Combinação Linear

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U N I V E R S I D A E S T Á C I O D E S Á 
 
COMBINAÇÃO LINEAR 
 
Sejam os vetores v1, v2, . . ., vn do espaço vetorial V e os escalares a1, a2, . . ., an. 
Qualquer vetor v  V da forma: 
 
v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn 
 
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . ., vn . 
 
Exemplos 
 
1) Seja V = IR² e os vetores u = (3, −1), v = (2, 4) e w = (0, 7). 
 
a) O vetor (12, 3) é uma combinação linear dos vetores u, v e w pois: 
 
(12, 3) = 2u + 3v − w. 
 
b) O vetor (−1, −9) é uma combinação linear dos vetores u, v e w pois: 
 
(−1, −9) = u − 2v + 0w. 
 
c) O vetor (0, 0) é uma combinação linear dos vetores u, v e w pois: 
 
(0, 0) = 0u + 0v + 0w. 
 
2) No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau  2, o polinômio v = 7x² + 11x − 26 é 
uma combinação linear dos polinômios v1 = 5x² −3x + 2 e v2 = −2x² + 5x −8 pois: 
 
v = 3v1 + 4v2 
 
 Exercícios 
 
1) Seja V = IR³ e os vetores u = (3, −1, 1), v = (1, 2, −1) e w = (2, −10, 6), verifique se w 
é combinação linear de u e v, isto é, se existem escalares x e y tais que xu + yv = w. 
 
2) Considere, no IR³, os vetores u = (1, −3, 2) e v = (2, 4, −1). 
 
a) Escreva o vetor w = (−4, −18, 7) como combinação linear dos vetores u e v. 
b) Mostre que t = (4, 3, −6) não é uma combinação linear dos vetores u e v. 
c) Calcule o valor e k para que o vetor s = (−1, k, −7) seja uma combinação linear dos 
vetores u e v. 
 
3) Verifique se v = (3, 9, −4, −2) é uma combinação linear dos vetores u1 = (1, −2, 0, 3), 
u2 = (2, 3, 0, −1) e u3 = (2, −1, 2, 1). R: v = u1 + 3u2 −2u3. 
 
4) Mostre que o vetor v = (3, 4)  IR² pode ser escrito de infinitas maneiras como 
combinação linear dos vetores v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) e v3 = (2, − 1). R: a = 3 − 2c e b = 4 + c, 
portanto, para cada valor de c obtém-se um valor para a e outro para b. 
 
 
2 
2 
5) Escreva o vetor v = (1, −2, 5) com combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 1), 
u2 = (1, 2, 3) e u3 = (2, −1, 1). R: v = −6u1 + 3u2 + 2u3 
 
6) Verifique se o vetor v = (2, −5, 3)  IR³ pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores u = (1, −3, 2), v = (2, −4, −1) e w = (1, −5, 7). R: O sistema é impossível, logo, não tem solução, 
portanto, v não pode ser escrito com combinação linear dos vetores u, v e w. 
 
7) Para que valores de k o vetor u = (1, −2, k)  IR³ é uma combinação linear dos 
vetores v = (3, 0, −2) e w = (2, −1, −5)? R: k = −8 
 
8) Escreva a matriz 





11
13
como combinação linear das matrizes A = 





01
11
, B = 






11
00
 e C = 





10
20
. R: E = 3A − 2B − C.