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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1 - AP3 - 2012.2 Questa˜o 1 (2 pontos). Resolva o sistema: 2y + x2 + 6x = −5 −9x+ 6y = 39 Soluc¸a˜o: Dividindo por 3 a segunda equac¸a˜o obtemos −3x + 2y = 13. Vamos subtrair esta equac¸a˜o da primeira para eliminar y. Ficamos com x2 + 6x + 3x = −5 − 13, isto e´, x2 + 9x = −18, ou ainda, x2 + 9x+ 18 = 0. Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau (por Bhaskara ou pela fo´rmula da soma e do produto das ra´ızes), obtemos como ra´ızes x1 = −3 e x2 = −6. Para resolver o sistema ainda temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta. Sabemos que 2y = 13 + 3x, enta˜o, para x1 = −3 temos 2y1 = 13− 9 = 4, donde y1 = 2; para x2 = −6 temos 2y2 = 13− 18 = −5, isto e´, y2 = −2, 5. Logo as soluc¸o˜es do sistema sa˜o (x1, y1) = (−3, 2) e (x2, y2) = (−6,−2, 5). Questa˜o 2 (2 pontos). Responda aos itens abaixo. a) Encontre o conjunto dos valores de x que satisfazem |3x− 9| − 5 > 10; Soluc¸a˜o: |3x− 9| − 5 > 10⇔ |3x− 9| > 15, o que ocorre quando temos uma das duas opc¸o˜es: 3x − 9 > 15 ou 3x − 9 < −15. No primeiro caso, segue que 3x > 24, isto e´, x > 8. Ja´ no segundo caso, temos que 3x < −6, donde conclu´ımos que x < −2. Logo o conjunto S dos valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o modular dada e´ S = (−∞,−2) ∪ (8,∞). b) Resolva a expressa˜o: √ 80÷ √ 5− ( −1 5 ) 13 ÷ ( −1 5 ) 12 ( −1 5 ) −3 1 Soluc¸a˜o: √ 80÷ √ 5− ( −1 5 ) 13 ÷ ( −1 5 ) 12 ( −1 5 ) −3 = √ 80√ 5 − ( − 1 513 ) ÷ ( + 1 512 )( −1 5 ) −3 = √ 80 5 − ( − 1 513 ) × 5 12 1 ( −1 5 ) −3 = √ 16− ( −1 5 )( −5 1 ) 3 = 4− 1 5 × 53 = 4− 25 = −21 Questa˜o 3 (3 pontos). Leia atentamento o trecho a seguir, adaptado do site de not´ıcias G1 em 22/10/2012: “O pagamento do 13o sala´rio devera´ injetar cerca de R$ 131 bilho˜es na economia brasileira ate´ dezembro, segundo aponta levantamento do Departamento Intersindical de Estat´ıstica e Estudos Socioeconoˆmicos (Dieese) divulgado nesta segunda-feira (22). O valor representa perto de 3% do Produto Interno Bruto (PIB) do pa´ıs e sera´ pago a 80 milho˜es de pessoas, entre trabalhadores do mercado formal, inclusive empregados dome´sticos, segurados da Prevideˆncia Social e aposentados e beneficia´rios de pensa˜o da Unia˜o e dos estados. Do montante que sera´ pago, perto de 20% (R$ 26 bilho˜es) ira˜o para os beneficia´rios do INSS; outros R$ 93 bilho˜es (71%) sera˜o para os empregados formalizados; R$ 6,4 bilho˜es (4,9%) para aposentados e pensionistas da Unia˜o e R$ 5,3 bilho˜es (4,1%) para os aposentados e pensionistas dos Estados. A quantidade de pessoas que recebera˜o o 13o sala´rio e´ aproximadamente 2,5% acima 2 do calculado em 2011. [...] A economia do Estado de Sa˜o Paulo devera´ receber cerca de R$ 39,4 bilho˜es em 13o sala´rio, aproximadamente 30% do total do Brasil e 60% da regia˜o Sudeste. Esse mon- tante representa em torno de 2,7% do PIB estadual.” A partir das informac¸o˜es dadas no texto, responda aos itens a seguir. a) Estime o PIB nacional. Soluc¸a˜o: Conforme relatado na not´ıcia, os 131 bilho˜es correspondem a aproximada- mente 3% do PIB nacional (que chamaremos de P ). Logo, 0, 03P = 131 bilho˜es donde conclu´ımos que P = 131/0, 03 bilho˜es, isto e´, de acordo com a not´ıcia, o PIB nacional e´ de aproximadamente 4 trilho˜es e 367 bilho˜es de reais. b) Estime a quantidade de pessoas que receberam o 13o sala´rio em 2011. Soluc¸a˜o: E´ relatado que 80 milho˜es de pessoas recebera˜o o de´cimo terceiro e que a quantidade de pessoas que recebera˜o este sala´rio e´ aproximadamente 2,5% acima da quantidade calculada em 2011 (que chamaremos de x). Logo, 1, 025x = 80 milho˜es donde conclu´ımos que x = 80/1, 025 milho˜es, isto e´, aproximadamente 78 milho˜es de pessoas receberam o de´cimo terceiro em 2011. c) Estime a que porcentagem do PIB nacional corresponde o PIB da regia˜o Sudeste. Soluc¸a˜o: Observe que a parcela do de´cimo terceiro destinada a Sa˜o Paulo corresponde ao mesmo tempo a 30% do PIB do Brasil (que continuaremos chamando de P ) e a 60% do PIB do Sudeste (que chamaremos de S). Logo temos que: 0, 3P = 0, 6S 3 Da´ı, conclu´ımos que S = 0, 3 0, 6 P = P/2 = 0, 5P , isto e´, o PIB do Sudeste corresponde a 50% do PIB nacional. Questa˜o 4 (2 pontos). Em uma not´ıcia do site G1 de 22/10/2012, sobre o faturamento de micro e pequenas empresas (MPEs), declara-se que: “De acordo com a pesquisa Indicadores Sebrae-SP, as MPEs paulistas faturaram R$ 46 bilho˜es em agosto [de 2012], [...] R$ 4 bilho˜es acima do resultado de agosto de 2011.”. Considerando que a varia´vel x represente o nu´mero de meses passados desde agosto de 2011 e a varia´vel y represente o faturamento mensal das MPEs paulistas em milho˜es de reais (x meses apo´s agosto de 2011), se aproxima´ssemos este faturamento mensal por uma func¸a˜o afim tomando por base os faturamentos de agosto de 2011 e agosto de 2012, ter´ıamos o seguinte gra´fico: Utilizando os dados apresentados no enunciado: a) Encontre a fo´rmula da func¸a˜o afim representada no gra´fico acima; Soluc¸a˜o: Vamos chamar de f(x) a func¸a˜o que buscamos, onde x e´ o nu´mero de meses 4 transcorridos apo´s agosto de 2011 e f(x) e´ o faturamento em bilho˜es. Como trata-se de uma func¸a˜o afim, sua fo´rmula deve ser f(x) = ax+ b para paraˆmetros a e b a serem determinados. Em agosto de 2011, quando x = 0, segundo a not´ıcia, o faturamento foi de 42 bilho˜es (4 bilho˜es a menos que os 46 bilho˜es de agosto de 2012), isto e´, f(0) = 42. Logo, a× 0 + b = 42, isto e´, b = 42. Ja´ em agosto de 2012, quando x = 12, segundo a not´ıcia, o faturamento foi de 46 bilho˜es, isto e´, f(12) = 46. Logo, a× 12 + 42 = 46, isto e´, 12a = 4, donde conclu´ımos que a = 1/3. Logo, f(x) = x 3 + 42 b) De acordo com o modelo linear apresentado (func¸a˜o afim), fac¸a uma previsa˜o para o faturamento das MPEs paulistas em maio de 2013. Soluc¸a˜o: Ja´ temos a fo´rmula da func¸a˜o. Precisamos descobrir a que valor x corresponde o meˆs maio de 2013. Contando o nu´mero de meses transcorridos desde agosto de 2011, verificamos que maio/2013 correspondera´ a x = 21. Usando a fo´rmula obtida demos que f(21) = 21 3 + 42 = 7 + 42 = 49 Logo, segundo nosso modelo linear, a previsa˜o para maio de 2013 e´ de um faturamento de 49 bilho˜es. c) Ainda segundo o modelo linear apresentado, quantos meses devem se passar (contando a partir de agosto de 2011) para que o faturamento mensal das MPEs paulistas atinja a marca de R$ 60 bilho˜es? 5 Soluc¸a˜o: Para calcular quantos meses se passara˜o ate´ que seja atingida a marca de 60 bilho˜es, devemos descobrir para que valor de x temos f(x) = 60. A partir da fo´rmula de f vemos que: x 3 + 42 = 60⇔ x 3 = 18⇔ x = 54 Logo, de acordo com nosso modelo linear, o faturamento mensal das MPEs paulistas chegara´ a 60 bilho˜es de reais passados 54 meses (ou quatro anos e meio) de agosto de 2011. 6
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