Sistemas_lineares

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
 SISTEMAS de EQUAÇÕES LINEARES
1 – Equação Linear
É toda equação do tipo	a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b , onde:
x1 , x2 , x3 , . . . , xn ( são as incógnitas
a1 , a2 , a3 , . . . , an ( são os coeficientes
b ( é o termo independente
Observações
I – Numa equação linear os expoentes de todas as incógnitas são unitários. Sendo assim, alguns dos exemplos que não representam equações lineares são do tipo:
a) 2x12 + 3x2 = 0		 b) x2 + y2 = 1		c) 
II – Uma equação linear não apresenta em seus termos o produto de duas ou mais incógnitas. Sendo assim, não representam equações lineares equações do tipo:
a) x1 + x2 x3 = 2		 b) x + yz = 0		c) 3x2 + 2zy = – 4 
1.1 – Solução de uma Equação Linear
Os valores das incógnitas que satisfazem à equação constituem sua solução. Assim, dizemos que uma sequência de números (α1, α2, α3, . . . , αn ) é solução da equação a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b quando a sentença a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 + . . . + an αn = b for verdadeira.
Exemplo:
2x + 3y – z + w = 3 em que a sequência ( 1 , 2 , 3 , -2 ) é solução dessa equação. 
Observe que, por exemplo, que a sequência (2, 1, 3, -2) não é solução dessa equação.
2 – Sistema de Equações Lineares
É um conjunto de m equações lineares a n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3
 . 	 . 	 .		 .	.
 .	 . 	 .		 .	.
 . 	 . 	 .		 .	.
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm 
Obs.: Note que o sistema linear pode ser escrito na forma de produto de matrizes. Assim temos:
 
 ( 
 = 
2.1 – Solução de um Sistema de Equações Lineares
Os valores das incógnitas que satisfazem simultaneamente todas as equações de um sistema constituem sua solução. 
Exemplos:
a) 
	S = { (–1, 2) }		 b) 
 S = {(2, –1, 1)}
3– Classificação de um Sistema de Equações Lineares quanto ao número de soluções 
3.1 – Sistema Possível ou Compatível
É todo sistema que admite pelo menos uma solução.
3.1.1 – Sistema Possível e Determinado
É todo sistema que admite uma única solução.
 	 	Ex.:	 	2x + 3y = 18		
	 		 	3x + 4y = 25
3.1.2 – Sistema Possível e Indeterminado
É todo sistema que admite mais de uma solução (infinitas soluções).
 	 	Ex.: 	 	x + y = 50
			 	2x + 2y = 100
	 
3.2 – Sistema Impossível ou Incompatível
É todo sistema que não admite solução
 	 	Ex.: 	 	x + y = 3
		 	 	x + y = 5
NOTA:
Sistema Linear Homogêneo
É todo sistema em que os termos independentes são iguais a zero.
 		Ex.:
 		2x – y + 3z = 0
 		3x + y – 5z = 0
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos uma solução (solução trivial), que é a n-upla ( 0 ; 0 ; . . . ; 0 ).
4 – Escalonamento de um Sistema
Um sistema na forma escalonado é todo aquele que o número de coeficientes nulos, antes do 1º. coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
Exemplos: 
	
a)	x + y + 3z = 1		 b)	4x – y + 5z = 3	 c)	x – 4y + z – w = 5
	 y – z = 4		 	 3y – 2z = 1	 	 2y = 4
	 2z = 5		
4.1 – Sistemas Equivalentes
Sistemas de equações equivalentes são aqueles que sofreram transformações através operações elementares, porém apresentam a mesma solução.
4.2 – Operações Elementares
4.2.1 – Permutação de Equações
Exemplo:
	 2x + y + z = 8	 Permutando L1 com L2 temos:		x + 2y – 3z = 5
	 x + 2y – 3z = 5							2x + y + z = 8
 	 x + 4y – 2z = 12							x + 4y – 2z = 12
			
4.2.2 – Multiplicação de uma Equação
Podemos multiplicar qualquer equação por um número real diferente de zero.
Exemplo:
	 x + 2y + z = 9	 L2 = L2 .(-1/3)	 x + 2y + z = 9
	 – 3y – 3z = –15 					y + z = 5
	 – 7y – 5z = –31 				 –7y – 5z = –31 
4.2.3 – Substituição de Equações
Podemos substituir uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.
Exemplo:
	 x + 4y = –8	 -3	 L2 = L2 + (-3)L1	 Assim temos 3x – y = 15
	 3x – y = 15		 	 		 	 –3x – 12y = 24
 10x – 12y = 7	 				 0x – 13y = 39
6 – Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares 2X2
Os pares ordenados de números que são soluções de uma equação linear com duas variáveis determinam, no gráfico, uma reta. A intersecção das duas retas das equações do sistema determina sua solução, se existir.
O sistema será possível e determinado (S.P.D.) se as retas forem concorrentes. Sendo assim, terão um único ponto em comum. 
					 y
Ex.: s r Sendo r a reta de equação reduzida y = x + 3
 2 Sendo s a reta de equação reduzida y = –x + 1
 x
 -3 -1 1
O sistema será impossível (S.I.) se as retas forem paralelas e distintas. Sendo assim, não terão pontos em comum.				 y
 r
Ex.:					 3 Sendo r a reta de equação reduzida y = x + 3
 s Sendo s a reta de equação reduzida y = x – 1
 
 -3 1 x
 -1
O sistema será possível e indeterminado (S.P.I.) se as retas forem paralelas coincidentes. Sendo assim, terão infinitos pontos em comum.
Ex.: y r ≡ s 
 
 3 
 
 
 
 -3 			 x
7 – Classificação de um Sistema Linear 2X2 quanto ao número de soluções
Observando apenas as equações de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, do tipo 
 conclui-se que:
 
 ( S.P.I 
 ( S.I. 
 ( S.P.D.
8 – Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares 3X3
Os gráficos das equações de um sistema linear de equações em três incógnitas são planos. As soluções do sistema, se as houver, correspondem aos pontos em que os três planos se intersectam. Há somente três possibilidades: nenhuma solução, uma solução ou uma infinidade de soluções.
	Nenhuma solução
(Três planos paralelos)
	Nenhuma solução
(Dois planos paralelos secantes ao terceiro)
	Nenhuma solução
(Três planos secantes dois a dois sem interseção comum)
 
 
	Nenhuma solução
(Dois planos coincidentes e paralelos ao terceiro)
	Uma solução
(Três planos se cortando em um único ponto)
	Infinitas soluções
(Três planos passando por uma mesma reta)
 
	Infinitas soluções
(Três planos coincidentes)
	Infinitas soluções
(Dois planoscoincidentes e paralelos ao terceiro)
 
Exercícios
1 – Encontre o(s) valor(es) de m para que os sistemas abaixo tenham uma única solução:
a) 
			b)
 		 c) 
2 – Resolva, classifique quanto ao número de soluções e faça a representação gráfica dos seguintes sistemas:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
3 – Resolva e classifique quanto ao número de soluções os seguintes sistemas:
a) 
	 b) 
	 c) 
 
 d) 
 e) 
 f) 
4 – Um copo cheio de água tem massa igual 325g . Se jogarmos metade da água fora, sua massa se reduz a 180g. Qual é, em gramas, a massa do copo vazio?
5 – Uma loja de departamentos, para vender televisores, DVD’s e aparelhos de som, propôs a seguinte oferta : um televisor e um DVD custam juntos R$ 1.200,00; um DVD e um aparelho de som custam juntos R$ 1.100,00; um televisor e um aparelho de som custam juntos R$ 1.500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados ?
6 – (Petrobrás/2009) Certa empresa de transportes rodoviário oferece a seus clientes viagens entre Rio e São Paulo em ônibus de dois andares. Num dos andares ficam 5 assentos tipo “leito”, mais caros, e, no outro, 40 assentos tipo “executivo”. Quando todos os assentos são vendidos, a empresa arrecada R$ 3.735,00 numa viagem, mas como ontem foram vendidos apenas 32 assentos “executivos” e 3 “leitos”, a viagem rendeu R$ 2.889,00. Qual é, em reais, o preço do assento tipo “executivo”?
7 – Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$56,00 e com a sobremesa R$35,00; cada sobremesa custou R$3,00 a menos do que o prato principal.
a) Encontre o número de pessoas neste grupo.		b) Qual o preço do prato principal? 
8 – Um lojista pretende colocar certo número de agasalhos em algumas prateleiras, de modo que o número de peças em cada prateleira seja o mesmo. Se colocar 9 agasalhos em cada prateleira, duas delas deixarão de ser usadas; entretanto, se colocar 7 em cada uma, usará todas as prateleiras. Qual deve ser o número de agasalhos que ele deverá acomodar?
9 – Uma loja de discos classificou seus CDs em três tipos A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:
O primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$121,00. O segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$112,00. O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R$79,00. O quarto comprou 1 CD de cada tipo. Calcule quanto o quarto consumidor pagou à loja.
10 – Numa lanchonete o garçom apresenta as contas de três mesas:
Mesa I : 2 sanduíches, 3 sucos e 2 sorvetes: R$ 90,00. Mesa II: 1 sanduíche, 2 sucos e 1 sorvete: 
R$ 50,00. Mesa III: 4 sanduíches, 5 sucos e 4 sorvetes. Qual o valor da conta da Mesa III ?
11 – Por ocasião do Natal, uma empresa gratificará seus funcionários com um certo número de cédulas de R$50,00. Se cada funcionário receber 8 cédulas, sobrarão 45 delas; se cada um receber 11 cédulas, faltarão 27. Qual é o montante ( em reais ) a ser distribuído?
GABARITO 
1ª questão a) S = {m
IR/ m ≠ 1} b) S = {m
IR/ m ≠ 11/4} ; c) S = {m
IR/ m ≠ –4}
2ª questão a) S.P.D; S = (1, -1) ; b) S.P.I , S ={( – 1, (} ; c) S.I. , S { }; d) S.P.D. S = (–2, –1)
3ª questão: a) S.P.D. ; S = ( 2, –1, 0 ) ; b) S = (–1 , 3 , 2 ) ; c) S.P.I. , S = (3 + 2( - 5(, ( , () ; d) S.I. , S = { } ; 
e) S.P.D. ; S = (1, 1, 1) ; f) S.P.D. ; S = (0, 1, -1, 0) ; 
4ª questão: 35g ; 5ª Questão : R$ 1.900,00; 6ª Questão: R$81,00; 7ª Questão: letra a: 7 pessoas ; letra b: R$ 8,00 ; 8ª Questão: 63 agasalhos ; 9ª Questão: R$ 63,00; 10ª Questão: R$ 17,00 ; 11ª Questão: R$ 11.850,00.
						
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
�PAGE �6�
_1443356404.unknown
_1443363781.unknown
_1458335489.unknown
_1458385240.unknown
_1458414155.unknown
_1458384593.unknown
_1443363918.unknown
_1458335177.unknown
_1458335218.unknown
_1458335191.unknown
_1458329103.unknown
_1458334934.unknown
_1443363877.unknown
_1443356952.unknown
_1443363667.unknown
_1443360124.unknown
_1443356514.unknown
_1428242775.unknown
_1428254517.unknown
_1428255193.unknown
_1443354809.unknown
_1442673618.unknown
_1428254622.unknown
_1428254308.unknown
_1131752388.unknown
_1131946972.unknown
_1131752197.unknown