AP1 - 2012.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 de Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2012
Questa˜o 1: (2,0pts) Seja f : R − {2} −→ R − {−1} dada pela expressa˜o f(x) = 3−x
x−2 . Encontre a
expressa˜o de f−1 e tambe´m o domı´nio e a imagem de f−1.
Soluc¸a˜o: (se trocou x por y e montou a equac¸a˜o ganha 0,5pt) Para calcular a inversa vamos adotar
o procedimento de chamar x de y na expressa˜o da func¸a˜o e igualar a x e tentar isolar y.
x =
3− y
y − 2 ⇔ xy − 2x = 3− y
⇔ xy + y = 2x+ 3
⇔ y = 2x+ 3
x+ 1
.
E portanto, f−1 : R − {−1} −→ R − {2} tem como fo´rmula f−1(x) = 2x+3
x+1 . (se encontrou a
expressa˜o correta de f−1(x) ganha 1,0pt e se deixou claro qual e´ o domı´nio e a imagem de f−1(x)
ganha 0,5pt).
Questa˜o 2: (2,0pts) Considere f(x) = 73x−2 e g(x) = logx+2(x
2 − 2x− 8).
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o g(x).
b) Calcule f
(
2g(5)+2
3
)
.
Soluc¸a˜o: a) (vale 1,5pt) Se x e´ real, para que exista um nu´mero real y, tal que y = logx+2(x
2−2x−8),
as seguintes condic¸o˜es devem ser satisfeitas:
• x+ 2 6= 1 se, e somente se, x 6= −1;
• x+ 2 > 0 se, e somente se, x > −2; e
• x2 − 2x− 8 > 0
(fez corretamente ate´ aqui vale 1,0pt) Fac¸amos o estudo dos sinais da expressa˜o x2 − 2x − 8 =
(x+ 2)(x − 4):
x+ 2−2
−2
−2
4
4
4
− + +
x− 4
(x+ 2)(x− 4)
− − +
+ − +
Portanto, x2 − 2x− 8 > 0 se, e somente se, x ∈ (−∞,−2) ∪ (4,+∞).
1
E o domı´nio de g e´ {x ∈ R : x > 4}. (concluiu corretamente vale 0,5pt restantes deste item)
b) (vale 0,5pt) Vamos fazer a conta
f
(
2g(5) + 2
3
)
= f
(
2 log7(7) + 2
3
)
= f
(
2 + 2
3
)
= 7(3(
4
3)−2) = 72 = 49.
Questa˜o 3: (2,0pts) Calcule 1
a
log
(√
b
c
)a
, sabendo que log(a) = 6 e log(c) = −2.
Soluc¸a˜o: (vale 2,0pt, a cada erro retirar 0,5pt e continuar corrigindo) Vamos calcular
1
a
log
(√
b
c
)a
=
a
a
log
(√
b
c
)
= log
(√
b
)
− log (c)
=
1
2
6− (−2) = 5.
Questa˜o 4: (2,0pts) Determine os seguintes limites
a) lim
x→5
1
x
− 15
x− 5
b) lim
x→5
√
x− 1− 2
x− 5 .
Soluc¸a˜o: a) (vale 1,0pt)
lim
x→5
1
x
− 15
x− 5 = limx→5
5−x
5x
x− 5
= lim
x→5
−(x− 5)
5x(x− 5) = −
1
25
.
b) (vale 1,0pt)
lim
x→5
√
x− 1− 2
x− 5 = limx→5
(√
x− 1− 2
x− 5
)(√
x− 1 + 2√
x− 1 + 2
)
= lim
x→5
x− 1− 4
(x− 5)(√x− 1 + 2)
= lim
x→5
1√
x− 1 + 2 =
1
4
.
Questa˜o 5: (2,0pts) Considerando a func¸a˜o real f , cuja expressa˜o e´ f(t) = 2t+1
t2−t−2
a) Determine o domı´nio de f ;
b) A(s) Ass´ıntota(s) vertical(is) ao gra´fico de f ;
2
c) A(s) Ass´ıntota(s) horizontal(is) ao gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) (vale 0,5pt) Inicialmente veja que t2 − t− 2 = (t+ 1)(t − 2) e, portanto, o domı´nio de
f(t) sa˜o t ∈ R− {−1, 2}.
b) (vale 1,0pt: calcular os limites vale 0,5pt e dizer que x = −1 e x = 2 sa˜o as ass´ıntotas verticais vale
0,5pt) E para encontrar as ass´ıntotas verticais precisamos calcular os limites laterais nos pontos −1e
2.
lim
t→−1−
2t+ 1
t2 − t− 2 = −∞
lim
t→−1+
2t+ 1
t2 − t− 2 = +∞
lim
t→2−
2t+ 1
t2 − t− 2 = −∞
lim
t→2+
2t+ 1
t2 − t− 2 = +∞.
Portanto, f(t) possui como ass´ıntota vertical x = −1 e x = 2.
c) (vale 0,5pt) Para encontrar as ass´ıntotas horizontais precisamos calcular
lim
t→+∞
2t+ 1
t2 − t− 2 = limt→+∞
t2
t2
(
2/t+ 1/t2
1− 1/t− 2/t2
)
= 0
lim
t→−∞
2t+ 1
t2 − t− 2 = limt→−∞
t2
t2
(
2/t+ 1/t2
1− 1/t− 2/t2
)
= 0.
Portanto, existe apenas uma ass´ıntota horizontal que e´ y = 0
3