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Estat´ıstica Ba´sica
Instrutor:
Dorival Lea˜o
Estatcamp Consultoria em Estat´ıstica e Qualidade
Rua: Adolpho Cattani, 682
Jardim Macarengo CEP: 13560-470 Sa˜o Carlos/SP
Fone/Fax: (16) 3376-2047
E-mail: estatistica@estatcamp.com.br
Novembro/2006
ii
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
2 Coleta de Dados 2
2.1 Dados Quantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Dados Quantitativos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Dados Quantitativos Cont´ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Dados Qualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Construindo um Diagrama de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Gra´ficos 9
3.1 Distribuic¸a˜o de Frequ¨eˆncias e Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Medidas de Posic¸a˜o 14
4.1 Me´dia Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Medidas de Dispersa˜o 16
5.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Desvio Padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Estat´ısticas Descritivas 19
6.1 Box-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Probabilidades 23
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.2 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.3 Distribuic¸a˜o de Probabilidade Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Suma´rio iii
7.3.1 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3.2 Relac¸a˜o entre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada e a Distribuic¸a˜o de
Probabilidade Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3.3 Esperanc¸a de Varia´veis Aleato´rias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3.4 Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 Modelos Probabil´ısticos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4.1 Distribuic¸a˜o Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4.2 Distribuic¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4.4 Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.6 Distribuic¸o˜es de Probabilidade Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.6.1 Relac¸a˜o entre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada e a Func¸a˜o densidade
de Probabilidade Cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.6.2 Esperanc¸a de Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.6.3 Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.7 Modelos Probabil´ısticos Cont´ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.7.1 Distribuic¸a˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.7.2 Distribuic¸a˜o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.8 Modelos Probabil´ısticos para o Tempo de Falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.8.1 Distribuic¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.8.2 Distribuic¸a˜o de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.8.3 Distribuic¸a˜o de Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.8.4 Distribuic¸a˜o Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 A Distribuic¸a˜o Normal 54
9 Teorema do Limite Central 61
10 Teste para Normalidade 64
10.1 Papel de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.2 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Teste Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Suma´rio iv
11 Indicadores da Qualidade 77
11.1 Rendimento de um Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.2 Intervalo de confianc¸a para o rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3 Defeitos por milha˜o de oportunidades (DPMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4 Intervalo de confianc¸a para o DPMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.5 Rendimento: Ana´lise da resposta do processo (Rolled Throughput Yield) . . . . 91
11.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.7 Me´trica da Qualidade: SIGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12 Definic¸o˜es 98
A Tabela Normal Padra˜o - 6σ 100
Refereˆncias Bibliogra´ficas 100
v
Lista de Figuras
2.1 Classificac¸a˜o dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Diagrama de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Diagrama de Pareto - Relativo a Custos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Histograma - Frequeˆncia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Histograma - Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Histograma - Frequeˆncia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Histograma - Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.1 Construc¸a˜o do Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2 Comparac¸a˜o entre dois Boxplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.1 Gra´fico da func¸a˜o densidade de probabilidade da Uniforme . . . . . . . . . . . . 43
7.2 Gra´fico da func¸a˜o de confiabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Gra´fico da func¸a˜o taxa de falha da distribuic¸a˜o Weibull . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4 Gra´fico da func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o Log-Normal . . . . . . . . . . . . . 52
8.1 Distribuic¸a˜o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.2 A´reas sob a Curva Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3 Distribuic¸a˜o Normal Padronizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.5 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.6 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.7 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.8 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.9 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.10 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lista de Figuras vi
8.11 A´rea sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.1 Histograma-Dados Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 Me´dia de Grupos de 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.3 Me´dias dos 5 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.1 Papel de Probabilidade para o exemplo 10.1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2 Papel de Probabilidade do Teste Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.1 Gra´fico da Estrate´gia de Rompimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2 Gra´fico de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.3 Gra´fico do Rendimento Cla´ssico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.4 Gra´fico do Rendimento do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.5 A´reas sob a Curva Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.6 Limites de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
vii
Lista de Tabelas
2.1 Nu´mero de Pec¸as Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apurac¸a˜o) . . . . . . . . 3
2.2 Diaˆmetro do Eixo de 200 Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Diaˆmetro do Eixo de 200 Motores (Com Apurac¸a˜o) . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Tipos de problemas Numa Indu´stria de Computadores . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Diaˆmetro do Eixo de 200 Motores (Sem Apurac¸a˜o) . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias dos Diaˆmetros dos Eixos . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Crite´rio Para Determinar os Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Nu´mero de Pec¸as Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apurac¸a˜o) . . . . . . . . 12
3.5 Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias dos Dados do exemplo 2.1 . . . . . . . . . . . . . . 13
7.1 Tabela do Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 Tabela de probabilidade da distribuic¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.1 Dados Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.1 Construc¸a˜o do papel de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.2 Tabela de Valores para Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.3 Resumo do Ca´lculo de Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.4 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.5 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Tabela de pontos percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.7 Calculando o valor de A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.1 Resumo dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.2 Colheitadeira de Cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3 DPMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Lista de Tabelas viii
11.5 Colheitadeira de Cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.6 Resumo dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.7 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.8 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.9 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1 Tabela Normal 6σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo, vamos apresentar elementos ba´sicos da ana´lise de dados. Veremos as es-
tat´ısticas descritivas para um conjunto de dados, que e´ a forma de reduzir e conhecer o nosso
conjunto de dados.
O resumo de dados sera´ apresentado em forma de gra´ficos, diagramas e tabelas.
As te´cnicas estat´ısticas sa˜o utilizadas para avaliar as variac¸o˜es. A variabilidade esta´ presente
em todo lugar. Por exemplo, ao estacionar um carro em uma garagem, sua posic¸a˜o na˜o e´ a
mesma ao longo dos dias. A posic¸a˜o do carro apresenta uma variac¸a˜o.
Para se fazer uma aplicac¸a˜o de te´cnicas estat´ısticas existem va´rias etapas:
• Coleta dos dados;
• Exposic¸a˜o dos dados;
• Modelos Estat´ısticos.
Vejamos cada uma destas etapas.
2
Cap´ıtulo 2
Coleta de Dados
Uma populac¸a˜o e´ um agregado de elementos (finitos ou na˜o) para o qual deseja-se obter
informac¸o˜es sobre algumas de suas caracter´ısticas. Duas populac¸o˜es sa˜o consideradas distintas
se uma delas conte´m um elemento que na˜o esta´ contido na outra populac¸a˜o. Como exemplo
de populac¸a˜o temos a produc¸a˜o dia´ria de um empresa, o conjunto de resultados de medic¸a˜o de
uma haste de ac¸o realizada com um microˆmetro, entre outras. A amostra e´ uma parcela de uma
populac¸a˜o que pode conter informac¸o˜es sobre a populac¸a˜o. Para estudarmos adequadamente
uma populac¸a˜o atrave´s de uma amostra devemos planejar a coleta de dados.
Planejando a Coleta de Dados
• Qual a pergunta a ser respondida?
• Como comunicar a resposta obtida?
• Qual ferramenta de ana´lise pretende-se usar e como sera˜o comunicados os resultados?
• Quais tipos de dados sa˜o necessa´rios para utilizar as ferramentas desejadas e responder a
pergunta?
• Onde acessar estes dados?
• Como coletar esses dados com o mı´nimo de esforc¸o e de erro?
• Quais informac¸o˜es adicionais sera˜o necessa´rias para estudos futuros, refereˆncias ou reco-
nhecimento?
Os Dados podem ser classificados como:
2. Coleta de Dados 3
Figura 2.1: Classificac¸a˜o dos Dados
2.1 Dados Quantitativos
Neste caso a caracter´ıstica observada assume valores nume´ricos. Este tipo de dado pode ser
ainda classificado como discreto ou cont´ınuo.
2.1.1 Dados Quantitativos Discretos
Neste caso os dados observados formam um conjuto finito ou enumera´vel de nu´meros.
Exemplo 2.1. Foram observados 20 lotes de 1.000 pec¸as cada um. O nu´mero de pec¸as de-
feituosas encontradas em cada lote foi: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9,
11, 10, 10.
Podemos fazer a apurac¸a˜o atrave´s de uma tabela (Tabela 2.1).
Nu´mero de pec¸as Apurac¸a˜o Nu´mero de lotes
Defeituosas
7 / 1
8 / / 2
9 / / / / / 5
10 / / / / / / / / 8
11 / / / 3
12 / 1
Tabela 2.1: Nu´mero de Pec¸as Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apurac¸a˜o)
Vemos enta˜o que a varia´vel nu´mero de pec¸as defeituosas assume valores inteiros: . . . , 7, 8, 9, . . ..
Logo, e´ uma varia´vel discreta.
�
2.1.2 Dados Quantitativos Cont´ınuos
Sa˜o os que decorrem de mensurac¸o˜es. Os poss´ıveis valores incluem “todos” os nu´meros do
intervalo de variac¸a˜o da caracter´ıstica medida, isto e´, todos os poss´ıveis valores pertencem a um
2. Coleta de Dados 4
intervalo de nu´meros reais. Na pra´tica estes valores sa˜o discretizados pela precisa˜o do aparelho
de medida. Por exemplo, quando se mede diaˆmetros de eixos de determinados motores, se esta´
coletando dados cont´ınuos.
Exemplo 2.2. Numa fa´brica de pequenos motores, problemas de encaixe estavam ocorrendo
com o eixo. Resolveu-se enta˜o medir o diaˆmetro de 200 motores e o resultado foi apresentado
na tabela 2.2.
4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,5 4,9 4,5
4,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2
5,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6
5,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1
5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,7 5,3 4,4
5,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,9 5,1
5,1 4,9 4,9 5,1 5,2 4,7 4,8 4,6 5,2 5,5
4,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,7 4,7 4,4
5,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,6 4,8 5,2
4,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,5 5,4 4,5
4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,7 4,9 4,5
4,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2
5,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6
5,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1
5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,8 5,3 4,4
5,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,8 5,1
5,1 4,9 4,9 4,9 5,2 4,7 4,8 4,7 5,25,5
4,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,6 4,7 4,4
5,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,7 4,8 5,2
4,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,6 5,4 4,5
Tabela 2.2: Diaˆmetro do Eixo de 200 Motores
Podemos fazer a apurac¸a˜o considerando intervalos de medidas, como apresentado na tabela
2.3.
Diaˆmetro Apurac¸a˜o No de motores
4, 2 ` 4, 4 / / / / / / / / / / / / 12
4, 4 ` 4, 6 //////////.../ 16
4, 6 ` 4, 8 //////////...// 32
4, 8 ` 5, 0 //////////...//// 64
5, 0 ` 5, 2 //////////.../ 36
5, 2 ` 5, 4 //////////...//// 24
5, 4 ` 5, 6 / / / / / / / / / / / / 12
5, 6 ` 5, 8 / / / / 4
Tabela 2.3: Diaˆmetro do Eixo de 200 Motores (Com Apurac¸a˜o)
2. Coleta de Dados 5
Veja que, ao se estabelecer intervalos, esta´-se admitindo que o eixo pode assumir qualquer
valor entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive.
�
2.2 Dados Qualitativos
Os dados qualitativos apresentam como poss´ıveis realizac¸o˜es uma qualidade (ou atributo)
do indiv´ıduo pesquisado.
Dentre os dados quantitativos podemos fazer uma distinc¸a˜o entre dois tipos: dado quali-
tativo nominal, para o qual na˜o existe nenhuma ordenac¸a˜o nas poss´ıveis realizac¸o˜es, e dado
qualitativo ordinal, para o qual existe uma ordem em seus resultados. Sexo, estado civil, sa˜o
exemplos de dados qualitativos nominais. Ja´ grau de instruc¸a˜o e´ um exemplo de dado qua-
litativo ordinal, pois ensinos fundamental, me´dio e superior correspondem a uma ordenac¸a˜o.
Exemplo 2.3. Uma indu´stria de computador preocupada com va´rios defeitos que um de seus
produtos vem apresentando, fez um levantamento e constatou os seguintes problemas que foram
designados da seguinte forma:
• A : Defeito na cobertura pla´stica.
• B : Defeito no teclado.
• C : Defeito na fonte de energia.
• D : Soldas soltas.
• E : Defeito na placa da unidade de processamento.
• F : Defeito no visor.
• G : Outros.
Nesta situac¸a˜o consideremos uma varia´vel T como sendo o tipo de defeito encontrado no
produto. Portanto a varia´vel T pode assumir os valores T = A, T = B, · · · . Assim, para um
computador com defeito na cobertura pla´stica temos que T = A, por exemplo.
Numa segunda fase tabelamos (tabela 2.4) os valores observados.
Assim, podemos ver que os dados A, B, ... sa˜o dados qualitativos nominais.
2. Coleta de Dados 6
Tipo de Problemas (T) Frequeˆncia
A 10
B 20
C 55
D 80
E 25
F 3
G 7
Tabela 2.4: Tipos de problemas Numa Indu´stria de Computadores
�
Na figura 2.2 temos o Diagrama de Pareto referente a estes dados.
Figura 2.2: Diagrama de Pareto
2.2.1 Construindo um Diagrama de Pareto
1. Selecione os problemas a serem comparados e estabelec¸a uma ordem atrave´s de:
2. Coleta de Dados 7
• Brainstorming - Exemplo: Qual e´ o nosso maior problema de qualidade no depar-
tamento de compras?
• Utilizac¸a˜o de dados existentes - Exemplo: Verificar os registros da qualidade do
departamento de compras ao longo do u´ltimo meˆs.
2. Selecione um padra˜o de comparac¸a˜o com unidade de medida - Exemplo: Custo mensal,
frequeˆncia de ocorreˆncia.
3. Especifique o per´ıodo de tempo em que os dados sera˜o coletados - Exemplo: Uma semana,
um meˆs.
4. Colete os dados necessa´rios para cada categoria - Exemplo: Defeito A ocorreu X vezes ou
defeito C custou Y.
5. Compare a frequeˆncia ou custo de cada categoria com relac¸a˜o a todas as outras categorias
- Exemplo: Defeito A ocorreu 75 vezes, defeito B ocorreu 107 vezes, defeito C ocorreu 42
vezes ou defeito A custa 75 reais mensalmente, defeito B custa 580 reais mensalmente.
6. Liste as categorias da esquerda para direita no eixo horizontal em ordem decrescente de
frequeˆncia ou custo. Os itens de menor importaˆncia podem ser combinados na categoria
outros, que e´ colocada no extremo direito do eixo, com a u´ltima barra.
7. Acima de cada categoria desenhe um retaˆngulo cuja a altura representa a frequeˆncia ou
custo daquela categoria.
8. A partir do topo da maior barra e da esquerda para a direita, ascendendo, uma linha
pode ser adiciona representando a frequeˆncia acumulada das categorias.
Diagrama de Pareto Relativo a Custos
Exemplo 2.4. Consideremos um exemplo de carto˜es perfurados, levando em considerac¸a˜o os
custos envolvidos.
�
2. Coleta de Dados 8
Principais Defeitos No de Embalagens Custo por Unidade Custo do Defeito
Defeituosas Defeituosa (R$) (R$)
Nu´meros Trocados 28 0,05 1,40
Caracteres Errados 28 0,05 1,40
Amassada 4 1,00 4,00
Perfurada 3 0,05 0,15
Impressa˜o Ileg´ıvel de
Dados 2 0,05 0,10
Rasgada 2 1,00 2,00
Outros 1 0,05 0,05
TOTAL 68
Figura 2.3: Diagrama de Pareto - Relativo a Custos
A exposic¸a˜o dos dados pode ser feita atrave´s de tabela e/ou gra´ficos. Aproveitando os
exemplos anteriores poder´ıamos apresentar os dados atrave´s de suas respectivas tabelas, com a
ressalva de que dever´ıamos eliminar a coluna “Apurac¸a˜o”, para uma apresentac¸a˜o mais elegante.
Tambe´m e´ lo´gico que se contarmos com um computador esta coluna na˜o faz sentido. Inu´meros
gra´ficos auxiliam na apresentac¸a˜o e interpretac¸a˜o dos fatos, mas destacaremos os mais usuais
em indu´strias.
9
Cap´ıtulo 3
Gra´ficos
3.1 Distribuic¸a˜o de Frequ¨eˆncias e Histograma
Com as tabelas e/ou gra´ficos em ma˜os, tendo uma melhor visualizac¸a˜o dos dados, muitas
vezes ja´ temos condic¸o˜es de interpretar o fenoˆmeno em estudo. Entretanto, para alguns casos
ainda havera´ necessidade de se efetuar operac¸o˜es nume´ricas para se chegar a concluso˜es mais
so´lidas.
Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais frequ¨entemente encontrados na indu´stria,
desenvolveremos inicialmente me´todos de ana´lise para eles. Ou seja, passamos a` sua descric¸a˜o,
atrave´s do que e´ chamado de distribuic¸a˜o de frequeˆncias.
Dados Cont´ınuos
Vejamos o exemplo 2.2, onde a Tabela 2.3 e´ agora apresentada sem a coluna APURAC¸A˜O,
ou seja:
Diaˆmetro No de motores
4, 2 ` 4, 4 12
4, 4 ` 4, 6 16
4, 6 ` 4, 8 32
4, 8 ` 5, 0 64
5, 0 ` 5, 2 36
5, 2 ` 5, 4 24
5, 4 ` 5, 6 12
5, 6 ` 5, 8 4
Tabela 3.1: Diaˆmetro do Eixo de 200 Motores (Sem Apurac¸a˜o)
Note que neste exemplo a varia´vel de interesse e´ o “Diaˆmetro” enquanto que “Nu´mero de
Motores” e´ a frequ¨eˆncia de medidas em cada intervalo.
3. Gra´ficos 10
Frequ¨eˆncia Absoluta (fi): E´ o nu´mero de observac¸o˜es correspondente a cada intervalo. A
frequ¨eˆncia absoluta e´, geralmente, chamada apenas de frequeˆncia. No exemplo 2.2, a frequeˆncia
e´ o nu´mero de motores.
Para um dado intervalo i, denotaremos a frequeˆncia absoluta correspondente a este intervalo
por fi. Assim, por exemplo, a frequeˆncia do quarto intervalo, na Tabela 3.1, e´ f4 = 64.
Frequeˆncia Relativa (fri): E´ o quociente entre a frequeˆncia absoluta e o nu´mero total
de observac¸o˜es, e sera´ denotada por fri. Isto e´, fri =
fi
n
onde n representa o nu´mero total de
observac¸o˜es. No nosso exemplo, como n = 200, temos que a frequ¨eˆncia relativa e´ dada por
fr4 =
64
200
= 0, 32.
Frequeˆncia Percentual (pi): E´ conseguida multiplicando-se a frequeˆncia relativa por
100%. No exemplo que estamos usando a frequeˆncia percentual da quarta classe e´ dada por:
p4 =
64
200
∗ 100% = 32%.
Frequeˆncia Acumulada: E´ o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores ate´ a
classe atual. Pode ser Frequeˆncia Acumulada Absoluta (Fi), Frequeˆncia Acumulada Relativa
(Fri), ou Frequeˆncia Acumulada Percentual (Pi).
Ponto Me´dio (xi): E´ obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo
e dividindo o resultado por 2. Consideramos este ponto como sendo o valor representativo de
cada intervalo. No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos:
x1 =
4, 2 + 4, 4
2
= 4, 3.
Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acom-
panhando e mostrartodas elas atrave´s de uma tabela completa. Como Frequeˆncia Acumulada
iremos apresentar somente a Frequeˆncia Acumulada Percentual.
3. Gra´ficos 11
Diaˆmetro xi fi fri pi(%) Pi(%)
4, 2 ` 4, 4 4,3 12 0,06 6 6
4, 4 ` 4, 6 4,5 16 0,08 8 14
4, 6 ` 4, 8 4,7 32 0,16 16 30
4, 8 ` 5, 0 4,9 64 0,32 32 62
5, 0 ` 5, 2 5,1 36 0,18 18 80
5, 2 ` 5, 4 5,3 24 0,12 12 92
5, 4 ` 5, 6 5,5 12 0,06 6 98
5, 6 ` 5, 8 5,7 4 0,02 2 100
Tabela 3.2: Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias dos Diaˆmetros dos Eixos
Figura 3.1: Histograma - Frequeˆncia Absoluta Figura 3.2: Histograma - Porcentagens
Algumas indicac¸o˜es na construc¸a˜o da distribuic¸a˜o de frequeˆncias sa˜o:
1. Na medida do poss´ıvel, as classes devera˜o ter amplitudes iguais.
2. Escolher os limites dos intervalos entre duas poss´ıveis observac¸o˜es.
3. O nu´mero de intervalos na˜o deve ultrapassar 20.
4. Escolher limites que facilitem o agrupamento.
5. Marcar os pontos me´dios dos intervalos.
6. Ao construir um histograma, cada retaˆngulo devera´ ter a´rea proporcional a` frequeˆncia
relativa correspondente (ou a` frequeˆncia absoluta, o que da´ no mesmo) .
7. Um crite´rio para determinar os intervalos (classes) e´:
3. Gra´ficos 12
Tamanho da Amostra (n) Nu´mero de Classes (c)
30 a 50 5 a 7
51 a 100 6 a 10
10l a 250 7 a 12
acima de 250 10 a 20
Tabela 3.3: Crite´rio Para Determinar os Intervalos
Determinac¸a˜o do tamanho da classe ou intervalo (L):
L =
amplitude
no de classes
=
R
c
onde R e´ o maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.
Como a tabela de frequeˆncia, o histograma tem a caracter´ıstica de analisar as relac¸o˜es
essenciais que os dados apresentam, e ainda verificar algumas suposic¸o˜es.
Dados Discretos
Consideremos agora o Exemplo 2.1, onde a Tabela 2.1 e´ apresentada sem a coluna
APURAC¸A˜O.
Nu´mero de Pec¸as Nu´mero de lotes
Defeituosas
7 1
8 2
9 5
10 8
11 3
12 1
Tabela 3.4: Nu´mero de Pec¸as Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apurac¸a˜o)
A varia´vel de interesse e´ “Nu´mero de pec¸as defeituosas”, enquanto que “Nu´mero de Lotes”
e´ a frequeˆncia observada para cada classe da varia´vel de interesse.
Com as quantidades ja´ definidas, construiremos a tabela completa para este exemplo. Note
que a coluna “Ponto Me´dio” na˜o e´ necessa´ria, pois se trata de dados discretos.
3. Gra´ficos 13
Nu´mero de Pec¸as fi fri pi(%) Pi(%)
Defeituosas
7 1 0,05 5 5
8 2 0,10 10 15
9 5 0,25 25 40
10 8 0,40 40 80
11 3 0,15 15 95
12 1 0,05 5 100
Tabela 3.5: Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias dos Dados do exemplo 2.1
Figura 3.3: Histograma - Frequeˆncia Absoluta Figura 3.4: Histograma - Porcentagens
14
Cap´ıtulo 4
Medidas de Posic¸a˜o
A seguir apresentaremos as medidas ba´sicas para resumir um conjunto de dados. Estas
medidas sa˜o amplamente utilizadas para descrever um conjunto de dados.
As medidas de posic¸a˜o e´ uma forma de resumir os dados, fornecendo apenas um valor, por
exemplo, o valor me´dio de um conjunto de dados.
4.1 Me´dia Aritme´tica
A me´dia aritme´tica, ou simplesmente me´dia, e´ calculada somando-se os valores das obser-
vac¸o˜es e dividindo-se o resultado pelo nu´mero de valores.
Notac¸a˜o:
• X : valor de cada indiv´ıduo da amostra.
• X : me´dia amostral.
• µ : me´dia populacional.
• n : tamanho da amostra.
• N : tamanho do universo (populac¸a˜o).
Assim, a me´dia amostral e´ dada por:
X =
X1 + . . .+Xn
n
(4.1)
4. Medidas de Posic¸a˜o 15
Exemplo 4.1. Uma amostra de 5 barras de ac¸o foi retirada da linha de produc¸a˜o e seus
comprimentos foram medidos. Os valores foram: 4,5; 4,6; 4,5; 4,4; 4,5. A me´dia amostral dos
comprimentos e´:
x =
4, 5 + 4, 6 + 4, 5 + 4, 4 + 4, 5
5
O comprimento me´dio das barras de ac¸o desta amostra e´ x = 4, 5.
�
4.2 Mediana
Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o
maior valor. Se o nu´mero de observac¸o˜es for ı´mpar, a mediana sera´ a observac¸a˜o central. Se
o nu´mero de observac¸o˜es for par, a mediana sera´ a me´dia aritme´tica das duas observac¸o˜es
centrais.
Notac¸a˜o:
• X˜ : mediana
Exemplo 4.2. Uma amostra de 7 caixas de um dispositivo eletroˆnico, com 100 unidades por
caixa, apresentou os seguintes nu´meros de dispositivos defeituosos por caixa: 27, 5, 10, 7, 8,
12, 9.
Em primeiro lugar devemos ordenar os valores: 5, 7, 8, 9, 10, 12, 27.
Como o nu´mero de observac¸o˜es e´ ı´mpar, a mediana e´ o valor central, isto e´, x˜ = 9.
�
Exemplo 4.3. Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos
de fio de ac¸o: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68.
Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77.
Como o nu´mero de observac¸o˜es e´ 8, portanto par, a mediana e´ dada pela me´dia dos dois
valores centrais que sa˜o 68 e 69, isto e´:
x˜ =
68 + 69
2
= 68, 5.
�
16
Cap´ıtulo 5
Medidas de Dispersa˜o
Dispersa˜o e´ sinoˆnimo de variac¸a˜o ou variabilidade de uma distribuic¸a˜o. Para medir a dis-
persa˜o sa˜o frequ¨entemente usadas a amplitude e o desvio padra˜o.
5.1 Amplitude
A amplitude e´ a diferenc¸a entre o maior e menor valor do conjunto de dados.
Notac¸a˜o:
• R: amplitude.
• X(1): menor valor do conjunto de dados.
• X(n): maior valor do conjunto de dados.
Assim, a amplitude e´ dada por:
R = X(n) −X(1) (5.1)
Exemplo 5.1. As temperaturas num per´ıodo de 8 horas (uma medida/hora) foram: 60, 65,
67, 68, 69, 70, 72, 77.
A amplitude deste conjunto e´:
R = 77− 60 = 17
�
5. Medidas de Dispersa˜o 17
5.2 Variaˆncia
A variaˆncia de uma populac¸a˜o de N elementos e´ a medida de dispersa˜o definida como a
me´dia do quadrado do desvios dos elementos em relac¸a˜o a me´dia.
Notac¸a˜o:
• σ2 : variaˆncia populacional.
• s2 : variaˆncia amostral.
Assim, a variaˆncia amostral e´ dada por:
s2 =
n∑
i=1
(Xi −X)2
n− 1 . (5.2)
5.3 Desvio Padra˜o
O desvio padra˜o de um conjunto de dados e´ igual a` raiz quadrada positiva da variaˆncia.
Notac¸a˜o:
• σ : desvio padra˜o populacional.
• s : desvio padra˜o amostral.
Assim, o desvio padra˜o amostral e´ dado por:
s =
√
σ2 =
√√√√√√
N∑
i=1
(xi − x)2
n− 1 . (5.3)
Exemplo 5.2. Considere a amostra dos comprimentos de 8 rolos de fio de ac¸o cujos valores
foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68. Calcular o desvio padra˜o.
Para calcular o desvio padra˜o devemos primeiramente calcular a me´dia x, isto e´:
x =
65 + 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 68
8
= 68, 5.
Agora vamos subtrair x = 68, 5 de cada valor, elevar cada resultado ao quadrado e soma´-los.
5. Medidas de Dispersa˜o 18
(x− x) (x− x)2
65 - 68,5 = -3,5 (−3, 5)2 = 12,25
72 - 68,5 = 3,5 (3, 5)2 = 12,25
70 - 68,5 = 1,5 (1, 5)2 = 2,25
77 - 68,5 = 8,5 (8, 5)2 = 72,25
60 - 68,5 = -8,5 (−8, 5)2 = 72,25
67 - 68,5 = -1,5 (−1, 5)2 = 2,25
69 - 68,5 = 0,5 (0, 5)2 = 0,25
68 - 68,5 = 0,5 (0, 5)2 = 0,25
Total = 174,00
Enta˜o dividimos o total dos quadrados pelo nu´mero de valores menos 1, ou seja, por (n-1)
e extra´ımos a raiz quadrada:
174
7
= 24 ⇒ s =
√
24 ⇒ s = 4, 9
Portanto o desvio padra˜o e´ 4,9.
�
19
Cap´ıtulo 6
Estat´ısticas Descritivas
Uma ana´lise das estat´ısticas descritivas da amostra e´ fundamental para resumirmos algumas
informac¸o˜es sobre a populac¸a˜o. Estas informac¸o˜es sa˜o utilizadas para tomada de decisa˜o e
formac¸a˜o de modelos estat´ısticos parame´tricos.
• Mı´nimo(Min): menor elemento da amostra;
• Ma´ximo(Max ): maior elemento da amostra;
• Primeiro quartil (Q1) e terceiro quartil (Q3): o conjunto de dados com n observac¸o˜es e´
ordenado em ordem crescente.
– Q1: nu´mero que deixa 25% das observac¸o˜es abaixo e 75% acima, isto e´, e´ a obser-
vac¸a˜o de posic¸a˜o (n+1)/4.
– Q3: nu´mero que deixa 75% das observac¸o˜es abaixo e 25% acima,isto e´, e´ a obser-
vac¸a˜o de posic¸a˜o 3(n+1)/4.
• Tri-Me´dia: removemos os 5% maiores valores e os 5% menores valores, arredondados para
o maior inteiro, e enta˜o a me´dia e´ calculada.
• Skewness : medida de assimetria. Um valor negativo indica que uma skewness esta´
tendida a` esquerda e um valor positivo indica que a skewness esta´ tendida a` direita. Um
valor nulo na˜o necessariamente indica simetria.
A fo´rmula da Skewness :
b1 =
∑
[(xi − x)/s]3
n
onde:
6. Estat´ısticas Descritivas 20
xi: e´ a n-e´sima observac¸a˜o.
x: e´ a me´dia das observac¸o˜es.
N : e´ o nu´mero de executadas.
s: e´ o desvio padra˜o.
• Kurtosis: e´ a medida de qua˜o diferente a distribuic¸a˜o difere da distribuic¸a˜o normal. Um
valor positivo costuma indicar um pico mais agudo, um corpo mais fino e uma calda mais
gorda que a calda da distribuic¸a˜o normal. Um valor negativo indica um pico mais teˆnue,
um corpo mais grosso e uma calda mais fina que a da distribuic¸a˜o normal.
A fo´rmula da Kurtosis :
b2 =
N(N + 1)
(N − 1)(N − 2)(N − 3)
∑[xi − x
s
]4
− 3(N − 1)
2
(N − 2)(N − 3)
onde:
xi: e´ a n-e´sima observac¸a˜o.
x: e´ a me´dia das observac¸o˜es.
N : e´ o nu´mero de executadas.
S: e´ o desvio padra˜o.
Exemplo 6.1. Consideremos uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de ac¸o cujos
valores sa˜o: 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.
Os dados ordenados de forma crescente e´: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77.
Os resultados sera˜o:
Min = 60
Max = 77
A Tri-Me´dia foi calculada retirando-se o maior e o menor valor do conjunto de dados e
calculamos a me´dia dos 9 restantes, enta˜o:
Tri-Me´dia =
65 + 66 + · · ·+ 72
9
= 68, 56
Posic¸a˜o do Q1 =
11 + 1
4
= 3 ⇒ Q1 = 66
6. Estat´ısticas Descritivas 21
Posic¸a˜o do Q3 = 3
(
11 + 1
4
)
= 9 ⇒ Q3 = 71
Skewness:
b1 =
1
n
(
(60− 68, 55)3 + (65− 68, 55)3 + · · ·+ (77− 68, 55)3
(4, 32)3
)
= −0, 028
Kurtosis:
b2 =
11(12)
(10)(9)(8)
(
(60− 68, 55)4 + (65− 68, 55)4 + · · ·+ (77− 68, 55)4
(4, 32)4
)
− 3(10)
2
(9)(8)
= 1, 53
6.1 Box-Plot
O Box Plot (gra´fico de caixa) e´ importante para descrever va´rios aspectos dos dados, entre
estes, apresentar de forma visual a diferenc¸a entre o terceiro e primeiro quartil. O box plot e´
formado pelo primeiro e terceiro quartil, e pela mediana. As linhas verticais sa˜o estendidas ate´
os limites:
Limite inferior : Q1 − 1, 5(Q3 −Q1)
Limite superior : Q3 + 1, 5(Q3 −Q1)
Os pontos fora destes limites sa˜o considerados valores discrepantes
(outliers) e sa˜o denotados com um asterisco (*). A Figura 6.1 apresenta o formato do Box Plot.
Figura 6.1: Construc¸a˜o do Boxplot
O Box-Plot pode ainda ser utilizado para uma comparac¸a˜o visual entre dois ou mais grupos.
Por exemplo, duas caixas sa˜o colocadas lado a lado e se compara a variabilidade entre elas, a
6. Estat´ısticas Descritivas 22
mediana e assim por diante.
Figura 6.2: Comparac¸a˜o entre dois Boxplots
�
23
Cap´ıtulo 7
Probabilidades
7.1 Introduc¸a˜o
Podemos classificar os fenoˆmenos da natureza ou criados pelo homem em dois tipos: aleato´rios
(casuais) e na˜o aleato´rios (determin´ısticos). Lidaremos com os aleato´rios, os quais na˜o sabemos
o resultado a priori. No entanto, podemos listar os poss´ıveis resultados do fenoˆmeno aleato´rio,
que formara˜o um conjunto denominado de Espac¸o Amostral (S). Ao estudarmos uma carac-
ter´ıstica da qualidade de um processo (ou produto), o espac¸o amostral consiste de todos os
valores poss´ıveis que a caracter´ıstica da qualidade pode assumir.
Exemplo 7.1. Considere o experimento de lanc¸ar um dado e observar a face que cair para cima.
O espac¸o amostral e´ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere um experimento no qual classificamos um
produto em conforme ou na˜o conforme. Neste caso, o espac¸o amostral e´ S = {Conforme, Na˜o
conforme}. Outro experimento aleato´rio consiste em contar o nu´mero de defeitos em uma pec¸a
pintada (por exemplo). Neste caso, os poss´ıveis resultados sa˜o S = {0, 1, 2, 3, · · · }.
Relacionado a um experimento, como acima, uma se´rie de sentenc¸as podem ser formuladas.
Estas sentenc¸as sa˜o denominadas Eventos.
Exemplo 7.2. Consideremos o lanc¸amento do dado no exemplo 7.1. Podemos definir va´rios
eventos. Alguns sa˜o: A = “sair nu´mero par”, B = “sair nu´mero ı´mpar”, C = “sair nu´mero
maior do que 3”. Esses eventos podem ser representados, respectivamente, pelos conjuntos:
A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} e C = {4, 5, 6}. Considere o experimento de classificar a pec¸a em
conforme ou na˜o, podemos definir como eventos, A = {Conforme}, B = {Na˜o conforme}. Ao
contarmos o nu´mero de defeitos em uma pec¸a pintada, geralmente, estaremos interessados no
evento A = {Zero Defeito} = {0}.
7. Probabilidades 24
7.2 Definic¸o˜es
De uma forma geral, qualquer subconjunto de um espac¸o amostral sera´ denominado Evento.
Os eventos sa˜o denotados por letras maiu´sculas (A, B, C, ...). Outro aspecto importante da
teoria de probabilidade esta´ na manipulac¸a˜o de eventos. Do ponto de vista pra´tico, os eventos
sa˜o as sentenc¸as (perguntas) que podemos formular sobre nosso experimento. Assim, desejamos
definir formas de manipular, ou seja, de operar estas sentenc¸as. As treˆs operac¸o˜es ba´sicas sa˜o:
Unia˜o ( ∪ ) : A unia˜o de dois conjuntos quaisquer E e F contera´ todos os elementos de E
e de F , incluindo os elementos que sejam comum aos dois ou na˜o.
Intersecc¸a˜o ( ∩ ) : A intersecc¸a˜o de dois conjuntos quaisquer E e F contera´ os elementos
comuns a E e F.
Complementar (Ac) : O evento complementar ao evento A e´ o conjunto dos elementos do
espac¸o amostral que na˜o pertencem a A.
Exemplo 7.3. Consideremos o lanc¸amento do dado no exemplo 7.2 . Temos:
a) A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A ∩B = {} = φ conjunto vazio
c) A ∩ C = {4, 6} e A ∪ C = {2, 4, 5, 6}
d) Cc = {1, 2, 3}
Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio e´ o conjunto composto por nenhum
elemento, que denotaremos por φ . Este conjunto esta´ contido em qualquer outro evento do
espac¸o amostral.
A probabilidade e´ uma forma de atribuirmos “pesos” relativo a ocorreˆncia dos eventos. A
probabilidade, que denotaremos por P, e´ uma func¸a˜o que tem domı´nio na classe de eventos e
tem como imagem nu´meros (pesos) entre 0 e 1. Ale´m disso, a probabilidade deve satisfazer
as seguinte regras. Considere um experimento, S o espac¸o amostral associado e P uma func¸a˜o
definida sobre a classe de eventos, tal que:
1. P (S) = 1;
2. 0 ≤ P (A) ≤ 1;
7. Probabilidades 25
3. Se A1, ..., An sa˜o mutuamente exclusivos, isto e´, Ai
⋂
Aj = ∅, i 6= j, enta˜o P (
⋃n
i=1Ai) =∑n
i=1 P (Ai).
Onde A e B sa˜o eventos, isto e´, subconjuntos do espac¸o amostral S. Qualquer func¸a˜o P que
atribua pesos a eventos associados a um espac¸o amostral e que satisfac¸a as propriedades (1) e
(2) acima sera´ denominada probabilidade.
Se os elementos de um espac¸o amostral S = e1, e2, · · · , en (finito) sa˜o equiprova´veis, isto e´,
todos os elementos do espac¸o amostral tem o mesmo “peso” (probabilidade) de ocorrer, temos
que
P ({ei}) = 1
n
Neste caso, podemos definir a probabilidade de um evento E = {ej1, · · · , ejk}, composto
por k (com k menor que n) elementos, como sendo:
P (E) =
nu´mero de casos favora´veis a E
nu´mero de casos poss´ıveis de S
=
k
n
Exemplo 7.4. Considere o lanc¸amento do dado descrito nos exemplos 7.2 e o 7.3. Neste caso,
os elementos do espac¸o amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sa˜o equiprova´veis, pois cada resultado tem
a mesma chance de ocorrer, isto e´,
P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({6}) = 1
6
Assim, temos que
P (A) = P ({2, 4, 6}) = P ({2}) + P ({4}) + P ({6}) = 1
6
+
1
6
+1
6
=
3
6
Com isso, obtemos que a probabilidade de ocorrer o evento A e´ igual ao nu´mero de elementos
favora´veis a A = {2, 5, 6} que e´ 3 (pois A tem 3 elementos) dividido pelo nu´mero de elementos
no espac¸o amostral que e´ 6. Desta forma, obtemos
P (A) =
3
6
, P (B) =
3
6
, P (C) =
3
6
P (A ∪B) = 6
6
= 1 , P (A ∩B) = 0
6
= 0
7. Probabilidades 26
P (A ∪ C) = 4
6
, P (A ∩ C) = 2
6
Uma propriedade importante para calcularmos a probabilidade de ocorreˆncia de eventos
associados ao experimento e´ a regra da soma (unia˜o) de dois eventos.
Regra da Soma: a probabilidade da unia˜o de dois eventos E e F pode ser calculada por
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )− P (E ∩ F )
Exemplo 7.5. Considere o exemplo 7.4. Queremos calcular P (A ∪ C). Temos
P (A ∪ C) = P (A) + P (C)− P (A ∩ C) = 3
6
+
3
6
− 2
6
=
4
6
Outra propriedade muito importante para a teoria de probabilidade e´ a independeˆncia entre
dois eventos. Na pra´tica, dois eventos sa˜o independentes quando a ocorreˆncia de um evento na˜o
influeˆncia na ocorreˆncia ou na˜o do outro evento. Do ponto de vista probabil´ıstico, definimos:
Independeˆncia: Dois eventos E e F sa˜o ditos “independentes” se
P (E ∩ F ) = P (E)× P (F )
Exemplo 7.6. Uma caixa conte´m 10 pec¸as, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos
duas pec¸as, ao acaso e com reposic¸a˜o, para inspec¸a˜o. Qual a probabilidade de se obter duas
pec¸as defeituosas?
Resposta:
O experimento de realizar a primeira retirada tem como espac¸o amostral S1 = {D1;B1} e
a segunda retirada tem como espac¸o amostral S2 = {D2;B2}, onde Di significa que retiramos
uma pec¸a Defeituosa na i-e´sima retirada e Bi significa que retiramos uma pec¸a Boa na i-e´sima
retirada, para i = 1, 2. Ale´m disso, temos que
P (D1) = P (D2) =
3
10
e P (B1) = P (B2) =
7
10
Pois as duas pec¸as sa˜o retiradas ao acaso e com reposic¸a˜o, isto e´, apo´s retirarmos a primeira
pec¸a, esta e´ a resposta a` caixa para que possamos efetuar a segunda retirada. Associamos ao
7. Probabilidades 27
experimento de retirar duas pec¸as ao acaso e com reposic¸a˜o o espac¸o amostral
S = {(D1, B2); (B1, D2); (D1, D2); (B1, B2)} .
Desde que a primeira e a segunda retiradas sa˜o executadas de forma independente, temos que
P [(D1;D2)] = P (D1 ∩D2) = P (D1)× P (D2) = 3
10
× 3
10
=
9
100
Muitas vezes precisamos calcular a probabilidade da ocorreˆncia de dois eventos simultane-
amente. Para efetuarmos tal ca´lculo, introduzimos o conceito de probabilidade condicional.
Probabilidade Condicional: A probabilidade de ocorrer um evento E dado que ocorreu
um evento F e´ dada por
P (E / F ) =
P (E ∩ F )
P (F )
Dessa relac¸a˜o sai a Regra do Produto que e´ dada por
P (E ∩ F ) = P (F )× P (E / F )
Com isso, conclu´ımos que a probabilidade de ocorreˆncia simultaˆnea dos eventos E e F e´
igual a probabilidade de ocorreˆncia do evento F (ou E) vezes a probabilidade de ocorreˆncia do
evento E (ou F) dado que ocorreu o evento F (ou E).
Exemplo 7.7. Considere o exemplo 7.6, mas agora as retiradas sera˜o feitas sem reposic¸a˜o, isto
e´, a primeira pec¸a retirada na˜o volta ao lote para retirarmos a segunda pec¸a. A probabilidade
de se retirar duas pec¸as defeituosas e´ dada por:
P (D1 ∩ D2) = P (D1)× P (D2 / D1) = 3
10
× 2
9
=
6
90
Exerc´ıcio 7.1. Considere um processo que apresenta 8% de defeituosos. Duas pec¸as sa˜o sele-
cionadas ao acaso e classificadas em defeituosas ou na˜o.
a) Qual o espac¸o amostral associado ao experimento de selecionar duas pec¸as e classifica´-las?
b) Qual a probabilidade de obtermos duas pec¸as defeituosas?
7. Probabilidades 28
Exerc´ıcio 7.2. Considere um processo composto por duas etapas. A etapa I apresenta 5%
de pec¸as defeituosas, enquanto que a etapa II apresenta 9% de pec¸as defeituosas. Qual a
probabilidade do processo fornecer uma pec¸a sem defeito?
7.3 Distribuic¸a˜o de Probabilidade Discreta
A distribuic¸a˜o de probabilidades de uma varia´vel aleato´ria discreta X, definida em um
espac¸o amostral (S), e´ uma tabela que associa a cada valor de X sua probabilidade.
Exemplo 7.8. Considere que uma moeda e´ lanc¸ada duas vezes. Seja X a func¸a˜o definida no
espac¸o amostral que e´ igual ao nu´mero de caras nos dois lanc¸amentos (C - Cara e C - Coroa).
Temos enta˜o: Os valores das probabilidades, na tabela acima, sa˜o obtidos da seguinte maneira:
Valores de X Pontos amostrais Probabilidades
0 CC 1/4
1 CC,CC 1/2
2 CC 1/4
Tabela 7.1: Tabela do Exerc´ıcio
P [X = 0] = P (CC) =
1
4
P [X = 1] = P (CC) + P (CC) =
1
2
P [X = 2] = P (CC) =
1
4
7.3.1 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada
O conceito de func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada que introduziremos aplica-se tanto a varia´veis
aleato´rias discretas quanto a varia´veis aleato´rias cont´ınuas. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
nos da´ outra maneira de descrever como as probabilidades sa˜o associadas aos valores ou aos
intervalos de valores de uma varia´vel aleato´ria.
Definic¸a˜o 7.3.1. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria X e´ uma
func¸a˜o que a cada nu´mero real x associa o valor:
F (x) = P [X ≤ x]
7. Probabilidades 29
A notac¸a˜o [X ≤ x] e´ usada para designar o conjunto {ω ∈ S : X(ω) ≤ x}, isto e´, denota a
imagem inversa do intervalo (−∞, x] pela varia´vel aleato´ria X.
Lema 7.3.1. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria X satisfaz as
seguintes condic¸o˜es:
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1
2. F (x) e´ na˜o decrescente e cont´ınua a` direita
3. limx→−∞ F (x) = 0 e limx→∞ F (x) = 1
7.3.2 Relac¸a˜o entre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada e a Dis-
tribuic¸a˜o de Probabilidade Discretas
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta cuja distribuic¸a˜o de probabilidade associa aos valores
x1, x2, . . . , xn
as respectivas probabilidades
P [X = x1], P [X = x2], . . . , P [X = xn]
.
Como os valores de X sa˜o mutuamente exclusivos, temos que:
F (x) =
∑
P [X = xi]
Assim, dada a distribuic¸a˜o de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria discreta sua func¸a˜o
de distribuic¸a˜o acumulada fica determinada.
7.3.3 Esperanc¸a de Varia´veis Aleato´rias Discretas
Definic¸a˜o 7.3.2. A esperanc¸a matema´tica de uma varia´vel aleato´ria discreta X que assume
os valores xi, com respectivas probabilidades P [X = xi], para i = 1, 2, . . . , e´ dada por:
E(X) =
∑
xiP [X = xi] (7.1)
7. Probabilidades 30
Lema 7.3.2. Se as esperanc¸as das varia´veis aleato´rias X e Y existem, enta˜o existe a esperanc¸a
de X + Y e se c e´ uma constante tem-se:
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(cX) = cE(X)
7.3.4 Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Discretas
Definic¸a˜o 7.3.3. A variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria discreta X e´ definida por:
V ar(X) = E(X − E(X))2 (7.2)
ou
V ar(X) = E(X2)− (E(X))2
7.4 Modelos Probabil´ısticos Discretos
Agora iremos apresentar alguns dos principais modelos probabil´ısticos utilizados para de-
screver va´rios fenoˆmenos ou situac¸o˜es que encontramos na natureza ou ainda experimentos por
no´s constru´ıdos.
Na pra´tica, nossos experimentos consistem em medir etapas de um processo. Como resulta-
dos destas medic¸o˜es obtemos valores nume´ricos ou atributos, que caracterizam a performance
do processo. Os resultados das medic¸o˜es sa˜o denominados varia´veis aleato´rias.
7.4.1 Distribuic¸a˜o Binomial
Quando queremos classificar um lote de 20 pec¸as em defeituosas ou na˜o, e contamos o
nu´mero de pec¸as defeituosas, associamos uma varia´vel aleato´ria X, que representa este nu´mero
de pec¸as defeituosas.
Esta varia´vel pode assumir, por exemplo, valores 0, 1, 2, · · · , 20. Associado a uma varia´vel
aleato´ria, assumindo um nu´mero finito (ou infinito enumera´vel) de valores,definimos a func¸a˜o
de probabilidade da varia´vel aleato´ria X, como a probabilidade da varia´vel X assumir o valor
x. A func¸a˜o de probabilidade sera´ denotada por P [X = x].
7. Probabilidades 31
Como o leitor deve ter notado, em todas as situac¸o˜es descritas cada elemento da populac¸a˜o
e´ classificado segundo possua ou na˜o uma dada caracter´ıstica.
Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequ¨encia de ensaios de Bernoulli.
Uma sequ¨encia de Bernoulli e´ definida por meio das treˆs condic¸o˜es seguintes:
i. Em cada ensaio considera-se somente a ocorreˆncia ou na˜o-ocorreˆncia de um certo evento
que sera denominado sucesso (S) e cuja na˜o ocorreˆncia sera´ denominada falha (F).
ii. Os ensaios sa˜o independentes.
iii. A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p, e´ a mesma para cada ensaio. A
probabilidade de falha sera´ denotada por 1 - p.
Para um experimento que consiste na realizac¸a˜o de n ensaios de Bernoulli, o espac¸o amostral
pode ser considerado como o conjunto de n-uplas de comprimento n, em que cada posic¸a˜o ha´
um sucesso (S) ou uma falha (F).
Pelas condic¸o˜es 2 e 3 vemos que a probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos
k primeiros ensaios e falhas nos n − k ensaios seguintes e´ pk(1 − p)n−k. Note que esta e´ a
probabilidade de qualquer ponto com k sucessos e n-k falhas. O nu´mero de pontos do espac¸o
amostral que satisfaz essa condic¸a˜o e´ igual ao nu´mero de maneiras com que podemos escolher k
ensaios dentre os n para a ocorreˆncia de sucesso, pois nos n-k restantes devera˜o ocorrer falhas.
Este nu´mero e´ igual ao nu´mero de combinac¸o˜es de n elementos tomados k a k, ou seja
 n
k
.
Decorre do que foi exposto que, para k = 0,1,. . . ,n:
P [X = k] =
 n
k
 pk(1− p)n−k. (7.3)
A fo´rmula 7.3 e´ denominada distribuic¸a˜o binomial com paraˆmetros n e p, onde n e´ o nu´mero
de ensaios e p a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
O nu´mero de sucessos X em n ensaios de Bernoulli pode ser representado por meio de
varia´veis aleato´rias associadas a cada ensaio, que assumem valores zero ou 1.
Seja Xi = 1 se ocorre sucesso no i-e´simo ensaio e Xi = 0 se ocorre falha, para i = 1, 2, . . . , n.
Enta˜o X pode ser expresso da seguinte maneira:
X = X1 +X2 + · · ·+Xn.
7. Probabilidades 32
Como motivac¸a˜o, suponha que estamos interessados em retirar o nu´mero 4 ao lanc¸ar um
dado. Se ocorrer o no 4 diremos que ocorreu SUCESSO, caso contra´rio, diremos que ocorreu
FRACASSO. Assim temos
P (SUCESSO) =
1
6
e P (FRACASSO) =
5
6
Suponha agora que lancemos o dado 5 vezes. E´ claro que o resultado de um lanc¸amento
independe do anterior, do posterior ou de qualquer outro lanc¸amento.
Digamos que estamos interessados em calcular a probabilidade de obter o no 4, duas vezes.
Podemos obter o no 4, duas vezes de va´rias maneiras. Uma maneira e´ (a na˜o ocorreˆncia de 4
sera´ denotada por 0):
4 4 0 0 0 com probabilidade
1
6
× 1
6
× 5
6
× 5
6
× 5
6
=
(
1
6
)2
×
(
5
6
)3
Uma outra maneira e´
4 0 4 0 0 com probabilidade
1
6
× 5
6
× 1
6
× 5
6
× 5
6
=
(
1
6
)2
×
(
5
6
)3
com probabilidade igual a anterior. Assim, qualquer sequ¨eˆncia contendo o no 4, duas vezes e treˆs
outros valores quaisquer tem a mesma probabilidade. Como qualquer uma dessas sequ¨eˆncias
serve ao nosso interesse, a probabilidade procurada e´ a soma das probabilidades de todas as
sequ¨eˆncias. Precisamos saber enta˜o quantas sequ¨eˆncias existem. A resposta e´ dada por:
C(5, 2) =
5!
2!× (5− 2)! = 10
onde 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120 (fatorial de 5) . O nu´mero C(i, j) corresponde ao nu´mero de
vezes que podemos combinar i elementos em subgrupos de j, com j menor ou igual a i.
Assim temos
P (no 4 duas vezes) = 10×
(
1
6
)2
×
(
5
6
)3
Agora vamos generalizar esse resultado. Suponha um experimento com apenas dois resul-
tados poss´ıveis: SUCESSO e FRACASSO, tal que P (SUCESSO) = p e P (FRACASSO) =
1− p = q . Vamos repetir esse experimento n vezes e estamos interessados em obter k SUCES-
SOS, e consequ¨entemente n−k FRACASSOS. O nu´mero de sucessos a serem obtidos e´ varia´vel
e o chamaremos de X. Assim temos que
7. Probabilidades 33
P (X = k) = C(n, k)× pk × (1− p)n−k
onde k = 0, 1, 2, · · · , n e
C(n, k) =
n!
k!× (n− k)! .
Exemplo 7.9. Suponha que numa linha de produc¸a˜o a probabilidade de se obter uma pec¸a
defeituosa (sucesso) e´ p = 0, 1. Toma-se uma amostra de 10 pec¸as para serem inspecionadas.
Qual a probabilidade de se obter:
a) Uma pec¸a defeituosa?
b) Nenhuma pec¸a defeituosa?
c) Duas pec¸as defeituosas?
d) No mı´nimo duas pec¸as defeituosas?
e) No ma´ximo duas pec¸as defeituosas?
Soluc¸a˜o:
a) P (X = 1) = C(10, 1)× (0, 1)1 × (1− 0, 1)10−1 = 10!
1!×(10−1)! × 0, 1× (0, 9)9 = 0, 3874
b) P (X = 0) = C(10, 0)× (0, 1)0 × (1− 0, 1)10−0 = 10!
0!×(10−0)! × (0, 9)10 = 0, 3486
c) P (X = 2) = C(10, 2)× (0, 1)2× (1− 0, 1)10−2 = 10!
2!×(10−2)! × (0, 1)2× (0, 9)8 = 0, 1937
d) P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) ou P (X ≥
2) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1)] = 0, 2639
e) P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 9298
Uma caracter´ıstica de uma varia´vel aleato´ria X e´ o seu valor esperado, que e´ denotado por
E[X]. O valor esperado representa o nu´mero me´dio de pec¸as defeituosas em uma amostra de
pec¸as. Por definic¸a˜o, temos que
E[X] =
n∑
k=0
k × P (X = k)
Considerando X com distribuic¸a˜o binomial, enta˜o
7. Probabilidades 34
E[X] =
n∑
k=0
k × C(n, k)× pk × (1− p)n−k = n× p
Para uma amostra de tamanho 10 e p = 0.1 , obtemos que
E[X] = n× p = 10× 0, 1 = 1
e a variaˆncia Var[X] corresponde ao valor me´dio quadra´tico em torno de E[X], ou seja
V ar[X] = E (X − E[X])2 = E[X2] − (E[X])2 = n× p× (1− p)
Para o exemplo, temos que
σ2x = V ar[X] = n× p× (1− p) = 10× 0, 1× 0, 9 = 0, 9
e o desvio padra˜o e´
σx =
√
σ2x = 0, 9487
Exerc´ıcio 7.3. Considere uma linha de montagem que apresenta 6% de produtos defeituosos.
Em um lote de 50 produtos calcule a probabilidade de:
a) Encontrarmos nenhum produto defeituoso;
b) Obtermos dois produtos defeituosos;
c) Obtermos dois ou mais produtos defeituosos;
d) Qual o nu´mero esperado de produtos defeituosos em um lote de 200 produtos?
e) Calcular tambe´m o desvio padra˜o.
7.4.2 Distribuic¸a˜o de Poisson
Na distribuic¸a˜o binomial quando o tamanho da amostra n e´ grande (n→∞) e p e´ pequeno
(p→ 0) , o ca´lculo da probabilidade
P (X = k) = C(n, k)× pk × (1− p)n−k
7. Probabilidades 35
pode ser feito usando a seguinte expressa˜o
P (X = k) =
e−λ × λk
k!
onde k = 0, 1, 2, 3, · · · , e = 2, 718 e λ = n× p.
Essa expressa˜o e´ devido a Poisson e e´ muito usada para calcular probabilidades de ocorreˆncias
de defeitos “raros” em sistemas e componentes. O nu´mero de defeitos e´ a varia´vel representada
por X. A me´dia de X e´ dada por:
µx = E(X) =
∞∑
k=0
k × P (X = k) =
∞∑
k=0
k × e
−λ × λk
k!
= λ
que frequ¨entemente e´ chamada de taxa de defeitos. A variaˆncia de X e´ dada por:
σ2x = E(X
2) − [E(X)]2 = λ
e o desvio padra˜o e´:
σx =
√
σ2x =
√
λ
Exemplo 7.10. Para um processo que mante´m uma taxa de 0,2 defeitos por unidade. Qual a
probabilidade de uma unidade qualquer apresentar:
a) Dois defeitos?
b) Um defeito?
c) Zero defeito?
Resposta:
Temos que λ = 0, 2 , enta˜o
a) P (X = 2) = e
−0,2×(0,2)2
2!
= 0, 0164
b) P (X = 1) = e
−0,2×(0,2)1
1!
= 0, 1637
c) P (X = 0) = e
−0,2×(0,2)0
0!
= 0, 8187
esse u´ltimo valor, P (X = 0), e´ chamado de “rendimento” do processo (ou produto).
7. Probabilidades 36
Exerc´ıcio 7.4. Suponha que temos um produto composto por treˆs componentes A, B e C. A
taxa de ocorreˆncia de defeitosdo componente A e´ de 0,02, do componente B e´ de 0,04 e do
componente C e´ de 0,03. Calcule a probabilidade do produto apresentar zero defeito.
7.4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica
Consideremos uma sequ¨eˆncia ilimitada de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em
cada ensaio. Designemos sucesso por S e falha por F . Realizamos os ensaios ate´ que ocorra o
primeiro sucesso.
O espac¸o amostral para este experimento e´ o conjunto :
(S, FS, FFS, . . ., FF, . . ., FS, . . .)
Um elemento t´ıpico desse espac¸o amostral e´ uma sequ¨encia de comprimento n em que nas
primeiras n− 1 posic¸o˜es temos F e na n-e´sima temos S.
Seja X a varia´vel aleato´ria que da´ o nu´mero de falhas que precedem o primeiro sucesso. A
distribuic¸a˜o de probabilidade de X e´ dada por
P [X = j] = (1− p)jp , j = 0, 1, . . . . (7.4)
O evento [X = j] ocorre se e somente se ocorrem somente falhas nos j primeiros ensaios e
sucesso no (j + 1)-e´simo ensaio. A expressa˜o 7.4 segue da independeˆncia dos ensaios. Vamos
calcular E(X) a partir da definic¸a˜o. No Ca´lculo de E(X), utilizaremos uma expressa˜o que vale
a pena destacar, pois e´ de interesse geral.
Para todo nu´mero real x no intervalo (0,1) consideremos a se´rie geome´trica cuja soma e´
dada a seguir:
∞∑
i=0
xi =
1
1− x (7.5)
Derivando-se ambos os membros da igualdade, temos:
d
dx
∑
xi =
∑
ix(i−1) =
1
(1− x)2 . (7.6)
Usando-se a definic¸a˜o de esperanc¸a temos:
E(X) =
∑
j(1− p)jp = p
∑
j(1− p)j = p(1− p)
∑
j(1− p)j−1 = p(1− p)
p2
. (7.7)
7. Probabilidades 37
Observe que utilizamos 7.6 e x = 1−p para obter a u´ltima desigualdade acima. Simplificando
vem:
E(X) =
1− p
p
(7.8)
Usando a expressa˜o podemos calcular E(X2) e obter a variaˆncia de X. Sugerimos ao leitor
que fac¸a esse ca´lculo que fornecera´:
V ar[X] =
1− p
p2
(7.9)
A distribuic¸a˜o geome´trica tem uma propriedade que serve para caracteriza´-la no conjunto
das distribuic¸o˜es discretas, que e´ expressa no seguinte lema:
Lema 7.4.1. Se X e´ varia´vel aleato´ria discreta com distribuic¸a˜o geome´trica, enta˜o, para todo
j, k = 1, 2, . . . tem-se:
P [X ≥ j + k|X ≥ j] = P [X ≥ k]
Este Lema reflete a falta de memo´ria ou de desgaste da distribuic¸a˜o geome´trica.
Exemplo 7.11. A durac¸a˜o (em centenas de horas) de um determinado componente eletroˆnico,
foi modelada por uma distribuic¸a˜o geome´trica com paraˆmetro p=0,8. Determine a probabilidade
desse componente eletroˆnico:
a. Durar menos de 400 horas.
b. Durar mais de 500 horas.
Durac¸a˜o em horas(centenas) Probabilidade Acumulada
0 0,8000 0,8000
1 0,1600 0,9600
2 0,0320 0,9920
3 0,0064 0,9984
4 0,0013 0,9997
5 0,0003 0,9999
Tabela 7.2: Tabela de probabilidade da distribuic¸a˜o geome´trica
Soluc¸a˜o:
7. Probabilidades 38
a. Para tal temos :P [X = k] = (1− p)k.p, agora para a
P [X ≥ 400horas] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3]
= (1− 0, 8)0 × (0, 8) + (1− 0, 8)1 × (0, 8) + (1− 0, 8)2 × (0, 8) + (1− 0, 8)3 × (0, 8)
= 0, 800000 + 0, 160000 + 0, 032000 + 0, 006400 = 0, 9984
b. Para tal temos :P [X = k] = (1− p)k.p, agora para a
P [X ≥ 500horas] = 1− P [X = 5]
= 1− (1− 0, 8)5 × (0, 8)
= 1− 0, 999936 = 0, 000064
7.4.4 Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica
Essa distribuic¸a˜o representa um modelo para amostragem sem reposic¸a˜o de uma populac¸a˜o
com um nu´mero finito de elementos, em que cada elemento pode ser de um de dois tipos. Se a
populac¸a˜o tem N elementos, M de um tipo e N −M do outro. Enta˜o podemos mostrar que a
distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X e´ dada por:
P [X = k] =
 M
k
 N −M
n− k

 N
n
 ,
onde
max{0, n− (N −M)} ≤ k ≤ min{M,n}
Por exemplo, suponha uma urna contendo M bolas brancas e N − M bolas vermelhas.
Retira-se da urna n bolas sem reposic¸a˜o, isto e´, apo´s cada retirada a bola selecionada na˜o e´
reposta na urna. Vamos designar X o nu´mero de bolas brancas entre as n bolas retiradas da
urna. Para justificar os limites, notemos que o nu´mero de bolas brancas na amostra k e´ menor
ou igual ao nu´mero de bolas brancas na urna M e tambe´m menor ou igual ao nu´mero de bolas
7. Probabilidades 39
na amostra n, portanto menor ou igual ao menor deles. Se o tamanho da amostra n e´ menor
ou igual ao nu´mero de bolas vermelhas N −M , enta˜o na amostra todas podem ser vermelhas
e portanto k = 0. Se n ≥ (N −M), enta˜o mesmo que todas as (N −M) vermelhas pertenc¸am
a` amostra, havera´ n− (N −M) brancas na amostra.
O espac¸o amostral para esse experimento e´ formado pelo conjunto das amostras na˜o orde-
nadas de n bolas retiradas das N , ou o que e´ o mesmo, pelo conjunto das combinac¸o˜es de N
elementos tomados n a n, cuja representac¸a˜o e´ igual a:
 N
n

Existem
 M
k
 combinac¸o˜es de k bolas brancas retiradas das M e
 N −M
n− k
 com-
binac¸o˜es de n − k vermelhas retiradas das N −M . Assim o nu´mero de combinac¸o˜es com k
brancas e n− k vermelhas e´ o produto:
 M
k
 N −M
n− k

Mostramos assim a Distribuic¸a˜o de Probabilidade da Hipergeome´trica.
Se X segue uma distribuic¸a˜o Hipergeome´trica com paraˆmetros N − 1, M − 1 e n − 1,
enta˜o a Esperanc¸a e´ dada por:
E(X) = n.
M
N
e a Variaˆncia e´ dada por:
V ar(X) = n
M
N
N −M
N
(
1− n− 1
N − 1
)
Exemplo 7.12. Uma empresa fabrica um tipo de tomada que sa˜o embalados em lote de 25
unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fa´brica, o controle de qualidade da empresa
tomou o seguinte procedimento. Sorteia um lote e desse lote seleciona 8 tomadas para teste,
sem reposic¸a˜o. Se constatar no ma´ximo duas defeituosas, aceita o lote fornecido pelo fabrica.
Se a caixa sorteada tivesse 7 pec¸as defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?
N=25, n=8 (tamanho da amostra) e r=7 (n◦ de defeituosas).
Soluc¸a˜o:
7. Probabilidades 40
P [aceitar o lote] = P [D ≤ 2] = P [D = 0] + P [D = 1] + P [D = 2]
=
 7
0
 25− 7
8− 0

 25
8
 +
 7
1
 25− 7
8− 1

 25
8
 +
 7
2
 25− 7
8− 2

 25
8
 = 0, 0010069
7.5 Exerc´ıcios
Nestes quatro cap´ıtulos iniciais, discutimos a estrate´gia de rompimento para a melhoria
cont´ınua e me´todos estat´ısticos para contagem de pec¸as defeituosas. Abaixo, vamos revisar
alguns destes conceitos atrave´s de exerc´ıcios.
Exerc´ıcio 7.5. Uma instalac¸a˜o e´ constitu´ıda por duas caldeiras e uma ma´quina. Esta in-
stalac¸a˜o funciona se a ma´quina e pelo menos uma das caldeiras estiver funcionando. Sejam os
eventos:
• A: Ma´quina em condic¸o˜es de funcionamento;
• B1: A caldeira 1 esta´ em condic¸o˜es de funcionamento;
• B2: A caldeira 2 esta´ em condic¸o˜es de funcionamento;
• C: A instalac¸a˜o esta´ em condic¸o˜es de funcionamento;
Expresse o evento C e o evento Cc (complementar) em termos dos eventos A e Bk (k = 1, 2).
Exerc´ıcio 7.6. Utilizando a mesma notac¸a˜o do exerc´ıcio 7.5, se P (A) = 0, 95, P (B1) = 0, 78
e P (B2) = 0, 85, qual a probabilidade da instalac¸a˜o na˜o estar em condic¸o˜es de funcionamento?
Exerc´ıcio 7.7. Um lote e´ formado por 10 pec¸as boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos
graves. Uma pec¸a e´ escolhida ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) A pec¸a seja defeituosa;
b) A pec¸a na˜o tenha defeito grave;
c) A pec¸a seja boa ou tenha defeito grave;
7. Probabilidades 41
Exerc´ıcio 7.8. Atrave´s de dados histo´ricos, sabemos que a proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas em
uma fa´brica e´ de 6%. Um lote de 30 pec¸as e´ retirado da produc¸a˜o:
a) Qual a probabilidade de encontrarmos nenhuma pec¸a defeituosa na amostra?
b) Qual a probabilidade de encontrarmos duas ou mais pec¸as defeituosas na amostra?
c) Qual o nu´mero esperado de pec¸as defeituosas na amostrae qual o seu desvio padra˜o?
Exerc´ıcio 7.9. No processo de fundic¸a˜o de pec¸as, o problema de descontinuidades na pec¸a
(o´xido, bolha, poros, entre outros) pode sucatear a pec¸a. Utilizando dados histo´ricos, sabemos
que a taxa de ocorreˆncia de descontinuidades por pec¸a e´ de 0,2. Qual a probabilidade de obter-
mos uma pec¸a com zero descontinuidades? Em um lote de 200 pec¸as, qual o nu´mero esperado
de descontinuidades?
7.6 Distribuic¸o˜es de Probabilidade Continua
As varia´veis aleato´rias cont´ınuas, como o tempo de durac¸a˜o de uma chamada telefoˆnica num
dado instante assumem valores na reta ou em intervalos da reta. Na˜o podemos esperar que
possamos atribuir probabilidades aos valores de uma varia´vel cont´ınua da mesma maneira que o
fizemos para as varia´veis discretas, pois a soma de uma quantidade na˜o enumera´vel de nu´meros
positivos na˜o poderia ser igual a um. Enta˜o podemos atribuir probabilidades a intervalos de
valores da varia´vel cont´ınua por meio de uma func¸a˜o. E´ uma func¸a˜o na˜o negativa tal que sua
integral num dado intervalo e´ igual a probabilidade da varia´vel pertencer ao intervalo. Impo˜e-se
ainda a condic¸a˜o de que a integral estendida a` reta toda seja igual a um, pois ao ser realizado
o experimento algum evento ocorre.
Definic¸a˜o 7.6.1. A func¸a˜o densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua e´
uma func¸a˜o f(x) ≥ 0, tal que:
∫ +∞
−∞
f(x)dx = 1
7. Probabilidades 42
7.6.1 Relac¸a˜o entre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada e a Func¸a˜o
densidade de Probabilidade Cont´ınua
Para uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com densidade de probabilidade f(x) podemos obter
a func¸a˜o de distribuic¸a˜o F (x) integrando-se a densidade de probabilidade,
F (x) = P [X ≤ x] =
∫ x
−∞
f(y)dy
Se a densidade f(x) for cont´ınua no seu campo de definic¸a˜o, enta˜o decorre do teorema
fundamental do ca´lculo que:
F (1)(x) = f(x)
7.6.2 Esperanc¸a de Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Definic¸a˜o 7.6.2. A esperanc¸a matema´tica de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X, com densi-
dade de probabilidade f(x) e´ dada por:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
7.6.3 Variaˆncia de Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Definic¸a˜o 7.6.3. A variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X e´ definida por:
V ar(X) = E(X − E(X))2
ou
V ar(X) = E(X2)− (E(X))2
7.7 Modelos Probabil´ısticos Cont´ınuos
Agora apresentaremos os modelos probabil´ısticos descritos por varia´veis aleato´rias que pos-
suem uma densidade de probabilidade. Cada modelo corresponde a uma famı´lia de distribuic¸o˜es
de probabilidade, expressa por densidades de probabilidade que dependem de um ou mais
paraˆmetros.
7. Probabilidades 43
7.7.1 Distribuic¸a˜o Uniforme
Definic¸a˜o 7.7.1. A varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [a, b] se sua
densidade de probabilidade for dada por:
f(x) =
1
b− a
para a ≤x≤ b e f(x) = 0 fora desse intervalo
Figura 7.1: Gra´fico da func¸a˜o densidade de probabilidade da Uniforme
Vamos calcular a expressa˜o 7.10.
E(X) =
∫
x
1
b− adx =
a+ b
2
(7.10)
O segundo momento de X e´ dado por:
E(X2) =
1
b− a
∫ b
a
x2dx =
a2 + ab+ b2
3
(7.11)
Substituindo os valores dados por 7.10 e 7.11 na expressa˜o 7.12 obtemos a variaˆncia de X
V ar(X) = E(X2)− (E(X))2 = (b− a)
2
12
. (7.12)
Vamos descrever um experimento cujo resultado nos da´ a distribuic¸a˜o uniforme no intervalo
(0, 2pi). Consideremos um segmento de comprimento 2pi. Vamos unir as duas pontas desse
segmento e formar um c´ırculo de raio unita´rio. O comprimento desse c´ırculo e´ precisamente de
2pi. Vamos fixar um ponteiro no centro desse c´ırculo e vamos enta˜o gira´-lo, observando ate´ que
ele venha a parar. Por razo˜es de simetria no´s vemos que a chance do ponteiro parar de girar
em qualquer arco do c´ırculo e´ a mesma para qualquer arco de um comprimento dado. Seja X
o comprimento do arco determinado pela origem e pelo ponto onde o ponteiro parar. Assim
temos uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (0, 2pi).
7. Probabilidades 44
Se quisermos obter a distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [a, b] basta poˆr b−a = 2pir, construir
um c´ırculo de raio r = b−a
2pi
e proceder da maneira descrita.
Exemplo 7.13. A ocorreˆncia de panes em qualquer ponto de uma rede telefoˆnica de 7 km foi
modelada por uma distribuic¸a˜o Uniforme entre [0 e 7]. Qual e´ a probabilidade de que uma pane
venha a ocorrer nos primeiros 800 metros? E de que ocorra nos 3 km centrais da rede?
Soluc¸a˜o:A func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o Uniforme e´ dada por f(x) = 1
7
, 0 ≤ x ≤ 7.
Assim,
P [X ≤ 0, 8] =
∫ 0,8
0
f(x)dx =
0, 8− 0
7
= 0, 1142.
P [2 ≤ x ≤ 5] =
∫ 5
2
f(x)dx = P [X ≤ 5]− P [X ≤ 2] = 5
7
− 2
7
=
5− 2
7
= 0, 4285.
7.7.2 Distribuic¸a˜o Normal
Uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o normal tem func¸a˜o densidade de probabilidade
em forma de “sino”, como abaixo
A func¸a˜o densidade de probabilidade e´ definida por:
f(x) =
1√
2piσ2
exp
[
−1
2
(
x− µ
σ
)2]
, x ∈ (−∞,+∞)
Ale´m disso,
µ = E[X] =
∫ ∞
−∞
f(x)dx ∈ (−∞,+∞) e σ2 = E[X2]− (E[X])2 ∈ [0,+∞)
Se tomarmos µ = 0 e σ = 1, dizemos que a varia´vel aleato´ria tem distribuic¸a˜o normal padra˜o.
Abaixo, apresentamos o gra´fico da func¸a˜o densidade da normal e algumas a´reas (probabilidades)
importantes.
7. Probabilidades 45
Quando µ e σ sa˜o desconhecidos, como geralmente acontece, sa˜o substitu´ıdos por x e s,
respectivamente, a partir da amostra.
x¯ =
x1 + x2 + . . .+ xn
n
s =
√√√√ 1
n− 1
n∑
i=1
(xi − x¯)2
Para cada valor de µ e/ou σ , temos uma distribuic¸a˜o. Mas para se calcular a´reas es-
pec´ıficas, se faz uso de uma distribuic¸a˜o particular: a “distribuic¸a˜o normal padronizada”. Esta
distribuic¸a˜o tem me´dia µ = 0 e desvio padra˜o σ = 1, e esta´ tabelada. Como a distribuic¸a˜o e´
sime´trica em relac¸a˜o a` me´dia, a a´rea a` direita e´ igual a a´rea a` esquerda de µ. Assim, as tabelas
fornecem a´reas acima de valores na˜o-negativos que va˜o desde 0.00 ate´ 4.09, dependendo da
tabela.
Se X e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o normal, com me´dia e desvio padra˜o quaisquer,
podemos reduzir X a uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia zero e variaˆncia σ2, na forma:
Z =
X − µ
σ
(7.13)
Exemplo 7.14. Considere X uma varia´vel aleato´ria Normal com me´dia 11,15 e desvio-padra˜o
2,238. Para calcularmos a probabilidade de X ser menor que 8,7 procedemos:
P [X < 8, 7] = P
[
8, 7− 11, 15
2, 238
]
= P [Z < −1, 0947] = 0, 1368 = 13, 7% (7.14)
7. Probabilidades 46
7.8 Modelos Probabil´ısticos para o Tempo de Falha
Existe uma se´rie de modelos probabil´ısticos utilizados em ana´lise de dados de confiabili-
dade, alguns destes modelos ocupam uma posic¸a˜o de destaque por sua comprovada adequac¸a˜o
a va´rias situac¸o˜es pra´ticas. Entre estes modelos podemos citar o Exponencial, Weibull, Valor
Extremo ou Gumbel, o Log-normal. E´ importante entender que cada distribuic¸a˜o de probabili-
dade pode gerar estimadores diferentes para caracter´ısticas de durabilidade do produto. Desta
forma, a utilizac¸a˜o de um modelo inadequado levara´ a erros grosseiros nas estimativas destas
quantidades. A escolha de um modelo adequado para descrever o tempo de falha de um deter-
minado produto deve ser feita com bastante cuidado. Uma func¸a˜o que sera´ utilizada inu´meras
vezes para descrever dados de tempo de falha e´ a func¸a˜o taxa de falha. A func¸a˜o taxa de falha
no intervalo [t1, t2) e´ definida como a probabilidade de que a falha ocorra nesse intervalo, dado
que esta falha na˜o ocorreu antes de t1, dividida pelo comprimento do intervalo. A taxa de falha
no intervalo [t1, t2) e´ expressa por:h(t) =
R(t1)−R(t2)
(t2 − t1)R(t1) ,
onde R(t) e´ a func¸a˜o de confiabilidade.
No caso de distribuic¸o˜es cont´ınuas, a expressa˜o para taxa de falha e´ dada por:
h(t) =
f(t)
R(t)
7.8.1 Distribuic¸a˜o Exponencial
Esta e´ uma distribuic¸a˜o que se caracteriza por ter uma func¸a˜o de taxa de falha constante.
A distribuic¸a˜o exponencial e´ a u´nica com esta propriedade. Ela e´ considerada uma das mais
simples em termos matema´ticos. Esta distribuic¸a˜o tem sido usada extensivamente como um
modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o
tempo de vida de o´leos isolantes e diele´tricos entre outros. A func¸a˜o densidade para um tempo
de falha T com distribuic¸a˜o exponencial e´ dada por
f(t) =
1
α
exp(−t/α) (7.15)
onde α ≥ 0 e´ o tempo me´dio de vida. O paraˆmetro tem a mesma unidade do tempo da falha
t. Isto e´, se t e´ medido em horas, α tambe´m sera´ medido em horas. A func¸a˜o de confiabilidade
7. Probabilidades 47
R(t) que e´ a probabilidade do produto continuar funcionando ale´m do tempo t, e´ dada para a
distribuic¸a˜o exponencial por
R(t) = 1− F (t) = 1−
∫ t
0
f(s)ds = exp(−t/α) (7.16)
Figura 7.2: Gra´fico da func¸a˜o de confiabilidade
A Figura 7.2 mostra a forma t´ıpica desta func¸a˜o de confiabilidade. A func¸a˜o da taxa de
falha associada a distribuic¸a˜o exponencial e´ constante igual a 1
α
0. Como foi dito anteriormente,
somente a distribuic¸a˜o exponencial tem uma taxa de falha constante. Isto significa que, tanto
uma unidade velha quanto uma unidade nova que ainda na˜o falharam teˆm a mesma proba-
bilidade de falhar em um intervalo futuro. Esta propriedade e´ chamada de falta de memo´ria
da distribuic¸a˜o exponencial. Outras caracter´ısticas de durabilidade de interesse sa˜o a me´dia,
a variaˆncia e os percentis. O percentil 100p% corresponde ao tempo me´dio em que 100p% dos
produtos falharam. A me´dia da distribuic¸a˜o exponencial (MTTF ou MTBF) e´ α e a variaˆncia
e´ α2. Os percentis sa˜o importantes quando queremos obter informac¸o˜es, por exemplo, a re-
speito de falhas prematuras. Eles podem ser obtidos a partir da func¸a˜o de confiabilidade. Estes
ca´lculos sa˜o ilustrados a seguir.
7. Probabilidades 48
Exemplo 7.15. O tempo ate´ a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuic¸a˜o
exponencial com MTBF (α) e´ igual a 28700 horas. A probabilidade de um destes ventiladores
na˜o falhar nas primeiras 8000 horas de funcionamento e´ enta˜o:
R(8000) = exp(−8000/28700) = 0.76
Se 8000 horas e´ o tempo de garantia dado pelo fabricante, significa que 24% e´ a frac¸a˜o
esperada de ventiladores que falharam na garantia. O percentil 100p%, tp, e´ dado para a
distribuic¸a˜o exponencial por
1− p = R(tp) = exp(−tp/α)
Aplicando o logaritmo de ambos os lados, obtemos
tp = α log(1 − p). Em estudos de durabilidade queremos muitas vezes conhecer baixos
percentis de 1% e tambe´m a mediana que e´ o percentil de 50%. A me´dia da distribuic¸a˜o
exponencial corresponde ao t0,63, ou seja, o percentil 63%.
Por exemplo, para ventiladores de motores a diesel no exemplo acima o percentil 1% e´
T0,01 = −28700log(1− 0.01) = 288 horas.
Isto significa, que e´ esperado que cerca de 1% dos ventiladores falhem nas primeiras 288
horas de uso. De forma similar a mediana e´ calculada obtendo 19900 horas.
7.8.2 Distribuic¸a˜o de Weibull
A Distribuic¸a˜o de Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos
relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela e´ frequentemente usada para
descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicac¸o˜es pra´ticas
deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade
ba´sica: a sua func¸a˜o de taxa de falha e´ mono´tona. Isto e´, ou ela e´ crescente ou decrescente ou
constante. Ela descreve adequadamente vida de mancais, componentes eletroˆnicos, ceraˆmicas,
capacitores e diele´tricos.
A func¸a˜o de densidade da distribuic¸a˜o de Weibull e´ dada por
f(t) =
δ
αδ
tδ−1exp[−(t/α)δ], t ≥ 0
Exemplo 7.16. Um exemplo de uso da distribuic¸a˜o de Weibull e´ o tempo de vida de um
capacitor com α = 100000 horas e δ = 0, 5. A func¸a˜o de confiabilidade e´ dada por
R(t) = 1−
∫ t
0
f(s)ds = exp
[
−
(
t
α
)α]
, t ≥ 0
7. Probabilidades 49
Desta forma a confiabilidade para um ano e´ R(8760) = exp[−(8760/100000)0,5] = 0,74 ou
74%. Isto significa que a probabilidade do capacitor operar por um tempo superior a um ano e´
de 0,74.
As expresso˜es para a me´dia e a variaˆncia da Weibull inclui o uso da func¸a˜o gama, isto e´
MTTF(ou MTBF) = E[T] = αΓ[1 + (1/δ)] V ar(T ) = α2{Γ[1 + (2/δ)]− Γ[1 + (1 + δ)]2)]}
onde Γ(r) = (r − 1)! para r inteiro. Os valores para a func¸a˜o gama podem ser obtidos via
Minitab. E os percentis sa˜o dados por tp = α[− ln(1− p)]1/δ
No exemplo acima, o tempo me´dio de vida do capacitor e´ 100000Γ(1 + 2) = 200000 horas.
O percentil 10% e´ t0,10 = 100000(− ln(0, 9))2 = 1110 horas. A distribuic¸a˜o de Weibull tem uma
func¸a˜o de taxa de falha dada por
h(t) =
δ
α
(t/α)δ−1, t ≥ 0
Figura 7.3: Gra´fico da func¸a˜o taxa de falha da distribuic¸a˜o Weibull
A Figura 7.3 mostra algumas formas desta func¸a˜o para a distribuic¸a˜o de Weibull. Observe
que h(t) e´ estritamente crescente para δ > 1 e estritamente decrescente para δ < 1. A dis-
tribuic¸a˜o exponencial e´ um caso particular da distribuic¸a˜o de Weibull quando δ = 1 e enta˜o,
7. Probabilidades 50
com taxa de falha constante.
7. Probabilidades 51
7.8.3 Distribuic¸a˜o de Gumbel
E´ importante neste ponto, introduzir uma distribuic¸a˜o que e´ bastante relacionada a Weibull.
Ela e´ chamada de distribuic¸a˜o do valor extremo ou de Gumbel e surge quando se toma o
logaritmo de uma varia´vel com a distribuic¸a˜o de Weibull. Isto e´, se a varia´vel T tem uma
distribuic¸a˜o de Weibull, enta˜o a varia´vel Y = log(T ) tem uma distribuic¸a˜o Valor Extremo com
a seguinte func¸a˜o densidade
f(y) =
1
σ
exp[
y − µ
σ
− exp(y − µ
σ
)]
onde σ = 1/δ e µ = log(α).
A func¸a˜o de confiabilidade da varia´vel Y e´ dada por
R(y) = exp[−exp[y − µ
σ
]]
A me´dia e a variaˆncia sa˜o respectivamente µ − vσ e (pi2/6)2, onde v = 0, 5772 . . . e´ a
conhecida constante de Euler. O percentil 100p% e´ dado por
tp = µ+ σ ln[− ln(1− p)]
Na ana´lise de dados de durabilidade e´ muitas vezes conveniente trabalhar com o logaritmo
dos valores observados. Desta forma, se os dados tiverem uma distribuic¸a˜o de Weibull, a
distribuic¸a˜o Valor Extremo aparecera´ naturalmente na modelagem.
7.8.4 Distribuic¸a˜o Log-normal
Assim como a distribuic¸a˜o de Weibull, a distribuic¸a˜o Log-normal e´ muito usada para caracteri-
zar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui, fadiga de metal, semicondutores, diodos
e isolac¸a˜o ele´trica. A func¸a˜o de densidade para uma distribuic¸a˜o log-normal e´ dada por:
f(t;µ, σ) =
1
tσ
√
2pi
e
−[log(t)−µ]2
2σ2 , t > 0 (7.17)
onde, µ � < e´ ma´dia do logaritmo do tempo de falha e σ > 0 e´ o desvio padra˜o. Existe
uma relac¸a˜o entre as distribuic¸o˜es Log-normal e Normal similar a` relac¸a˜o existente entre as
distribuic¸o˜es de Weibull e do valor extremo. Como o nome sugere, o logaritmo de uma varia´vel
com distribuic¸a˜o Log-normal com paraˆmetros µ e σ tem uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia µ e
7. Probabilidades 52
desvio-padra˜o σ. Esta relac¸a˜o significa que dados provenientes de uma distribuic¸a˜o Log-normal
podem ser analisados segundo uma distribuic¸a˜o Normal se trabalharmos com o logaritmo dos
dados ao inve´s dos valores originais.
Figura 7.4: Gra´fico da func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o Log-Normal
A func¸a˜o de confiabilidade de uma varia´vel Log-normal e´ dada por
R(t) = Φ{− [log(t)−