mecanica dos solidos I
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mecanica dos solidos I


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ax0|yx, D 33
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integração
\u222b \u222ba h ydydx
por Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação): Q \u222b \u222b
0 x
a
h 3
3
ydydxpp ( ç )( ç )
Por integração dupla (cont.)
\u23a4\u23a1a h2
=xQ
\u222b \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1=
a
0 x
a
h
2
dx
2
y
3
3
a
\u222b \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212=
a
0
6
6
2
2 dxx
a
hh
2
1
hdxdx
dydy
a
0
7
6
2
2
7
x
a
hxh
2
1 \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212=33 xa
h)x(y =
0
2ah
7
3=( ) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2264\u2264\u2264\u2264= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integração
\u222b \u222ba h d d
por Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Q \u222b \u222b
0 x
a
h 3
3
xdydx
pp ( ç )( ç )
Por integração dupla (cont.)
a
=yQ
[ ]\u222b= a
0
h
x
a
h dxxy 3
3
\u239e\u239ba
a
\u222b \u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b \u2212=
a
0
3
3 dxxa
hhx
a\u23a4\u23a1
hdxdx
dydy
a
0
5
3
2
5
x
a
h
2
xh \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212=33 xa
h)x(y =
ha
10
3 2=( ) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2264\u2264\u2264\u2264= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integraçãopor Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias
\u222b \u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b \u2212
a
0
3
3 dxxa
hha =A
a
0
4
3 4
x
a
hhx \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212=
h
ah
4
3=3
3 xa
h)x(y =
( ) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2264\u2264\u2264\u2264= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integraçãopor Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
\u239e\u239ba 2
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias (cont.)
\u222b \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212
a
0
6
6
2
2 dxx
a
hh
2
1
a
a\u23a4\u23a1 \u239e\u239b
=xQ
h
a
0
7
6
2
2
7
x
a
hxh
2
1 \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212=
3
3 xa
h)x(y = 2ah7
3=
( ) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2264\u2264\u2264\u2264= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integraçãopor Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
\u239e\u239ba h
pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias (cont.)
\u222b \u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b \u2212
a
0
3
3 dxxa
hhxa
a52 \u23a4\u23a1
=yQ
h
a
0
5
3
2
5
x
a
h
2
xh \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212=
3
3
3 xa
h)x(y = ha10
3 2=
( ) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2264\u2264\u2264\u2264= hyx
a
h e ax0|yx, D 33
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integraçãopor Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
A
Q
x y=a a
5
2 =
A
h
5
Qy x= h4 =
CC
y
3
3 xa
h)x(y =
A
y
7
xx
Determinação de Centróide Determinação de Centróide 
por Integraçãopor Integraçãopor Integraçãopor Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
Por integração de fatias Como tratar o 
problema com 
fatias horizontais?
\u222b \u239f\u239e\u239c\u239b= h 3
1
dyyaA
a
\u222b \u239f\u23a0\u239c\u239d0 dyhaA
\u222b \u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b=
h 3
1
x dy
yyaQ
hh
3
1
h
ya)y(x \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b= \u222b \u239f\u23a0\u239c\u239d0x dyhyaQ
\u222b \u23a5\u23a4\u23a2\u23a1 \u239f\u239e\u239c\u239b= h
2
3
1
dyya1Q
3
3 xa
h)x(y =
\u23a0\u239d
( )
\u23aa\u23ad
\u23aa\u23ac
\u23ab
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2264\u2264\u2264\u2264= 3
1
h
yax0 e hy0|yx, D
\u222b \u23a5\u23a5\u23a6\u23a2\u23a2\u23a3 \u239f\u23a0\u239c\u239d= 0y dyha2Q
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
Cálculo de área de superfície de revoluçãop ç
e volume de sólido de revolução.
Formulados inicialmente 
ôpelo geômetra grego 
Pappus (século III d.C.)
Restabelecidos posteriormente p
pelo matemático suíço Guldinus, 
ou Guldin (1577-1643).
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
Superfície de revoluçãoSuperfície de revolução
y
Curva geratriz
Curva geratriz
Curva geratriz
y
Eixo de revolução
z
Eixo de revolução
x
x
Eixo de revolução
Superfície de revolução
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
1º Teorema de Pappus-Guldin1º Teorema de Pappus-Guldin
A área de uma superfície de revolução é dada pelo produto do 
comprimento da curva geratriz pela distância percorrida pelo 
centróide da mesma durante a geração da superfície em pauta.
L
C
x
y
\u222bdAA dL2dA \u222b dL2A
d
\u222b= dAA ydL2dA \u3c0= \u222b \u3c0= ydL2A
\u222b\u3c0= ydL2A Ly2A \u3c0= LdA =
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
Sólido de revoluçãoSólido de revolução y
Superfície geratriz
Superfície geratriz
y
z
x
xEixo de 
Sólido de revolução
Eixo de revolução
revolução
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
2º Teorema de Pappus-Guldin2º Teorema de Pappus-Guldin
O volume de um sólido de revolução é dado pelo produto da área 
da superfície geratriz pela distância percorrida pelo centróide 
da mesma durante a geração do sólido em pauta.
C
x
A y
\u222bdVV dA2dV \u222b dA2V
d
\u222b= dVV ydA2dV \u3c0= \u222b \u3c0= ydA2V
\u222b\u3c0= ydA2V Ay2V \u3c0= AdV =
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
ExemploExemplo::pp
Determine o volume e 
a área superficial do 
sólido mostradosólido mostrado.
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
Cálculo do volume pelo 2º Teorema de Pappus-Guldin
20mm 20mm 50mm
B D
E
60mm
Eixo de 
revolução
C
c
20mm
A
revolução
Superfície geratriz SGSR AcV \u3c0= SGERQ\u3c0=
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
Cálculo do volume pelo 2º Teorema de Pappus-Guldin (cont.)
20mm 20mm 50mm
D E B E B D
m
B D
E
C
c
=
_
6
0
m
m
A
c
A
SG
A A
1 2
21SG QQQ
20mm
A 2
ER
1
ER
SG
ER QQQ \u2212=
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +\u22c5\u22c5\u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +\u22c5\u22c5= 2020602020706070QSGER \u239f\u23a0\u239c\u239d\u239f\u23a0\u239c\u239d 3232QER
3SG
ER mm 75000Q = 3SR mm 75000V \u3c0=
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
Cálculo da área pelo 1º Teorema de Pappus-Guldin
20mm 20mm 50mm
B D
E
60mm
Eixo de 
revolução
C
c
20mm
A
revolução
ADEA2AA SRS \u394+=
Curva geratriz
A2AA +
ADEA2QCGER
\u394+\u3c0=
ADEA2Lc CG \u394+\u3c0=
Teoremas de Teoremas de PappusPappus--GuldinGuldinTeoremas de Teoremas de PappusPappus GuldinGuldin
ExemploExemplo (continuação):(continuação):pp ( ç )( ç )
Cálculo da área pelo 1º Teorema de Pappus-Guldin (cont.)
20mm 20mm 50mm 1
m
B D
E
C
c
D E
=
D E D
3
E
6
0
m
m
A
c
321CG QQQQ
CG
A A
A
2
20mm
A 3
ER
2
ER
1
ER
CG
ER QQQQ ++=
2040602020906070904050Q 2222CGER
+\u22c5+++\u22c5+++\u22c5=
2
6020
2
6070
2
50QER ++++
2CG
ER mm 1,10218Q = 2mm 2,35101 =60501,10218AS \u22c5+\u3c0=