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1a Questão (Ref.: 201302103844) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar: o método de Raphson o método de Pégasus o método de Runge Kutta o método de Euller o método de Lagrange 2a Questão (Ref.: 201302103859) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x) Um polinômio do sexto grau Um polinômio do quinto grau Um polinômio do quarto grau Um polinômio do décimo grau Um polinômio do terceiro grau 3a Questão (Ref.: 201302103851) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: Sempre será do grau 9 Nunca poderá ser do primeiro grau Poderá ser do grau 15 Pode ter grau máximo 10 Será de grau 9, no máximo 4a Questão (Ref.: 201302103849) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio? X20 + 7X - 9 X30 + 8X + 9 X20 + 2X + 9 X21 + 3X + 4 X19 + 5X + 9 5a Questão (Ref.: 201302113723) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y). Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos. Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y). A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos. As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange. Gabarito Comentado 6a Questão (Ref.: 201302113752) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? Função logarítmica. Função linear. Função exponencial. Função cúbica. Função quadrática. 1a Questão (Ref.: 201301639296) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau? primeiro nunca é exata terceiro segundo quarto 2a Questão (Ref.: 201301607902) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de: 0,2750 0,3000 0,3225 0,2500 0,3125 3a Questão (Ref.: 201301607900) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x2 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta aproximada o valor de: 0,38 0,36 0,35 0,40 0,33 4a Questão (Ref.: 201301607890) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos. 0,237 0,242 0,250 0,245 0,247 5a Questão (Ref.: 201301639146) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I - Pode ser de grau 21 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). Desta forma, é verdade que: Todas as afirmativas estão erradas Apenas I e II são verdadeiras Apenas I e III são verdadeiras Apenas II e III são verdadeiras. Todas as afirmativas estão corretas 6a Questão (Ref.: 201302104738) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: Nunca se altera Varia, aumentando a precisão Nada pode ser afirmado. Varia, diminuindo a precisão Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 1a Questão (Ref.: 201302104801) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Sobre o método de Romberg são feitas as alternativas abaixo. Julgue como certo (C) ou errado (E). C - C - C - C C - C - C - E E - E - E - E C - E - C - C E - C - C - E 2a Questão (Ref.: 201301639149) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Considere o gráfico de dispersão abaixo. Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam? Y = ax + 2 Y = a.2-bx Y = b + x. ln(2) Y = a.log(bx) Y = ax2 + bx + 2 3a Questão (Ref.: 201301639145) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto. A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipoY = abx+c Y = b + x. log(a) Y = ax + b Y = b + x. ln(a) Y = ax2 + bx + c 4a Questão (Ref.: 201302113853) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito. Regra de Simpson. Método de Romberg. Extrapolação de Richardson. Método da Bisseção. Método do Trapézio. 5a Questão (Ref.: 201302103911) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 1/3 1/4 0 1/5 1/2 6a Questão (Ref.: 201302104799) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que: Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração É um método de pouca precisão Só pode ser utilizado para integrais polinomiais Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos 1a Questão (Ref.: 201301608046) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada. 22 23 25 21 24 Gabarito Comentado 2a Questão (Ref.: 201301608059) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 1 5 6 4 2 3a Questão (Ref.: 201301639297) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. menor ou igual a n + 1 n menor ou igual a n - 1 menor ou igual a n n + 1 4a Questão (Ref.: 201301639156) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir. Se considerarmos a integral definida , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a: Soma entre a área do trapézio e a área sob a curva Diferença entre a área do trapézio e a área sob a curva Média aritmética entre as áreas sob a curva e a do trapézio Área sob a curva Área do trapézio 5a Questão (Ref.: 201301645122) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a opção que encontra uma raiz desta equação. y = ex - 3 y = ex - 2 y = ln(x) -3 y = ex + 3 y = ex + 2 Gabarito Comentado 6a Questão (Ref.: 201301639150) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 0,2 1 indefinido 2 0,1 1a Questão (Ref.: 201301597358) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: [-4,5] [0,1] [1,10] [-4,1] [-8,1] 2a Questão (Ref.: 201301608054) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendoh =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 7 3 2 1 4 3a Questão (Ref.: 201301597361) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: [1,3] [0,3] [3/2,3] [0,3/2] [1,2] Gabarito Comentado 4a Questão (Ref.: 201301597356) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1 4 e 5 1 e 2 5 e 6 3 e 4 2 e 3 5a Questão (Ref.: 201301639299) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 24,199 20,099 30,299 15,807 11,672 6a Questão (Ref.: 201301639295) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg: I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares Desta forma, é verdade que: Apenas I e II são verdadeiras Todas as afirmativas estão corretas Todas as afirmativas estão erradas. Apenas II e III são verdadeiras. Apenas I e III são verdadeiras
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