APOSTILA EXERCICIO

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Universidade Federal de Uberlândia 
 
 
 
 
Exercícios propostos de 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO PIBEG 
 
 
1ª Edição: Renata Cristina de Castro Gomide 
 Luciano Barros da Silva 
2ª Edição: Tassiana Cristina de Ávila Ribeiro 
 Igor Souza Dotta 
 
 
Profª. Eliane Regina Flores Oliveira 
 1
ÍNDICE 
 
 
Unidade 1 – Solicitação Axial --------------------------------------------------------- 2 
Tubo de Parede Fina ----------------------------------------------------------- 10 
Unidade 2 – Cisalhamento Puro ----------------------------------------------------- 14 
Unidade 3 – Estudo das Tensões em um ponto ------------------------------------ 19 
Unidade 4 – Torção 
 Torção – Seção Circular ------------------------------------------------------- 24 
Torção – Seção Retangular --------------------------------------------------- 29 
Molas Helicoidais---------------------------------------------------------------- 30 
Transmissão de Potência ------------------------------------------------------- 32 
Unidade 5 – Flexão 
 Flexão Simples ----------------------------------------------------------------- 34 
 Flexão Composta --------------------------------------------------------------- 38 
Tensões Combinadas ----------------------------------------------------------- 42 
Unidade 6 – Deflexão------------------------------------------------------------------- 48 
 
Respostas -------------------------------------------------------------------------------- 61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
UNIDADE 1 – SOLICITAÇÃO AXIAL 
 
 
1 – Três barras iguais, são articuladas entre si e nas extremidades, como indica a 
figura. Determinar a força normal em cada barra, proveniente de P, e o 
deslocamento vertical de seu ponto de aplicação. As barras têm o mesmo 
comprimento, a mesma área de seção transversal e são de mesmo material. 
D
B C
A
P
60,0
°
120
° 12
0°
 
2 – Os arames de aço BE e DF, com 25 mm de diâmetro (E = 2×106 Kgf/cm²), 
estão esticados na ocasião da aplicação da força de 200 Kgf em C. Considerando 
a barra AD rígida, determinar: 
a) A tensão em cada arame; 
b) O deslocamento do ponto C. 
1 m 1 m 1 m
A B C D
F
E
200Kgf
0,
4 
m
0,
5 
m
 
 
 
 
 3
3 – Seja uma barra ABC, considerada rígida, articulada em A e fixada em C 
através de um tirante de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²). A área de seção transversal 
para o tirante de aço é 2 cm² e do bloco de alumínio (E = 0,7×106 Kgf/cm²) é 
6 cm². Sabendo-se que as tensões normais admissíveis para o aço e para o 
alumínio valem 1400 Kgf/cm² e 600 Kgf/cm², pede-se determinar o maior valor 
que P pode assumir respeitando os limites estabelecidos nas tensões de projeto. 
0.005 cm
A
P
C
D
B
10 cm
50 cm
40 cm30 cm30 cm
 
4 – Um tubo de aço (E = 30×106 psi, α = 6,5×10-6 /°F), de diâmetro externo 
igual a 2” e diâmetro interno igual a 1 ¾”, está envolvendo um cilindro de latão 
(E = 14×106 psi, α = 10,4×10-6 /°F), de 1 ½” de diâmetro. Ambos estão ligados 
a placas rígidas nas extremidades. À temperatura de 80 °F as tensões normais 
são nulas. Se elevar a temperatura à 250 °F, qual a tensão normal no aço e no 
latão? 
2"1 1/2"1 3/4"
Latão
Aço
 
 
 
 4
5 – Uma barra é composta de uma placa de aço (E = 30×106 psi) e duas placas 
de cobre (E = 13×106 psi). As extremidades estão unidas a placas rígidas, e o 
conjunto está submetido a uma carga normal axial de tração P. Todas as barras 
tem 4” de largura. A barra de aço tem ¾” de espessura e as barras de cobre tem 
¼” de espessura cada. A resistência do aço é de 80.000 psi e do cobre é 30.000 
psi. Adotando um coeficiente de segurança igual a 3, determinar o máximo valor 
que P pode assumir. 
P P
 
6 – A barra rígida AD é articulada em A e nas extremidades B e D das barras 
BC de latão e DE de aço. A temperatura de BC diminui de 20°C e a temperatura 
de DE aumenta de 20°C. Desprezada a influência do peso próprio e a 
possibilidade de flambagem, pede-se as tensões normais nas barras BC e DE. 
DADOS: 
Latão – A = 6 cm² ; E = 0,98×106 Kgf/cm² ; α = 18,7×10-6 /°C 
Aço – A = 3 cm² ; E = 2,1×106 Kgf/cm² ; α = 11,7×10-6 /°C 
25 cm
30 cm
40 cm25 cm
E
D
C
BA
 
 
 5
7 – No sistema da figura abaixo, os tirantes A e C, e o bloco B, são extensíveis e 
os cotovelos D e E são considerados rígidos. Determinar o máximo valor que a 
carga P pode assumir, se as tensões normais axiais, não devem exceder a 1.400 
Kgf/cm² para o material A e 200 Kgf / cm² para o material B. 
DADOS: Material A – Aço: A = 3 cm² ; E = 2,1×106 Kgf/cm² 
 Material B – Concreto: A = 4 cm² ; E = 0,14×106 Kgf/cm² 
 Material C – Latão: A = 1 cm² ; E = 1×106 Kgf/cm² 
 
8 – O corpo rígido de peso P da figura é suportado por uma barra de aço de 20 ft 
de comprimento. O corpo pende na posição indicada quando a temperatura é de 
120 °F. Determinar o maior valor que P pode assumir se a tensão normal na 
barra de aço não pode exceder de 20.000 psi, quando a temperatura reduz a 
20°F. 
DADOS: α = 6,5×10-6 /°F 
 E = 30×106 psi 
 Diâmetro da barra de aço = 0,2 in 
0,1 in
0.2 in
20 ft
anteparoanteparo
P
 
 6
9 – Os parafusos de aço (E = 2×106 Kgf/cm²) BE e CD, com 16 mm de 
diâmetro, são rosqueados nas extremidades com rosca de 2,5 mm de passo. 
Após ser perfeitamente ajustada a rosca em C é apertada uma volta. Determinar: 
a) A tensão no parafuso CD; 
b) O deslocamento do ponto C da barra rígida ABC. 
E
D C
B
A
2 m 3 m
25 cm
40 cm
 
10 – Um cilindro de alumínio e outro de bronze, perfeitamente centrados, são 
presos entre placas rígidas que se podem apertar tensionando os eixos de aço, 
como se observa na figura. Determinar as tensões que aparecem no alumínio e 
no bronze e a tensão normal nos eixos de aço, quando se aperta os eixos de aço 
girando a porca de uma volta. O passo da rosca do parafuso (eixo de aço) é de 
0,1 cm. 
DADOS: Alumínio - A = 12 cm² ; E = 0,7×106 Kgf/cm² 
 Bronze - A = 18 cm² ; E = 0,84×106 Kgf/cm² 
 Aço - A = 4,5 cm² para cada eixo ; E = 2,1×106 Kgf/cm² 
312 cm9 cm3
Alumínio Bronze
 
 
 7
 
11 – A barra rígida, horizontal, AB é presa em três barras verticais como se 
mostra na figura. O peso próprio das barras é desprezível e não há tensões, antes 
da aplicação da carga de 12 t. A barra central é de latão, a da esquerda é de aço e 
a da direita é de cobre. Admita-se que, ao aplicar a carga de 12 t, se acresça a 
temperatura das barras de 22,5°. Pede-se: 
a) A tensão em cada barra, sabendo-se que, quando assim solicitada, a posição 
final de AB é horizontal; 
b) A posição x da carga de 12t. 
DADOS: 
Latão Aço Cobre 
l = 2 m l = 3 m l = 2,5 m 
A = 3,5 cm² A = 1,5 cm² A = 2 cm² 
E = 0,98×106 Kgf/cm² E = 2,1×106 Kgf/cm² E = 1,19×106 Kgf/cm² 
α = 18,7×10-6 /°C α = 11,7×10-6 /°C α = 16,7×10-6 /°C 
BA
12 t
x
60 cm90 cm
CobreLatão
Aço
 
 
 
12 – Na figura a barra BCD é rígida. Determinar a seção transversal do cabo 
AB, se a tensão admissível do mesmo é 2000 Kgf/cm². 
DADOS: l = 200 cm 
 K = 10.000 Kgf/cm 
 EAB = 2,1×106 Kgf/cm² 
 P = 1000 Kgf 
 8
D
C
PA
B
2,5 l
 l
 l
 
 
13 – Para o sistema mostrado, a barra C e o suporte D são considerados rígidos. 
Os parafusos A e B são de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), com mesma área de 
seção transversal A = 1 cm². Pede-se: 
a) Determinar as tensões normais que aparecerão nos pinos A e B quando a 
porca no topo do pino B sofrer o avanço de uma volta. O passo da porca em 
referência é de 0,1 cm; 
b) Quanto deveria avançar a porca B (a partir da posição inicial) de modo a 
induzir uma tensão axial de 2000 Kgf/cm² no pino A e quais seriam as 
deformações axiais nos pinos A e B? 
 
 
 
 
 
 
 
 9
14 - A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apóia no cilindro 
de latão BD de 30 mm de diâmetro. Um parafuso de 22 mm de diâmetro, passa 
por um furo na barra em C, e é fixo por uma porca simplesmente ajustada. A 
montagem feita à temperatura de 20°C, não leva nenhuma tensão à estrutura. A 
temperatura do cilindro de latão é aumentada para 50°C, enquanto o parafuso, 
tem sua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condições 
a tensão normal no cilindro de latão e a tensão normal no parafuso de aço. 
DADOS: Barra AC: Aço – E = 200×109 Pa ; α = 12×10-6 /°C 
 Cilindro BD: Latão – E = 105×109 Pa ; α = 18,8×10-6 /°C 
 
 
0,45 m 0,3 m
0,9 m 0,3 m
A
B
C
D
E
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10
TUBO DE PAREDE FINA 
 
 
1 – Seja um tubo de alumínio (E = 0,7×106 Kgf/cm²), revestido com um tubo de 
aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), coaxialmente. À temperatura ambiente os dois tubos 
se ajustam perfeitamente (sem folga e sem pressão entre os mesmos). 
Determinar: 
a) A pressão que aparecerá entre os dois tubos, se elevar a temperatura de 20 °C; 
b) A tensão circunferencial em cada tubo. 
DADOS: αalumínio = 23×10-6 /°C 
 αaço = 11,7×10-6 /°C 
 
 
2 – São dados dois tubos com as seguintes características: 
Tubo A: Material: aço Tubo B: Material: latão 
 E = 2,1×106 Kgf/cm² E = 1×106 Kgf/cm² 
 Espessura: e A = 0,6 cm Espessura: e B = 0,8 cm 
 r int = r A = 49,9 cm r ext = r B = 50 cm 
Pede-se: 
a) A pressão de contato entre os dois tubos, quando se introduz o tubo B ao 
A; 
b) Tensões normais circunferenciais atuantes nos tubos A e B. 
c) Substituindo o anel interno por um disco maciço, determinar as novas 
tensões (ν = 0,3). 
 11
 
3 – O depósito da figura abaixo é construído com chapas de espessura igual a 3 
mm. Sabendo-se que o mesmo está sujeito a uma pressão interna de 12 Kgf/cm², 
pede-se as tensões que atuam nas paredes do depósito. 
60 cm
50
 
cm
 
4 – Um bastidor (equipamento utilizado para pressionar tecido) é formado por 
dois anéis, que quando soltos, têm as seguintes dimensões: 
o menor: espessura eA e raio rA 
o maior: espessura eB e raio rB 
Conhece-se o módulo de elasticidade (E = 1×105 Kgf/cm²) do material dos anéis 
e a distância que deve mediar entre eles, quando apertam o tecido com a pressão 
exigida p. 
Pergunta-se qual deve ser o valor rB, sendo conhecido rA . 
DADOS: eA = eB = 0,5 cm 
 rA = 20 cm 
 p = 6,0 Kgf/cm² 
 d = 0,2 cm 
 12
 
5 – Um tubo de cobre (E = 1,2×106 Kgf/cm²), com raio externo de 30 cm, é 
revestido coaxialmente, por um tubo de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²). Após a 
operação de encaixe do tubo de cobre e o tubo de aço, aparece entre os dois 
tubos uma pressão de contato igual a 10 Kgf/cm². Pergunta-se: qual é o valor do 
raio interno do tubo de aço? 
DADOS: Espessura do tubo de cobre = 0,8 cm 
 Espessura do tubo de aço = 0,6 cm 
Aço
Cobre
 
 
 
6 – Um cilindro é envolvido por um tubo de parede fina de outro material. Qual 
é a tensão entre o cilindro e o tubo quando se aplica à extremidade do cilindro 
uma tensão de compressão de 100 Kgf/cm². 
DADOS: r = 15 cm 
Cilindro: E = 210 t/cm² Tubo: E = 2100 t/cm² 
 ν = 1/6 e = 0,75 cm 
 
 13
 
 
7 – A figura mostra um tanque de parede fina com espessura (e) igual 0,5 cm, 
utilizado para armazenar gás a uma pressão interna de 10 Kgf/cm². Sabendo-se 
que o material da chapa desse tanque é aço, com tensão normal admissível igual 
a 1400 Kgf/cm². Determine o maior valor que a dimensão d pode assumir. 
DADOS: r = 25 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 14
UNIDADE 2 – CISALHAMENTO PURO 
 
 
1 – Determinar a força P necessária para produzir um furo de 2,5 cm de 
diâmetro na chapa de aço ao lado, cuja espessura é de 3/8”. A chapa de aço em 
referência tem limite de resistência ao cisalhamento de 3.160 Kgf/cm². 
Se G = 0,84×106 Kgf/cm², qual a deformação angular no contorno do furo, no 
instante em que a tensão de cisalhamento for igual a 1.500 Kgf/cm². 
 
2 – Seja um pino com diâmetro de 1,2 cm, sujeito a carga a 2.000 Kgf. 
Pede-se: 
a) A tensão normal; 
b) A tensão tangencial. 
 
 
 
 
 
 
 15
3 – Determinar a tensão de cisalhamento no pino. 
 
4 – Um eixo de aço, com diâmetro de 3 cm é acoplado à polia, através de uma 
chaveta, como mostra a figura. O sistema de correias que produzem certa 
rotação dá origem a um momento igual a 4.000 Kgf×cm. Determinar a tensão 
cisalhante na chaveta. 
3 cmT2 T1
2 cm
0,4
0,
6
 
5 – O dispositivo mostrado é empregado para determinar a resistência ao 
cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é 1.250 
Kgf, qual a tensão média de cisalhamento na junta, por ocasião da ruptura? 
1,5"
0,5"
P
 
 16
6 – A transmissão da carga P = 15.000 lb, do mecanismo abaixo ilustrado, é 
feito através de dois pinos de mesmo diâmetro. Sabendo-se que a tensão 
admissível ao cisalhamento dos pinos é de 12.000 psi, determinar qual deve ser 
o diâmetro de cada pino. 
 
 
 
 
 
 
7 – Para o sistema articulado, pede-se: 
a) O valor de P para manter o mesmo em equilíbrio; 
b) A tensão de cisalhamento no pino. 
 
 
 
 
 
 17
8 – No suporte da figura, a haste ABC tem, na parte superior 9 mm de espessura, 
e na parte inferior 6 mm de espessura de cada lado. Uma resina a base de epoxy 
é usada para colar as partes superiores e inferiores da haste, no ponto B. Os 
pinos no ponto A e C têm 9 mm e 6 mm de diâmetro, respectivamente. 
Determinar: 
a) A tensão de cisalhamento no pino A; 
b) A tensão de cisalhamento no pino C; 
c) A maior tensão normal na haste ABC; 
d) A tensão média de cisalhamento nas superfícies coladas no ponto B. 
A
D
B
C
E
2200 N
152 mm
45 mm
178 mm
25 mm
12 mm
32 mm
 
 
9 – Na estrutura de aço mostrada, um pino de 6 mm de diâmetro é usado em C, 
enquanto que em B e D usam-se pinos de 10 mm de diâmetro. A tensão de 
cisalhamento para todas as ligações é de 150 MPa, e a tensão normal é de 400 
MPa na viga BD. Sendo o coeficiente de segurança igual a 3 determine a maior 
carga P que pode ser aplicada em A. 
 
 18
 
10 – O esquema abaixo representa um trem de pouso de avião, AB forma um 
ângulo de 53° com BC. 
a) Determinar a tensão de compressão na barra AB, produzida na aterrissagem 
por uma reação no solo de 2000 Kgf. 
b) Os pinos A e B trabalham a corte duplo e o pino em C a corte simples. 
Determinar os diâmetros necessários se a tensão cisalhante admissível é de 560 
Kgf/cm². 
 
 
11 – A figura abaixo mostra a união de um apoio de uma estrutura de madeira. 
Pede-se determinar o menor valor que a dimensão b pode assumir, se atensão 
admissível ao cisalhamento da madeira é de 9 Kgf/cm². 
P = 4200 Kgf
b
15 cm
30°
 
 
 
 
 
 
 19
 
UNIDADE 3 – ESTUDO DAS TENSÕES EM UM PONTO 
 
 
1 – Para os estados de tensão esquematizados abaixo, pede-se: 
a) Esboçar o círculo de Mohr; 
b) Determinar as tensões normais principais; 
c) Determinar a máxima tensão tangencial; 
d) Posicionar as direções principais do ponto; 
e) Posicionar a direção da máxima tensão tangencial. 
600 Kgf/cm2 
1200 Kgf/cm2 
800 Kgf/cm2 300 Kgf/cm2 
500 Kgf/cm2 
400 Kgf/cm2 
60 MPa 
80 MPa 
30 MPa
 
2 – Um tubo de parede fina está submetido a uma pressão de 15 Kgf/cm². 
Sabendo-se que o raio do tubo é de 50 cm e sua espessura é de 2 cm, pede-se: 
a) Isolar um ponto e traçar o círculo de Mohr; 
b) As tensões principais; 
c) A máxima tensão tangencial. 
 
 
 20
3 – As tensões mostradas atuam em um ponto de um membro estrutural. A 
tensão principal de tração é conhecida, sendo de 1.200 Kgf/cm². Determine: 
a) A tensão tangencial máxima no ponto; 
b) A orientação dos planos nos quais a tensão do item ‘a’ atua; 
c) A tensão tangencial no plano horizontal. 
yx
800 Kgf/cm2
τ
 
 
4 – Em um ponto de uma região sob tensão, num plano vertical há uma tensão 
normal de 130 MPa de tração e uma tensão tangencial negativa desconhecida. A 
tensão principal máxima no ponto é de 150 MPa de tração e a tensão tangencial 
máxima tem uma magnitude de 100 MPa. Determinar as tensões desconhecidas 
nos planos vertical e horizontal, assim como as tensões principais num esboço. 
 
5 – Em um ponto de um corpo sob tensão, existem sobre os planos horizontal e 
vertical tensões, como na figura. As tensões principais no ponto são de 100 
MPaC e de 30 MPaT. Determine σx e σy e mostre sobre um esboço completo as 
tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto. 
σ
y
25 MPa
x
σ
 
 
 21
6 – A placa de seção transversal (3×5) cm² , é construída de duas peças de 
madeira coladas na direção indicada θ = 30º. Sabendo-se que esta placa está 
suportando uma carga P = 450 Kgf, conforme a figura pede-se: 
a) Determinar a tensão normal de tração no plano da seção transversal; 
b) Determinar a tensão normal e a tensão tangencial no plano da cola (plano θ), 
usando as propriedades do círculo de Mohr. 
5 cm
3 cm
cola
30°
P = 450 Kgf 
 
7 – Dado um tubo de parede fina, usado para armazenar gás a uma pressão 
interna de 12 Kgf/cm², com diâmetro médio de 0,8 m e cuja espessura do 
mesmo é de 0,6 cm. Pede-se determinar as tensões normal e tangencial atuantes 
no cordão de solda indicado. 
OBS: A espessura do cordão de solda é a mesma espessura da parede do tubo. 
 
 
 
y
z
x 
cordão de solda 
30°
 
 
 
 
 22
8 – O Círculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: 
a) Colocar as tensões no plano y e no plano x adequadamente; 
b) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante; 
c) Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante a 30° no sentido anti-horário 
em relação ao eixo y. 
120
80
x
y
σ0 C
y
x
30°
Ponto A
 
(Kgf/cm²) 
 
9 – Para o estado de tensão esquematizado abaixo, pede-se: 
a) Esboçar o círculo de Mohr; 
b) Determinar as tensões normais principais; 
c) Determinar a máxima tensão cisalhante; 
d) Posicionar as direções principais do ponto; 
e) Posicionar a direção da máxima tensão cisalhante. 
f) Usando as propriedades do círculo de Mohr, determinar a tensão normal e a 
tensão cisalhante a 65° no sentido anti-horário em relação ao eixo y. 
400 Kgf/cm2 
800 Kgf/cm2 
600 Kgf/cm2 
65°
x
y
 
 
 
 
 23
10 - Para o estado de tensão esquematizado abaixo, pede-se: 
a) Esboçar o círculo de Mohr; 
b) Determinar as tensões normais principais; 
c) Determinar a máxima tensão cisalhante; 
d) Posicionar as direções principais do ponto; 
e) Posicionar a direção da máxima tensão cisalhante. 
f) Usando as propriedades do círculo de Mohr, determinar a tensão normal e a 
tensão cisalhante a 45° no sentido anti-horário em relação ao eixo x. 
 
40 MPA
120 MPa 
150 MPa 
45°
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
UNIDADE 4 – TORÇÃO 
TORÇÃO – SEÇÃO CIRCULAR 
 
 
1 – Dado um eixo de aço (G = 0,84×106 Kgf/cm²) constituído de um trecho AB 
com diâmetro de 10 cm e um trecho BC com diâmetro de 7,5 cm. Pede-se: 
a) O valor de maior tensão tangencial para um ponto de uma seção de trecho 
AB; 
b) O valor de maior tensão tangencial para um ponto de uma seção de trecho 
BC; 
c) Determinar o ângulo de torção das seções B e C. 
90.000 Kgfxcm
60.000 Kgfxcm
CB
A
ø
70 cm100 cm
= 10 cm = 7,5 cmø
 
2 – Sabendo- se que = 900 Kgf/cm². Determinar o diâmetro d necessário ao 
eixo bi-engastado abaixo. 
 
 
 25
3 – Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial para 
o eixo mostrado. 
 
4 – Seja um eixo de seção circular vazada, sujeito à ação de um momento torçor 
T = 60.000 Kgf × cm e uma carga normal de tração de 20.000 Kgf. Para os 
pontos A e B pede-se: 
a) Maior tensão tangencial devido ao torçor; 
b) Maior tensão normal devido à carga normal; 
c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial. 
 
Dados: Ø ext = 6 cm 
 Ø int = 4 cm 
5 – Seja um eixo como o mostrado na figura. Pede-se: 
a) Calcular o ângulo de torção da extremidade livre (G = 0,84×106 Kgf/cm²); 
b) Identificar o ponto mais solicitado, e para este ponto determinar as tensões 
normais principais e a máxima tensão tangencial; 
c) Para este ponto, esboçar o círculo de Mohr. 
 26
40.000 Kgfxcm
60.000 Kgfxcm
30.000 Kgf
C
BA
ø = 4 cm= 6 cm
80 cm 40 cm
ø
 
6 – A barra de alumínio da figura tem G = 4.000 ksi e é rigidamente fixada em 
C. Mas o apoio A, permite uma rotação de 0,012 rd antes de se tornar rígido. 
Determinar o máximo torque que poderá ser aplicado em B se a tensão de 
cisalhamento não deve ultrapassar 7 ksi. 
6'
C
B
6"
T
A
3'
 
7 – Um eixo de seção circular vazada, com diâmetro externo igual a 5 cm e 
diâmetro interno igual a 3 cm, está carregado com uma carga normal axial de 
compressão e dois torçores, tal como mostra a figura. Pede-se: 
a) Diagrama de momento torçor; 
b) Diagrama de esforço normal; 
c) Valor do ângulo de torção da extremidade livre; 
d) Identificar o ponto mais crítico e, para este ponto, determinar as tensões 
normais principais e a máxima tensão tangencial; 
e) Para este ponto esboçar o círculo de Mohr. 
DADOS: G = 0,84×106 Kgf/cm². 
 
 27
50 cm80 cm
T2 = 11.000 Kgfxcm
C
N = 5.000 Kgf
T1 = 4.000 Kgfxcm
A B
 
 
 
8 – A figura abaixo, mostra um eixo de seção circular, sendo que parte do 
mesmo é de seção vazada (80 cm) e parte de seção maciça (50 cm). O mesmo 
está engastado na extremidade esquerda, e submetido aos seguintes 
carregamentos: Momento torçor T1 = 500 Kgf ×cm; 
 Momento torçor T2 = 1300 Kgf ×cm; 
 Carga Axial N = 20.000 Kgf 
O diâmetro externo do referido eixo, vale 6 cm e o diâmetro interno vale 4 cm. 
Pede-se: 
a) Diagrama de momento torçor; 
b) Diagrama de esforço normal; 
c) Valor do ângulo de torção da extremidade livre (G = 0,84×106 Kgf/cm²); 
d) Identificar o ponto mais crítico e, para este ponto, determinar as tensões 
normais principais e a máxima tensão cisalhante (esboçar o círculo de Mohr). 
 
 28
9 – A figura abaixo mostra um eixo de seção circular, sendo que parte do mesmo 
é de seção vazada (80 cm), com diâmetro externo de 6 cm e diâmetro interno de 
4 cm, e parte de seção maciça (50 cm), com diâmetro de 5 cm. O mesmo está 
engastado na extremidadeesquerda, e submetido aos seguintes carregamentos: 
 Momento torçor T1 = 700 Kgf×m; 
 Momento torçor T2 = 200 Kgf×m; 
 Carga Axial N = 15.000 Kgf 
Pede-se: 
a) Diagrama de momento torçor; 
b) Diagrama de esforço normal; 
c) Valor do ângulo de torção da extremidade livre (G = 0,84×106 Kgf/cm²); 
d) Identificar o ponto mais crítico e, para este ponto, determinar as tensões 
normais principais e a máxima tensão cisalhante (esboçar o círculo de Mohr). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
TORÇÃO – SEÇÃO RETANGULAR 
 
 
1 – Seja a viga de seção retangular (10×5) cm², de aço (G = 0,8×106 Kgf/cm²), 
pede-se: 
a) Ângulo de torção da extremidade livre; 
b) Tensões normais principais e máxima tensão cisalhante para os pontos D, E e 
F; 
c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr. 
DADOS: para a/b = 2; α = 0,246; β = 0,229; η = 0,795 
30.000 KgfF
D
EA
5 cm
10 cm
1 m
12.000 Kgfxcm
 
2 – Para a viga de seção retangular (10×15) cm², de aço (G = 0,8×106 Kgf/cm²), 
pede-se: 
a) Ângulo de torção da extremidade livre; 
b) Tensões normais principais e máxima tensão cisalhante para os pontos A, B e 
C; 
c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr. 
DADOS: para a/b = 2 ; α = 0,246; β = 0,229; η = 0,795 
45.000 Kgfxcm
1,5 m
30 cm
15 cm
E C
A
B 3.500 Kgf
 
 30
MOLAS HELICOIDAS 
 
 
1 – Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando 
não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. 
Determine a máxima tensão tangencial em B, quando P = 1.200 lb. 
DADOS: 
Mola A – n = 8; G = 5,6×106 psi; D = 4 in; d = 0,8 in 
Mola B – n = 15; G = 6,5×106 psi; D = 3,6 in; d = 0,6 in 
2 "4 "4 "
D
A
B P
 
2 – Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando 
não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. 
Determine a máxima tensão tangencial nas molas A e B, quando P = 900 lb. 
DADOS: 
Mola A – n = 8; G = 5,6×106 psi; D = 4 in; d = 0,8 in 
Mola B – n = 15; G = 6,5×106 psi; D = 3,6 in; d = 0,6 in 
30 " 20 " 40 "
AC
B
900 lb
 
 31
3 – Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando 
não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. 
Determinar a carga máxima P para que a tensão nas molas não exceda a 1800 
Kgf/cm². 
DADOS: 
Mola A – n = 24; G = 8,4×105 Kgf/cm²; D = 10 cm; d = 0,6 cm 
Mola B – n = 48; G = 4,2×105 Kgf/cm²; D = 15 cm; d = 1,2 cm 
2 cm2 cm 1 cm
C
A
B P
 
4 – Uma placa rígida de peso desprezível está apoiada na mola central cujo 
comprimento é 2 cm maior que o das molas laterais idênticas, simetricamente 
posicionadas. Cada uma das molas laterais, têm 18 espirais de diâmetro médio 
igual a 10 cm, construídas com arame de 1 cm de diâmetro. A mola central tem 
24 espiras de diâmetro médio igual a 15 cm, construída com arame de 1,8 cm de 
diâmetro. Sabendo-se que, as três molas são de mesmo material (G = 0,84×106 
Kgf/cm²), e que a tensão admissível ao cisalhamento é de 1050 Kgf/cm², pede-se 
determinar o maior valor que a carga P pode assumir. 
ABA
2 cm
P
 
 32
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 
 
1 – Seja um eixo com diâmetro d; usado para transmitir uma potência de 120 Hp 
a uma rotação de 180 rpm. Pede-se: 
a) Determinar o diâmetro deste eixo se a tensão admissível do material do 
mesmo é τ = 900 Kgf/cm²; 
b) Após determinado o diâmetro do eixo, determinar o ângulo de torção por 
unidade de comprimento (φ/l). 
Dado: G= 0,84.106 Kgf/cm²; 
 
2 – Determinar o diâmetro de um eixo destinado a transmitir uma potencia de 
850 Hp a uma rotação de 2500 rpm, sabendo-se que: 
1. τ
 adm=1070 Kgf/cm² e que a rotação se dá com velocidade angular 
constante. 
2. O ângulo de torção por unidade de comprimento não deve exceder a 
0,0002 rad/cm. 
Dado: G= 0,84.106 Kgf/cm²; 
 
3 – Para realizar uma determinada operação, a máquina agrícola requer uma 
potência de 30 Hp. O motor utilizado para alimentar esta máquina gira a 1200 
rpm. Determinar: 
a) O torque atuante no eixo II; 
b) O diâmetro do eixo II, se a tensão admissível ao cisalhamento do material 
do mesmo é de 900 Kgf/cm². 
 
 
 
 
 
 
 33
4 – A máquina em referência requer uma potência de 25 Hp, e o motor que a 
alimenta, para a potência requerida tem uma rotação de 1800 rpm. Determinar a 
tensão de cisalhamento atuante no eixo 2, se o diâmetro do mesmo é de 3cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
UNIDADE 5 – FLEXÃO 
FLEXÃO SIMPLES 
 
 
Para as vigas esquematizadas abaixo, pede-se: 
a) Diagrama de momento fletor; 
b) Diagrama de esforço cortante; 
c) Determinar a maior tensão normal de tração e a maior tensão normal de 
compressão, devido à flexão. 
 
 
1) 
1200 Kgf 300 Kgf
600 Kgf/m
1,4
1,4
8
6 cm
E B D A
900 Kgfxm
1,5 1,53 m 2 m
1,2
 
 
 
2) 
 
 35 
3) 
A C
3
B D
1300 Kgfxm
200 Kgf/m
1800 Kgf
1
4 m
4 cm
1
5 cm
3
 
 
 
 
4)
12 2
E D
600 Kgf
1200 Kgfxm
B
800 Kgf/m400 Kgf/m
A C F
3 m 3 m 2 5 cm 2 
5 cm
1,6
 
 
 
 
 
 36 
5) 
3 m 2m
800 Kgf x m
400 Kgf /m
2000 Kgf
1 cm
8 cm
2 cm
6 cm
3 m
 
 
 
 
 
6) 
 
2 cm
5 cm
2 cm
6 cm
3 m
P =1000 Kgf
300 Kgf /m
600 Kgf x m
2m3 m
 
 
 37 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
FLEXÃO COMPOSTA 
 
1 – Uma coluna de seção transversal em I, está submetida à carga de 
compressão P = 10.000 Kgf, aplicada na posição indicada. Pede-se: 
a) Posição da L.N.; 
b) Maior tensão normal de tração; 
c) Maior tensão normal de compressão. 
10 cm
15 cm
1,6 cm1,6 cm
2 cm
y
P
x
 
2 – Seja uma coluna de seção transversal retangular vazada. O material do 
qual é constituída a coluna não oferece resistência à tração. Esta coluna 
suporta uma carga P = 20.000 Kgf de compressão, aplicada sobre o eixo y-
y, excêntrica de e. Pede-se: 
a) A maior excentricidade “e” que pode ser dada a carga (material não 
resistente à tração); 
b) Para esta excentricidade determinar a maior tensão normal de 
compressão. 
Y
Y
5 40 5
P 5
5
20
e
X
 
 
 39 
3 – Para a estrutura representada, pede-se: 
a) Posição da L.N.; 
b) Maior tensão normal de tração; 
c) Maior tensão normal de compressão. 
Desprezar o efeito do cortante na seção analisada. 
Z
Y
P = 400 Kgf
X
90 cm
6cm
10cm
Detalhe da Seção
350cm
 
 
4 – Para a estrutura representada, pede-se: 
a) Posição da L.N.; 
b) Maior tensão normal de tração; 
c) Maior tensão normal de compressão. 
F
F
BB
15cm
2cm
1cm
2cm
1cm3cm
 
 
 
 
 40 
5 – Para a estrutura representada, pede-se: 
a) Posição da L.N.; 
b) Maior tensão normal de tração; 
c) Maior tensão normal de compressão. 
 
 
5cm30cm5cm
40cm
5cm
5cm
30 tf
10 tf
 
 
6 – A figura abaixo mostra um grampo utilizado para prender peças. Se seu 
material é ferro fundido, com tensão normal admissível a tração de 400 
Kgf/cm² e tensão normal admissível a compressão de 900 Kgf/cm², 
pergunta-se qual é a capacidade (Pmáx) deste grampo. 
0,8 4,0cm
15cm P
PAA6,0cm 1,0cm
 
 
 
 
 41 
7 – Para a coluna dada, pede-se determinar o maior valor que a 
excentricidade e pode assumir, sabendo-se que o material da coluna tem 
tensão normal admissível a tração igual a 1.500 Kgf/cm² e tensão normal 
admissível a compressão igual a 800 Kgf/cm². 
1,4 4 cm
1,6
 
8 cm
1,6 
600 Kgf
e
 
 
 
8 – A figura abaixo mostra uma coluna de concreto armado, com seção 
transversal vazada constante, sujeita às cargas uniformemente distribuídas 
“q”. Para a seção engastada, pede-se: 
a) Posição da L.N.; 
b) Maior tensão normal de tração; 
c) Maior tensão normal de compressão. 
 
 
 
 
 42 
TENSÕES COMBINADAS 
 
1 – Para a viga mostrada, pede-se: 
a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes; 
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, 
para os pontos A, B, C da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para 
estes pontos. 
DADOS: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 
 
 
Y
X
Z
400 Kgf
200 Kgf
B
A
E
4 cm
80 cm
300 Kgf
50 cm
8 cm
C
 
 
 
 
2 – Para a viga dada, de seção quadrada (5×5) cm², pede-se: 
a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes; 
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, 
para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para 
estes pontos. 
DADOS: Para a/b = 1 : α = 0,208 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
60 cm
50 cm
B
A
800 Kgf400 Kgf
600 Kgf
 
 
 
 
 
3 – Para o eixo mostrado, pede-se: 
a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes; 
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, 
para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para 
estes pontos. 
 
 
6 cm
B
A
X
Z
200 Kgf
300 Kgf
80 cm
40 cm
 
 
 
 
 44 
 
4 – Para a viga esquematizada abaixo de seção circular vazada, pede-se 
determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial para 
os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes 
pontos. 
6 cm
A
B
8 cm
60 cmZ
X
Y
200 Kgf
300 Kgf
100 cm
 
 
5 – Para a viga dada abaixo, pede-se: 
a) Diagrama de momentos (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção engastada, colocando adequadamente, todos os esforços; 
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, 
para os pontos A, B e C. (Esboçar o círculo de Mohr para cada ponto). 
DADOS: Para a/b = 3 : α = 0,287 ; η = 0,753 
 
y
x
z Seção Engastada
3 cm
9 cm
60 cm
40 cm
100 Kgf
300 Kgf
 
 45 
 
6 – Para a manivela mostrada na figura, sabendo-se que a = 4 cm e b = 2 
cm, pede-se: 
a) Diagrama de momentos (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção S, mostrando todos os esforços solicitantes; 
c) Isolar os pontos A e B da seção S, colocando as tensões 
convenientemente; 
d) Esboçar o círculo de Mohr e determinar as tensões normais principais e a 
máxima tensão tangencial, para estes pontos. 
DADOS: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 ; β = 0,229 
 
 
 
 
 
 
 
Y Z
X
Seção S
A
B
a = 4 cm
b = 2 cm
S
a
B
b
40 cm
100 Kgf
200 Kgf
30 cm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
7 – Para a viga mostrada na figura de seção transversal retangular maciça 
(6×3) cm², sujeita às cargas Fx = 900 Kgf, Fy = 600 Kgf e Fz = 400 Kgf, 
pede-se: 
a) Diagrama de momentos (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção engastada, mostrando todos os esforços solicitantes; 
c) Isolar os pontos C e D da seção engastada, colocando as tensões 
convenientemente; 
d) Esboçar o círculo de Mohr e determinar as tensões normais principais e a 
máxima tensão tangencial, para estes pontos. 
DADOS: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 ; β = 0,229 
 
 
 
 
 
 
 
8 – Para a viga mostrada na figura de seção transversal retangular maciça 
(6×3) cm², sujeita às cargas Fx = 600 Kgf, Fy = 400 Kgf e Fz = 200 Kgf, 
pede-se: 
a) Diagrama de momentos (fletor e torçor); 
b) Isolar a seção engastada, mostrando todos os esforços solicitantes; 
c) Isolar os pontos C e D da seção engastada, colocando as tensões 
convenientemente; 
d) Esboçar o círculo de Mohr e determinar as tensões normais principais e a 
máxima tensão tangencial, para os pontos C e D, já mencionados. 
DADOS: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 ; β = 0,229 
 
 
 
 47 
 
 
Seção Engastada
Y
Z
Fx
Fy
Fz
DC
X
6 cm
30 cm
80 cm
3 cm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
UNIDADE 6 – DEFLEXÃO 
 
 
1 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a) Armar a equação de rotação; 
b) Armar a equação de deflexão; 
c) Determinar a deflexão para as seções A, B e C. 
 
E D
800 Kgfxm
A
200 Kgf/m
B C
2 m 2 m2 m 2 m
 
 
 
2 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a) Armar a equação de rotação; 
b) Armar a equação de deflexão; 
c) Determinar a deflexão para as seções A, B, C e D. 
 
 
B
400 Kgfxm
E
A
200 Kgf
1 1 1 1
D F
100 Kgf/m
C
2 m
 
 49 
 
 
3 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a) Armar a equação de rotação; 
b) Armar a equação de deflexão; 
c)Determinar a deflexão para as seções A, B,C e F. 
 
C
400 Kgf/m
D A
E
600 Kgf
800 Kgfxm
F
1 2 m 2 m2 m 2 m
B
 
 
 
4 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a) Armar a equação de rotação; 
b) Armar a equação de deflexão; 
c) Determinar a deflexão para as seções A, B, C, D, E e H. 
E = 15×108 Kgf/cm² 
E
600 K gfxm
C
B
F 
400 K gf/m
D
500 K gf
H
2 m 2 m 2 m2 m
A
12 cm
20 cm
1m1 m
 
 
 50 
5 – Para a viga abaixo, sendo dado E = 2,1×106 Kgf/cm², , 
pede-se: 
a) Armar a equação de rotação das seções; 
b) Armar a equação de deflexão das seções; 
c) Determinar a rotação na extremidade livre E; 
d) Determinar a deflexão na extremidade livre D. 
 
 
800 Kgf
10 cm
FA
CB
M = 1200 Kgfxm
1 m 1 m
20 cm
2 m3 m1 m
D
600 Kgf/m
E
 
6 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio. 
3 m
200 Kgf/m
BA
 
 
 
 51 
7 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio. 
A B
200 K gf/m
300 K gf
1 1 12 m
8 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio. 
 
 
9 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio. 
200 Kgf/m
E D
6 m 3 m
 
 
 
 52 
10 - Determinar o deslocamento vertical do ponto A. 
A
50 Kgf 100 Kgf
E
B C
1 2 m 2 m
 
 
11 - Determinar o valor da reação vertical VD. 
 
2 m
C
11
D
E
A
800 Kgf/m
200 Kgf
 
12 - Determinar o deslocamento vertical do ponto A e as reações de apoio. 
 
 
4 m
1000 Kgf
200 Kgf/m
B
C
1
A
 
 53 
13 - Determinar o valor da reação vertical VD. 
K = 80 Kgf/cm 
E = 2000 cm4 
E = 105 Kgf/cm² 
 
 
2 m4 m
600 Kgf
300 Kgf/m
DA C
 
 
 
14 – Para a viga de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), e cuja seção transversal é 
retangular (5×10) cm², pede-se: 
a) Reação vertical no apoio da direita; 
b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seção C). 
Lembre-se: 1cm2 = 10-4 m2 
 1cm4 = 10-8 m4 
 1cm = 10-2 mCDAE
P = 800 Kgf
2 m 1 m
10 cm
1 m
M = 1000 Kgfxm
5 cm
 
 54 
15 – Para a viga de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), e cuja seção transversal é 
retangular (6×10) cm², pede-se: 
a) Reação vertical no apoio da direita; 
b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seção D). 
 
 
C D
A
E
1200 Kgf
3 m 2 m
10 cm
1 m
6 cm
B 
200 Kgf/m
 
 
16 – A viga abaixo tem seção retangular maciça (10×20) cm² e seu material 
tem módulo de Elasticidade igual a 2,1×106 Kgf/cm². Sabendo-se que 
. 
 
Pede-se: 
a) Determinar todas as reações de apoio; 
b) O valor do deslocamento vertical da seção B. 
 
D
300 Kgfxm
B
400 Kgf/m
F
3 m 1 m
20 cm
2 m1 m
CA E
10 cm
800 Kgf
1 m
 
 55 
17 – A viga abaixo tem seção retangular maciça (10×20) cm² e seu material 
tem módulo de Elasticidade igual a 2,1×106 Kgf/cm². O apoio 
intermediário é uma mola, com constante K = 200 Kgf/cm. Sabendo-se que 
 : 
a) Determinar todas as reações de apoio; 
b) O valor do deslocamento do apoio intermediário (da mola), em cm. 
 
 
E
600 Kgf/m
D
4 m
20 cm
3 m2 m
 1200 Kgfxm
BA
10 cm
800 Kgf
 
 
18 – Dado EI, pede-se o deslocamento horizontal da seção A. 
 
 
 
l 1
2
P
A
BC
l
 
 
 
 
 
 
 56 
19 – Determinar o deslocamento horizontal do apoio da direita. 
 
 
l
l
l
E
P
D
C
A B
F
 
 
 
 
 
 
20 – Para a viga mostrada abaixo, dado o módulo de elasticidade do 
material da viga E = 200×106 KN/m² e o momento de Inércia em relação ao 
eixo em referência I = 200×10-6 m4, pede-se: 
a) Usando a Integral de Mohr, determinar a deflexão horizontal em A; 
b) Usando a Integral de Mohr, determinar a rotação do ponto A. 
A
B
C
D
2 m2 m
 5m
50 KN
 
 
 57 
21 – Dada a viga abaixo, determinar o deslocamento vertical do ponto A. 
AB = BC = CD = DE = l 
q
B
DE
C
A
 
 
 
 
 
22 – Para a viga mostrada abaixo, dado o módulo de elasticidade do 
material da viga E = 200×106 KN/m² e o momento de Inércia em relação ao 
eixo em referência I = 150×10-6 m4, pede-se: 
a) Determinar a deflexão horizontal em C; 
b) Determinar a rotação do ponto C. 
 
 
A
2m
4m
4m
D
CB
20 KN/m
 
 
 
 58 
23 – Dada a viga abaixo, determinar o deslocamento vertical do ponto A. 
AB = BC = CD = l 
 
 
 
q
CD
B
A
 
24 – Dado EI = constante, pede-se determinar o deslocamento horizontal da 
seção da extremidade da direita (ponto A). 
 
RRR
P
ABC
D
 
 
 
 
 
 
 59 
25 – Para a estrutura espacial da figura abaixo, são dados: EIx , EIy , EIz , 
GIt. Usando integral de Mohr, pede-se determinar o deslocamento vertical 
da seção A (extremidade livre). 
Dados: Segmento AB = 1,0 L 
 Segmento BC = 2,0 L 
 Segmento CD = 3,0 L 
 
 
 
 
 
 
 
26 – A viga ABC, está engastada em A e sustentada em B por um tirante 
BD. Determinar a tração no tirante BD. 
DADOS: Material da viga ABC: Aço – E = 2,1×106 Kgf/cm² 
 Material do tirante BD: Alumínio – E = 0,7×106 Kgf/cm² 
 Área da seção transversal do tirante = 2 cm2 
 
300 Kgf
3 m 1,2 m
6 cm
4 cm
B 
400 Kgf/m
A
D 
C
 1m
 
 60 
27 – A viga da figura abaixo é de Alumínio, E = 0,7×106 Kgf/cm² e G = 
0,26×106 Kgf/cm². A seção transversal é retangular (2×6) cm². Pede-se: 
a) Traçar os diagramas dos esforços simples (fletor e torçor); 
b) Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical da seção 
A. 
Dados: P = 6 Kgf 
 It = βab3 
 Para a/b = 3 ; β = 0,241 
 
 
28 – A viga da figura abaixo é de Alumínio, E = 0,7×106 Kgf/cm² e G = 
0,26×106 Kgf/cm². A seção transversal é retangular (2×6) cm². Pede-se: 
a) Traçar os diagramas dos esforços simples (fletor e torçor); 
b) Usando Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical da seção 
A. 
Dados: P = 6 Kgf 
 It = βab3 
 Para a/b = 3 ; β = 0,241 
 
Y
X
Z
P
y
A
BC
D
2 cm
10 cm20 cm
30 cm6 cm
 
 
 61 
RESPOSTAS 
 
UNIDADE 1 
SOLICITAÇÃO AXIAL 
 
1 – 0,67 P; 0,33 P; 0,67 Pl/EA 
2 – a) 9,93 Kgf/cm2 ; 23,84 Kgf/cm2 
 b) 0,0004 cm 
3 – 13.533 Kgf 
4 – 10.597,82 lb/in2 ; 4.414,26 lb/in2 
5 – 89.230,76 lb 
6 – 202,39 Kgf/cm2 ; 263,10 Kgf/cm2 
 7 – 2.902,5 Kgf 
8 – 408 lb 
9 – a) 503,98 Kgf/cm2 
 b) 0,2 cm 
10 – 2.532,93 Kgf/cm2 ; 1.688,62 Kgf/cm2 ; 3.377,24 Kgf/cm2 
11 – a) σA = 2.302,71 Kgf/cm2 ; σC = 1.494,34 Kgf/cm2; σL = 1.587,78 
Kgf/cm2 
 b) x = 10,96 cm 
12 – AAB = 0,0476 cm2 ≈ 0,05 cm2 
13 – a) σA = 629,20 Kgf/cm2 ; σB = 1.006,72 Kgf/cm2 
 b) x = 0,318 cm ; εA = 9,523 x 10-4 ; εB = 1,523 x 10-3 
14 – σA = 30,01 MPa ; σL = 40,32 MPa 
 
 
TUBO DE PAREDE FINA 
 
1 – a) 2,13 Kgf/cm2 
 b) 161 Kgf/cm2 ; 105 Kgf/cm2 
2 – a) 19,7 Kgf/cm2 
 b) 1.648 Kgf/cm2 ; 1.221 Kgf/cm2 
 c) p = 49,14 Kgf/cm² ; σanel = 4111,38 Kgf/cm² (tração) ; σdisco = 49,14 
Kgf/cm² (compressão) 
3 – 1.000 Kgf/cm2 ; 2.200 Kgf/cm2 ; 716,58 Kgf/cm2 
4 – 20,1 cm 
5 – 29,98 cm 
6 – 5,72 Kgf/cm² 
7 – d = 90 cm 
 
 
 
 
 62 
UNIDADE 2 
 
1 – 23639,7 Kgf ; 0,00179 rad 
2 – a) 1,768 Kgf/cm2 
 b) 663 Kgf/cm2 
3 – 250 Kgf/cm2 
4 – 3,334 Kgf/cm2 
5 – 129 Kgf/cm2 
6 – 0,63 in 
7 – a) 1,732 Kgf 
 b) 1,524 Kgf/cm2 
8 – a) 51,18 x 106 Pa 
 b) 57,58 x 106 Pa 
 c) σA = 15,73 Mpa 
 d) 1,13 Mpa 
9 - 1684,55 N 
10 – a) σAB = 622,60 Kgf/cm2 
 b) ØA = ØB = 2,03 cm ; ØC = 2,31 cm 
11 – 26,94 cm 
 
 
UNIDADE 3 
 
1 – a) 666 Kgf/cm2; -466 Kgf/cm2; 566 Kgf/cm2 
 b) 966,19 Kgf/cm2; -1.366,19 Kgf/cm2 ; 1.166,19 Kgf/cm2 
 c) 101,6 MPa; 38,4 MPa; 31,6 MPa 
2 – b) 375 Kgf/cm2 ; 187,5 Kgf/cm2 
 c) 93,8 Kgf/cm2 
3 – a) 800 Kgf/cm2 
 c) 692,82 Kgf/cm2 
4 – 60 MPa; -30MPa 
5 – 25 MPa; 95 MPa 
6 – a) 30 Kgf/cm2 
 b) 7,5 Kgf/cm2 ; 13 Kgf/cm2 
7 – 700 Kgf/cm2 ; 173,21 Kgf/cm2 
8 – b) 160 Kgf/cm2 ;- 40 Kgf/cm2 ;100 Kgf/cm2 ; 
 c) 20,72 Kgf/cm2 ;91,96 Kgf/cm2 ; 
9 – b) 648,53 Kgf/cm2 ; - 1.048,53 Kgf/cm2 
 c) 848,53 Kgf/cm2 ; 
 f ) - 273,95 Kgf/cm2 ; -845,30 Kgf/cm2 
10 – b) 130 Kgf/cm2 ; - 210 Kgf/cm2 
 c) 170Kgf/cm2 ; 
 f ) 80 MPa (horário) ; - 190 MPa 
 63 
UNIDADE 4 
TORÇÃO – SEÇÃO CIRCULAR 
 
1 – a) 152 ,79 Kgf/cm2 
 b) 724,33 Kgf/cm2 
 c) 0,0036 rad; 0,0125 rad 
2 – 3,24 cm 
3 – 2.000 psi; -500 psi; 1.250 psi 
4 – PONTO A – σ = 1.273 Kgf/cm2 ; τ = 1.763 Kgf/cm2 ; 2.511 Kgf/cm2 ; 
 -1.237 Kgf/cm2 ; 1.874 Kgf/cm2 ; 
 PONTO B – σ = 1.273 Kgf/cm2 ; τ = 1.763 Kgf/cm2 ; 2.511 Kgf/cm2 ; 
 -1.237 Kgf/cm2 ; 1.874 Kgf/cm2 ; 
5 – a) 0,1507 rad 
 b) 4.594 Kgf/cm2 ; -2.206 Kgf/cm2 ; 3.400 Kgf/cm2 
6 – 530.144 lb x in 
7 – φ = 0,00804 rad ; σMÁX = 184,35 Kgf/cm² ; σMÍN = -582,35 Kgf/cm² ; 
τMÁX = 383,35 Kgf/cm² 
8 – c) 0,921 x 10-2 rad 
 d) 1.565,5 Kgf/cm2 ; - 2.272,96 Kgf/cm2 ; 1.919,23 Kgf/cm2 
9 – c) 0,1145 rad 
 d) 2.495,48 Kgf/cm2 ; - 3.259,62 Kgf/cm2 ; 2.877,55 Kgf/cm2 
 
 
TORÇÃO – SEÇÃO RETANGULAR 
 
1 – a) φ = 0,0052 rad 
 b) PONTO F – 57,805 Kgf/cm2 ; -657,805 Kgf/cm2 ; 357,805 Kgf/cm2 
 PONTO E – 0 Kgf/cm2 ; -600 Kgf/cm2 ; 300 Kgf/cm2 
 PONTO D – 37,675 Kgf/cm2 ; -637,675Kgf/cm2 ; 337,675 Kgf/cm2 
 
2 – a) φ = 0,00036 rad 
 b) PONTO A – 25,78 Kgf/cm2 ; -18,0 Kgf/cm2 ; 21,9 Kgf/cm2 
 PONTO B – 31,27 Kgf/cm2 ; -23,49 Kgf/cm2 ; 27,38 Kgf/cm2 
 PONTO C – 7,78 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 3,89 Kgf/cm2 
 
 
MOLAS HELICOIDAIS 
 
1 – 60.058,7 psi 
2 – Mola A – 5.592,3 psi 
 Mola B – 1.604,28 psi 
3 – P = 35,196 Kgf 
4 – P = 205,77 Kgf 
 64 
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 
 
1 – a) d ≥ 6,26 cm; 
 b) φ/l = 0,02º/cm 
2 – d ≥ 6,2 cm 
3 – d ≥ 3,44 cm 
4 – 562,87 Kgf/cm² 
 
 
UNIDADE 5 
FLEXÃO SIMPLES 
 
1 – σ t = σ c = 4.002,35 Kgf/cm2 
2 – 1.935,48 Kgf/cm2 ; 1.663,86 Kgf/cm2 
3 – 37.954,20 Kgf/cm2 ; 52.238,78 Kgf/cm2 
4 – 5.400 Kgf/cm2 ; 7.714 Kgf/cm2 
5 – 2.519,95 Kgf/cm2 ; 5.375,89 Kgf/cm2 
6 – 2.887,07 Kgf/cm2 ; 2.165,302 Kgf/cm2 
7 – 33.015,06 Kgf/cm2 ; 32.689,69 Kgf/cm2 
 
 
FLEXÃO COMPOSTA 
 
1 – b) 988,4 Kgf/cm2 
 c) -1311 Kgf/cm2 
2 – a) 11,76 cm 
 b) -57,14 Kgf/cm2 
3 – b) 1.625,52 Kgf/cm2 
 c) -1.633,48 Kgf/cm2 
4 – 1,96F ; - 3,91F 
5 – 40 Kgf/cm2 ; -140 Kgf/cm2 
6 – P = 356,44 Kgf 
7 – 48,1868 cm 
8 – b) 27,15 Kgf/cm2 
 c) – 29,65 Kgf/cm2 
 
 
TENSÕES COMBINADAS 
 
1 – PONTO C – 187,4 Kgf/cm2 ; - 1.306,16 Kgf/cm2 ; 746,78 Kgf/cm2 
 PONTO B – 0 Kgf/cm2 ; - 134,75 Kgf/cm2 ; 67,375 Kgf/cm2 
 PONTOA – 1.127,325 Kgf/cm2 ; -137 Kgf/cm2 ; 632 Kgf/cm2 
 
 65 
2 – PONTO A – 2.040 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 1.020 Kgf/cm2 
 PONTO B – 1.311 Kgf/cm2 ; - 423 Kgf/cm2 ; 867 Kgf/cm2 
 
3 – PONTO A – 809,07 Kgf/cm2 ; - 43,975 Kgf/cm2 ; 426,52 Kgf/cm2 
 PONTO B – 637,96Kgf/cm2 ; - 61,49 Kgf/cm2 ; 349,72 Kgf/cm2 
 
4 – PONTO A – 643,6 Kgf/cm2 ; - 47,6 Kgf/cm2 ; 345,6 Kgf/cm2 
 PONTO B – 600 Kgf/cm2 ; - 62 Kgf/cm2 ; 331 Kgf/cm2 
 
5 – PONTO A – 666,81 Kgf/cm2 ; - 374,21 Kgf/cm2 ; 520,51 Kgf/cm2 
 PONTO B – 667,19 Kgf/cm2 ; - 226,45 Kgf/cm2 ; 446,82 Kgf/cm2 
 PONTOC – 0 Kgf/cm2 ; - 151,84 Kgf/cm2 ; 75,92 Kgf/cm2 
 
6 – PONTO A – 2.142,85 Kgf/cm2 ; - 1.031,75 Kgf/cm2 ; 1.587,30 
Kgf/cm2 
 PONTO B – 2.165,31 Kgf/cm2 ; - 678,28 Kgf/cm2 ; 1.421,79 Kgf/cm2 
 
7 – PONTO C – 3.933,51 Kgf/cm2 ; - 1.216,,84 Kgf/cm2 ; 2.575,18 
Kgf/cm2 
 PONTO D – 272,23 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 136,115 Kgf/cm2 
 
8 – PONTO C – 1.076,32 Kgf/cm2 ; - 765,22 Kgf/cm2 ; 920,77 Kgf/cm2 
 PONTO D – 0 Kgf/cm2 ; - 1.244,45 Kgf/cm2 ; 622,225 Kgf/cm2 
 
 
UNIDADE 6 
 
1 – c) Seção A – 5.066,67/EI 
 Seção B – 7.733,33/EI 
 Seção C – 5.733,33/EI 
2 – c) Seção A – 372,2/EI 
 Seção B – 849,945/EI 
 Seção C – 855,49/EI 
 Seção D – 531,89/EI 
3 – c) Seção A – -1.633,33/EI 
 Seção B – 4.500/EI 
 Seção C – 7.600/EI 
 Seção F – 5.765/EI 
 
 
 
 
 
 66 
4 – c) Seção A – 0,14 cm 
 Seção B – 0 
 Seção C – 2,25 cm 
 Seção D – 4,5 cm 
 Seção E – 3,64 cm 
 Seção H – -0,14 cm 
5 – c) 4,6875 x 10-3 rad 
 d) – 1,979 10-3 m = 0,1979 cm 
6 – H A = 0; V A = 375 Kgf; V B = 225 Kgf; M A = 225 Kgf x m 
7 – H A = 0; V A = 400,8 Kgf; V B = 299,2 Kgf; M A = 504 Kgf x m 
8 – H E = 0; V D = 374,07 Kgf; V E = 225,93 Kgf; M E = 155,58 Kgf x m 
9 – V D = 355,55 Kgf; M D = 800 Kgf x m ; V e = 844,45 Kgf; M E = 
1.200,05 Kgf x m 
10 – -16,67/EIZ 
11 – 596,29 Kgf 
12 – Y A = 3.200/3EIZ ; V B = 1.675 Kgf 
13 – 1.342,845 Kgf 
14 – a) 1.644,44 Kgf 
 b) 0,0099 m = 0,99 cm 
15 - a) V C = 1.651,67 Kgf 
 b) 0,01575 m 
16 – a) V C = 530,583 Kgf; V A = 386,893 Kgf; V E = 1.082,524 Kgf 
 b) 0,0453 cm 
17 - a) V A = 1.464,49 Kgf; V B = 187,74 Kgf; V D = 1.547,77 Kgf 
 b) 0,009387 m 
18 – Pl1 l22 / 2EIZzd 
19 – -4Pl3 / 3EIZ 
20 – a) – 3,125 cm 
 b) 0,015 rad 
21 – (-ql4 / EIz ) - (ql4 / 2GI t ) 
22 – a) -0,71 cm 
 b) 0,00177 rad 
23 – (ql4 / 4EIx ) + (ql4 / 2GI t ) 
24 – -(pi – 1) PR3 / 2EI 
25 – 9 P L3 / EIZ 
26 – 929 Kgf 
27 – b) – 6,25 x 10-3 cm 
28 - -1,625.10-2 cm