100V11_correcao_monetaria

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Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
Refereˆncias
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Matema´tica Financeira
Semana 15: Correc¸a˜o moneta´ria
Manuela Longoni de Castro
Wili Dal Zot
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
UFRGS
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
Refereˆncias
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Objetivos de estudo da Correc¸a˜o Moneta´ria
A Correc¸a˜o Moneta´ria, surgida em 1964 como parte do
conjunto de medidas de combate a` inflac¸a˜o do Plano de Ac¸a˜o
Econoˆmica-PAEG, tinha por objetivo garantir o aumento do
retorno real dos ativos. A ideia principal era a de que as
aplicac¸o˜es em t´ıtulos do governo e os empre´stimos dos bancos
tivessem remunerac¸o˜es reais, isto e´, retornos superiores a` perda
do poder aquisitivo da moeda pela inflac¸a˜o. Na disciplina de
Matema´tica Financeira, o to´pico referente a` Correc¸a˜o
Moneta´ria tem por objetivo estudar como os ı´ndices que
medem a inflac¸a˜o permitem reajustar valores ao longo do
tempo, separando, no caso dos empre´stimos, as taxas de
correc¸a˜o das taxas de juros reais.
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
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Inflac¸a˜o
O que e´
Conceito de inflac¸a˜o.
”Inflac¸a˜o e´ o aumento persistente de prec¸os, que envolve o
conjunto da economia, do qual resulta uma cont´ınua perda do
poder aquisitivo da moeda.”(OSAKABE, in (Vian et al., 2005,
pp. 305)).
Matema´tica
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Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
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Inflac¸a˜o
O que e´
Caracter´ısticas da inflac¸a˜o 1
Crescimento generalizado dos prec¸os.
A principal caracter´ıstica da inflac¸a˜o e´ que praticamente todos
os produtos e servic¸os tem seus prec¸os aumentados. Assim, em
algumas situac¸o˜es de alta escassez de algum produto, o prec¸o
desse produto pode crescer significativamente embora isso na˜o
caracterize inflac¸a˜o.
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Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
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Inflac¸a˜o
O que e´
Caracter´ısticas da inflac¸a˜o 2
Na˜o sincronismo das alterac¸o˜es.
Durante o processo inflaciona´rio, os prec¸os de alguns produtos
e servic¸os aumentam antes do que outros. Agentes econoˆmicos
que detem monopo´lios ou oligopo´lios antecipam reajustes
enquanto que aqueles com contratos (proprieta´rios de imo´veis
alugados, assalariados, aplicadores em fundos de renda fixa,
p.ex.) recebem reajustes dos prec¸os a posteriori.
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Uso das
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Inflac¸a˜o
O que e´
Caracter´ısticas da inflac¸a˜o 3
Principais consequeˆncias da inflac¸a˜o que prejudicam o
desempenho da economia.
O assincronismo no reajustamento dos prec¸os tem como
principal consequeˆncia um deslocamento de renda entre os
agentes econoˆmicos sem a correspondente
contraprestac¸a˜o; os mais fracos, em geral assalariados,
tendem a perder renda ao longo do tempo.
A perda do poder aquisitivo da moeda faz com que
financiamentos ou aplicac¸o˜es de longo prazo acabem
trazendo preju´ızos aos credores, inibindo o fluxo de
capitais para a economia.
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Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
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Correc¸a˜o Moneta´ria
Principais conceitos
Conceito de Correc¸a˜o Moneta´ria.
”A correc¸a˜o moneta´ria e´ um instituto que visa preservar o valor
do dinheiro. Este mecanismo opera atrave´s da incideˆncia do
ı´ndice de desvalorizac¸a˜o sobre o montante anterior, de maneira
sucessiva, mantendo-se, desta forma, o poder aquisitivo da
moeda.”(de Oliveira, 2001, pp. 198).
A correc¸a˜o moneta´ria foi criada no Brasil pela Lei 4.357, de
16/07/1964, a mesma lei que deu origem a`s Obrigac¸o˜es
Reajusta´veis do Tesouro Nacional - ORTN, e que, segundo se
tem not´ıcia, constituiu-se em uma experieˆncia sem similar em
outros pa´ıses.
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Uso das
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Correc¸a˜o Moneta´ria
Principais conceitos
Princ´ıpio da indexac¸a˜o.
A oficializac¸a˜o do instituto da correc¸a˜o moneta´ria procurou
garantir a neutralizac¸a˜o do efeito da perda do poder de compra
da moeda, causada pela inflac¸a˜o, atrave´s da atualizac¸a˜o dos
valores moneta´rios em func¸a˜o da variac¸a˜o de ı´ndices de prec¸os.
(de Faro and Lachtermacher, 2012, pp. 304).
A Fundac¸a˜o Getulio Vargas e´ a instituic¸a˜o que publica a
maioria dos ı´ndices utilizados no Brasil. IBGE, FIPE e DIEESE
de Sa˜o Paulo tambe´m sa˜o instituic¸o˜es importantes no ca´lculo
de ı´ndices de inflac¸a˜o.
O ı´ndice de maior tradic¸a˜o e abrangeˆncia de dados histo´ricos e´
o I´ndice Geral de Prec¸os - Disponibilidade Interna da Fundac¸a˜o
Getulio Vargas (IGP-DI/FGV).
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Uso das
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Fo´rmula de
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Tabelas de
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Indexadores
Nu´meros I´ndices
Nu´meros I´ndices ou, simplesmente ı´ndices, correspondem a
prec¸os de conjuntos de bens, denominados cestos ba´sicos. Os
ı´ndices diferem entre si pela escolha dos conjuntos de bens a
terem seus prec¸os acompanhados, pela periodicidade do
levantamento das informac¸o˜es e pelas caracter´ısticas do poder
aquisitivo de seus consumidores.
O IGP-DI/FGV e´ um ı´ndice composto de outros treˆs, levantado
do primeiro dia ate´ o u´ltimo de cada meˆs:
IPA (´ındice de prec¸os por atacado-peso 60%)
IPC (´ındice de prec¸os ao consumidor-peso 30%)
INCC (´ındice nacional da construc¸a˜o civil-peso 10%)
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Uso das
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Tabelas de
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Indexadores
Indexac¸a˜o
A indexac¸a˜o, portanto, e´ a operac¸a˜o matema´tica que se utiliza
de ı´ndices de prec¸os com o objetivo de atualizar os prec¸os de
bens ou ativos financeiros tendo em vista a desvalorizac¸a˜o
moneta´ria ocorrida. Assim, em termos econoˆmicos, podemos
considerar a indexac¸a˜o como sinoˆnimo de correc¸a˜o, reajuste ou
atualizac¸a˜o moneta´ria.
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Sendo os ı´ndices uma representac¸a˜o dos prec¸os ao longo do
tempo, a indexac¸a˜o e´ a operac¸a˜o matema´tica que se utiliza
desses referidos ı´ndices para atualizar os prec¸os de bens ou
ativos financeiros tendo em vista a desvalorizac¸a˜o moneta´ria
ocorrida no tempo.
Revistas especializadas na publicac¸a˜o dos ı´ndices, tais como a
Revista de Conjuntura Econoˆmica, da Fundac¸a˜o Getulio
Vargas, divulgam os ı´ndices de prec¸os mais importantes. Nos
pro´ximos slides veremos exemplos de como e´ feita a leitura e o
uso dessas tabelas.
Ao final dessa apresentac¸a˜o encontram-se tabelas de ı´ndices
(IGP-DI e IGP-M, ambos da Fundac¸a˜o Getulio Vargas) que
sera˜o utilizados para resolver os exemplos ilustrativos dos
conteu´dos.
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 1- Calcular a taxa de variac¸a˜o do prec¸o do kg de cebola, no meˆs de
janeiro de 2013, sabendo-se que no dia 31/12/2012 o prec¸o do kg era de R$ 2,50
e no dia 31/01/2013 passou para R$ 2,75.
Dados:
P0 = 2, 50
P1 = 2, 75
ivariacao = ?
Soluc¸a˜o:
A taxa de variac¸a˜o, na comparac¸a˜o entre dois valores, e´ dada pela diferenc¸a dos
dois valores dividido pelo valor inicial:
ivariacao =
P1−P0
P0
= P1
P0
− 1 = 2,75
2,5
− 1 = 0, 10 · · · = 0, 10 . . . x100% = 10% . . .
Resposta: 10,00% a.m.
Voceˆ deve observar que os ı´ndices de prec¸os comportam-se semelhantemente ao
prec¸o do kg de cebola do exemplo acima. Logo podemos escrever a fo´rmula
gene´rica da taxa de variac¸a˜o da inflac¸a˜o, a partir da comparac¸a˜o de dois ı´ndices
de prec¸os, I0 e I1, por:
icm =
I1
I0
− 1
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 2- A taxa de inflac¸a˜o em um meˆs pode ser calculada
de forma bastante simples confrontando dois ı´ndices de prec¸os.
A taxa de inflac¸a˜o pelo IGP-DI/FGV do meˆs de maio de 2012 e´
dada por
imai12cm =
Imai12
Iabr12
− 1 = (479, 019
474, 683
− 1) ∗ 100% = 0, 91345 . . .%
Esse valor confere com o apresentado na tabela do IGP-DI, ao
final da apresentac¸a˜o, na coluna variac¸a˜o percentual mensal. E´
como se o ı´ndice de abril correspondesse ao prec¸o do u´ltimo dia
do meˆs de abril, assim como o ı´ndice de maio ao u´ltimo dia do
meˆs de maio. Confrontando os dois ı´ndices teremos a taxa de
inflac¸a˜o do meˆs de maio.
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 3- Calcular a taxa de inflac¸a˜o mensal ocorrida em
agosto de 2013, pelo IGP-DI/FGV.
iago13cm =
Iago13
Ijul13
− 1 = (515, 688
513, 313
− 1) ∗ 100% = 0, 46 . . .%
Voceˆ pode utilizar o recurso financeiro:�� ��clear fin �� ��END
515.688
�� ��FV
513.313
�� ��CHS �� ��PV
1
�� ��n�� ��i ⇒ 0,46268066 . . .
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 4- Calcular a taxa de inflac¸a˜o acumulada no ano,
pelo IGP-DI/FGV, ate´ o meˆs de julho de 2013 inclusive.
i jan−jul13cm =
Ijul13
Idez12
− 1 = (513, 313
503, 283
− 1) ∗ 100% = 1, 9929145 . . .%
Voceˆ pode utilizar o recurso financeiro:�� ��clear fin �� ��END
513.313
�� ��FV
503.283
�� ��PV
1
�� ��n�� ��i ⇒ 1,9929145. . .
Voceˆ confrontou o ı´ndice do meˆs de jul/13 com o de dez/12 uma vez que esse
u´ltimo representa o u´ltimo dia de 2012, logo o in´ıcio de 2013. O valor encontrado
consta na coluna variac¸a˜o % no ano da tabela do IGP-DI, ao final da
apresentac¸a˜o.
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Observac¸o˜es:
Os ı´ndices publicados sa˜o mensais;
Em geral os ı´ndices sa˜o considerados como se referissem
ao u´ltimo dia do meˆs, mas nem sempre essa regra e´
respeitada
Nos casos em que as datas referenciam apenas o meˆs,
considera-se como se fosse o u´ltimo dia do meˆs
Voceˆ deve notar que calcular a inflac¸a˜o de um
determinado per´ıodo na˜o pode ser feito pelo simples
somato´rio das inflac¸o˜es mensais; deve isso ao fato que as
taxas de inflac¸a˜o mensais sa˜o cumulativas como se fosse
juros compostos
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 5- Um imo´vel foi adquirido em junho de 2012 pelo
valor de R$ 150.000,00. Seu proprieta´rio deseja vendeˆ-lo pelo
valor de compra atualizado monetariamente para o meˆs de
agosto de 2013, pela variac¸a˜o do IGP-DI/FGV. Calcular o valor
de venda do imo´vel.
Dados:
Valorhistorico=150.000,00
Valoratualizado=?
Datacompra=jun12⇒ i igp−dicompra=482,311
Datavenda=ago13 ⇒ i igp−divenda =515,688
Soluc¸a˜o:
Valoratualizado = Valorhistorico .(1 + icm)
i jul12−ago13cm =
Iago13
Ijun12
− 1=(515,688482,311 − 1) ∗ 100%=6,92022. . .%
Valoratualizado = 150.000.(1 + 0, 0692022)=160.380,335510. . .
Resposta: R$ 160.380,34
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Uma outra forma de resolver o problema e´:
Valoratualizado = Valorhistorico .(1 + icm)
i jul12−ago13cm = (
Iago13
Ijun12
− 1)
Valoratualizado = Valorhistorico .(1 + (
Iago13
Ijun12
− 1))
Valoratualizado = Valorhistorico .
Iago13
Ijun12
Valoratualizado =
Valorhistorico
Ijun12
.Iago13
Valoratualizado =
150.000
482,311
.515, 688=160.380,335510. . .
Resposta: R$ 160.380,34
Usando a calculadora:
RPN ALG
150000
�� ��ENTER 150000 �� ��÷
482.311
�� ��÷ 482.311 �� ��×
513.313
�� ��× 513.313 �� ��=⇒ 160.380,335510 . . . ⇒ 160.380,335510 . . .
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Sobre o exemplo voceˆ deve observar que:
Considera-se o dia 31 de junho de 2012 como a data da
compra
Logo a correc¸a˜o moneta´ria abrange integralmente o
per´ıodo que vai do meˆs de julho/2012 a ago/2013,
incluindo os meses das extremidades;
Dividir o valor histo´rico pelo ı´ndice da data da compra e
apo´s multiplicar pelo ı´ndice do meˆs da venda e´ uma
operac¸a˜o relativamente simples e muito utilizada na
pra´tica (ver em Zot, 2008, pp. 162-172)
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Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 6- Calcular as taxas de inflac¸a˜o, anual e me´dia mensal, ocorridas no ano
de 2010, pelo IGP-M/FGV.
i jan2010−dez2010cm = (
Idez2010
Idez2009
− 1) = (1083, 6227
973, 4128
− 1) ∗ 100% = 11, 32201 . . .%a.a.
i¯2010cm = (
Idez2010
Idez2009
)
1
12 − 1 = ((1083, 6227
973, 4128
)
1
12 − 1) ∗ 100% = 0, 897813 . . .%a.m.
Voceˆ pode utilizar o recurso financeiro:
taxa% taxa% taxa% taxa%
anual anual me´dia mensal me´dia mensal
FIN RPN FIN RPN�� ��clear fin �� ��END 1083.6227�� ��ENTER �� ��clear fin �� ��END 1083.6227�� ��ENTER
1083.6227
�� ��FV 973.4128 �� ��÷ 1083.6227 �� ��FV 973.4128 �� ��÷
973.4128
�� ��CHS 1 �� ��- 973.4128 �� ��CHS 12 �� ��1/x �� ��yx�� ��PV 1 �� ��n 100 �� ��× �� ��PV 12 �� ��n 1 �� ��-�� ��i ⇒ 11,32201. . . ⇒ 11,32201. . . �� ��i ⇒ 0,897813. . . 100 �� ��×⇒ 0,897813. . .
Matema´tica
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Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
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Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
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Uso das tabelas
Como calcular a taxa de inflac¸a˜o ocorrida atrave´s da leitura dos ı´ndices
Exemplo 7- Calcular as taxas de inflac¸a˜o, acumulada trimestral e me´dia mensal,
ocorridas no terceiro trimestre de 2012, pelo IGP-DI/FGV.
i jul2012−set2012cm = (
Iset2012
Ijun2012
−1) = (500, 314
482, 311
−1)∗100% = 3, 7326538271 . . .%a.t.
i¯3trimestre2012cm = (
Iset2012
Ijun2012
)
1
3−1 = ((500, 314
482, 311
)
1
3−1)∗100% = 1, 229054080 . . .%a.m.
Voceˆ pode utilizar o recurso financeiro:
taxa% taxa% taxa% taxa%
trimestral trimestral me´dia mensal me´dia mensal
FIN RPN FIN RPN�� ��clear fin �� ��END 500.314�� ��ENTER �� ��clear fin �� ��END 500.314�� ��ENTER
500.314
�� ��FV 482.311 �� ��÷ 500.314 �� ��FV 482.311 �� ��÷
482.311
�� ��CHS 1 �� ��- 482.311 �� ��CHS 3 �� ��1/x �� ��yx�� ��PV 1 �� ��n 100 �� ��× �� ��PV 3 �� ��n 1 �� ��-�� ��i ⇒ 3,7326538. . . ⇒ 3,7326538. . . �� ��i ⇒ 1,229054. . . 100 �� ��×⇒ 1,229054. . .
Matema´tica
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Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Exemplo 8- O proprieta´rio de um imo´vel adquirido em maio de 2009, pelo valor
de R$ 270.000,00, deseja vendeˆ-lo em fevereiro de 2013, 20% acima do valor
atualizado monetariamente pelo IGP-M/FGV. Calcular o valor de venda do
imo´vel.
Dados:
ireal = 20%
Valorvenda=? Valorhistorico=270.000,00
Datacompra=mai09 ⇒ i igp−mcompra=979,1034
Datavenda=fev13 ⇒ i igp−mvenda =1235,5777
Soluc¸a˜o:
Valorvenda=Valoratualizado .(1 + ireal )
Valoratualizado = Valorhistorico .(1 + icm)
Valorvenda=Valorhistorico .(1 + icm).(1 + ireal )
i jun09−fev13cm =
Ifev13
Imai09
− 1=( 1235,5777
979,1034
− 1) ∗ 100%=26,19481. . .%
Valorvenda = 270.000.(1 + 0, 2619481)˙.(1 + 0, 20)=408.871,19256. . .
Resposta: R$ 408.871,19
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Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
Refereˆncias
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
”A taxa aparente (chamada nominal nas transac¸o˜es financeiras e comerciais) e´
aquela que vigora nas operac¸o˜es correntes. A taxa real e´ calculada depois de
serem expurgados os efeitos inflaciona´rios.”(Samanez, 2002, pp. 67)
As taxas aparente e real se relacionam pela Fo´rmula de Fischer(*):
(1 + iaparente) = (1 + icm).(1 + ireal )
No exemplo anterior temos:
(1 + iaparente) = (1 + icm).(1 + ireal ) = (1 + 0, 2619481)˙.(1 + 0, 20) =
(1 + 0, 51433775 . . . )
Valorvenda = Valorhistorico .(1 + iaparente) =
Valorvenda = 270.000.(1 + 0, 51433775 . . . ) = 408.871, 19256 . . .
(*) Fo´rmula ou Efeito de Fischer e´ atribu´ıda ao economista e estat´ıstico
americano Irving Fischer, considerado um dos fundadores da corrente
macroeconomica denominada monetarista.
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Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
Refereˆncias
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Em geral, a Fo´rmula de Fischer
((1 + iaparente) = (1 + icm).(1 + ireal)) e´ aplicada em duas
situac¸o˜es:
quando desejamos calcular uma taxa aparente a partir do
conhecimento da taxa de inflac¸a˜o ou correc¸a˜o moneta´ria(icm) e da taxa real de juros (ireal):
iaparente = (1 + icm).(1 + ireal)− 1
quando se quer conhecer a taxa real de uma operac¸a˜o
financeira conhecidas as taxas aparente e de inflac¸a˜o:
ireal =
(1+iaparente)
(1+icm)
− 1
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Os contratos de operac¸o˜es de empre´stimos, no que diz respeito
a` correc¸a˜o moneta´ria, sa˜o classificados em dois tipos:
com correc¸a˜o moneta´ria pre´-fixada: aqueles em que na˜o
ha´ menc¸a˜o expl´ıcita de crite´rio de correc¸a˜o; a correc¸a˜o
moneta´ria e´ estimada a priori ; atualmente a maioria das
operac¸o˜es de empre´stimos de curto prazo (ate´ um ano)
sa˜o pre´-fixadas;
com correc¸a˜o moneta´ria po´s-fixada: aqueles em que os
saldos sa˜o atualizados monetariamente, a posteriori
(de Lima Puccini, 2009, pp. 253), atrave´s de algum ı´ndice
de prec¸os identificado no contrato; os valores em reais
somente sa˜o conhecidos apo´s a publicac¸a˜o do respectivo
ı´ndice de cada data.
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prec¸os
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Exemplo 9- Na de´cada de 1970, a poupanc¸a rendia 0,5% a.m. sobre o saldo
corrigido pelo IGP-DI. Sabendo-se que, num determinado meˆs a taxa de inflac¸a˜o
medida pelo IGP-DI foi de 10%, calcular a taxa de remunerac¸a˜o da poupanc¸a
naquele meˆs.
Dados:
ireal = 0, 5%
icm = 10%
iaparente=?
Soluc¸a˜o:
iaparente = (1 + icm).(1 + ireal )− 1
iaparente = (1 + 0, 10).(1 + 0, 005)− 1 = 0, 1055 · · · = 10, 55 . . .%
Resposta: 10,55% a.m.
Voceˆ deve observar que, para o pu´blico em geral, a remunerac¸a˜o ou os
rendimentos, em geral se referem a taxas aparentes.
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Exemplo 10- Na de´cada de 90, antes do Plano Real lanc¸ado pelo Governo Itamar,
uma aplicac¸a˜o financeira de $ 1.000,00 se converteu, apo´s um ano, em $
3.000,00. Sabendo-se que a taxa de inflac¸a˜o me´dia mensal foi de 11% a.m.
calcule a taxa real mensal de juros da referida aplicac¸a˜o.
Dados:
P=1.000
S=3.000
n=12m
ireal =?%a.m.
icm = 11%a.m.
Soluc¸a˜o:
ireal =
(1+iaparente )
(1+icm)
− 1
iaparente = (
S
P
)
1
n − 1 = ( 3000
1000
)
1
12 − 1 = 0, 09587 . . .
ireal =
(1+0,09587... )
(1+0,11)
− 1 = −0, 012727 · · · = −1, 2727 . . .%
Resposta: -1,27% a.m.
Em e´pocas de alta inflac¸a˜o e´ muito frequente se encontrar situac¸o˜es como o do
exemplo onde a taxa real foi negativa, ou seja, a pessoa que aplicou durante um
ano, recebe um montante com menor poder de compra que o principal investido.
O exemplo e´ tirado de um caso real.
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Exemplo 11- O dono de uma loja de vestua´rio que financia seus clientes pelo
cre´dito direto ao consumidor solicita que voceˆ fornec¸a um coeficiente para
calcular anuidades com 3 prestac¸o˜es postecipadas. E´ exigeˆncia do lojista uma
remunerac¸a˜o real de 0,5% ao meˆs. Conside a taxa de inflac¸a˜o me´dia de 1% ao
meˆs.
Dados:
P=1 (as anuidades obtidas a partir do principal igual a R$ 1,00 sa˜o utilizadas
como coeficientes (cf. to´pico de Anuidades)
n =3 p.m.post.
ireal = 0, 5%(0, 005)a.m.
icm=1% (0,01) a.m.
Soluc¸a˜o:
R = P.
iaparente .(1+iaparente )
n
(1+iaparente )n−1
observe que a taxa para anuidades, utilizada na primeira a´rea, na˜o levava em
conta a inflac¸a˜o nela embutida; por isso ela esta´ sendo agora considerada taxa
aparente.
iaparente = (1+ icm).(1 + ireal )− 1 = (1+ 0, 01).(1 + 0, 005)− 1 = 0, 01505000 . . .
R = 1.
0,01505....(1+0,01505... )3
(1+0,01505... )3−1 = 0, 3434166 . . .
Resposta: 0,3434
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Usando a calculadora:
RPN FIN
1.01
�� ��ENTER
1.005
�� ��×
1
�� ��-
iaparente ⇒ 0,01505000. . .
100
�� ��×
iaparente ⇒ 1,505000. . .%
1.01505
�� ��ENTER �� ��clear fin �� ��END
3
�� ��n �� ��yx 1 �� ��PV
.01505
�� ��× 3 �� ��n
1.01505
�� ��ENTER 1.505 �� ��i
3
�� ��n �� ��yx �� ��PMT �� ��CHS
1
�� ��- �� ��÷ Coeficiente ⇒ 0,3434166. . .
Coeficiente ⇒ 0,3434166. . .
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Tabelas de
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Exemplo 12- Um empresa´rio descontou duplicatas no valor de R$ 45.000,00, 60
dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto banca´rio simples de 5% ao
meˆs. Sabendo que a taxa me´dia de inflac¸a˜o e´ de 2,3% ao meˆs calcule a taxa
impl´ıcita real mensal de juros (taxa efetiva real) da operac¸a˜o.
Dados:
S=45.000
n =60d=2m
d=5% (0,05) a.m.
icm=2,3% (0,023) a.m.
Soluc¸a˜o:
ireal =
(1+iaparente )
(1+icm)
− 1
iaparente = iefetiva = (
S
P
)
1
n − 1
Observe que, nas operac¸o˜es de desconto, a taxa efetiva ou impl´ıcita de juros, no
to´pico de descontos, e´ uma taxa aparente, uma vez que engloba a inflac¸a˜o.
P = S.(1− d .n) = 45.000x(1− 0, 05x2) = 40.500
iaparente = (
S
P
)
1
n − 1 = ( 45.000
40.500
)
1
2 − 1 = 0, 0540925534 . . .
ireal =
(1+iaparente )
(1+icm)
− 1 = (1+0,0540925534... )
(1+0,023)
− 1 =
ireal = 0, 0303935028 · · · = 0, 0303935028 . . . x100% = 3, 03935028 . . .%
Resposta: 3,04% a.m.
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Fo´rmula de Fischer
Taxas aparente, de correc¸a˜o moneta´ria e real
Usando a calculadora:
RPN FIN
45000
�� ��ENTER
1
�� ��ENTER
.05
�� ��ENTER
2
�� ��× �� ��- �� ��×
P ⇒ 40.500,0000. . .
45000
�� ��ENTER �� ��clear fin
40500�� ��÷ 40500 �� ��PV
2
�� ��1/x �� ��yx 45000 �� ��CHS �� ��FV
1
�� ��- 2 �� ��n �� ��i
iaparente ⇒ 0,0540925534. . . iaparente ⇒ 5,40925534. . .%
1.0540925534
�� ��ENTER
1.023
�� ��÷
1
�� ��-
100
�� ��×
ireal ⇒ 3,03935028 . . .%
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Tabela 1 - IGP-DI/FGV: dez-2011 a ago-2013
Ano Meˆs I´ndice Var. % a.m. Var.% no ano Var.% em 12 m
2011 dez 465,586 -0,16 5,00 5,00
2012 jan 466,979 0,30 0,30 4,29
fev 467,308 0,07 0,37 3,38
mar 469,910 0,56 0,93 3,32
abr 474,683 1,02 1,95 3,86
mai 479,019 0,91 2,89 4,80
jun 482,311 0,69 3,59 5,66
jul 489,621 1,52 5,16 7,31
ago 495,949 1,29 6,52 8,04
set 500,314 0,88 7,46 8,17
out 498,739 -0,31 7,12 7,41
nov 499,989 0,25 7,39 7,22
dez 503,283 0,66 8,10 8,10
2013 jan 504,830 0,31 0,31 8,11
fev 505,832 0,20 0,51 8,24
mar 507,375 0,31 0,81 7,97
abr 507,087 -0,06 0,76 6,83
mai 508,715 0,32 1,08 6,20
jun 512,598 0,76 1,85 6,28
jul 513,313 0,14 1,99 4,84
ago 515,688 0,46 2,46 3,98
Fonte: Revista Conjuntura Econoˆmica, vol.67, no. 10, outubro 2013.
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Tabela 2 - IGP-M/FGV: jan-2009 a out-2013
Contratos de alugue´is, reajustes de energia ele´trica, etc.
Meˆs 2009 2010 2011 2012 2013
jan 986,0130 979,5453 1092,1834 1141,7102 1232,0049
fev 988,5767 991,1039 1103,1052 1141,0252 1235,5777
mar 981,2612 1000,4203 1109,9445 1145,9316 1238,1724
abr 979,7893 1008,1235 1114,9392 1155,6720 1240,0296
mai 979,1034 1020,1202 1119,7334 1167,4599 1240,0296
jun 978,1243 1028,7912 1117,7179 1175,1651 1249,3299
jul 973,9183 1030,3344 1116,3767 1190,9123 1252,5781
ago 970,4123 1038,2680 1121,2887 1207,9424 1254,4570
set 974,4880 1050,2081 1128,5771 1219,6594 1273,2738
out 974,9753 1060,8152 1134,5586 1219,9033 1284,2240
nov 975,9503 1076,1970 1140,2313 1219,5374
dez 973,4128 1083,6227 1138,8631 1227,8302
Fonte: Site do Portal Brasil: http://www.portalbrasil.net/igpm.htm
Matema´tica
Financeira
Introduc¸a˜o
Correc¸a˜o
Moneta´ria
Indexadores
Uso das
tabelas
Fo´rmula de
Fischer
Tabelas de
prec¸os
Refereˆncias
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Refereˆncias I
de Faro, C. and G. Lachtermacher (2012). Introduc¸a˜o a`
matema´tica financeira. Saraiva.
de Lima Puccini, A. (2009). Matema´tica financeira: objetiva e
aplicada. (8a. ed.). Saraiva.
de Oliveira, C. M. (2001). Limite constitucional dos juros
banca´rios. LZN Editora.
Samanez, C. P. (2002). Matema´tica financeira: aplicac¸o˜es a`
ana´lise de investimentos. (3a. ed.). Prentice Hall.
Vian, C., A. Pellegrino, and C. de Paiva (2005). Economia :
fundamentos e pra´ticas aplicados a` realidade brasileira.
Al´ınea.
Zot, W. D. (2008). Matema´tica financeira (5a. ed.). Porto
Alegre: Editora da UFRGS.
	Introdução
	Correção Monetária
	Indexadores
	Uso das tabelas
	Fórmula de Fischer
	Tabelas de preços