Biotecnologia Industrial - Vol 2 - Willibaldo Schmidell

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DisciplinaEngenharia Química697 materiais1.722 seguidores
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preliminar dos parâmetros do modelo obtidos por linearização e simplificação do modelo. 
Parâmetro Valor estimado 
·'" 
llxa (h-1) 0,524(a) I;' 
J.lra (h-1) 1,305(a) I 
Ks (g/L) 3,69 
K' s (g/L) 3,70 
Ki (g/L) 446 ' 
K' (g/L) 53,7 l5 1 
. 
KP (L /g) 0,0442 
I'<&quot; 
K' p (L /g) 0,0142 ~ ~~ 
Yx/s (g/g) 0,216 
Yp/s (g/g) 0,511 (fixo) 
,. 
(a) Média dos valores estimados quando da estimativa 
de K5 , K~ e Ki, Kj. ' 
.. 
- ' .\u2022,; &quot; - . c .. 
Estatisticamente, uma regressão linear pode ser avaliada pelo valor do coefi-
ciente de correlação r, dado por: 
(7.63) 
onde: n ... número de pares de pontos (x, y) a serem ajustados 
ln [1 +a( 50 - S)] X= ------=--- (7.64) t . 
Ajuste de parâmetros do modelo formulado I 57 
ln (S- 50 ) (7.65) y=--_____;;-
t 
A solução do ajuste de parâmetros do modelo (J..lm, K5 e Yx;s) reduz-se, então, 
à solução do seguinte problema de otimização: &quot;Minimizar a função objetivo: -r2 = 
f (a), sujeita às condições a > O e eq. (7.64) e (7.65)&quot;. 
Os valores de b e d sãb obtidos pelas equações: 
b = (nLxy- LXLY) 
nLx 2 -(LX) 2 
d = (Ly- bLx) 
n 
(7.66) 
(7.67) 
Assim como o método de ajuste do modelo por linearização, esse método 
por integração também deve ser utilizado com muito cuidado, pois também resu-
me o problema de estimativa de parâmetros numa linearização por transforma-
ção de variáveis. Há alguns sérios inconvenientes em usar transformações de va-
riáveis, entre os quais podemos destacar: 
\u2022 as faixas de variações de logaritmos (por exemplo, utilizados na transfor-
mação de variáveis) podem ser muito diferentes das faixas de variações 
das variáveis de origem (no caso dos logaritmos, muito menores); 
\u2022 ao utilizar a equação linearizada, o que estará sendo minimizado é a dife-
rença quadrática (quando esta for a forma de cálculo dos resíduos) entre a 
forma transformada &quot;experimental&quot; e a calculada; os parâmetros assim 
obtidos não serão 'necessariamente ótimos em relação aos desvios da va-
riável original; 
. · - -. 
\u2022 as variáveis transformadas podem não preservar as propriedades da dis-
tribuição de erros das variáveis originais do problema, o que pode consti-
tuir uma objeção muito séria sobre a validade do procedimento. 
AUGUSTO et al.47 tentaram utilizar o ajuste de parâmetros por regressão linear 
a partir da integração do modelo, aplicado ao crescimento microbiano obedecendo 
à cinética de Andrews, sem conseguir bons resultados pelos motivos expostos aci-
ma. 
7.3.3 - Integração numérica e ajuste por regressão não-linear 
A estimação de parâmetros recai, na grande maioria dos casos, em problema ~­
de regressão não-linear, envolvendo o uso de métodos numéricos de minimização 
da função objetivo através de procedimentos iterativos.48 No caso do ajuste de pa-
râmetros, a função objetivo a ser minimizada reflete o resíduo calculado entre os 
valores experimentais e os valores simulados das variáveis de estado. Os proble-
mas freqüentemente encontrados ao efetuar regressões não-lineares são: 
\u2022 aproximação numérica de derivadas parciais; 
158 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
\u2022 obtenção de uma estimativa inicial adequada dos parâmetros; 
\u2022 existência de mínimos locais na função objetivo, isto é, a função resíduo 
apresenta · diversos valores mínimos, que atraem a solução do método 
de regressão empregado, dificultando a convergência para o mínimo 
absoluto; 
\u2022 a própria escolha da função objetivo mais adequada (mínimos quadrados, 
máxima verossimilhança, etc.); 
\u2022 interação entre parâmetros, o que pode levar a grandes intervalos de con-
fiança dos parâmetros. 
Este último problema é ainda mais acentuado quando o modelo contém ex-
pressões hiperbólicas, e este é freqüentemente o caso em processos fermentativos 
-por exemplo, modelos derivados da expressão de MONOD.49 
Entre os métodos disponíveis para resolver problemas de ajuste de parâme-
tros por regressão não-linear podem ser citados:50'51 
\u2022 Métodos de ordem &quot;0&quot;. Métodos que não exigem o cálculo das derivadas 
das EDO em relação aos parâmetros do modelo. O método de ordem &quot;O&quot; 
mais utilizado é o de Nelder & Mead ou método dos poliedros flexíveis. 
\u2022 Métodos de 1.&quot; ordem. Métodos que necessitam do cálculo das derivadas das 
EDO em relação aos parâmetros do modelo. Os métodos de t.\u2022 ordem 
mais conhecidos são os de Gauss-Seidel, Gradiente e Marquardt,52 sendo 
este último o mais empregado no ajuste de parâmetros de modelos mate-
máticos pela sua alta eficiência computacional. 
Entretanto, o método de Nelder & Mead tem se mostrado mais efetivo em 
comparação ao método de Marquardt, quando o número de parâmetros a serem 
estimados é muito grande, casá c:,ios modelos matemáticos de processosfermenta-
tivos. Por es~e motivo, será detalhado apenas o método de Nelder & Mead de oti-
mização para estimativa de parâmetros por regressão não linear. \u2022 
7.3 .3.1 - Métodos dos poliedros flexíveis (NELDER & MEAD?' 
Há muito tempo sabe-se que determinar o mínimo de funções de n variáveis 
pelo conceito mais simples- caso do estabelecimento de uma rede de pontos em 
e e valorando-se a função em cada ponto desta rede, ou a busca de um mínimo 
através de movimentos randômicos - é extremamente ineficiente. O método de 
Nelder & Mead é um método simplex geométrico flexível, conhecido como o mé-
todo dos poliedros flexíveis. O método dos poliedros flexíveis minimiza uma fun-
ção de n variáveis independentes, usando (n+l) vértices de um poliedro no espaço 
En ~ Cada vértice é definido por um vetor x (neste caso, por um conjunto de parâ-
metros). O vértice em e que fornece o maior valor da função objetivo (neste caso 
o maior resíduo entre as variáveis calculadas e as variáveis experimentais) é proje-
tado através do centro de gravidade dos vértices remanescentes. Melhores (meno-
res) valores da função objetivo são obtidos, substituindo, sucessivamente, o ponto 
com maior valor de f(x) por pontos melhores, até se obter o mínimo de f(x). 
Ajuste de parâmetros do modelo formulado I 59 · 
Sejam: 
i=1, ... ,n+1 
i-ésimo vértice em e no k-ésimo estágio da busca 
f [!~k) ] valor da função objetivo no vértice <k) 
!~~)2 centro de gravidade de todos os vértices excluído !hk) 
x<k) . =_!_~(~x~k))-x<~>] j = 1, ... , n 
- n+2,J n L. IJ hJ 
i=l 
(7.68) 
onde o índice &quot;j&quot; designa cada coordenada do vértice. 
O procedimento para obter um vértice em En no qualf(x) tem um valor &quot;me-
lhor&quot;, envolve 4 operações descritas a seguir. 
(1) Reflexão: Refletir !hk) através do centro de gravidade !~~)2 
x<k) = x<k) +a(x(k) - x<k)) 
-n+3 - n+2 -n+2 -h 
(7.69) 
onde a > O ... é o coeficiente de reflexão. 
x<k) =x(k) +y(x(k) -x(k) ) 
-n+4 - n+2 -n+3 -n+2 
(7.70) 
onde y > 1 ... é o coeficiente de expansão. 
Se f [!~:_>4 ]<f [!\k) 1 substituir!~) por !~l4 e continuar do passo (1) com k = 
k+l. Caso contrário, substituir!~) por !~l3 e continuar do passo (1) com k = k+l. 
~-. ·-·· -o- -· ---··- ----- --,--~-- --- -· -·-:--- -- ---- ----- -- -........ ,, ______ .. - \u2022. . -·-. 
I 
I 
I 
_______ j 
I 60 Modelagem matemática e simulação de processos fermentativos 
(3) Contração: Se f L!.~:l3 ]>f [!~k) 1 para todo i =t h, contrair o vetor (!hk) - !~:)2 ), cal-
culando: 
x(k) = x(k) + A(x(k) _ x(k) ) 
-n+S -n+2 1-' -h -n+2 
(7.71) 
onde O < p < 1 ... é o coeficiente de contração. 
Substituir !hk) por !~:ls e continuar do passo (1) com k = k+l. 
(4) Redução: Se /[!~::3 ]> f[!hk)] reduzir todos os vetores (!~k) -!\kl), i= 1, 2, ... , 
n+1, por um fator de meio, a partir de !\k), calculando: 
x\k) =x(k) +0 S(x\kl -x(k)) i= 1, ... , n+1 
-1 -1 I -1 -1 
(7.72) 
e continuar do passo (1) com k = k+l. 
O critério usado por Nelder & Mead para término da busca, consiste em ve-
rificar se: 
(7.73) 
isto é, a convergência ocorre se a raiz quadrada