matrizes

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U N I V E R S I D A D E E S T Á C I O D E S Á 
Notas sobre Álgebra Linear 
 
MATRIZES 
1- Definição 
 
Chamamos de matriz, qualquer tabela de elementos (números, polinômios, funções, etc) dispostos em 
linhas e colunas. 
Exemplo: A tabela abaixo representa as vendas (em milhares de exemplares) de uma editora em relação 
aos livros de matemática, física e química, no primeiro trimestre de 2012: 
 
 Janeiro Fevereiro Março 
Matemática 20 32 45 
Física 15 18 25 
Química 16 17 23 
Se representarmos essa tabela sem colocar o significado das linhas e colunas, temos a matriz: 
 










231716
251815
453220
 ou 










231716
251815
453220
 
Assim, as matrizes podem ser representadas das seguintes formas: 
 
 Através de parênteses ( ) 
 Através de colchetes [ ] 
 
Usamos letras maiúsculas para nomear as matrizes, e para especificar a ordem de uma matriz (número de 
linhas e colunas), usamos letras minúsculas. Logo, a matriz A, com m linhas e n colunas, será 
representada por: A (m , n) ou Amxn . 
 
Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem). 
Cada elemento a da matriz A está acompanhado de dois índices: o primeiro índice ( i ) indica a posição 
do elemento na linha e, o segundo ( j ), a coluna a que o elemento pertence. 
 a i j 
 
 Indica Indica 
 a linha a coluna 
 
 2 - Matriz Genérica 
 
Uma matriz A disposta em m linhas e n colunas pode ser genericamente representada na forma: 
 A = 




















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.
.
...
...
21
22221
11211
 ou pela lei de formação: A = (aij)m x n , com 1  i  m e 1  j  n . 
 
 
 
 
 
 
 2 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Dada a seguinte tabela que representa, percentualmente, a localização brasileira de 1940 a 1990, 
 População urbana População rural 
1940 31 69 
1950 36 64 
1960 45 55 
1970 56 44 
1980 64 36 
1990 72 28 
Escreva: 
a) A matriz correspondente; 
b) A ordem da matriz; 
c) O elemento localizado na 2ª linha e 1ª coluna. O que ele representa? 
d) O elemento localizado na 1ª linha e 2ª coluna. O que ele representa? 
e) Qual era a porcentagem da população rural em 1960; 
f) Qual era a porcentagem da população urbana em 1950; 
g) Qual foi o acréscimo percentual da população urbana entre 1940 e 1970; 
h) Qual foi o decréscimo percentual da população rural entre 1960 e 1990; 
i) Uma análise sobre todo o período (de 1940 a 1990) em questão. 
 
2 - Escreva a matriz dada pela lei de formação nos seguintes casos: 
 
a) A = (aij)3x2 , tal que aij = i + j. f) D = (dij)3x4 , tal que dij = 





jisej
jisei
. 
 
b) B = (bij)2x3 , tal que bij = 2i – j2. g) A=(aij), com 1≤ i ≤ 3 e 1≤ j ≤ 3, tal que aij = 3j + 2i -1 
 
c) A = (aij)2x4 , tal que aij = (i – 2j)2. h) C = (cij)4x4 , tal que cij = 





jise
jise
1
0 
 
d) A = (aij)3x2 , tal que aij = (–2)i + j. i) D=(dij), 1≤ i ≤ 3 e 1≤ j ≤ 3, tal que dij = (–4)i : (–2)j 
 
 e) B = (bij)4x2 , tal que bij = – (–2i)j j) C = (cij)3x3 , tal que cij = 







jise
jise
jise
 1
1
0
 
 
 3 – Certo clube possui n sócios numerados de 1 a n. A cada ano é feita uma votação para eleger o 
presidente. Nesta votação, cada sócio indica os colegas que julga capazes de ser presidente (observe que 
cada sócio pode votar em quantos colegas desejar). 
Seja V = (vij) a matriz n x n em que: vij =



ise
ise
,0
,1
não
votou
votou
em
em
j
j
 
 
a) Se cada sócio vota apenas em si mesmo, qual é a matriz V resultante? 
b) Se todos os elementos da 2ª. linha de V são iguais a zero, o que podemos concluir? 
c) Se todos os elementos da 2ª. coluna de V são iguais a zero, o que podemos concluir? 
d) Se n = 5 e V = 
















01001
01011
10100
01101
01010
 , diga quem foi o sócio mais votado. 
 
 3 
 
3 – Algumas Matrizes com Denominações Especiais 
 
3.1– Matriz Linha – é a matriz que possui apenas uma linha. 
É também chamada de vetor linha. Ex.:  7530)4,1( A 
 
 
3.2– Matriz Coluna – é a matriz que possui apenas uma coluna. 
É também chamada de vetor coluna. Ex.: 









2
5
)1,2(A 
 
3.3 – Matriz Quadrada – é a matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas 
Ex.: 






15
23
2)2,2( AA 
 Matriz de ordem 2 
 Obs.: Uma Matriz Quadrada de ordem n possui duas diagonais: 
 Principal – formada pelos elementos aij , em que i = j 
 Secundária – formada pelos elementos aij , em que i + j = n + 1 
 
 Diagonal Principal Diagonal Secundária 
 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
3.4 – Matriz Diagonal – é uma matriz quadrada em que Ex.: )3,3(A 










300
020
001
 
 os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos. 
 Assim temos aij = 0 quando i  j . 
 
 
3.5 – Matriz Escalar – é uma matriz diagonal que tem os elementos 
 da diagonal principal iguais entre si. Ex.: 










300
030
003
 
 
3.6 – Matriz Identidade (ou Matriz Unidade) - é uma matriz Ex.: 
 quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais 3I










100
010
001
 
 
 a unidade ( aij = 1 ; i = j )e nas demais posições, zero. Representa-se por In , ou apenas I . 
 
 
 
3.7 – Matriz Nula – é aquela em que aij = 0, para todo i e j . Ex.: 
 Note que a matriz nula não precisa ser quadrada. 






000
000
)3,2(A 
 A Matriz Nula é também chamada de Matriz Zero. 
 
 
 
 
 4 
3.8 – Matriz Simétrica – é toda matriz quadrada onde todos os elementos simetricamente dispostos 
 em relação à diagonal principal são iguais, ou seja, ai j = aj i . Ex.: 
 . 






12
23
)2,2(A 
 
3.9 – Matrizes Anti-simétrica – toda matriz quadrada tal que os elementos estão dispostos 
simetricamente em relação a diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são 
nulos. Assim, ai j = – aj i . 
 
 
4 – Matrizes Triangulares: 
4.1 – Matriz Triangular Superior – é uma matriz quadrada em que 
os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 se i  j. Ex.: 
 






c
ba
A
0)2,2(4.2 - Matriz Triangular Inferior – é uma matriz quadrada em que os elementos acima 
da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 se i  j. Ex.: 
 











fed
cb
a
A 0
00
)3,3( 
________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIOS 
1 – Determine os valores de x , y e z para que cada uma das matrizes abaixo seja uma matriz: 
a) Nula, 















0
0
0
0
4
3
2
123
0
0
0
2
x
y
B b) Identidade, 













13
0
0
0
1
0
4
0
1
3zy
x
M 
c) Escalar, 












5
0
0
0
43
0
0
0
5
y
xC d) Simétrica, 
















2
3
15z32y
165x
2
131
G 
e) Triangular inferior, 
2
3
13-
2z
2
325
135y-6-3x1-
H


















 
 
4 - Álgebra Matricial 
 
a) Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes são ditas iguais se e somente se elas têm a mesma dimensão (mesmo número de linhas e 
colunas) e os mesmos elementos nos lugares correspondentes da matriz, ou seja A = B se e somente se 
aij = bij para todos os valores de i e j. 
Exemplo: 

















0
1
3
5
3
1
0
5
3
1
0
5
 
 5 
 b) Adição e Subtração de Matrizes 
 
Duas matrizes podem ser somadas ou subtraídas se e somente se possuírem a mesma dimensão. A soma 
ou subtração de duas matrizes de mesma ordem: A(m,n) = (aij) e a matriz B(m,n) = (bij) é uma matriz m x n 
denotada A + B ou A – B , cujos elementos são somas ou subtrações dos elementos correspondentes. 
Exemplo: 


























 
17
1
3
6
413
21
30
51
4
2
3
5
13
1
0
1
 
 
Propriedades da Adição de Matrizes Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo e O a matriz nula, temos: 
 I – A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( Associativa ) 
 II – A + B = B + A ( Comutativa ) 
 III – A + O = A ( Elemento Neutro ) 
IV – A + ( - A ) = O ( Elemento Simétrico ) 
 
 
c) Multiplicação de uma Matriz por um Escalar 
 
A multiplicação de uma matriz por um número – ou escalar, na terminologia de álgebra matricial - 
consiste na multiplicação de todos os elementos da matriz pelo escalar dado. 
 
Exemplo: 3. 

















12
15
9
6
4.3
5.3
3.3
2.3
4
5
3
2
 
 
Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Escalar 
Sendo  e  números reais e A e B matrizes do mesmo tipo, temos: 
 I - (  +  )A =  . A +  . A 
 II -  ( A + B ) =  . A +  . B 
 III -  (  . A ) = (  .  ) A 
 IV - 1 . A = A 
 
 d) Multiplicação de Matrizes 
 
O produto das matrizes A = (aij)mxn e B = (bik)nxp é uma matriz C = (cik)mxp , tal que 
 cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + . . .+ ain . bnk =

n
j
jkijba
1
 , 
 para todo i {1, 2, 3, . . ., m} e todo k {1, 2, 3, . . ., p}. 
 
Assim, cada elemento cik é a soma dos produtos, ordenadamente, dos elementos da i-ésima linha de A 
pela k-ésima coluna de B. O produto AB só é possível se o número de colunas da matriz A for igual ao 
número de linhas da matriz B; sendo C = AB uma matriz do tipo m x p . 
 
A (m, n)  B (n, p) = C (m, p) 
 
 
Exemplo: 




 












4
1
0
1
3
2
8
5
4
2
BeA  




























7
4
30
5
4
2
4.3)1.(5
4.2)1.(4
4.8)1.(2
0.31.5
0.21.4
0.81.2
.BA 
 
 
 
 
 
 6 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
Sendo A , B , e C matrizes ;  um número real e admitindo-se que as operações abaixo sejam possíveis, 
temos: 
I - ( AB ) C = A ( BC ) ( Associativa ) 
II - ( A + B ) C = AC + BC ( Distributiva à Direita ) 
III - C ( A + B ) = CA + CB ( Distributiva à Esquerda ) 
IV - ( A ) B = A ( B ) =  ( AB ) 
Obs.: 
1 – Se A (m, n) ; tem-se: Im . A = A . In = A 
 2 – A propriedade comutativa, de modo geral, não vale para a multiplicação de matrizes. 
 3 – Quando duas matrizes A e B, são tais que AB = BA , dizemos que A e B comutam ou que são 
 comutáveis. 
4 – Se A e B são matrizes tais que AB = O (Matriz Nula), não podemos garantir que uma delas 
 ( A ou B ) seja nula. 
 5 – O produto de duas matrizes não nulas pode ser uma matriz nula. 
6 – Se A, B e C são matrizes tais que AB = BC, não podemos garantir que B e C sejam iguais. 
 
________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Calcule x, y, z e w, se possível, em cada caso, para que as matrizes A e B sejam iguais: 
 
 



























1
3
4
0
5
4
1
3
25
0
5
)
4
2
2
) 2 Be
y
AbBe
yx
yx
Aa
x
 
 
 

















4
5
2
32
22
) Be
wz
wz
yx
yx
Ac 
 
2- Dadas as matrizes: 
 
 















































5
3
4
2
0
1
1
2
5
0
4
3
,
6
3
1
9
2
4
,
2
4
0
3
1
2
DeCBA , determine: 
 
 a) 2A – 3B + C b) –3A + 2B – 3C + 2D d) A + 3B – C + D 
 
 
3- Dadas as matrizes: 





















3
5
2
3
4
1
,
2
0
1
1
1
1
,
2
1
2
4
0
3
CeBA , 
 determine a matriz X, tal que: 
 
 a) X + 3A – B = 2C b) 2X – A + C = 0 c) 2A – X + B = – C 
 
 
4- Sendo 













5
4
2
2
3
2
1
0
BeA , resolva o sistema 





BAYX
BAYX
3
33
 
 
 
 
 
 7 
5 – Efetue os produtos: 
a) 











 211
324
 
32
15
 b) 











1-01
324
 
34
51
 
 
c) 




















112
512-
014
 . 
31-2
231
1-01
 d)  










3
1
0
 . 851 
6 – Suponha que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas M, N e O obtidas em cada 
unidade dos alimentos I e II. 
 M N O 






105
034
II Alimento
I Alimento
. Se forem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, 
responda: 
a) Quanto será consumido de cada tipo de vitamina? 
b) Se o custo dos alimentos dependesse somente do seu teor vitamínico e sabendo-se que os preços por 
unidade de vitamina M, N e O são, respectivamente, 2, 3 e 5 reais, quanto se pagará pela porção de 
alimentos indicada no item anterior? 
 
7 – Dada a matriz A = 
000
021
012









calcule A2 . 
 
8 – Calcule A  B , B  A e B2 , quando possível, nos seguintes casos: 
 
a) A = 





2-1-
21
 e B = 





25
14
 b) A = 










53
42
31
 e B = 





3
4
 
9 – Dadas as matrizes 












12
13
 Be 
15
32
A determine: 
a) (A + B)(A – B) 
b) A2 – B2 
 
10 – Observando os resultados obtidos no exercício anterior, responda: para essas matrizes A e B vale o 
produto notável (A + B)(A – B) = A2 – B2 ? 
 
 
5 – Matriz Transposta 
 
Dada uma matriz A = (aij)mxn chama-se transposta de A a matriz At = (aji)nxm , tal que aji = aij para todo i e 
todo j. Assim, temos as colunas de At são ordenadamente iguais as linha de A. 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
I – (At)t = A 
II – Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn então ( A + B )t = At + Bt 
III – Se A = (aij)mxn e k R, então (kA)t = k At 
IV – Se A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp , então (AB)t = BtAt (“Observe a ordem!”) 
 
 
 8 
6 – Matriz Simétrica 
 
Vimos que é toda matriz quadrada onde todos os elementos simetricamente dispostos em relação à 
diagonal principal são iguais. Definiremos também que Matriz Simétrica é toda matriz quadrada, tal que: 
At = A. 
Obs.: 
 O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica. 
Ex.: A = 
030
21-1
202










 A . At = 










93-0
3-66
068
 
 
7 – Matriz Anti-simétrica 
 
Vimos que Matriz Anti-simétrica é toda matriz quadrada tal que: At = - A . Decorre da definição que os 
elementos dispostos simetricamente em relação a diagonal principal são opostos e os elementos da 
diagonal principal são nulos. 
Ex.: A =










064-
6-03-
430
 e At = 










06-4
603
4-3-0
 
________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Escreva a matriz transposta do produto matricial AB, sendo A = (aij) 2x2 tal que aij = i2 + j, e 
B = (bij) 2x2 tal que bij = 2i – j 
 
2 – Dadas as matrizes A = 





a11-
1ba
 e B = 





010
01-1
, tais que A . Bt = 





12-
43
, então a e b valem 
respectivamente: 
a) 7 e 4 b) 7 e 3 c) 6 e 4 d) 6 e 3 e) 2 e 2 
 
3 – Se A e B são matrizes tais que A = 










x
1
2
 e B = 










1
2
1
 então a matriz At . B será nula para: 
a) x = 0 b) x = -1 c) x = -2 d) x = - 3 e) x = -4 
 
 
8 – Matriz Inversa 
 
 Considere uma matriz quadrada A, de ordem n. Dizemos que A é inversível se existir a atriz B tal 
que : 
 A  B = B  A = In 
A matriz B é denominada a inversa da matriz A e será indicada por A-1. Sendo assim temos: 
 
 A  A-1 = A-1  A = In 
Obs.: 
I - A matriz In é a matriz identidade. 
II - Se existir a inversa, então dizemos que a matriz A é inversível, caso contrário ela é dita 
não-inversível ou singular. 
 
 9 
Propriedades da Matriz Inversa 
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, temos: 
 
I - ( A-1 )–1 = A (Uma matriz inversível é igual a inversa da sua inversa) 
II - ( A-1 ) t = ( At ) –1 (A transposta da inversa é igual a inversa da transposta) 
III - ( AB )-1 = B-1  A-1 (“Observe a ordem!”) 
Consequentemente, ( ABC )-1 = C-1 . B-1  A-1 
IV - A inversa de uma matriz, se existir, é única. 
 
8.1 – Equações Matriciais do Tipo AX = B ou XA = B 
 Sendo A , B e X matrizes quadradas, de mesma ordem e A inversível , temos: 
 
 a) X  A = B b) A . X = B  A-1 
X  A . A-1 = B . A-1 A-1. A . X = A-1. B 
X . In = B . A-1 I n . X = A-1 . B 
 X = B . A-1 X = A-1 . B 
 
________________________________________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Sendo A = 





72
31
 mostre que A-1 = 





12-
3-7
 
 
2 – Dadas as matrizes A = 





31
02
 e B =








3
1m
0k
 para que valores de k e de m a matriz A é inversa da 
matriz B? 
 
 
3 – Sendo A e B são matrizes inversíveis de ordem n, obter X a partir de cada equação abaixo: 
a) AX = B b) AXB = In c) ( AX )-1 = B 
 
d) BAX = A e) ( AX )t = B f) ( A + X )t = B 
 
 
4 – Sejam A = 





5-3-
2-1-
, B = 





1-
2
 e C = 





8-4-
41
. Determine, se possível, a matriz X tal que 
A + BX = C 
 
 
5 – Sejam A-1 = 





10
31
 e B = 





1-2
01-
. Determine, se possível, a matriz X tal que 
(At . X)-1 = (B -1) -1