050V9_descontos

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Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Matema´tica Financeira
Semana 5: Descontos
Manuela Longoni de Castro
Wili Dal Zot
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
UFRGS
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Introduc¸a˜o I
Entende-se por desconto “o abatimento que se obte´m ao
saldar-se um compromisso antes de sua data de vencimento e
por descontar o ato acima descrito” ( [Neto, 2009, pp. 38]
[Zot, 2008, pp. 75]).
Normalmente os compromissos com vencimento no futuro sa˜o
origina´rios de empre´stimos anteriores e sa˜o representados por
documentos denominados t´ıtulos de cre´dito que,
desempenhando papel semelhante ao dos contratos, asseguram
legalmente os direitos dos credores.
Os t´ıtulos de cre´dito possuem regras legais que preveˆm sua
negociac¸a˜o de modo a facilitar a antecipac¸a˜o dos direitos
futuros atrave´s da operac¸a˜o de desconto.
Dentre os t´ıtulos mais conhecidos encontram-se: duplicatas,
notas promisso´rias, certificados de depo´sito banca´rio e letras de
caˆmbio.
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Introduc¸a˜o II
Uma empresa, ao descontar um t´ıtulo de cre´dito junto a um
banco, recebe um valor inferior ao que o t´ıtulo ira´ valer quando
de seu vencimento. O valor l´ıquido recebido e´ o valor
descontado, principal ou valor presente do t´ıtulo. A
diferenc¸a entre valor l´ıquido recebido e valor nominal do t´ıtulo
e´ o desconto.
O valor do t´ıtulo no vencimento e´ o seu valor de resgate,
valor nominal ou valor futuro.
Destaques na operac¸a˜o de desconto do ponto de vista da
empresa que se desfaz do t´ıtulo de cre´dito:
da parte do possuidor ou credor do t´ıtulo a operac¸a˜o de
desconto significa a antecipac¸a˜o da riqueza nele expressa;
em troca e´ oferecido um desconto de seu valor nominal
(ou de resgate);
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Introduc¸a˜o III
a operac¸a˜o de desconto pode ser comparada a um
empre´stimo pois existe um Principal (valor descontado
= valor nominal menos o desconto), um prazo e um
valor futuro (montante, valor nominal, valor de resgate do
t´ıtulo).
Destaques na operac¸a˜o de desconto do ponto de vista do
banco que adquire o t´ıtulo:
da parte do Banco comprador do t´ıtulo, a operac¸a˜o e´
semelhante a uma aplicac¸a˜o financeira, cujo principal e´ o
valor pago a` vista pelos t´ıtulos (valor descontado ou
valor presente), e o rendimento e´ o desconto recebido
(mesmo que juros);
na data de vencimento, o banco que o descontou recebera´
o valor nominal do t´ıtulo de cre´dito que equivale ao
montante do principal oferecido na aquisic¸a˜o do mesmo.
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Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Simbologia I
Objetivo do ca´lculo do desconto
O objetivo primordial do ca´lculo financeiro nas operac¸o˜es de
descontos e´ encontrar o principal (valor presente ou valor
atual) dos t´ıtulos de cre´dito (principal = valor de resgate -
desconto).
S´ımbolos mais usuais
D = desconto
P = principal, valor descontado, valor atual, valor presente
(nas calculadoras financeiras:
�� ��PV )
S = valor de resgate, valor nominal, valor futuro,
montante (nas calculadoras financeiras:
�� ��FV )
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Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Desconto banca´rio simples
Um dos tipos mais conhecidos de desconto e´ o desconto
banca´rio simples. Nele, o valor presente (P) de um t´ıtulo de
cre´dito e´ obtido por: P = S − D onde
D = S .d .n (1)
sendo
S = valor de resgate, valor de face, valor nominal ou valor
futuro do t´ıtulo a ser descontado;
d = taxa de desconto banca´rio simples
n = prazo entre o desconto e o vencimento do t´ıtulo
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Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Ca´lculo do desconto (D)
Exemplo 1: Calcular o valor do desconto de duplicatas cujo
valor nominal e´ de R$ 23.000,00, descontadas a uma taxa de
desconto banca´rio simples de 5% ao meˆs, 38 dias antes do
vencimento.
Dados:
D = ?
S = 23.000
n = 38d = 3830m
d = 5% (0,05)a.m. Soluc¸a˜o:
D = S .d .n = 23.000x0, 05x 3830 = 1.456, 66666667
Resposta:R$ 1.456,67
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Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Ca´lculo do desconto (D)
Usando a calculadora:
passos da ALG RPN
calculadora
1 23000
�� ��× 23000 �� ��ENTER
2 .05
�� ��× .05 �� ��×
3 38
�� ��÷ 38 �� ��×
4 30 �� ��= 30 �� ��÷
5 ⇒1.456,66666667 ⇒1.456,66666667
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Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Ca´lculo do valor descontado (P)
Exemplo 2: Uma empresa descontou duplicatas no valor de
face de R$ 18.700,00, 52 dias antes do vencimento, a uma taxa
de desconto banca´rio simples de 4,5% ao meˆs, e deseja sabero
valor l´ıquido recebido na operac¸a˜o.
Dados:
P = ?
S = 18.700
n = 52d = 5230m
d = 4,5% (0,045)a.m.
Soluc¸a˜o: Como D = S .d .n e P = S − D pode-se formular:
P = S − S .d .n ou
P = S(1− d .n) (2)
P = S(1− d .n) = 18.700(1− 0, 0455230) = 17.241, 40000000
Resposta:R$ 17.241,40
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banca´rio
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Ca´lculo do valor descontado (P)
Usando a calculadora:
passos da ALG RPN
calculadora
1 18700
�� ��× �� ��( 18700 �� ��ENTER
2 1
�� ��- �� ��( 1 �� ��ENTER
3 .045
�� ��× .045 �� ��ENTER
4 52
�� ��÷ 52 �� ��×
5 30 �� ��= 30 �� ��÷
6 ⇒17.241,40000000 �� ��- �� ��×
7 ⇒17.241,40000000
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Ca´lculo da taxa efetiva
Voceˆ precisa de R$ 70.000,00 e pode obteˆ-los de duas formas:
1 - operac¸a˜o de desconto: descontando um t´ıtulo de
cre´dito no valor de R$ 100.000,00, 3 meses antes do
vencimento, a uma taxa de desconto banca´rio simples de
10% ao meˆs
2 - operac¸a˜o de empre´stimo obtendo um financiamento
a` taxa de juros compostos de 11% ao meˆs
Qual alternativa voceˆ escolheria?
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Ca´lculo da taxa efetiva
Uma forma de encaminhar a tomada de decisa˜o proposta e´
pensar em termos de desembolsos futuros, ou seja, quanto em
cada caso sera´ desembolsado pelo tomador do recurso no
futuro.
1 - operac¸a˜o de desconto: o pagamento futuro equivale
a justamente o valor de R$ 100.000,00, daqui 3 meses,
pois e´ o valor do cre´dito que voceˆ deixara´ de receber caso
optar por antecipar os R$ 70.000,00
2 - operac¸a˜o de empre´stimo: para o mesmo prazo de 3
meses o montante a ser pago sera´
S = P(1 + i)n = 70.000(1 + 0, 11)3 = 95.734, 17
Assim, por esse enfoque, conclui-se que a melhor alternativa e´
a do empre´stimo.
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desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Ca´lculo da taxa efetiva
Uma outra forma de se analisar essa questa˜o e´ comparando as
taxas. Mas cuidado pois taxa de desconto na˜o e´ a mesma coisa
que taxa de juros: a primeira e´ calculada sobre montante
enquanto que a segunda e´ calculada sobre principal. Assim
sendo, uma taxa de desconto menor do que uma taxa de juros
podera´ reproduzir juros maiores do que essa u´ltima. Quando se
compara taxas deve-se ter o cuidado de que as mesmas tenham
a mesma natureza. Na˜o faz sentido comparar, por exemplo,
uma taxa de desconto banca´rio simples de 10% ao meˆs com
uma taxa de juros compostos de 11% ao meˆs. Assim sendo,
quando temos duas taxas de natureza diferente (taxa efetiva e
taxa nominal; juros simples e juros compostos; taxa de
desconto e taxa de juros, etc.) devemos modificar uma delas
para encontrar a sua correspondente na mesma natureza e
unidade da outra.
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desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
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Tipos de
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Ca´lculo da taxa efetiva
1 - operac¸a˜o de desconto: calcula-se a taxa mensal de juros
compostos que transforma um principal de R$ 70.000,00 em
um montante de R$ 100.000,00:
im = (
100.000
70.000
)
1
3 − 1 = 0, 12624788 ≡ 12, 62%a.m.
2 - operac¸a˜o de empre´stimo: 11% a.m.
Por essa outra forma de apresentar uma soluc¸a˜o ao dilema
proposto confirma-se a escolha do empre´stimo porque a taxa
efetiva (custo de 11%a.m.) e´ menor do que 12,62%a.m.
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Taxa efetiva e taxa impl´ıcita I
Alguns autores reconhecem a importaˆncia da ana´lise
comparativa da rentabilidade ou custo efetivo de operac¸o˜es de
descontos com base nas taxas de juros compostos (Zot [2008],
Neto [2009], de Faro and Lachtermacher [2012], de Faro
[1990]).
Define-se como taxa efetiva de uma operac¸a˜o de desconto, a`
taxa de juros compostos que reproduz as mesmas condic¸o˜es de
principal, montante e prazo da referida operac¸a˜o.
Essa definic¸a˜o, entretanto, na˜o e´ compartilhada pela maioria
dos autores.
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Taxa efetiva e taxa impl´ıcita II
Um grande nu´mero de autores faz refereˆncia a` taxa impl´ıcita
de juros de uma operac¸a˜o de desconto como sendo a taxa de
juros que reproduz uma quantia de juros igual ao valor do
desconto, em mesmas condic¸o˜es de prazo, principal e montante.
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Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
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descontos
Refereˆncias
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Taxa efetiva e taxa impl´ıcita III
De uma forma geral, entretanto, esses autores associam o tipo
de juros, simples ou compostos, ao tipo de desconto, simples
ou composto. Assim, ter´ıamos uma taxa impl´ıcita de juros
simples associada a um desconto banca´rio simples e uma taxa
impl´ıcita de juros compostos associada a um desconto banca´rio
composto. O prof. Assaf [Neto, 2009, pp. 43] considera
(opinia˜o que compartilhamos) que a taxa impl´ıcita de juros
somente faz sentido se for composta tendo em vista a
comparabilidade que ela permite com outros tipos de
empre´stimos ou aplicac¸o˜es do mercado financeiro.
Na disciplina adotaremos os conceitos, em ambos os casos,
taxa efetiva e taxa impl´ıcita de uma operac¸a˜o de desconto,como taxas de juros compostos que, por reproduzem os mesmo
rendimentos da referida operac¸a˜o de desconto,.
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Calculando a taxa efetiva I
Exemplo 3: Calcular a taxa efetiva mensal de uma operac¸a˜o de
desconto de duplicatas no valor de face de R$ 100.000,00, 3
meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto banca´rio
simples de 10% ao meˆs.
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
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Calculando a taxa efetiva II
Dados:
i = ?
S = 100.000
n = 3m
d = 10% (0,10)a.m.
Soluc¸a˜o:
Como P = S(1− d .n) e i = ( SP )
1
n − 1
i = ( SS(1−d .n))
1
n − 1 ou
i = (
1
1− d .n )
1
n − 1 (3)
i = ( 11−d .n )
1
n − 1 = ( 11−0,1x3)
1
3 − 1 = 0, 12624788
Resposta:12,62%a.m.
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Calculando a taxa efetiva III
Usando a calculadora:
passos da ALG RPN
calculadora
1 1
�� ��÷ �� ��( 1 �� ��ENTER
2 1
�� ��- �� ��( 1 �� ��ENTER
3 0.1
�� ��× 0.1 �� ��ENTER
4 3 �� ��= �� ��yx 3 �� ��×
5 3
�� ��1/x �� ��- �� ��÷
6
�� ��- 3 �� ��1/x �� ��yx
7 1 �� ��= 1 �� ��-
8 ⇒0,126248 ⇒0,126248
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Desconto
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Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Tipos de descontos
Os tipos conhecidos de descontos sa˜o:
desconto banca´rio simples (desconto comercial simples )
ou desconto por fora simples
desconto banca´rio composto ou desconto por fora
composto (*)
desconto racional simples ou desconto por dentro
simples
desconto racional composto ou desconto por dentro
composto
(*) embora citado por alguns autores na˜o se tem conhecimento
sobre a utilizac¸a˜o pra´tica do desconto banca´rio composto.
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Tipos de descontos e fo´rmulas de ca´lculo do valor presente
Banca´rio Racional
d i
Simples P = S(1− dn) P = S(1+i .n)
Composto P = S(1− d)n P = S(1+i)n
Uma das diferenc¸as entre os descontos racionais e os banca´rios
e´ a de que aqueles utilizam taxa de juros (i) enquanto estes,
taxas de desconto (d).
O uso do desconto banca´rio composto na˜o tem aplicac¸a˜o
pra´tica citada na literatura.
Os tipos de descontos citados como mais utiizados sa˜o:
Desconto banca´rio simples, para operac¸o˜es de desconto de
curto prazo, em torno de 30 a 90 dias (duplicatas, notas
promisso´rias, etc.) e o desconto racional composto, para prazo
superiores.
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Simbologia
Desconto
banca´rio
simples
Ca´lculo do
desconto (D)
Ca´lculo do
valor
descontado
(P)
Ca´lculo da
taxa efetiva
Tipos de
descontos
Refereˆncias
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Bibliografia I
C. de Faro. Princ´ıpios e aplicac¸o˜es do ca´lculo financeiro. Livros
te´cnicos e cient´ıficos editora, 1990.
C. de Faro and G. Lachtermacher. Introduc¸a˜o a` matema´tica
financeira. Saraiva, 2012.
A. A. Neto. Matema´tica financeira e suas aplicac¸o˜es. Editora
Atlas, 11a. edition, 2009.
W. D. Zot. Matema´tica financeira. Editora da UFRGS, Porto
Alegre, 5a. edition, 2008.
	Introdução
	Simbologia
	Desconto bancário simples
	Cálculo do desconto (D)
	Cálculo do valor descontado (P)
	Cálculo da taxa efetiva
	Tipos de descontos