Derivadas - Parte 2
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Derivadas - Parte 2


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Ca´lculo I - Lista de Exerc´\u131cios no¯ 9 - 1
o
¯ semestre/2015
1. Calcule as derivadas das func¸o\u2dces dadas abaixo:
(i) y = (2x3 \u2212 3x+ 7)4 (ii) y =
\u221a
1+ 4x2 (iii) y = (2x4 \u2212 1)5(5x3 + 6x)
(iv) y =
(x2 \u2212 5)3
(x2 + 4)2
(v) y = (5\u2212 3x)2/3 (vi) y = (x2 \u2212 1)3/2(x2 \u2212 4)1/2
(vii) y =
1\u221a
25\u2212 x2
(viii) y = (5\u2212 x)1/2 + (x3 + 1)1/4 (ix) y =
\u221a
2x3 \u2212 5x2 + x
(x) y =
\u221a
x\u2212 2
3\u2212 x
(xi) y =
\u221a
x2 +
\u221a
x (xii) y = ln(3x\u2212 4)
(xiii) y = ln x2 (xiv) y = ln(4\u2212 x2) (xv) y = ln
\u221a
5\u2212 x2
(xvi) y = ln |x2 \u2212 4| (xvii) y = ln ln x (xviii) y = ln[
\u221a
x(1+ x2)]
(xix) y =
\u221a
2+ ln
x\u2212 2
3\u2212 x
(xx) y = ln ln | x | (xxi) y =
et \u2212 e\u2212t
et + e\u2212t
(xxii) y = e5x (xxiii) y = ex
2
(xxiv) y = 2e
\u221a
x
(xxv) y = x2e\u2212x (xxvi) y =
ex
3\u22123x
3
(xxvii) y = (x2 \u2212 e\u22122x)3
(xxviii) y =
e2x
sen 3x
(xxix) y = cos ex (xxx) y = sen cos x
(xxxi) y = sen x2 (xxxii) y = sen 2x (xxxiii) y = e\u2212x sen x
(xxxiv) y = esen t (xxxv) y = tg sen (1\u2212 3x2) (xxxvi) y = sec
1
x2 \u2212 1
(xxxvii) y = tg
\u221a
x
x+ 1
(xxxviii) y = (x+ 1)2 sen
1
x+ 1
(xxxix) y = cos sen
\u221a
x2 + 1
(xl) y = sen (1+ et
2
) (xli) y = x sec(x2 + 1) (xlii) ln(sec x+ tg x)
(xliii) y = tg 3x (xliv) y = sec x3 (xlv) y = cotg x2
(xlvi) y =
e\u2212x cos x
x2 + x
(xlvii) y =
te2t
ln(1+ 3t)
(xlviii) y = (sen 3x+ cos 2x)4
(xlix) y = e\u2212x sec x2 (l) y = cos3 x3 (li) y = x3tg 4x
(lii) y = x2 ln(3x+ 5) (liii) y = (x2 + cotg x2)3 (liv) y = xsen 3x
(lv) y = 5x + log2 x (lvi) y = 2
x2 + 32x (lvii) y = xx sen x
(lviii) y =
(
1+
1
x
)x
(lix) y = ln(1+ xx) (lx) y = xpi + pix
2. Calcule as derivadas das func¸o\u2dces dadas abaixo por derivac¸a\u2dco logar´\u131tmica.
(a) y = (2x+ 1)(x2 + 3)(x3 \u2212 1) (b) y =
x(x\u2212 1)(x+ 2)
x+ 1
(c) y =
\u221a
x2 \u2212 1
x2 + 1
(d) y = xx
x
(e) y = 2x
x
(f) y = (x2 + 1)cos x
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3. Em cada caso, determine a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva y = f(x) em x = a e fac¸a um gra´fico.
(a) f(x) = ln(1\u2212 x), a = 0 (b) f(x) = ex\u22121, a = 1
4. Determine a equac¸a\u2dco da reta normal ao gra´fico da func¸a\u2dco y = ln(x\u2212 3) em x = 4. Esboce o gra´fico
dessa func¸a\u2dco e da referida normal.
5. Uma part´\u131cula desloca-se sobre o eixo x com func¸a\u2dco de posic¸a\u2dco x = 3+ 2t\u2212 t2, t \u2265 0.
(a) Determine a velocidade no instante t.
(b) Determine a acelerac¸a\u2dco no instante t.
(c) Esboce o gra´fico da func¸a\u2dco de posic¸a\u2dco.
6. Expresse a taxa de crescimento do volume de uma esfera, relativamente ao raio, em func¸a\u2dco do raio.
Fac¸a o mesmo para a superf´\u131cie da esfera. Calcule essas taxas quando o raio for igual a 5 cm.
7. Expresse a taxa de crescimento do volume de uma esfera, relativamente a` superf´\u131cie, em func¸a\u2dco do
raio da esfera. Fac¸a o mesmo para o raio, relativamente ao volume.
8. Qual a taxa me´dia de variac¸a\u2dco da a´rea de um c´\u131rculo em relac¸a\u2dco ao raio, quando este varia de r a
r+ \u2206r? Calcule essa taxa para r = 1, 5m e \u2206r = 5 cm.
9. Se o raio de um c´\u131rculo cresce a` taxa de 30 cm/s, a que taxa cresce a a´rea em relac¸a\u2dco ao tempo?
10. Uma escada de 8 metros esta´ encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade
superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 metros da parede?
11. Enche-se um reservato´rio, cuja forma e´ a de um cone circular reto, de a´gua a uma taxa de 0, 1m3/s.
O ve´rtice do cone esta´ a 15m do topo e o raio do topo e´ de 10m. Com que velocidade o n´\u131vel h
da a´gua esta´ subindo no instante em que h = 5m?
12. Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por um quarto de quilo\u2c6metro; a velocidade
do primeiro e´ de 40km/h e a do segundo e´ de 60km/h no mesmo sentido que o primeiro. O
passageiro A do trem mais lento observa o passageiro B do trem mais ra´pido. Com que velocidade
muda a dista\u2c6ncia entre ambos quando
(a) esta\u2dco exatamente um em frente ao outro?
(b) A esta´ a 1/8 de quilo\u2c6metro a` frente de B?
(c) B esta´ a 1/8 de quilo\u2c6metro a` frente de A?
13. Dois carros partem de um mesmo ponto, um em direc¸a\u2dco leste, com velocidade constante de 60
quilo\u2c6metros por hora, e o outro em direc¸a\u2dco norte, com velocidade constante de 80 quilo\u2c6metros por
hora. Deduza uma expressa\u2dco para a taxa de variac¸a\u2dco da dista\u2c6ncia entre os carros em relac¸a\u2dco ao
tempo.
14. Esta´ vazando a´gua de um tanque co\u2c6nico a uma taxa de 10 000 cm3/min. Ao mesmo tempo, esta´
sendo bombeada a´gua para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura e
o dia\u2c6metro no topo e´ de 4m. Se o n´\u131vel da a´gua subir a uma taxa de 20cm/min quando a altura
da a´gua for 2m, encontre a taxa segundo a qual a a´gua esta´ sendo bombeada dentro do tanque.
15. Se dois resistores com resiste\u2c6ncias R1 e R2 esta\u2dco conectados em
paralelo, como na figura, enta\u2dco a resiste\u2c6ncia total R, medida
em ohms(\u2126), e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
.
Se R1 e R2 esta\u2dco crescendo a taxas 0, 3\u2126/s e 0, 2\u2126/s, respec-
tivamente, qua\u2dco ra´pido esta´ variando R quando R1 = 80\u2126 e
R2 = 100\u2126?
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