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V = =+ utilizando (b). 
 12
De uma maneira geral, podemos fazer uma análise dos intervalos onde cada plano é mais 
vantajoso: 
 
A V-dV 
 taxa i 
B V 
 
 
A é mais vantajoso que B se ou seja (1 )(1 )V d i V\u2212 + <
1
id
i
> + , caso contrário B é mais 
vantajoso que A. Se
1
id
i
= + os planos são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
Capítulo III - Sistemas de Amortização 
 
 
1. Sistema Price - Parcelas Iguais 
 
 
Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 
20.100,00, para ser pago em 12 parcelas iguais, com vencimento da 1a parcela em 30 dias 
e periodicidade mensal de amortização e juros de 2,90% a.m.. Então: 
a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente; 
b) Determine o valor de cada parcela de juros paga e o valor a ser amortizado 
mensalmente; 
 
\u2022 Prestações Iguais - Sistema Price 
 
A questão principal envolvida nesse problema é a do pagamento de um crédito concedido 
pelo Banco no valor de R$ 20.100,00. A taxa cobrada pela instituição era de 2,90% a.m. e 
o prazo para liquidação total do débito era de 12 meses. A priori, podemos afirmar que 
nesse período o Banco deveria receber a quantia de R$ 28.325,69 ( R$ 20.100,00 pelo 
principal e R$ 8.325,69 pelos juros). Uma das formas existentes de efetuar tal pagamento 
é utilizar uma modalidade de financiamento denominada Sistema Price . 
 
O financiamento nesse sistema é pago em prestações iguais, cada uma sendo subdividida 
em duas parcelas: 
a) juros do período ( calculados sobre o saldo da divida no início do período ) e, 
b) amortização do principal ( correspondente ao pagamento parcial ou integral do 
principal e obtida a partir da diferença do valor da prestação e o valor dos juros no 
período). 
 
 Resumindo, no sistema &quot; Price&quot;, para qualquer prestação é valida a relação abaixo: 
 
PRESTAÇÂO = JUROS + AMORTIZAÇÂO 
 
 
 
 14
Dessa maneira ao longo do tempo, os juros vão decrescendo ao passo que as 
amortizações vão crescendo, de tal modo que a soma dessas duas parcelas se mantenha 
sempre igual ao valor constante da prestação. Sendo assim, o próximo passo é determinar 
qual o valor da parcela a ser pago mensalmente, de tal maneira, que efetuando esses 12 
pagamentos mensais isso seja equivalente ao pagamento integral do montante da divida 
daqui a 12 meses. Na pratica esse problema se resolve utilizando a equação básica de 
juros compostos (1+i)n, para a capitalização do principal e de cada parcela. Logo 
podemos obter a fórmula matemática para o cálculo do valor da parcela P: 
 
P = V(1+i)n i /( (1+i)n -1) 
 
Onde V é o valor do principal, i a taxa do período e n número de períodos. 
Logo, encontramos o valor para P, que é de R$ 2.007,25. Podemos observar, que por 
definição, o Sistema Price tem a conceituação de juros compostos ou juros sobre juros. A 
partir do valor encontrado para a parcela, podemos construir uma tabela denominada 
tabela Price utilizando as definições impostas ao sistema e descritas nos itens (a) e (b) 
acima: 
 
SISTEMA PRICE 
Parcela 
Valor da 
parcela 
Juros Amortização Saldo devedor 
1a 2.007,25 582,90 1.424,35 18.675,65 
2a 2.007,25 541,59 1.465,66 17.209,99 
3a 2.007,25 499,09 1.508,16 15.701,83 
4a 2.007,25 455,35 1.551,90 14.149,94 
5a 2.007,25 410,35 1.596,90 12.553,04 
6a 2.007,25 364,04 1.643,21 10.909,82 
7a 2.007,25 316,38 1.690,87 9.218,96 
8a 2.007,25 267,35 1.739,90 7.479,06 
9a 2.007,25 216,89 1.790,36 5.688,70 
10a 2.007,25 164,97 1.842,28 3.846,42 
11a 2.007,25 111,55 1.895,70 1.950,72 
12a 2.007,25 56,57 1.950,72 - 
 
 
 
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A soma das capitalizações de cada parcela é dada pela expressão: 
 
 
S = 2.007,25 (1+0,029)12 + 2.007,25 (1+0,029)11 + ... + 2.007,25 = 28.325,69 
 
que corresponde ao montante do valor emprestado de R$ 20.100,00 capitalizados 
mensalmente por um período de 12 meses. Pela tabela acima construída fica difícil de 
observarmos que o método Price está concebido pela formulação de juros compostos. 
 
\u2022 Sobre o valor de Amortização 
 
A partir da relação principal parcela = juros + amortização, podemos escrever que: 
 
 P = J1 + A1 = J2 + A2 = .............= Jn + An , onde Jn e An correspondem 
respectivamente aos valores de juros pagos e amortizados na n-ésima parcela. Assim 
sendo podemos escrever 
 
 ) i 1(AAA i )A - (V A i V 12211 +=\u21d2+=+ 
 
e por recorrência 
 
 
1
1 )1(
\u2212+= nn iAA
2. Sistema de Amortizações Constantes - SAC 
 
Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 
18.000,00, para ser pago em 08 parcelas iguais, com vencimento da 1a parcela em 30 dias 
e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m.. Então: 
a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente ; 
b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado 
mensalmente; 
 
 
 
 
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\u2022 Amortizações constantes 
 
A questão principal envolvida nesse problema é a do pagamento de um crédito concedido 
pelo Banco no valor de R$ 18.000,00 ( sendo oito parcelas no valor de R$ 2.250,00). A 
taxa cobrada pela instituição era de 1,50% a.m. e o prazo para liquidação total do débito 
era de 08 meses. A priori, podemos afirmar que nesse período, o Banco deveria receber a 
quantia de R$ 20.276,86 ( R$ 18.000,00 pelo principal e R$ 2.276,86 pelos juros). Uma 
das formas existentes de efetuar tal pagamento é utilizar uma modalidade de 
financiamento denominada Sistema de Amortização Constante S.A.C.. 
 
O financiamento nesse sistema é pago em prestações iguais, cada uma sendo subdividida 
em duas parcelas: 
a) juros do período ( calculados sobre o saldo da divida no início do período ) e, 
b) amortização do principal (sempre constante e calculada a partir do valor 
principal). 
 
 Resumindo, no sistema de Amortização Constante, para qualquer prestação é valida a 
relação abaixo: 
 
 
PRESTAÇÂO = JUROS + AMORTIZAÇÂO 
 
Dessa maneira ao longo do tempo, os juros vão decrescendo ao passo que as prestações 
vão decrescendo aritmeticamente, de tal modo que a soma dessas duas parcelas se 
mantenha sempre igual ao valor da prestação. Sendo assim, o próximo passo é determinar 
qual o valor da parcela a ser pago mensalmente, de tal maneira, que efetuando esses 08 
pagamentos mensais isso seja equivalente ao pagamento integral do montante da divida 
daqui a 08 meses. Na pratica esse problema se resolve utilizando a equação básica de 
juros simples, para o cálculo do juros devido em cada parcela . Logo podemos obter a 
fórmula matemática para o cálculo do valor da parcela Pk: 
 
 iSn
SP kk 1\u2212+= 
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Onde S é o valor do principal, Sk-1 é o valor do saldo devedor no início da cada período, i 
a taxa do período e n número de períodos. 
Logo, encontramos o valor para P1, que é de R$ 2.520,00. Podemos observar, que por 
definição, o Sistema Price tem a conceituação de juros compostos ou juros sobre juros. A 
partir do valor encontrado para a parcela, podemos construir uma tabela denominada 
tabela Price utilizando as definições impostas ao sistema e descritas nos itens (a) e (b) 
acima: 
SAC 
Parcela 
Valor da 
parcela 
Juros Amortização Saldo devedor 
1a 2520,00 270,00 2250 15750
2a 2486,25 236,25 2250 13500
3a 2452,50 202,50 2250 11250
4a 2418,75 168,75 2250 9000
5a 2385,00 135,00 2250 6750
6a 2351,25 101,25 2250 4500
7a 2317,50 67,50 2250 2250
8a 2283,75 33,75 2250 0
 
 
A soma das capitalizações de cada parcela é dada pela expressão: 
 
 
S = 2.520,00 (1+0,015)7 + 2.486,25 (1+0,015)6 + ... + 2.283,75= 20.276,86 
 
que corresponde ao montante do valor emprestado de R$ 18.000,00 capitalizados 
mensalmente por um período de 08 meses. Pela tabela acima construída fica difícil