2 Distribuições de frequencia

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ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Distribuição de Frequências 
ENG09004 – 2014/2 
Prof. Alexandre Pedott 
pedott@producao.ufrgs.br 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
2.1. Distribuições de Frequência 
Na análise de conjuntos de dados é costume dividi-los em 
classes ou categorias e verificar o número de indivíduos 
pertencentes a cada classe, ou seja, a freqüência da 
classe. 
Exemplo: A Tabela abaixo apresenta 50 observações de 
uma característica dimensional (em ordem crescente). 
 
Tabela2.1. Valores de espessura de peças cerâmicas 
12,58 12,97 13,45 13,53 13,59 13,61 13,62 13,78 13,97 14,21 
14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 
15,17 15,23 15,29 15,37 15,40 15,45 15,51 15,62 15,67 15,73 
15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,23 16,35 16,43 16,49 16,52 
16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17,22 17,3 17,48 17,8 18,47 
 
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2.1. Distribuições de Frequências 
A Tabela apresenta a distribuição de frequência das 50 observações 
 
 
 
 
 
 
Os dados estão agrupados e os detalhes originais dos dados são perdidos. 
Intervalos de classe Freqüência absoluta
12,50 a 13,50 3
13,51 a 14,50 8
14,51 a 15,50 15
15,51 a 16,50 13
16,51 a 17,50 9
17,51 a 18,50 2
Tabela2.1. Valores de espessura de peças cerâmicas 
12,58 12,97 13,45 13,53 13,59 13,61 13,62 13,78 13,97 14,21 
14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 
15,17 15,23 15,29 15,37 15,40 15,45 15,51 15,62 15,67 15,73 
15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,23 16,35 16,43 16,49 16,52 
16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17,22 17,3 17,48 17,8 18,47 
 
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2.2. Intervalos de Classe 
Intervalos de Classe 
Limite superior 
da classe 
Limite 
inferior 
 da classe 
No de observações 
em cada classe 
Intervalos de classe Freqüência absoluta
12,50 a 13,50 3
13,51 a 14,50 8
14,51 a 15,50 15
15,51 a 16,50 13
16,51 a 17,50 9
17,51 a 18,50 2
O intervalo de cada classe é caracterizado pela Amplitude e 
pelo Ponto Médio. 
A amplitude é dada pela diferença entre os limites das 
classes. Em geral, os intervalos são definidos para amplitudes 
constantes. 
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Amplitude e Ponto Médio do Intervalo de 
Classe 
Em alguns casos, pode-se usar intervalos abertos, do tipo 
13,50 ou menor; 17,50 ou maior. 
Quando todos os intervalos de classe têm a mesma 
amplitude: 
Amplitude = diferença entre os limites das classes 
Caso contrário, teremos uma amplitude variável. 
Para o exemplo, a amplitude é 
 13,50-12,50 = 14,50-13,50 = 1 
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Ponto Médio de uma Classe 
Ponto médio = (limite inferior + limite superior) / 2 
Assim, o ponto médio do intervalo 12,50 a 13,50 é 
 (12,50+13,50) / 2 = 13,00 
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2.3. Passos para elaborar uma 
Distribuição de Freqüência 
a) Determina-se o maior e menor valor do conjunto de 
dados; 
 Min = 12,58 e Max = 18,47 
 
b) Define-se o limite inferior da primeira classe (LI), que 
deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor 
das observações; 
 LI =12,50 
 
c) Define-se o limite superior da última classe (LS), que 
deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor 
das observações; 
 LS=18,50 
 
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2.3. Passos para elaborar uma Distribuição de 
Freqüência 
d) Define-se o número de classes (K), que pode ser 
calculado usando e deve estar 
compreendido entre 5 e 20; 
 
 
 
e) Conhecido o número de classes, define-se a amplitude 
de cada classe: a = (LS - LI) / K; 
750 K
1
6
)50,1250,18()(





K
LILS
a
nK 
Por praticidade, foi escolhido K = 6 
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2.3. Passos para elaborar uma Distribuição de 
Freqüência 
f) Conhecida a amplitude das classes, define-se os limites 
inferior e superior para cada classe. Por exemplo, para a 1a 
classe: lim. inf. = LI; lim. sup. = LI+ a; 
 
lim inf = 12,50 e lim sup = 12,50 + 1 = 13,50 
 
g) Calcula-se a freqüência de cada classe, ou seja, o número de 
observações que caem em cada classe, e completa-se a tabela 
de freqüência; 
 
12,50 a 13,50 é 3 
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Histogramas e polígonos de freqüência são representações 
gráficas da distribuição de freqüência. 
Um histograma consiste de um conjunto de retângulos que 
têm: 
 
a) a base sobre um eixo horizontal com centro no ponto 
médio e largura igual à amplitude do intervalo de classes; 
b) a área proporcional às freqüências das classes. 
2.4. Histogramas e Polígono de 
Freqüência 
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 Se todos os intervalos tiverem a mesma amplitude, as 
alturas dos retângulos serão proporcionais às freqüências 
das classes, e então costuma-se tomar as alturas 
numericamente iguais a essas freqüências. 
 Um polígono é um gráfico obtido ligando-se os pontos 
médios dos topos dos retângulos de um histograma. 
Histograma Polígono de Freqüência 
 
0
4
8
12
16
12 13 14 15 16 17 18 19
 
 
 
0
4
8
12
16
12 13 14 15 16 17 18 19
 
 
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Geralmente expressa em % 
 
Por exemplo, a freqüência relativa da 1a classe é 
 
2.5. Distribuição de Freqüências 
Relativas 
Freqüência relativa 
de uma classe 
Freq. da classe 
 Freq. de todas as classes 
Freq. da classe 
 Freq. de todas as classes 
3 
50 
x 100 = 6% 
x 100 
= 
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2.5. Distribuição de Freqüências Relativas 
Se as freqüências da Tabela anterior forem substituídas pelas 
freqüências relativas, tem-se uma tabela de freqüências 
relativas e então pode-se plotar um histograma de freqüências 
relativas ou um polígono de freqüências relativas. 
Intervalos de classe Freqüência absoluta Freqüência relativa
12,50 a 13,50 3 6%
13,51 a 14,50 8 16%
14,51 a 15,50 15 30%
15,51 a 16,50 13 26%
16,51 a 17,50 9 18%
17,51 a 18,50 2 4%
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2.5. Distribuição de Freqüências Relativas 
As Figuras abaixo representam o histograma e polígono de 
freqüências relativas 
Histograma Polígono de Freqüência
0%
8%
16%
24%
32%
12 13 14 15 16 17 18 19
0%
8%
16%
24%
32%
12 13 14 15 16 17 18 19
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2.6. Distribuição de Freqüências Acumuladas 
 
A freqüência total de todos os valores inferiores ao limite 
superior de uma dada classe é denominada freqüência 
acumulada para aquele intervalo. 
 
Por exemplo, a freqüência acumulada até e inclusive o 
intervalo 13,51 a 14,50 é 3 + 8 = 11, o que significa que 11 das 
50 peças cerâmicas apresentam característica dimensional 
inferior a 14,50. 
 
Intervalos de classe Freqüência absoluta
12,50 a 13,50 3
13,51 a 14,50 8
14,51 a 15,50 15
15,51 a 16,50 13
16,51 a 17,50 9
17,51 a 18,50 2
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Uma tabela que apresente essas freqüências é chamada de 
tabela de freqüência acumulada. 
2.6. Distribuição de Freqüências 
Acumuladas 
Intervalos de classe Freqüência
absoluta
Freqüência
relativa
Freqüência
acumulada
absoluta
Freqüência
acumulada
relativa
abaixo de 12,50 0 0% 0 0%
12,50 a 13,50 3 6% 3 6%
13,51 a 14,50 8 16% 11 22%
14,51 a 15,50 15 30% 26 52%
15,51 a 16,50 13 26% 39 78%
16,51 a 17,50 9 18%48 96%
17,51 a 18,50 2 4% 50 100%
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 Um gráfico que apresente a freqüência acumulada é 
denominado de polígono de freqüência acumulada. 
 
 Dividindo-se a freqüência acumulada pelo total das 
observações, tem-se a tabela de freqüências acumuladas 
relativas e o correspondente polígono de freqüências 
acumuladas relativas. 
Polígono de Freqüência
Acumulada Absoluta
Polígono de Freqüência
Acumulada relativa
0
10
20
30
40
50
12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 18,5
0%
20%
40%
60%
80%
100%
12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 18,5
2.6. Distribuição de Freqüências 
Acumuladas 
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O polígono de freqüência e o polígono de freqüência 
acumulada podem ser suavizados. 
2.7. Curvas de Freqüência Suavizadas 
O polígono de freqüência suavizado é a 
distribuição de freqüência (relativa ou acumulada) 
ou distribuição de probabilidade de uma característica. 
Filtrar o ruído presente em 
qualquer conjunto de dados. 
A análise das distribuições de probabilidade 
indica o comportamento que seria observado 
 no caso de uma amostra muito grande ou infinita. 
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Na Figura abaixo apresenta-se diversos tipos de 
distribuições de probabilidade (freqüência relativa). 
 
 
 
 
 
 
 
A distribuição de probabilidade são caracterizadas por três 
parâmetros: forma, localização (tendência central) e 
dispersão (variabilidade). 
2.8. Tipos Distribuição de probabilidade 
Simétrica
Forma de Sino
Assimétrica à Direita
Assimetria Positiva
Assimétrica à Esquerda
Assimetria Negativa
Uniforme Exponencial Bimodal
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2.8. Tipos Distribuição de Freqüência 
Características de qualidade do tipo nominal-é-melhor (por 
exemplo, características dimensionais) tendem a apresentar 
uma distribuição de probabilidade aproximadamente 
simétrica, pois as causas de variabilidade geram valores que 
podem se afastar tanto para cima como para baixo do alvo. 
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2.8. Tipos Distribuição de Freqüência 
Características de qualidade do tipo maior-é-melhor (por 
exemplo, resistência mecânica) tendem a apresentar uma 
distribuição de probabilidade assimétrica à esquerda, pois 
muitas vezes existem limitações tecnológicas que 
dificultam a obtenção de valores altos, enquanto que 
muitos causas de variabilidade podem gerar valores baixos. 
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2.8. Tipos Distribuição de Freqüência 
Características de qualidade do tipo menor-é-melhor (por 
exemplo, nível de ruído) tendem a apresentar uma 
distribuição de probabilidade assimétrica à direita, pois 
muitas vezes existem limitações tecnológicas dificultando a 
obtenção de valores baixos, enquanto que muitos causas 
de variabilidade podem gerar valores altos. 
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2.1. Os dados a seguir representam tempos (em minutos) 
medidos em uma certa operação. Organize esses dados em uma 
tabela de freqüência e em seguida plote o histograma, o 
polígono de freqüências e o gráfico de freqüências acumuladas. 
Exercícios 
5,1 5,3 5,3 5,6 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,2 
6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7 
6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7,0 7,1 7,1 7,2 7,2 
7,3 7,4 7,5 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 
7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,3 8,3 8,4 
8,5 8,5 8,6 8,7 8,8 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 
9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,8 9,9 10,0 10,2 10,2 
10,4 10,6 10,8 10,9 11,2 11,5 11,8 12,3 12,7 14,9 
 2.2. Suavize o gráfico de freqüências acumuladas 
obtido no exercício anterior, e então estime o 
percentual das operações onde o tempo deverá 
ultrapassar 10 minutos. 
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2.3. Os dados a seguir representam a espessura de uma peça 
mecânica (em mm). Organize esses dados em uma tabela de 
freqüências relativas e depois plote o histograma de 
freqüências relativas, o polígono de freqüências relativas e o 
gráfico de freqüências relativas acumuladas. 
20,4 22,3 23,1 23,5 23,8 24,1 24,3 24,3 24,6 24,8
24,9 25,0 25,1 25,3 25,3 25,4 25,6 25,7 25,8 26,0
26,0 26,1 26,2 26,2 26,3 26,5 26,6 26,7 26,8 26,9
27,1 27,1 27,3 27,5 27,7 27,9 28,0 28,3 28,7 29,6
2.4. Suavize o gráfico de freqüências acumuladas 
obtido no exercício anterior, e então estime o 
percentual de peças que deve apresentar espessura 
inferior a 24 mm. 
Exercícios 
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2.5. Tendo em vista os polígonos de freqüência obtidos 
nos exercícios 2.1. e 2.3. você diria que as populações do 
tempo e da espessura apresentam distribuição de 
probabilidade simétrica ou assimétrica? 
Exercícios 
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2.6. Plote os histogramas correspondentes às tabelas de 
freqüência a seguir e indique o tipo de curva de freqüência 
em cada caso. 
X1: Característica dimensional de uma peça; 
X2: Tempo de uso (horas/semana) de um produto; 
X3: Tempo até a falha de um produto. 
X1 Freq. X2 Freq. X3 Freq.
25,52 a 25,53 6 0 a 4 1 0 a 100 20
25,53 a 25,54 14 4 a 8 2 100 a 200 16
25,54 a 25,55 20 8 a 12 9 200 a 300 11
25,55 a 25,56 18 12 a 16 24 300 a 400 7
25,56 a 25,57 15 16 a 20 48 400 a 500 4
25,57 a 25,58 7 20 a 24 6 500 a 600 2
Exercícios