u22121, 0) tal que f(c) e´ valor m\u131´nimo de f.
UFMS / INMA Turmas 1, 2, 3 e 7