Linearização de Gráficos Fisica

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Título : LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Estudamos a função linear e sabemos obter a equação geradora a partir da sua representação gráfica. No 
entanto em alguns experimentos de Física, conforme já vimos, podemos nos defrontar com curvas representativas 
mais complicadas. Para podermos chegar às equações geradoras, precisamos fazer uso de recursos matemáticos para 
podermos transformar gráficos complicados em representações mais simples - funções lineares - para então 
chegarmos à equação geradora da tabela em estudo. Utilizando este procedimento estaremos linearizando o gráfico 
representativo da função entre duas grandezas físicas. 
 
 
 
LINEARIZAÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
CCET – LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL I – prof. Luiz Roberto Gomes 
ENGENHARIA .................................................. – turma : ................................ 
ALUNO : ...................................................................................No: ................. 
ROTEIRO DE AULA EXPERIMENTAL 
Esta curva é um arco de parábola o que indica que a grandeza Y não é 
proporcional à grandeza X, mas sim que Y é proporcional a X² : 
 
2AxY 
  2XY  
 
Portanto se fizermos uma mudança da variável X para X² no eixo das 
abscissas, obteremos como representação gráfica uma reta 
Y 
X 
Y 
X 
2
 
Para se obter a equação geradora basta então determinar o valor do 
coeficiente angular da reta: 
 
2X
Y
tgA


 
 
 
e substituir na equação que representa a função de proporção direta: 
2AXY 
 
 
LINEARIZAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINEARIZAÇÃO DA FUNÇÃO RAIZ QUADRADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y 
X 
Esta curva é um arco de hipérbole, o que indica que a grandeza Y 
não é proporcional à grandeza X, mas sim que Y é proporcional a 
1/X : 
 
X
AY
1

  
X
Y
1

 
 
Portanto se fizermos uma mudança da variável X para 1/X no eixo 
das abscissas, obteremos como representação gráfica uma reta 
Y 
1/X 
Para se obter a equação geradora basta então determinar o valor do 
coeficiente angular da reta: 
 
 X
Y
tgA
/1

 
 
 
e substituir na equação que representa a função de proporção direta: 
X
AY
1

 
Esta curva é um arco de parábola invertida , o que indica que a 
grandeza Y não é proporcional à grandeza X, mas sim que Y é 
proporcional a 
X
 : 
 
XAY 
  
XY 
 
 
Portanto se fizermos uma mudança da variável X para 1/X no eixo 
das abscissas, obteremos como representação gráfica uma reta 
Y 
X
 
Para se obter a equação geradora basta então determinar o valor do 
coeficiente angular da reta: 
 
X
Y
tgA


 
 
 
e substituir na equação que representa a função de proporção direta: 
XAY 
 
Y 
X 
Linearização da função quadrática: Consideremos a tabela a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h (m) 
 32,0 
 
 
 
 
 
 
 18,0 
 
 
 
 
 8,0 
 
 
 
 2,0 
t (s) 
 1,0 2,0 3,0 4,0 
 
Linearização: O gráfico obtido é uma parábola, então a linearização é feita mantendo a grandeza y e elevando ao 
quadrado a grandeza x. 
 
 h (m) 
 32,0 
 
 
 
 
 
 
 
 18,0 
 
 
 
 
 
y 
 8,0 
 
 
 2,0 
 t
2
 (s
2
) 
 1,0 4,0 9,0 16,0 
 
x 
 
Ex = 12/16 = 0,75 cm/s
2 
 
L1 = 0,75 . 0,0 = 0 cm 
L2 = 0,75 . 1,0 = 0,75 cm 
L3 = 0,75 . 4,0 = 3,0 cm 
L4 = 0,75 . 9,0 = 6,75 cm 
L5 = 0,75 . 16,0 = 12,0 cm 
N h (m) t (s) 
1 0,0 0,0 
2 2,0 1,0 
3 8,0 2,0 
4 18,0 3,0 
5 32,0 4,0 
 
 
Tarefas: 
- Confeccionar o gráfico h x t , no tamanho 10 cm x 12 cm; 
- Linearizar o gráfico, utilizando a mudança de variável adequada. 
- A partir do gráfico linearizado, obter a equação geradora da tabela. 
 
Ex = 12/4 = 3 cm/s Ey = 10/32 = 0,3125 cm/m 
 
L1 = 3 . 0,0 = 0 cm L1 = 0,3125 . 0,0 = 0 cm 
L2 = 3 . 1,0 = 3,0 cm L2 = 0,3125 . 2,0 = 0,625 cm  0,6 cm 
L3 = 3 . 2,0 = 6,0 cm L3 = 0,3125 . 8,0 = 2,5 cm 
L4 = 3 . 3,0 = 9,0 cm L4 = 0,3125 . 18,0 = 5,625 cm  5,6 cm 
L5 = 3 . 4,0 = 12,0 cm L5 = 0,3125 . 32,0 = 10,0 cm 
 
 
N h (m) t (s) t2 (s2) 
1 0,0 0,0 0,0 
2 2,0 1,0 1,0 
3 8,0 2,0 4,0 
4 18,0 3,0 9,0 
5 32,0 4,0 16,0 
 
Equação geradora: 
 
y = a x a = tg  = y/x = 18/9 = 2 m/s2 
 
h = 2 t
2 
 
 
a) Linearização da função inversa: 
 
Ex.: Consideremos a tabela: 
 
N V (litros) p (atm) 
1 24,0 1,0 
2 12,0 2,0 
3 8,0 3,0 
4 6,0 4,0 
5 4,8 5,0 
6 4,0 6,0 
 
Resolução: 
 
Ex = 12/6 = 2 cm/atm Ey = 10/24 = 0,4166 cm/ℓ 
 
L1 = 2 . 1,0 = 2,0 cm L1 = 0,4166 . 24,0 = 10,0 cm 
L2 = 2 . 2,0 = 4,0 cm L2 = 0,4166 . 12,0 = 5,0 cm 
L3 = 2 . 3,0 = 6,0 cm L3 = 0,4166 . 8,0  3,3 cm 
L4 = 2 . 4,0 = 8,0 cm L4 = 0,4166 . 6,0 = 2,5 cm 
L5 = 2 . 5,0 = 10,0 cm L5 = 0,4166 . 4,8 = 2,0 cm 
L6 = 2 . 6,0 = 12,0 cm L6 = 0,4166 . 4,0  1,7 cm 
 
 V (ℓ) 
 24,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12,0 
 
 
 
 8,0 
 
 6,0 
 
 
 
 
 2,0 
 p (atm) 
 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 
 
Linearização: O gráfico obtido é uma hipérbole, neste caso, a linearização é feita mantendo a grandeza y e tomando 
o inverso da grandeza x. 
 
 
 
 
 
Tarefas: 
- Confeccionar o gráfico V x p, no tamanho 10 cm x 12 cm; 
- Linearizar o gráfico, utilizando a mudança de variável 
adequada. 
- Obter a equação geradora da tabela. 
 
 
N V (litros) p (atm) 1/p (atm-1) 
1 24,0 1,0 1,0 
2 12,0 2,0 0,5 
3 8,0 3,0 0,333 
4 6,0 4,0 0,25 
5 4,8 5,0 0,2 
6 4,0 6,0 0,167 
 
 
 
 V (ℓ) 
 
 24,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12,0 
 
 
 
 8,0 
 
 6,0 y 
 4,8 
 4,0 
 
 
 
 1/p (atm-1) 
 0,17 0,2 0,25 0,33 0,5 1,0 
 
 x 
 
Equação geradora: 
 
y = a x a = tg  = y/x = 12/ 0,5 = 24 ℓ/atm-1 = 24 ℓ atm 
 
h = 24 1/p = 24/p
 
 
 
b) Linearização da função raiz quadrada: 
 
Ex.: Consideremos a tabela: 
 
N T (s) L (m) 
1 1,26 0,40 
2 1,79 0,80 
3 2,19 1,20 
4 2,53 1,60 
5 2,83 2,00 
6 3,09 2,40 
 
 
Ex = 12/2,4 = 5 cm/m Ey = 10/3,09 = 3,2362 cm/s  3,23 cm/s 
 
 
 
Ex = 12/1,0 = 12 cm/atm
-1 
 
L1 = 12 . 1,0 = 12,0 cm 
L2 = 12 . 0,5 = 6,0 cm 
L3 = 12 . 0,333 = 4,0 cm 
L4 = 12 . 0,25 = 3,0 cm 
L5 = 12 . 0,2 = 2,4 cm 
L6 = 12 . 0,167 = 2,0 cm 
Tarefas: 
- Confeccionar o gráfico T x L , no tamanho 10 cm x 12 cm; 
- Linearizar o gráfico, utilizando a mudança de variável 
adequada. 
- Obtera equação geradora da tabela. 
 
L1 = 5 . 0,40 = 2,0 cm L1 = 3,23 . 1,26  4,1 cm 
L2 = 5 . 0,80 = 4,0 cm L2 = 3,23 . 1,79  5,8 cm 
L3 = 5 . 1,20 = 6,0 cm L3 = 3,23 . 2,19  7,1 cm 
L4 = 5 . 1,60 = 8,0 cm L4 = 3,23 . 2,53  8,2 cm 
L5 = 5 . 2,00 = 10,0 cm L5 = 3,23 . 2,83  9,1 cm 
L6 = 5 . 2,40 = 12,0 cm L6 = 3,23 . 3,09  10,0 cm 
 
 
 
 2,83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L (m) 
 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 
 
 Linearização: O gráfico obtido é uma parábola invertida, neste caso, a linearização é feita mantendo a grandeza y 
e eextraindo a raiz quadrada da grandeza x. 
 
N T (s) L (m) 
L
 (m
1/2
) 
1 1,26 0,40 0,632 
2 1,79 0,80 0,894 
3 2,19 1,20 1,095 
4 2,53 1,60 1,265 
5 2,83 2,00 1,414 
6 3,09 2,40 1,549 
 
 
 T (s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 L
1/2
 (m
1/2
) 
 
 0,63 0,89 1,095 1,27 1,41 1,55 
 x 
 
 
Ex = 12/1,549 = 7,7469 cm/m
1/2
  7,74 cm/m1/2 
 
L1 = 7,74 . 0,632  4,9 cm 
L2 = 7,74 . 0,894  6,9 cm 
L3 = 7,74 . 1,095  8,5 cm 
L4 = 7,74 . 1,265  9,8 cm 
L5 = 7,74 . 1,414  10,9 cm 
L6 = 7,74 . 1,549  12,0 cm 
3,09 
2,53 
2,19 
1,79 
1,26 
T (s) 
3,09 
2,83 
2,53 
2,19 
1,79 
1,26 
Equação geradora: 
 
y = a x a = tg  = y/x = 2,19/1,095 = 2 s/m1/2 
 
h = 2 L
1/2
 = 
L2