Matemática Para Economia - Livro Texto - Unidade III

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5 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÕES
Para esta unidade, iremos apresentar um dos conceitos mais importantes da matemática e um dos 
mais difíceis de ser entendido: o conceito de função. Essa é a parte da matemática cuja aplicação é de 
extrema importância. Nesta unidade iremos apresentar o significado do x como uma variável e suas 
aplicações cotidianas.
Para o correto entendimento do conceito de função, é necessário que todos os itens que compõem 
sua definição sejam corretamente definidos e entendidos.
 
5.1 A álgebra dos conjuntos
5.1.1 Os conjuntos
Os conjuntos são agrupamentos, classes, categorias de elementos que têm uma característica em 
comum. Essa característica em comum é que define o conjunto. 
Exemplos:
A = Conjunto dos alunos do primeiro ano do curso de matemática da UNIP.
B = Conjunto dos guitarristas canhotos de rock.
C = Conjunto dos dinossauros que vivem atualmente na América do Sul.
Os conjuntos podem ser vazios, ou seja, nenhum elemento contém aquelas propriedades que 
definem o conjunto. O exemplo C acima é um exemplo de conjunto vazio, e tem um símbolo especial 
para ele: ∅.
Na matemática, os conjuntos são representados por letras maiúsculas. Se forem conjuntos conhecidos 
ou definidos usam-se as letras iniciais do alfabeto (A, B, C). Se forem conjuntos desconhecidos ou 
variáveis usam-se as letras finais (X, Y, Z).
5.1.2 Os elementos
Os elementos são as entidades que possuem a característica que define o conjunto. Não há ligação 
física entre um elemento e um conjunto, como também não há ligação entre os elementos de um 
mesmo conjunto. Elementos de um conjunto não formam grupos nem precisam estar geograficamente 
próximos. Apenas possuem uma característica comum.
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Exemplos:
Conjunto A = {todos vocês}
Conjunto B = {Jimi Hendrix, Eric Gales, Tony Iommi, Paul McCartney, Kurt Cobain, ...}
Conjunto C = { } = ∅
Na matemática, os elementos são representados pelas letras minúsculas do alfabeto, e usam-se 
também as iniciais para elementos conhecidos e as finais para os variáveis ou desconhecidos. Para indicar 
que um elemento possui a característica que define um conjunto, usa-se o símbolo de pertinência ∈, e 
diz-se que o elemento a pertence ao conjunto A, ou a ∈ A. Se um elemento não possui a característica 
diz-se que a ∉ A.
5.1.3 Número de elementos
O número de elementos de um conjunto (também chamado de cardinalidade do conjunto) é a 
quantidade de elementos que possuem a característica que define o conjunto, ou seja, o número de 
elementos que pertencem ao conjunto. Ele é simbolizado por n(A), isto é, n(A) representa o número de 
elementos de um conjunto. 
Exemplo: A {1,2,3,4} n(A) 4= → =
 { }B a,b,c,..., x,y,z n(B) 26= → =
 { } { }( )2C x | x 9 n(C) 2 C= 3,3= ∈ = → = −
5.1.4 Representações
 
Os conjuntos com seus elementos admitem, principalmente, três tipos principais de representação:
•	 Enumeração:
É quando você lista todos os elementos de um conjunto, ou deixa indicado, de forma clara, quais 
seriam esses elementos. 
Exemplos:
– Números naturais =  = {0, 1, 2, 3, ...};
– Ataque da seleção brasileira de 1970 = {Jairzinho, Gérson, Pelé, Tostão, Rivelino};
– Sobrinhos do Donald = {Huguinho, Zezinho, Luisinho}.
•	 Lei de formação
Muitas vezes é conveniente citar a característica que define o conjunto, ao invés dos seus elementos. 
A essa característica se dá o nome de lei de formação.
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Exemplos:
– A = {seleções campeãs da copa do mundo};
– B = {letras do alfabeto grego};
– C = {x / x 2}∈ > .
 Saiba mais
Existem problemas famosos na Matemática, um deles é conhecido como 
“O problema das quatro cores”. Leia o artigo “Colorindo mapas: quatro cores 
são suficientes” no site:
<http://www1.ime.unicamp.br/lem/jpm/jpm08.pdf>.
•	 Diagrama de Venn-Euler
Em certos casos, principalmente nas análises genéricas ou estruturais das teorias dos conjuntos, 
não nos interessa saber quem são os elementos dos conjuntos, ou nem mesmo quem é o conjunto. 
Só queremos estudar o que acontece em certos casos com qualquer conjunto que seja. Nesses casos, 
fica mais fácil utilizar uma representação dos conjuntos na qual não seja necessário defini-lo (lei de 
formação) nem listar seus elementos (enumeração). Para tanto, usamos os diagramas que representam 
conjuntos genéricos, conjuntos quaisquer.
Exemplos:
A B
 
A representação por diagrama muitas vezes nos dá a ideia incorreta de que os elementos de um 
conjunto estão ligados a este, que estão fisicamente próximos ou mesmo “dentro” dos conjuntos. Como 
já vimos, nada disso é verdade. A única ligação é que o elemento possui a propriedade que define o 
conjunto. Pense, por exemplo, no conjunto das pessoas que têm olhos castanhos. Os elementos desse 
conjunto estão espalhados por quase todos os cantos do planeta e certamente não devem ter muita 
coisa em comum fora o fato de serem homo sapiens e terem genes para olhos castanhos. Mas mesmo 
assim, são um conjunto no sentido matemático do termo e poderiam ser representados pelos conjuntos 
A ou B anteriores.
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5.2 Operações com conjuntos
5.2.1 Operações
Assim como estamos acostumados a fazer operações com números, existem também operações com 
conjuntos, que obedecem a regras e nos permitem resolver problemas. 
Da mesma forma uma adição de dois inteiros nos dá outro inteiro, uma operação com conjuntos 
nos dá outro conjunto, ou seja, a adição entre 5 e 2 nos dá outro número, 7, e dessa mesma forma uma 
operação entre dois conjuntos, A e B, nos dará um terceiro conjunto, por exemplo, C.
Vamos conhecer essas operações.
5.2.2 União
A união dos conjuntos A e B nos dá um conjunto C dos elementos que têm a característica do 
conjunto A ou a característica do conjunto B. Aqui a palavra-chave é ou, o que inclui os elementos que 
têm somente a característica do conjunto A, ou somente a característica do conjunto B, ou, então, as 
duas. Matematicamente, temos:
{ }A B C x | x A x B∪ = = ∈ ∨ ∈
Exemplos:
1. A = cachorros famosos = {Lassie, Rin Tin Tin, Scooby-doo, Snoopy, Pluto, Pateta};
 B = gatos famosos = {Garfield, Tom, Frajola};
 C = cachorros famosos ou gatos famosos = {Lassie, Rin Tin Tin, Scooby-doo, Snoopy, Pluto, Pateta, 
Garfield, Tom, Frajola}.
2. E = { }x / x 2∈ > 
 F = { }x / x 10∈ <
 G = E F∪ =
3.
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5.2.3 Intersecção
A intersecção dos conjuntos A e B nos dá umconjunto C dos elementos que têm a característica do 
conjunto A e a característica do conjunto B. Aqui a palavra-chave é e, o que inclui os elementos que têm 
a característica do conjunto A e também a característica do conjunto B. Quem possui somente uma das 
duas ou nenhuma delas está fora. Matematicamente, temos:
{ }A B C x A x B∩ = = ∈ ∧ ∈
Exemplos:
1. A = físicos famosos do século XX = {Einstein, Rutherford, Bohr, Heisenberg, Planck};
 B = físicos alemães = {Einstein, Abbe, Bednorz, Planck, Hertz, Webber, Heisenberg};
 C = físicos alemães famosos do século XX = {Einstein, Planck, Heisenberg};
2. E = { }x / x 2∈ > 
 F = { }x / x 10∈ < 
 G = { }E F x |2 x 10∩ = ∈ < <
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 Lembrete
Quando em um problema temos a palavra ou, isso significa a união entre os conjuntos e a operação 
a ser utilizada é a soma. Quando em um problema temos a palavra e, isso significa a intersecção entre 
os conjuntos e a operação a ser utilizada é a multiplicação.
5.2.4 Diferença simétrica 
A diferença simétrica dos conjuntos A e B nos dá um conjunto C dos elementos que têm ou a 
característica do conjunto A ou a característica do conjunto B, mas não as duas. Essa operação resulta 
num conjunto que inclui os elementos que têm somente a característica do conjunto A e também os 
elementos que têm somente a característica do conjunto B. Quem possui as duas características ou 
nenhuma delas está fora. Matematicamente, temos:
{ }A B C x | x A x B∆ = = ∈ ∨ ∈
Exemplos:
1. A = físicos famosos do século XX = {Einstein, Rutherford, Bohr, Heisenberg, Planck};
 B = físicos alemães = {Einstein, Abbe, Bednorz, Planck, Hertz, Webber, Heisenberg};
 C = físicos ou famosos do século XX ou alemães= {Rutherford, Bohr, Abbe, Bednorz, Hertz, 
Webber}.
2. E = { }x / x 2∈ >
 F = { }x / x 10∈ <
 G = { }E F x / x 2 x 10∆ = ∈ ≤ ∨ ≥
3.
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 J H I= ∆ 
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5.2.5 Complementar
O complementar de um conjunto A é o conjunto B formado por todos os elementos que não 
apresentam a característica que define o conjunto A, ou seja, todos os elementos que não pertencem a 
A. Matematicamente, temos:
{ }A x | x A= ∉
Exemplos:
1. A = cores primárias = {azul, amarelo, vermelho};
 A = cores não primárias = {verde, laranja, roxo, rosa, cinza, ocre, ...}.
2. B = { }x / x 2∈ > 
C = { }B x / x 2= ∈ ≤
3.
 
A A
 Observação
Podemos também falar no complementar de um conjunto (A) em 
relação a outro conjunto (B), denotando assim: CBA. Esse complementar 
relativo nos dá todos os elementos de um conjunto que não fazem parte 
do outro. 
Matematicamente, temos:
{ }BC A x | x B x A= ∈ ∧ ∉
Uma forma mais usual e mais prática de indicar isso é fazer a “subtração” dos conjuntos. Vamos 
deixar bem claro que a operação subtração não é definida para conjuntos, mas a ideia é muito parecida. 
Assim, o complementar de A relativo a B seria o conjunto B - A, ou:
{ }BC A B A x | x B x A= − = ∈ ∧ ∉
Exemplos:
1. A = {cursos da área de exatas} = {matemática, engenharia, física};
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 B = {cursos da UNIP} = {matemática, engenharia, administração};
CBA = B - A = {administração}
2. ( ) ( ){ }A B A B A B∆ = ∪ − ∩
3. A U A= − (U = {conjunto universo} = conjunto de interesse, objeto do estudo)
 
5.3 Entendendo um diagrama de Venn-Euler 
Suponha que você queira representar graficamente os conjuntos dos alunos que gostam de matemática 
e os que gostam de português. Embora sejam apenas dois conjuntos, há quatro tipos de alunos que temos 
que representar. Existe o aluno que gosta somente de matemática, o que gosta somente de português e, 
claro, o que gosta dos dois (existe mesmo?). Mas ainda há uma quarta classificação possível para o aluno, 
aquele que não gosta de nenhuma das duas (você conhece alguém que se encaixaria aqui?). Então, embora 
tenhamos somente dois conjuntos, há quatro possibilidades de combinações (será que tem algo a ver com 
22?). Suponha que tenhamos feito uma pesquisa com 100 alunos e que o resultado tenha sido:
•	 somente matemática: 35;
•	 somente português: 18;
•	 as duas disciplinas: 31;
•	 nenhuma disciplina: 16.
Representar esses dados num diagrama de Venn-Euler é muito fácil. Vejamos como fica o diagrama 
a seguir:
M
16
35 31 18
P
5.3.1 Representação simbólica
Matemáticos geralmente são pessoas que não gostam de escrever muito, pois se gostassem teriam 
estudado jornalismo, história ou letras, e por isso usam sempre que possível representações mnemônicas 
para qualquer assunto. Claro que essas representações têm a vantagem de tornar a matemática uma 
linguagem universal, pois não dependem do entendimento de nenhuma língua específica. 
Então, se na língua portuguesa entendemos perfeitamente bem o que significa “somente 
matemática”, essa expressão não diz muito em árabe ou ucraniano. Desse modo, os matemáticos criaram 
uma simbologia universal para cada uma das possibilidades anteriores.
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No conjunto dos que gostam somente de matemática, os elementos apresentam a característica de 
gostar de matemática e não gostar de português. São, portanto, os elementos x, tal que x M∈ e x P∉ , 
o conjunto P (complementar, lembra?). Assim, o “somente matemática” é o conjunto dos que gostam 
de matemática (M) e não gostam de português (P ). Escrevemos então que “somente matemática” é o 
conjunto M P∩ , ou abreviadamente MP . 
Analogamente, podemos falar dos que gostam somente de Português (MP ), dos que gostam dos 
dois (MP) e dos que não gostam de nenhum (MP ).
Assim, num diagrama genérico de dois conjuntos A e B, o diagrama de Venn-Euler ficaria:
AB AB A B
A
AB
U
B
•	 Conjunto AB : os elementos que pertencem ao conjunto A e não ao B (somente A).
•	 Conjunto AB: os elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B).
•	 Conjunto AB : os elementos que não pertencem ao A, mas pertencem ao B (somente B).
•	 Conjunto AB : os elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (nem A nem B).
5.3.2 Resolvendo problemas concretos com conjuntos abstratos 
Os conjuntos não são apenas bonitos e graciosos, mas também são muito úteis para estruturar o 
raciocínio e validar hipóteses, resolvendo problemas quantitativos de forma rápida e eficiente. Para o 
nosso curso, a representação mais conveniente é a do diagrama de Venn-Euler, e é com ela que vamos 
trabalhar daqui por diante.
Vamos imaginar a seguinte situação: você é um pesquisador de uma agência de publicidade, e 
precisa definir qual mídia é mais interessante para a divulgação do produto de seu cliente, digamos, 
uma cerveja com nome de religião oriental. As mídias mais cogitadas são televisão e hebdomadários(Dúvidas? Acesse <http://pt.wiktionary.org/wiki/>). Foi feita uma pesquisa de mercado com 1.000 
consumidores de cerveja e o resultado foi que 868 assistem regularmente à televisão, 743 leem 
regularmente hebdomadários e 83 não fazem nem um nem outro. O custo para anunciar na televisão 
é de 500 mil reais, e para anunciar num hebdomadário é de 200 mil. A pergunta é: vale a pena investir 
nas duas mídias? Bom, para saber exatamente a distribuição dos consumidores em relação às duas 
mídias, vamos usar um diagrama.
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 TR TR
T
TR
U
R
TR
Nesse diagrama, temos que T representa o conjunto dos consumidores que assistem regularmente à 
televisão, R o conjunto dos consumidores que leem regularmente revistas semanais e U o conjunto total 
dos entrevistados. O que representa, então, a intersecção de T e R? Exatamente, os consumidores que 
veem TV e leem revistas. Se você somar os números dados, 868 + 743 + 83, teremos um total de 1.694, 
que ultrapassa em 694 o total de entrevistados. Quem são esses 694? 
Vamos pensar no consumidor que vê TV e lê revista. Se você perguntar a ele se ele vê TV, ele vai responder 
que sim, somando 1 no total dos que veem TV. Se você perguntar se ele lê revista, ele também dirá que sim, 
somando 1 também no total dos que leem revistas. Ou seja, 1 entrevistado foi contabilizado duas vezes, 
pois ele vê TV e também lê revista. Assim, o número de respostas ultrapassa o total de entrevistados. 
Então, quem são os 694? Isso mesmo, justamente os consumidores que foram contabilizados duas 
vezes, os que responderam sim para as duas perguntas, os que assistem à TV e leem revistas. E onde esse 
grupo deve ficar no diagrama? Claro, na intersecção de T e R, no conjunto TR . Então, temos:
694
Vamos continuar porque agora está fácil. Se o total de entrevistados que disseram assistir à TV foi 
de 868, e desses, 694 também leem revistas, quantos assistem à TV e não leem revistas, ou seja, quantos 
estão em TR? 868 - 694, o que nos dá um total de 174 consumidores que somente veem TV. E quantos 
somente leem revistas? Pelo mesmo raciocínio teremos 743 - 694, que dá um total de 49. Com os 83 
que não veem TV e não leem revistas (estão em TR), temos o diagrama completo:
T
83
174 694 49
R
U
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A pergunta inicial foi: Vale a pena investir nas duas mídias, sabendo que em TV gastaremos 500 mil 
e em revistas 200 mil? Bom, se vamos gastar 500 mil para atingir os consumidores que veem TV, temos 
um custo de R$ 500.000,00 ÷ 868 ≈ R$ 576,00 por consumidor. Se anunciarmos também em revistas, 
vamos gastar mais 200 mil para atingir os outros 49 consumidores não atingidos pela televisão, então 
teremos um custo aproximado de R$ 200.000,00 ÷ 49 ≈ R$ 4.080,00 por consumidor. Se você fosse o 
gerente de marketing, investiria nas duas mídias?
Exemplos de aplicação
1. Reconheça, nos diagramas abaixo, quem são os conjuntos hachurados, utilizando-se das operações 
∪,	∩, ∆	e —:
A) 
 
A B
C
Resolução:
Observando a figura abaixo: 
A) 
A B
C
 
Temos na figura 3 conjuntos: A,B e C, estando hachurado o conjunto A, sendo: A ∩ B (hachurado), 
A ∩ C (não hachurado) e A ∩ B ∩ C (não hachurado). Portanto, temos representado por hachura todo 
o conjunto A menos o conjunto C.
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B) 
A B
C
Resolução:
Observando a figura abaixo:
B) 
A B
C
Temos na figura 3 conjuntos: A, B e C, estando hachurado o conjunto B e C, sendo: B ∩ C (hachurado), 
A ∩ C (não hachurado), A ∩ B (não hachurado) e A ∩ B ∩ C (não hachurado). Portanto, temos 
representado por hachura a soma dos conjuntos B e C menos o conjunto A.
C) 
A B
C
Resolução:
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Observando a figura abaixo:
C) 
A B
C
Temos na figura 3 conjuntos: A, B e C, porém não temos nenhum dos conjuntos hachurados. Sendo 
a representação vazia.
D) 
A B
C
Resolução:
Observando a figura abaixo:
D) 
A B
C
Temos na figura 3 conjuntos: A, B e C, estando hachuradas as intersecções entre eles, sendo: 
B ∩ C (hachurado), A ∩ C (hachurado), A ∩ B (hachurado) e A ∩ B ∩ C (hachurado). Portanto, temos 
representado por hachura a união da intersecção de todos os conjuntos.
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2. Em um determinado congresso com foco na área de SI (Sistema de Informação), no qual 
participaram 1.054 pessoas entre público e palestrantes, verificou-se em uma pesquisa realizada com 
todos os participantes que:
• 947 participantes atuam na área de TI; 
• 835 atuam na área de projetos; 
• 756 atuam em projetos de TI. 
Quantos participantes não atuam nas áreas em questão?
Resolução:
Utilizaremos o diagrama de Venn-Euler para resolver o problema. Para completar o diagrama, 
iremos preencher primeiro os elementos que eles possuem em comum, ou seja, a intersecção entre 
eles:
TI
U
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P
Ou seja, conforme informado no problema, 756 pessoas atuam na área de projetos de TI.
Para descobrirmos quantas pessoas atuam só na área de TI, basta subtrair o número de elementos da 
intersecção da quantidade total de pessoas que são da área de TI, ou seja:
 947 - 756 = 191
TI
U
756
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Devemos proceder de forma análoga para descobrirmos o número de pessoas que atuam na área de 
projetos:
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835 -756 = 79
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Agora falta descobrirmos quantos foram os participantes que não eram de nenhuma das duas áreas. 
Para isso, basta somar a quantidade de pessoas que atuam somente em TI, somente em projetos e a 
intersecção entre eles:
191 + 79 + 756 = 1026
O enunciado do problema nos informou a quantidade total de participantes no congresso, portanto 
agora é só subtrair o total de participantes de TI, projetos e projetos de TI do total de participantes do 
congresso da seguinte maneira:
1054 - 1026 = 28
TI
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28
3. Quantos participantes atuam apenas em TI?
Resolução:
Devemos observar o preenchimento do diagrama de Venn, no qual consta a quantidade de pessoas 
que atuam somente em TI.
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4. Quantos participantes atuam em TI e P?
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Resolução:
Devemos observar o preenchimento no diagrama de Venn, no qual consta a quantidade de 
pessoas que atuam tanto em TI quanto em P ao mesmo tempo, ou seja, a intersecção entre os 
conjuntos:
TI
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28
5. Quantos participantes atuam em TI ou P?
Resolução:
Devemos observar o preenchimento do diagrama de Venn, no qual consta a quantidade de pessoas 
que atuam em TI, projetos e a intersecção entre eles, ou seja, somar a quantidade de elementos dessas 
três possibilidades, ou melhor, a união entre TI e P: TI∪P
TI
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6. Quantos participantes atuam ou em TI ou em P?
Resolução:
Essa questão é um pouco diferente das anteriores, ou seja, ela pede os elementos ou que estão em TI 
ou que estão em P, mas não os elementos em comum: a intersecção. Essa situação é a diferença simétrica 
entre TI e P: TI∆P. Como temos a palavrinha “ou”, devemos somar os participantes que pertencem 
somente ao conjunto TI e os participantes que pertencem somente ao conjunto P:
 
TI
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6 RELAÇÕES 
Estudar relações entre elementos de dois ou mais conjuntos é um dos ramos mais importantes 
da matemática. Esse estudo permite expandir aplicações além da área das ciências exatas, 
abrangendo muitas outras ciências também. É a partir do estudo das relações que obteremos o 
conceito de função.
6.1 Par ordenado
No estudo do capítulo anterior, vimos conjuntos, suas propriedades, bem como suas operações. Vamos 
pensar da seguinte maneira: sejam dois conjuntos denominados H e M, ambos não vazios, chamamos de 
par ordenado dos elementos de H e M ao par (x,y), no qual x ∈ H e y ∈ M, exatamente nessa ordem.
Exemplo:
Sejam H={Daniel, Hélio, Marcos} e M={Ana, Luiza, Marcela, Simone}, temos:
(Daniel, Ana) → é par ordenado de H e M, pois Daniel ∈ H e Ana ∈ M;
(Ana, Daniel) → não é par ordenado de H e M, pois Ana ∉ H e Daniel ∉ M;
(Daniel, Marcela) → é par ordenado de H e M, pois Daniel ∈ H e Marcela ∈ M;
(Hélio, Marcos) → não é par ordenado de H e M, pois Hélio ∈ H, porém Marcos ∉ M;
(Ana, Marcela) → não é par ordenado de H e M, pois Ana ∉ H, embora Marcela ∈ M.
 Observação
Definição: sejam os conjuntos A e B (não vazios), chamamos de par 
ordenado dos elementos de A e B ao par (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B, nessa 
ordem.
 Lembrete
Dois pares (a, b) e (c, b) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.
6.1.1 Produto cartesiano
Chama-se produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B o conjunto de todos os pares 
ordenados (a, b), com primeiro elemento em A e segundo elemento em B.
Simbolicamente: A x B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. Se A = ∅ e B = ∅, então A x B = ∅.
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Exemplo 1
Sejam A = {1, 2} e B = {2, 4, 6}.
 
A x B = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (2, 2); (2, 4); (2, 6)} e sua representação gráfica é dada por:
 
Diagrama cartesiano
 
Diagrama de Venn-Euler
 
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Exemplo 2 
Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,2,5,6}, então A x B = 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,6
2,1 ; 2,2 ; 2,5 ; 2,6
3,1 ; 3,2 ; 3,5 ; 3,6
4,1 ; 4,2 ; 4,5 ; 4,6
 
 
 
 
 
 
 
 Lembrete
É importante observar que o conjunto resultante do produto cartesiano 
entre dois conjuntos corresponde a uma coleção de pares ordenados.
6.1.2 Relação binária
Chama-se relação binária de um conjunto A em um conjunto B, qualquer subconjunto de A x B. 
Notação: se R é uma relação de A em B, então R ⊂ A X B. Se “a” está relacionado com “b”, escrevemos 
aR(b) ou (a,b) ∈ R.
Exemplo 1 
Considere os conjuntos A = {1,2} e B = {2, 4, 6}. Seu produto cartesiano será então: A x B = {(1, 2); 
(1, 4); (1, 6); (2, 2); (2, 4); (2, 6)}. Assim, são relações binárias de A em B:
R1 = {(1, 2)}
R2 = {(1, 2), (1, 4), (2, 6)}
R3 = ∅
Exemplo 2
 Sejam A = {-2, -1, 1, 2} e B = {1, 4} e definimos a relação binária de A em B da seguinte maneira: 
{ }2R (a,b) A X B |b a= ∈ = . Logo, R = {(-2, 4); (-1, 1); (1, 1); (2, 4)} e sua representação gráfica é dada 
por:
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6.1.3 Representação gráfica
Para representarmos um par ordenado graficamente, utilizamos os chamados eixos cartesianos. Mas 
o que são eixos cartesianos? São duas retas perpendiculares. O ponto em que se cortam (0,0) recebe o 
nome de origem das coordenadas. 
Nessas retas, estabelece-se uma série de convenções, conforme figura a seguir:
O eixo horizontal é positivo à direita da origem das coordenadas e negativo à sua esquerda. Recebe 
o nome de eixo das abscissas, do latim abscindere, que significa cortar.
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O eixo vertical é positivo acima da origem das coordenadas e negativo abaixo. Recebe o nome de 
eixo das ordenadas.
6.1.4 Representação gráfica dos pares ordenados
Exemplo 1 
Situemos o par ordenado (2, 3) no plano. O primeiro componente, 2, é representado sobre o eixo das 
abscissas e o segundo componente, 3, sobre o eixo das ordenadas.
Exemplo 2
Descreva os seguintes pontos no plano cartesiano:
P (3, 5), Q (-3, 5), R (-3, -5) e S (3, -5).
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6.1.5 Domínio, contradomínio e imagem de relações binárias 
Embora a noção de relação seja válida para todos os tipos de conjuntos e tenha aplicações nas mais 
diversas áreas das ciências, como foco deste texto, vamos nos deter principalmente nas relações entre 
conjuntos numéricos, priorizando o estudo das relações existentes no conjunto dos reais. Mas lembre-se 
sempre de que todas as definições e conceitos aqui estudados valem para quaisquer tipos de conjuntos, 
numéricos ou não.
Sejam os conjuntos A e B e uma relação denotada por R que parte de A e chega em B, sendo R um 
subconjunto de AxB. Em linguagem matemática, escrevemos: R:A → B 
Chamamos de domínio da relação o conjunto de todos os elementos de A que estão na relação, ou 
seja, que tem seu respectivo par em B. O domínio de uma relação é denotado por D(R) ou Dom(R).
 Observação
Definição matemática: ( ){ } { }D(R) x A | x,y R x A | xRy= ∈ ∈ = ∈
Exemplo 1 
Considere os conjuntos A = {1, 2, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8}, e a relação R1 definida por: 
R1 = {xRy / y = 2x}. Dessa forma, a relação R1 será: R1 = {(1, 2); (2, 4)}. Quem será, nesse 
caso, o domínio darelação R1? Considerando a definição que D(R) é o conjunto dos elementos 
do conjunto de partida (o conjunto A) que têm par na relação, em D(R) = {1, 2}, pois os 
elementos 5 e 6, embora pertençam ao conjunto A, não estão na relação, ou seja, não têm par. 
Assim, o conjunto de partida da relação é o conjunto A = {1, 2, 5, 6} e o domínio da relação 
é D(R) = {1, 2}.
Já o contradomínio de uma relação é o conjunto de chegada, o conjunto que compõe o segundo 
elemento dos pares ordenados. É importante notar que o contradomínio é formado por todos os elementos 
do segundo conjunto, independente se eles estão na relação ou não. Denotamos o contradomínio da 
relação R por C(R) ou CD(R).
 Observação
Definição matemática: CD(R) = {y|y ∈ B}
Exemplo 2
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e a relação R2 definida por: 
R2 = {xRy / y = x + 1}. Dessa forma, a relação R2 será: R2 = {(1, 2); (2, 3); (3, 4)}. Como vimos, o 
contradomínio de uma relação independe do conteúdo da própria relação. Então, nesse caso, o 
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contradomínio de R2 é: CD(R2) = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os elementos {1, 5, 6} não estão na relação, 
mas pertencem ao contradomínio da relação.
As definições de domínio e contradomínio parecem desequilibradas, pois o domínio é constituído 
somente pelos elementos do primeiro conjunto que estão na relação, enquanto que o contradomínio 
é formado por todos os elementos do segundo conjunto, não importando se estão na relação ou não. 
Então, o que seria a contrapartida do domínio, ou seja, o conjunto dos elementos do segundo conjunto 
que estão na relação? A esse conjunto se dá o nome de imagem de uma relação, e denotamos por I(R) 
ou Im(R).
 Observação
Definição matemática: ( ){ } { }Im(R) y B | x,y R y B | xRy= ∈ ∈ = ∈
Exemplo 3 
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, e a relação R3 definida por: 
R3 = {xRy / y = x + 2}. Dessa forma, a relação R3 será: R3 = {(1, 3); (2, 4); (3, 5); (4, 6)}. Como 
a imagem é formada pelos elementos do segundo conjunto que estão na relação, temos que a 
imagem de R3 será dada por Im(R3) = {3, 4, 5, 6}, pois os demais elementos de B, {2, 7}, não estão 
na relação R3.
Exemplos de aplicação
1. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Para cada 
uma das relações abaixo, descreva o conjunto de pares ordenados da relação e dê seu domínio, seu 
contradomínio e sua imagem.
A) { }1R (x,y) | y x,x A,y B= = ∈ ∈
Resolução:
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos: 
 
( ) ( ) ( ){ }
{ }
{ }
{ }
1
1
1
1
R 1,1 , 3,3 , 5,5
Dom R 1,3,5
CD R 1,3,5,7,9
Im R 1,3,5
=
=
=
=
B) { }22R (x,y) | y x ,x A,y C= = ∈ ∈
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Resolução:
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
( ){ }
{ }
{ }
{ }
2
2
2
2
R 2,4
Dom R 2
CD R 0,2,4,6,8,10
Im R 4
=
=
=
=
C) 
{ }
3
3
R : A C
R (x,y) | y 2x
→
= =
Resolução:
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
{ }
{ }
{ }
3
3
3
3
R 1,2 , 2,4 , 3,6 , 4,8 , 5,10
Dom R 1,2,3,4,5
CD R 0,2,4,6,8,10
Im R 2,4,6,8,10
=
=
=
=
D) { }
4
4
R :B C
R (x,y) | y 2x 1
→
= = −
 
Resolução:
{ }
{ }
{ }
{ }
4
4
4
4
R
Dom R
CD R 0,2,4,6,8,10
Im R
=
=
=
=
A relação entre os conjuntos B e C é vazia, segundo a lei de formação dada, pois a mesma (lei de 
formação) nos indica que a imagem da relação deveria ser um número ímpar do tipo 2x - 1, porém o 
contradomínio só possui elementos pares.
E) { }
5
5
R : C B
R (x,y) | y 2(x 1)
→
= = −
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Resolução:
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
{ }
{ }
{ }
{ }
5
5
5
5
R
Dom R
CD R 1,3,5,7,9
Im R
=
=
=
=
A relação entre os conjuntos C e B é vazia, segundo a lei de formação dada, pois a mesma (lei de 
formação) nos indica que a imagem da relação deveria ser um número par do tipo 2(x - 1) = 2x - 2, 
porém o contradomínio só possui elementos ímpares.
 Saiba mais
Recomendamos que você pesquise e leia textos sobre o ensino de 
funções. Começe pelos artigos dos seguintes sites:
<http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/Formalizacao%2
0Conceito%20Funcao%20Ensino%20Medio.pdf>.
<http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/1MC21923175068.pdf>.
6.2 Funções polinomiais
6.2.1 Função de 1º grau
Em muitas situações cotidianas, encontramos variáveis cujo valor depende de outra, sendo composta 
uma relação ou proporção entre essas duas variáveis. E, em geral, há uma regra que rege essa relação. A 
esse trio formado pelas duas variáveis que se relacionam e à regra que rege essa relação damos o nome 
de função. 
 Observação
Afirmar que uma grandeza é função de outra significa dizer que a primeira 
depende da segunda. A cada valor da segunda grandeza corresponde um 
valor da primeira, e se há mudança da segunda, automaticamente ocorre 
mudança da primeira. 
Como exemplo, podemos citar:
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a. o preço do prato em restaurantes por quilo (reais x gramas);
b. o valor a pagar pelo combustível (reais x litro);
c. o tempo de viagem em relação à distância a percorrer (horas x quilômetros);
d. numeração de roupas (número x tamanho);
e. valor da corrida do táxi (reais x quilômetros);
f. mensalidade da faculdade em relação aos dias do mês.
Embora, para efeito de compreensão, a ideia apresentada seja útil, a definição exata de função envolve 
mais alguns conceitos. Matematicamente falando, uma função é uma relação com duas características 
específicas:
•	 o domínio da função é o primeiro conjunto: isso quer dizer que todos os elementos do conjunto 
de partida estão na relação, ou seja, tem par: ( )x A (x,y) R∈ ⇒ ∈ ;
•	 cada elemento do domínio tem somente um par, ou seja, não há um mesmo x para dois y diferentes: 
( )1 2 1 2x x y y= ⇒ = .
Assim, toda relação que apresenta as duas características anteriores é também chamada de função, 
e uma função é o conceito fundamental de uma das três grandes áreas da matemática: o cálculo 
diferencial e integral.
Enquanto que para uma relação geralmente os elementos são denominados por x e y, quando uma 
relação é também uma função é muito comum utilizar o símbolo f(x) para representar o elemento do 
segundo conjunto, o y. O mais usual, embora não obrigatório, é utilizar a notação (x,y) quando formos 
tratar dos pares ordenados que compõem a função, e utilizar a notação (x, f(x)) quando estamos nos 
referindo à lei de formação da função, e seu respectivo tratamento algébrico. De qualquer forma, as duas 
notações são válidas para os pares ordenados de uma função, e as duas serão utilizadas indistintamente 
nestetexto.
Embora a ideia de função seja natural e sempre tenha existido em estudos matemáticos, foi o suíço 
Leonhard Euler (1707-1783) que desenvolveu o conceito matemático de função, inclusive com a adoção 
dos símbolos x e f(x).
6.2.2 Função linear 
Quando dois valores são proporcionais, quando obedecem a uma “regra de três”, a função que as 
relaciona é chamada linear, pois seu traço em um gráfico é uma reta, como veremos mais tarde. Assim, 
podemos escrever que f(x) ax= , sendo a um valor constante a∈ . No exemplo da comida por quilo 
de um restaurante que cobrasse R$ 12,00 por quilo, poderíamos dizer que a função preço obedece à lei 
f(x) 12x= , com x em quilogramas e f(x) em reais.
A composição da lei de formação da função obedece a um critério simples: chamamos de 
x a variável independente, aquela que, em teoria, pode variar livremente, e chamamos de f(x) 
a variável que tem seu valor em função do valor da variável independente, ou seja, em função 
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de x. No caso do restaurante por quilo, você não escolhe quanto quer pagar e daí sai pesando 
a comida. Você primeiro escolhe o que vai comer depois calcula o que vai pagar, em função do 
peso total do prato. Desse modo, a variável independente é o peso e o preço a pagar está em 
função do peso.
Matematicamente falando, as duas variáveis são independentes, e a função é que estabelece a 
relação de dependência entre elas. Assim, matematicamente, tanto faz dizer que o preço é em função do 
peso ou que o peso está em função do preço. Mas em uma análise mais aplicada, é sempre bom decidir 
corretamente quem é a variável independente.
6.2.3 Função afim
No exemplo da conta da corrida de táxi, a lei de formação f(x) = ax não expressaria corretamente 
o cálculo do valor da corrida em função da quilometragem rodada, pois há um valor fixo, a bandeirada, 
que deve ser adicionado ao valor total. Então, a lei que o representa fica: f(x) = ax + b, com a sendo o 
valor associado à variável independente (o valor do quilômetro rodado) e b um valor fixo, independente 
da variável (o valor da bandeirada). Esse tipo de função é chamada função afim.
A definição matemática de função afim é:
 f : , f(x) ax b, a , b , a 0, b 0 → = + ∈ ∈ ≠ ≠   
e expressa que a função vale para todos os números reais, definida por uma lei f(x) = ax + b , pela 
qual a e b devem ser valores reais e diferentes de zero.
6.2.4 Função constante
Se utilizarmos o exemplo da mensalidade da faculdade, as leis de formação f(x) = ax e f(x) = ax + b 
não poderiam ser utilizadas para expressar corretamente, pois para a primeira lei precisaríamos de um 
valor que variasse de acordo com o número de dias e para a segunda lei precisaríamos, além de um valor 
que variasse de acordo com o número de dias, de um valor fixo. A lei que representa essa função é a lei: 
f(x) = b, pela qual b é um valor fixo e constante, independente da variável. Esse tipo de função é 
chamado de função constante.
 Observação
 Definição matemática:
f :
 x c(c )
→
→ ∈
 

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c).
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6.2.5 Gráfico 
O gráfico de uma função de 1º grau é uma reta e sua inclinação depende do valor de a. De fato, o 
valor de a é justamente a tangente do ângulo formado entre a reta da função e o eixo das abscissas (eixo 
dos “x”). Se o valor de b for 0, então a reta passa pela origem (ponto (0,0), o cruzamento dos eixos). Se 
não, a reta passará pelo ponto (0,b), cortando o eixo das ordenadas no ponto b.
Se a > 0, então a reta é crescente, pois quanto maior o valor de x maior será o valor de f(x). Se 
a < 0, então a reta é decrescente. E se a = 0, teremos uma reta horizontal, paralela ao eixo dos “x”, e a 
função é chamada constante como vimos anteriormente.
Exemplos:
Função linear com a 0 e b 0> =
Função afim crescente com a 0 e b 1> =
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Função afim decrescente com a 0 e b 4< =
Função constante com a = 0 e b = 3
y∆ f(x) ax b= + α
Função afim com a 0 e b 1> = −
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Exemplos de aplicação
1. Um posto de combustível calcula sua lucratividade separadamente por bomba de combustível. 
Dessa forma, o custo de cada bomba é dado pelo rateio dos custos fixos do posto mais o custo 
do combustível vendido. Certa bomba de gasolina tem um custo fixo de R$ 1.200,00, e a gasolina 
vendida nessa bomba custa, para o posto, R$ 2,20 o litro. O posto vende o combustível a R$ 2,40. 
Determine:
a) a função custo da bomba;
b) a função receita da bomba;
c) a função lucro da bomba;
d) a quantidade mínima de combustível para a bomba dar lucro;
e) o gráfico da função lucro.
Resolução:
a) Para determinar a função custo da bomba, devemos identificar qual é o custo fixo e qual é o custo 
variável.
O problema nos informa que o custo fixo é R$ 1.200,0, ou seja, esse valor não varia. Já o custo variável, 
conforme nos informa o problema, é R$2,20, pois varia de acordo com a quantidade de combustível 
comprada. A variável da questão é o combustível. Logo, temos que:
C(x) = 2,20x + 1.200
Custo fixo
Quantidade de combustível
Custo variável
Função: custo em função da quantidade de combustível
b) Receita é a entrada de capital (dinheiro) na entidade. O problema nos informa que o litro do 
combustível é vendido no posto por R$ 2,40, ou seja, para que haja receita é necessária a venda do 
combustível. 
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Logo, a função deve ser modelada por:
Quantidade de combustível
Preço de venda do combustível
Função: Receita em função da quantidade de combustível vendida.
R(x) = 2,40x
c) Lucro é a diferença entre o quanto se fatura (vendeu) e o quanto foi gasto (custo). Logo, a função 
lucro pode ser modelada por:
L(x) R(x) C(x)
L(x) 2,40x (2,20x 1.200)
L(x) 2,40x 2,20x 1.200
L(x) 0,20x 1.200
= −
= − +
= − −
= −
 Lembrete
 Para se obter lucro, é necessário vender o suficente para cobrir o custo 
fixo.
d) Descobrindo a quantidade de combustível utilizando a função lucro, temos:
0,20x 1.200 0
0,20x 1.200
1.200
x
0,20
x 6000
− =
=
=
=
O custo fixo dessa quantidade encontrada (6.000 litros), o dono do posto de gasolina cobriria. Para 
obter lucro, ele teria que vender x > 6000 litros de gasolina.
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e) 
Analisando o gráfico, temosuma função linear crescente, ou seja, quanto mais combustível 
for vendido, maior será o lucro do dono do posto. No eixo x estamos representando a quantidade 
de combustível, enquanto no eixo y estamos representando o valor em reias lucrado pelo dono 
do posto. 
Conforme a função lucro encontrada no exercício anterior: L(x) 0,20 1.200= − , podemos verificar 
no gráfico que a função intercepta o eixo y no valor -1.200 que é o valor do custo fixo que o dono do 
posto precisa recuperar, assim como a função intercepta o eixo do x na quantidade de combustível igual 
a 6.000 litros, volume com o qual ele consegue cobrir suas despesas, porém, ainda sem lucro.
2. Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$ 0,80 por quilômetro rodado. Determine:
a) a lei da função que representa essa situação;
b) quanto custa uma corrida de 8km;
c) quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00;
d) o gráfico da função.
Resolução:
a) Para determinar a função custo de uma corrida de táxi, primeiramente devemos identificar o 
custo fixo e o custo por quilômetro rodado (custo variável). Conforme o problema, temos:
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C(x) = 0,80+3,20
Custo fixo
Quantidade de quilômetros
Custo variável
Função: custo em função da quantidade de quilômetros rodados
b) Conforme modelamos na questão anterior, temos que a função custo do táxi é:
C(x) 0,80x 3,20= +
Para saber o valor a ser pago se se utilizar o táxi por uma distância de 8 km, basta substituir 8 no 
lugar do x da função e teremos:
C(x) 0,80x 3,20
C(8) 0,80 8 3,20
C(8) 6,40 3,20
C(8) 9,60
= +
= × +
= +
=
c) Para sabermos quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00, teremos que substituir 
o valor 20 no lugar de C(x), pois essa é a função que representa o total em dinheiro gasto com o 
táxi, assim:
C(x) 0,80x 3,20
20,00 0,80x 3,20
0,80x 3,20 20,00
0,80x 16,80
16,80
x
0,80
x 21
= +
= +
− = −
− = −
−
=
−
=
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d)
Analisando o gráfico, podemos verificar que, para entrar no táxi, deve ser paga a quantia de R$ 3,20, ou seja, 
onde a função intercepta o eixo do y. A cada quilômetro rodado, acrescenta-se R$ 0,80 no preço a ser pago.
3. Construa o gráfico da função f(x) = x - 2 e observe:
a) Qual valor de x para que f(x) seja positivo.
b) Qual valor de x para que f(x) seja igual a zero.
c) Qual valor de x para que f(x) seja negativo.
Resolução:
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a) Observando o gráfico, podemos ver que f(x) é positivo quando o valor da variável x é maior que 
2 (x > 2).
b) Observando o gráfico, podemos ver que f(x) é igual a zero quando o valor da variável x é igual a 
2 (x =2).
c) Observando o gráfico, podemos ver que f(x) é negativo quando o valor da variável x é menor que 
2 (x < 2).
6.3 Função de 2º grau 
Nas funções lineares, a relação de dependência constituía-se em uma “regra de três”. Em certos 
casos, essa relação é mais complexa e em muitas vezes ela pode ser definida como uma função 
polinomial.
Como já vimos no estudo das funções lineares, funções são “leis” matemáticas que expressam a 
relação existente entre duas variáveis; uma variável independente, que chamamos costumeiramente de 
x, e uma variável que depende da primeira, a quem chamamos de f(x) (para os cálculos algébricos) e por 
vezes de y (quando pensamos em gráficos).
6.3.1 Funções polinomiais
Funções polinomiais são funções nas quais se desenvolve um polinômio em x. São funções do tipo 
n n 1
n n 1 1 0a x a x ... a x a
−
−+ + + + , com ia ∈ . 
Assim, as funções constante, linear e afim, já vistas, são funções polinomiais. Não vamos estudar 
todas as funções polinomiais, mas um tipo de função também bastante comum é a função quadrática, 
nosso próximo assunto.
6.3.2 Função quadrática
Denominam-se funções quadráticas as funções polinomiais nas quais o maior grau do expoente 
da variável é 2. A função do 1º grau podia ser expressa como f(x) = ax + b, com o expoente do 
x sendo 1. Assim, as funções quadráticas podem ser expressas na forma geral como sendo do 
tipo 2f(x) ax bx c= + + , com a ≠ 0 (caso contrário teríamos uma função do 1º grau). As funções 
quadráticas são muito utilizadas na física, em particular no estudo da cinemática, onde temos 
a função horária do movimento uniformemente variado (MUV). A expressão geral do MUV é 
2
0 0
at
s s v t
2
= + + . Se considerarmos s = f(x) e t = x, e sabendo que 0s , 0v e a são constantes 
(respectivamente c, b e 2a da forma geral da função quadrática), veremos que a função horária do 
MUV é exatamente uma função de 2º grau e tudo o que for visto aqui serve para uso na física, e 
vice-versa.
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Como exemplos de funções de 2º grau (ou quadráticas), temos:
2f(x) x 6x 5= − + 
2f(x) x 9= −
2f(x) 3x 2x 1= + + 
2f(x) 3x 3x= −
2f(x) 2x 3x 4= − − + 2f(x) x=
6.3.3 Valor da função
Como em qualquer função, se você quiser saber o valor da função para um determinado valor de 
x, basta substituir o valor de x na expressão. Assim, na função 2f(x) 3x 2x 1= + + , o valor para x = 1 é 
2f(x) 3 1 2 1 1 6= × + × + = . Na função 2f(x) x 9= − , o valor para x = 3 é 2f(x) 3 9 9 9 0= − = − = .
6.3.4 Raízes da função
Chamamos de raízes da função, ou zeros da função, os valores de x para os quais f(x) = 0, ou seja, 
aqueles valores de x para os quais a função se anula. Quando igualamos uma função a um número, 
dizemos que temos uma equação, e a solução de uma equação de 2º grau é a conhecida fórmula de 
Bhaskara, como vimos anteriormente:
b
x
2a
− ± ∆
= , onde 2b 4ac∆ = −
Como podemos observar, essas fórmulas nos darão nenhum, um ou até mesmo dois valores distintos 
de x . Veremos isso mais detalhadamente adiante.
Vamos, então, utilizar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes de uma função quadrática. Seja a 
função 2f(x) x 6x 5= − + . Se quisermos achar suas raízes, temos que verificar em que ponto a função 
se anula, ou seja, para qual valor de x a função se iguala a zero. Então, fazemos 2x 6x 5 0− + = e temos 
uma equação do 2º grau a partir da qual podemos aplicar a fórmula de Bhaskara. Nessa equação, temos 
que a =1, b = -6 e c = 5; substituindo na fórmula, teremos:
2
2
b 4ac
6 4 1 5
36 20
16
∆ = −
∆ = − − × ×
∆ = −
∆ =
b
x
2a
( 6) 16
x
2.1
6 4
x
2
− ± ∆
=
− − ±
=
±
=
6 4
x ' 5
2
+
= =
6 4
x '' 1
2
−
= =
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Como podemos ver, a função 2f(x) x 6x 5= − + tem duas raízes, dois valores de x que zeram a 
função. De fato, se fizermos x =1, teremos 21 6.1 5 1 6 5 0− + = − + = e, se fizermos x = 5, teremos 
25 6.5 5 25 30 5 0− + = − + = . 
Pode parecer um pouco limitado conhecer somente quais os valores de x que anulam a função. Mas 
se você pensar bem, isso resolve qualquer outro problema proposto. Se você desejar saber para quais 
valores de x a função anterior dá exatamente -3, basta fazer:
f(x) 3= −
2
2
2
3x 2x 1 3
3x 2x 1 3 0
3x 2x 4 0
− − + = −
− − + + =
− − + =
E dessa forma achar a solução da nova equação, que nos dará o valor onde f(x) = -3.
Temos na nova equação que a = -3, b = -2 e c = 4 e, substituindo na fórmula, teremos:
2
2
b 4ac
( 2) (4 3 4)
4 48
52
∆ = −
∆ = − − ×− ×
∆ = +
∆ =
b
x
2a
( 2) 52
x
2. 3
2 7,21
x
6
− ± ∆
=
− − ±
=
−
±
=
−
2 7,21 9,21
x ' 1,53
6 6
+
= = = −
− − 
2 7,21 5,21
x '' 0,86
6 6
− −
= = =
− −
 Lembrete
Em relação ao discriminante ∆
∆ > 0 Se o valor de ∆	for maior que zero, a equação possui duas raízes reais.
∆ = 0 Se o valor de ∆	for igual a zero, a equação possui somente uma 
raiz real.
∆ < 0 Se o valor de ∆	for menor que zero, a equação não possui raízes 
no conjunto dos números reais.
6.3.5 Gráfico da função quadrática 
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e veremos algumas de suas características no 
exemplo a seguir.
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Gráfico da função: 2f(x) x 6x 5= − +
Podemos ver no gráfico anterior alguns elementos importantes do gráfico da função quadrática.
Valor de c: a parábola corta do eixo dos y.
Raízes: as raízes são onde a parábola corta o eixo dos x.
Vértice: é o ponto de máximo ou mínimo, conforme a concavidade.
Eixo de simetria: reta vertical que divide a parábola em duas metades simétricas.
6.3.6 Construção do gráfico
Já sabemos que o gráfico da função quadrática é uma parábola. Sendo assim, para esboçá-lo alguns 
pontos são importantes.
Concavidade A parábola terá concavidade para cima quando a > 0 e concavidade para baixo quando a < 0.
Vértice O vértice da parábola será dado pelo ponto 
b
,
2a 4a
− −∆ 
 
 
.
Eixo de simetria
A reta que nos dá o eixo de simetria é definida pela média aritmética das raízes 
x ' x ''
x
2
+ = 
 
. Também 
podemos calculá-la pelo x do vértice 
b
x
2a
−
= . 
Raízes A parábola cortará o eixo x nos pontos definidos pelas raízes, quando houver.
Eixo A parábola cortará o eixo y no ponto (0,c). 
6.3.7 Modelos gráficos
Os gráficos da função quadrática, genericamente, dependem principalmente de dois itens: quantidade 
de raízes (o ∆) e concavidade. Assim, são seis os tipos básicos de gráficos:
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1º caso:
a > 0 (concavidade para cima)
∆ > 0 (duas raízes)
2º caso
a > 0 (concavidade para cima)
∆ = 0 (uma raiz)
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3º caso
a < 0 (concavidade para cima)
∆ < 0 (nenhuma raiz)
4º caso
a < 0 (concavidade para baixo)
∆ > 0 (duas raízes)
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5º caso
a < 0 (concavidade para baixo)
∆ = 0 (uma raiz)
6º caso
a < 0 (concavidade para baixo)
∆ < 0 (nenhuma raiz)
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 Lembrete
Assim como para encontrarmos as raízes de uma equação pela regra da 
soma e produto, o mesmo pode ser feito na resolução de uma função do 2º 
grau. Lembrando que:
 
b
x ' x ''
a
+ = −
c
x ' x ''
a
× =
 
Exemplos de aplicação
1. Para a função de 2º grau a seguir 2f(x) x x 2= − + , determine:
a) A concavidade.
b) O discriminante.
c) As raízes (se houver).
d) O vértice.
e) O esboço do gráfico.
Resolução:
a) Verificamos a concavidade de uma função no valor do parâmetro a, ou seja, o valor que está 
multiplicando a variável 2x . Nesse caso é o número 1.
Logo a > 0, concavidade para cima.
b) Para calcularmos o discriminante utilizaremos a fórmula:
2b 4ac∆ = − , onde a 1= , b 1= − e c 2=
Substituindo, temos:
2
2
b 4ac
1 4 1 2
1 8
7
∆ = −
∆ = − − × ×
∆ = −
∆ = −
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c) Como o valor do discriminante é menor que zero, ou seja, ∆ = -7, não existe raízes reais para essa 
função.
d) Para calcularmos os pontos do vértice de uma função de 2º grau, utilizaremos a fórmula:
b
,
2a 4a
− −∆ 
 
 
Substituindo no primeiro ponto, o equivalente ao ponto x, temos:
 
b ( 1) 1
0,5
2a 2 1 2
− − −
= = =
×
Substituindo no segundo ponto, o equivalente ao ponto y, temos:
( 7) 7
1,75
4a 4 1 4
−∆ − −
= = =
× 
e)
 
Observando o gráfico, podemos verificar que a função dada não intercepta o eixo do 
x, pois não possui raízes no conjunto dos números reais. O vértice da função é dado pelos 
pontos (0,5;0,75), ou seja, o ponto de mínimo da função. E a função intercepta o eixo do y no 
ponto 2.
2. Para a função de 2º grau a seguir 2f(x) x 5x 6= − + − , determine:
a) A concavidade.
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b) O discriminante.
c) As raízes (se houver).
d) O vértice.
e) O esboço do gráfico.
Resolução:
a) Verificamos a concavidade de uma função no valor do parâmetro a, ou seja, o valor que está 
multiplicando a variável 2x . Nesse caso, é o número -1.
Logo, a < 0, concavidade para baixo.
b) Para calcularmos o discriminante utilizaremos a fórmula:
2b 4ac∆ = − , onde a 1= − , b 5= e c 6= −
Substituindo, temos:
2
2
b 4ac
5 4 1 6
25 24
1
∆ = −
∆ = − ×− ×−
∆ = −
∆ =
c) Como o valor do discriminante é maior que zero, ou seja, ∆ = 1, temos duas raízes reais que iremos 
achar utilizando a fórmula de Bhaskara. Substituindo, temos:
b
x
2a
5 1
x
2 1
5 1
x
2
− ± ∆
=
− ±
=
×−
− ±
=
−
5 1 4
x ' 2
2 2
− + −
= = =
− −
5 1 6
x '' 3
2 1
− − −
= = =
− −
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d) Para calcularmos os pontos do vértice de uma função de 2º grau,utilizaremos a fórmula:
b
,
2a 4a
− −∆ 
 
 
Substituindo no primeiro ponto, o equivalente ao ponto x, temos:
 
b 5 5
2,5
2a 2 ( 1) 2
− − −
= = =
× − −
Substituindo no segundo ponto, o equivalente ao ponto y, temos:
1 1
0,25
4a 4 ( 1) 4
−∆ − −
= = =
× − − 
e) 
Observando o gráfico, podemos verificar que a função dada intercepta o eixo do x nos pontos 2 e 
3. O vértice da função é dado pelos pontos (2,5;0,25), ou seja, o ponto de máximo da função. A função 
intercepta o eixo do y no ponto -6.
3. Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 
frequentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por 
dia.
a) Admitindo-se que o número de frequentadores por dia (f) relaciona-se com o preço (p) por meio 
de uma função do 1º grau, obtenha a função f(p)?
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b) Qual a receita máxima? 
c) Qual o preço do ingresso quando a receita é máxima?
Resolução:
a) Vamos primeiro montar uma tabela com os dados fornecidos pelo problema. Chamaremos de x 
o valor do preço do ingresso e de y a quantidade de frequentadores do parque. Assim, o problema nos 
informa que:
x (preço do 
ingresso)
y (nº de 
frequentadores)
R$ 10,00 200
R$ 15,00 180
Podemos utilizar a fórmula do coeficiente angular para encontrarmos o valor do parâmetro a de 
uma função de 1º grau.
y y final - y inicial
a
x x final - x inicial
∆
= =
∆
Substituindo, temos:
 
y 180 200 20
a 4
x 15 10 5
∆ − −
= = = = −
∆ −
Utilizaremos f(x) para representar y.
 
Sabemos que uma função de 1º grau tem a forma f(x) = ax + b, e agora temos o valor de f(x), x e a, 
falta descobrirmos o valor do parâmetro b.
Substituindo:
Para efetuar a substituição temos que escolher os valores que se relacionam entre si. Por exemplo, 
escolhemos o valor do ingresso a R$ 10,00, onde comparecem 200 frequentadores, mas poderíamos 
ter escolhido, por exemplo, o valor do ingresso a R$ 15,00 onde comparecem 180 frequentadores. Essa 
atitude não alteraria os resultados obtidos.
f(x) ax b
200 4 10 b
200 40 b
b 40 200( 1)
b 240
= +
= − × +
= − +
− = − − ×−
=
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Logo, a função pode ser modelada por: f(p) = -4p + 240.
Outra maneira de resolver esse problema é montando um sistema. Podemos utilizar o método da 
adição para resolvê-lo, conforme segue demonstrado a seguir:
10a b 200 equação I
15a b 180 equação II
+ =
+ =
Para eliminarmos uma das incógnitas, precisamos fazer alguns ajustes no sistema. Nesse caso, vamos 
multiplicar a equação II por (-1):
10a b 200
15a b 180 ( 1)
+ =
+ = −
10a b 200
15a b 180 
+ =
− − = −
Somando os termos semelhantes, temos:
 10a b 200
15a b 180 
5a 0b 20
20
a 4
5
+ =
− − = −
− + =
= = −
−
Agora que encontramos o valor de a, basta substituir em qualquer uma das equações do sistema 
para encontrarmos o valor de b.
Substituindo na equação I, temos:
10a b 200
10 ( 4) b 200
40 b 200
b 240
+ =
× − + =
− + =
=
Chegamos ao mesmo resultado: f(p) 4p 240= − + .
b) Para modelarmos a função receita, precisamos utilizar a função encontrada anteriormente: 
f(p) 4p 240= − + .
Como sabemos que receita é a entrada de capital (dinheiro), precisamos multiplicar a função por p, 
pois para haver entrada (receita) precisamos da entrada de dinheiro, que no caso é o preço do ingresso. 
Assim, temos:
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2
r(p) ( 4p 240) p
r(p) 4p 240p
= − + ×
= − +
Agora que achamos a função receita, podemos calcular o valor da receita máxima, que significa 
saber o ponto máximo da função de 2º grau, ou seja, o vértice da função. Primeiro calcularemos o ∆, 
onde a = -4, b = 240 e c = 0:
2
2
b 4ac
240 4 ( 4) 0
57600 0
57600
∆ = −
∆ = − × − ×
∆ = −
∆ = 
Como encontramos o valor de ∆, podemos encontrar o vértice utilizando a fórmula:
 Observação
Quando estamos trabalhando com receita em função do preço, a função 
receita será representada no eixo do y e o preço será representado no eixo 
do x. A fórmula a seguir representa o par ordenado (x,y) nessa ordem.
b
,
2a 4a
− −∆ 
 
 
Substituindo no ponto de y, temos:
57600 57600
y 3600
4a 4 ( 4) 16
−∆ − −
= = = =
× − −
A receita máxima é R$ 3.600,00.
c) Para descobrirmos o preço quando a receita é máxima, basta encontrarmos o ponto x do vértice 
substituindo na fórmula:
b 240 240
x 30
2a 2 ( 4) 8
− − −
= = = =
× − −
O preço quando a receita é máxima é de R$ 30,00.
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 Resumo
Iniciou-se a unidade com o conceito de conjunto. Em seguida, foi 
exposta a definição de elementos de um conjunto e algumas operações 
possíveis entre eles.
Foram propostos problemas cotidianos cuja resolução pode ser feita por 
meio de conjuntos abstratos.
Foi introduzido o conceito de relação e suas propriedades, que serviram 
de base para o estudo de função. Vimos também que uma função é um 
caso específico de uma relação.
E, por fim, foram exploradas algumas funções polinomiais (1º e 2º 
graus), seus modelos, suas propriedades, bem como o estudo de suas 
representações gráficas.
 Exercícios
Questão 1. (ENEM-2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso 
de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa 
temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo 
de acordo com a função
T t
t para t
t para t
 

  
  







7
5
20 0 100
2
125
16
5
320 1002
,
,
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, 
decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a 
temperatura for 48oC e retirada quando a temperatura for 200°C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
A) 100
B) 108
C) 128
D) 130
E) 150
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Resposta correta: alternativa D.
Análise das alternativas
Passo 1) Para T1=48
oC, temos t = t1:
1
1 1
7
48 t 20
5
7
t 28 t 20min
5
= +
= ⇒ =
Passo 2 Para T2=200
oC, temos t = t2:
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2 16
200 t t 320
125 5
2t 16
t 120 0
125 5
2t 25.16t 125.120 0
t 200t 7500 0
= − +
− + =
− + =
− + =
2
2 2
2
22
2
2 2
2
2 2
2 16
200 t t 320
125 5
2t 16
t 120 0
125 5
2t 25.16t 125.120 0
t 200t 7500 0
= − +
− + =
− + =
− + =
A soma das raízes da equação vale 200 e o produto entre elas vale 7500. Portanto:
'
2
"
2
t 150 min
t 50 min
=
=
Como T>100oC, devemos ter t2>100 min e portanto t2=150 min. Logo, o tempo de permanência t∆
é dado por:
2 1t t t 150 min 20 min 130 min= − = − =
Sendo assim,
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
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E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2. (ENADE-MATEMÁTICA-2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta 
diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a 
trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 
metros do chão, como ilustra a figura abaixo.
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A) 3/2 m
B) 4/3 m
C) 1 m
D) 2 m
E) 5/3 m 
Resolução desta questão na Plataforma.