Apostila laboratorio de fisica

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
FIS 121 – LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL 
Aula 1 
Noções preliminares de Medidas, Erros e Instrumentos. 
(Este texto foi elaborado a partir das referências apresentadas no fim desta apostila.) 
 
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve 
erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida 
etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e suas consequências, de modo a 
expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam 
compreensíveis e adequados. 
Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou 
várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou 
ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do 
processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e 
ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
JAMAIS DEVEMOS DISSOCIAR O VALOR DE UMA MEDIDA DO SEU VALOR DE 
INCERTEZA! 
 
MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS DE UMA GRANDEZA 
 
A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de sua magnitude mediante 
o uso de um instrumento de medida como, por exemplo, a medida de um comprimento 
com uma régua graduada, a de uma corrente elétrica com um amperímetro, a de uma 
massa com uma balança ou de um intervalo de tempo com um cronômetro. 
 
Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação matemática que 
vincula a grandeza a ser determinada com outras diretamente mensuráveis. Como 
exemplo, podemos citar a medida da velocidade média de um carro que percorreu um 
espaço Δx em um intervalo de tempo Δt: 
 
V= Δx/Δt 
 
 
INCERTEZAS EM MEDIDAS DIRETAS 
Erros Sistemáticos e Aleatórios 
Ao se realizar uma medida, há sempre fontes de erro que a afetam. As fontes de 
erro fazem com que toda medida realizada, por mais cuidadosa que seja, esteja 
afetada por um erro experimental. Os erros experimentais podem ser classificados 
em dois grandes grupos: erros sistemáticos e erros aleatórios. 
Existem também os erros grosseiros, mas estes não serão discutidos a fundo, pois 
os dados obtidos devem ser descartados. Os erros grosseiros ocorrem devido à falta 
de prática (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos, podemos citar a 
escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. 
 
Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem 
ser eliminados ou compensados. Erros sistemáticos fazem com que as medidas 
feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a 
exatidão da medida (Figura 1). Erros sistemáticos podem ser causados devido: 
 ao instrumento que foi utilizado: por exemplo, erros causados em medidas de 
intervalos de tempo feitas com um relógio que atrasa; 
 ao método de observação utilizado: por exemplo, medir o instante de 
ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado; 
 a efeitos ambientais: por exemplo, a medida de frequência da luz emitida por 
um laser, que pode depender ligeiramente da temperatura ambiente; 
 a simplificações do modelo teórico utilizado: por exemplo, não incluir o efeito da 
resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida 
do tempo de queda de uma bolinha de ping-pong de uma altura fixa. 
Uma das principais tarefas do idealizador ou realizador de medidas é identificar e 
eliminar o maior número possível de fontes de erro sistemático. 
Os erros aleatórios são flutuações, para cima ou para baixo, que fazem com que 
aproximadamente a metade das medidas realizadas de uma mesma grandeza numa 
mesma situação experimental esteja desviada para mais, e a outra metade esteja 
desviada para menos. Os erros aleatórios afetam a precisão da medida (Figura 1). 
Nem sempre se pode identificar as fontes de erros aleatórios. Algumas fontes 
típicas de erros aleatórios são: 
 método de observação: erros devidos ao julgamento feito pelo observador ao 
fazer uma leitura abaixo da menor divisão de uma escala, como por exemplo, 
medir o comprimento de uma folha de papel com uma régua cuja menor divisão é 
1 mm com precisão na medida de 0,5 mm; 
 flutuações ambientais: mudanças não previsíveis na temperatura, voltagem da 
linha, correntes de ar, vibrações (por exemplo causadas por passagem de 
pessoas perto do aparato experimental ou veículos nas vizinhanças). 
 
Erros aleatórios podem ser tratados quantitativamente através de métodos 
estatísticos, de maneira que seus efeitos na grandeza física medida podem ser, em 
geral, determinados. Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas 
condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam 
distribuídos em torno da média. Quando eles se afastam muito da média, a medida é 
pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão. Quando o conjunto 
de medidas feitas está mais concentrado em torno da média diz-se que a precisão da 
medida é alta, e os valores medidos tem uma distribuição de baixa dispersão. 
 
 
 
 
 
 
 
Tratamento estatístico de medidas com erros aleatórios 
Estimativa do valor correto da grandeza medida 
A incerteza de uma medida representa a variabilidade e a dispersão das medidas. 
Esta incerteza pode ser determinada de várias formas. A medida direta de uma 
grandeza X com sua incerteza estimada pode ser feita de duas formas distintas: 
a) Medindo-se apenas uma vez a grandeza X: 
Neste caso, a estimativa de incerteza na medida, 
X
, é feita a partir do instrumento 
de medida utilizado e o resultado será expresso por: 
ΔXX 
 
 
b) Medindo-se N vezes a mesma grandeza X, sob as mesmas condições físicas. Os 
valores medidos em cada medida não são geralmente iguais entre si e descontando 
os erros grosseiros e sistemáticos, as diferenças entre eles são atribuídas aos erros 
aleatórios. Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas 
feitas, se forem realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas 
feitas estará acima e metade estará abaixo do valor correto. Por isso, uma boa 
estimativa para o valor correto da grandeza será a média aritmética dos valores 
medidos: 
N
X
X
n

 
onde xn é o resultado da n-ésima medida e N é o número total de medidas feitas. O 
valor médio é mais exato quanto maior for o número de medidas. 
Figura 1: Precisão (erros Aleatórios) e Exatidão (erros Sistemáticos) 
Existem outros parâmetros que podem representar os valores centrais em torno 
dos quais estes dados se distribuem, tais como: a moda, a média quadrática e a 
mediana. A escolha do parâmetro depende do tipo de distribuição dos dados e do 
sistema. Em todos os casos o resultado final da medida também precisa ser expresso 
em função da sua incerteza 
ΔX
: 
ΔXX 
 
No caso de várias medidas existem muitos métodos estatísticos para o cálculo da 
incerteza. Contudo, neste curso introdutório nos restringiremos ao desvio médio, 
também conhecido como incerteza absoluta. O desvio médio é dado simplesmente 
pela média dos desvios de cada medida em relação ao valor médio 
X
 
N
X
X
n 

 
onde 
nX
é o desvio da enésima medida em relação ao valor médio: 
nn X-XX 
 
 
INCERTEZAS EM MEDIDAS INDIRETAS 
Propagação de erros em cálculos 
Grandezas indiretas são obtidas a partir de cálculos com valores medidos, e estes são 
afetados por erros como já vimos. Neste caso torna-se necessário conhecer como o 
erro na medida original afeta a grandeza indireta. Nas medidas indiretas o valor da 
grandeza final dependerá das incertezas de cada umadas grandezas obtidas direta ou 
indiretamente, bem como da forma da expressão matemática utilizada para obtê-las. 
 
Mesmo sem um rigor matemático elevado, sempre é possível estimar o valor da 
incerteza 
W
de uma grandeza indireta a partir dos valores das incertezas dos valores 
medidos diretamente. Para tal, basta aplicar os valores máximos e mínimos possíveis 
das medidas na fórmula utilizada para o cálculo da grandeza indireta: 
 ,..., YYXXWW W 
 
Ex: Após várias medidas do raio de uma circunferência, chegou-se ao seguinte valor e 
incerteza: 
cmcmr 218 
 
Portanto, o valor da área desta circunferência que é dados por: 
  2222 101718. cmcmra   
E pode ter o valor máximo dado por: 
      222222 125620218. cmcmcmrraa   
E pode ter o valor mínimo dado por: 
      222222 80416218. cmcmcmrraa   
 
Deve-se ressaltar que o tratamento estatístico de várias medidas indiretas é igual ao 
aplicado em medidas diretas. 
 
Rigorosamente, a incerteza 
W
de uma grandeza indireta do tipo w = w (x, y, ...) é 
obtida a partir do seguinte cálculo: 
....

















 Y
Y
W
X
X
W
W
 
Neste curso introdutório de laboratório vamos utilizar principalmente o cálculo da 
incerteza de grandezas obtidas a partir de operações matemáticas básicas. Portanto 
neste curso será necessário aplicar somente os cálculos de propagação de erros para 
grandezas obtidas a partir das operações listadas na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o 
operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no 
número de algarismos que usamos para representar as medidas. Ou seja, só 
utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas 
o uso de um algarismo duvidoso. Claramente o número de algarismos significativos 
está diretamente ligado à precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a 
medida, maior o número de algarismos significativos. Assim, por exemplo, se 
afirmamos que o resultado de uma medida é 3,24 cm estamos dizendo que os 
algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido físico 
escrever qualquer algarismo após o 4. 
Portanto, denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos 
exatos acrescidos de um único algarismo duvidoso. 
 
 
 
2.2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS EM MEDIDAS COM ERRO: 
Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma 
barra L, tenha obtido os seguintes resultados: 
comprimento médio, L = 82,7390 cm 
erro estimado, ΔL = 0,538 cm 
 
Como o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os 
algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou 
seja, o erro estimado de uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais 
significativo. Os algarismos menos significativos de erro são utilizados apenas para 
efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. Neste caso ΔL deve ser 
expresso apenas por ΔL = 0,5 cm. 
Os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso 
porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 
3 e 9 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los: estes 
algarismos são utilizados para efetuar arredondamento ou simplesmente são 
desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será 
então: 
L = (82,7 ± 0,5) cm 
Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever os 
algarismos significativos da grandeza mensurada com critério. 
Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único algarismo duvidoso 
Algumas observações devem ser feitas: 
i- Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 
= 5,00 = 5,000. Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre 
lembrar que 5 cm ≠ 5,0 cm ≠ 5,00 cm ≠5,000cm, já que estas medidas tem diferentes 
algarismos significativos. Em outras palavras, a precisão de cada uma delas é 
diferente. 
ii- Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo 
significativo diferente de zero. Assim, tanto L=32,5 cm como L=0,325 m representam a 
mesma medida e tem três algarismos significativos. Outros exemplos são: 
5 = 0,5x10 = 0,05x102 = 0,005x103 (um algarismo significativo) 
26 = 2,6x10 = 0,26x102 = 0,026x103 (dois algarismos significativos) 
0,00034606 = 0,34606x10-3 = 3,4606x10-4 (cinco algarismos significativos) 
iii- O zero à direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. 
Portanto, L=32,5 cm e L=32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem três 
algarismos significativos enquanto que a segunda é mais precisa e tem quatro 
algarismos significativos. 
iV- É significativo o zero situado entre algarismos significativos. Por exemplo: 
L = 3,25 m tem 3 algarismos significativos. enquanto que L=3,025 m tem 4 algarismos 
significativos. 
V- Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, 
utilizaremos a seguinte regra: quando o último algarismo anterior ao significativo for 
menor ou igual a 5 este é abandonado; quando o último algarismo anterior ao 
significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior. 
Por exemplo: 
8,234 cm é arredondado para 8,23 cm 
8,235 cm é arredondado para 8,23 cm 
8,238 cm é arredondado para 8,24 cm 
Em seguida serão fornecidos alguns exemplos de como escrever corretamente o 
resultado de uma medida realizada em laboratório com os números corretos de 
algarismos significativos. 
 
 
 
 
Exemplo/Exercício 1: 
Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma 
barra. Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da 
barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as 
flutuações, neste caso, residem nas diferentes avaliações da menor divisão. A tabela 
abaixo mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas. 
 
Medida 
“n” 
Ln(cm) 
(cm)LLΔLn n
 
1 5,7 
2 5,8 
3 5,5 
4 5,6 
5 5,5 
6 5,7 
7 5,8 
8 5,7 
9 5,9 
10 5,8 
 
a) Calcule o valor médio do comprimento: 


N
L
L
n
 
(resposta: 5,7cm) 
b) Sabendo o valor médio, complete a tabela com os valores dos desvios 
nΔL
de cada 
medida. 
c) Agora calcule o valor do desvio médio desta medida. 


N
ΔL
L
n
 
(resposta: 0,1 cm) 
Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser expresso como: 
L=( LL  ) ou seja L= ( ± ) cm 
 
 
Exemplo/Exercício 2: 
Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela 
abaixo. 
n Dn(mm) 
(mm)ΔDn
 
1 12,20 
2 12,30 
3 12,10 
4 12,20 
5 12,20 
6 12,10 
7 12,40 
8 12,20 
N=10 
 nD
 
 nD
 
 Com esse conjunto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio médio. 
Valor médio: 


N
D
D
n
 
(resposta “numérica”:12,2125mm) 
Desvio médio: 


N
ΔD
DΔ n
 
(resposta “numérica”:0,06875mm) 
O valor “matemático” de D foi igual a ( ) mm. No entanto, observa-se que a 
incerteza no valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa decimal 
desse valor. Assim, os outros algarismos posteriores perdem o significado e não são 
significativos, já que entre os algarismos significativos é admitida a presença de um 
únicoalgarismo duvidoso. No entanto, esses algarismos presentes tanto no valor 
médio quanto no desvio médio devem ser considerados para efeito de cálculo, 
devendo ser desprezados na apresentação final. Escreve-se o resultado final da 
seguinte maneira: 
D = 
resposta final: (12,21 ± 0,07) mm 
 
Normalmente, ao serem feitas aproximações, como no caso acima, é costume, 
quando o primeiro algarismo desprezado for maior ou igual a cinco, acrescentar uma 
unidade ao último algarismo mantido. 
 
Exemplo/Exercício 3: 
Suponha-se que um processo de medidas e cálculos tenha originado para a 
resistividade por uma unidade de área de material o valor médio de 32,765 Ωm com 
um desvio médio de 0,0241 Ωm. Tem-se então: 
 
Resposta:
m )02,077,32(
 
 
Exemplo/Exercício 4: 
O resultado de uma experiência forneceu o valor médio e o desvio médio iguais a: 
1) m = (13,4258 ± 0,0342) g → m = ( ) g 
Resposta:(13,43 ± 0,03) 
 
 
2.1 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS − REGRAS ADOTADAS 
a) Na adição, subtração, multiplicação e divisão: faz-se a operação normalmente e 
no final reduz-se o resultado, usando critério de arredondamento, para o número de 
casas decimais da grandeza menos precisa. 
Exemplos: 
Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001 = 12.620 
Subtração - (12.441,2 − 7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9 
b) Na multiplicação e divisão: o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou 
um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos 
significativos que participa da operação. 
Exemplos: 
Multiplicação: (12,46 x 39,83) = 496,281854748869 = 496,28 
Divisão: (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,33 
c) Na potenciação e radiciação: o resultado deverá ter o mesmo número de 
algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação). 
Exemplos: 
Potenciação - (1,52 x 103)2 = 2,31 x 106 
Radiciação - (0,75 x 104)1/2 = 0,87 x 102 
 
INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO 
 
A tabela abaixo apresenta alguns dos instrumentos de medição direta básicos 
utilizados em laboratório. A precisão de um instrumento de medida corresponde à 
quantidade mínima da grandeza física que o instrumento é capaz de diferenciar. Por 
exemplo, numa régua cuja menor divisão era 1 cm (“régua centimetrada”), a precisão 
é de 1cm. 
 
Grandeza Aparelho Precisão 
Comprimento Régua 1 mm 
Comprimento Paquímetro 0,1 mm 
Massa Balança Digital - 
Tempo Cronômetro de 0,01s a 0,0001s 
 
 
O valor da incerteza proveniente do aparelho depende do instrumento utilizado e há 
diversos critérios para determiná-lo (quando a mesma não for informada pelo 
fabricante). Em geral, os aparelhos de medida podem ser classificados em duas 
categorias principais analógicos e digitais. Esta classificação surge em função da 
escala do aparelho, e da possibilidade de estimativa de incerteza. 
 
Os instrumentos analógicos são aqueles onde a análise das escalas permite que o 
algarismo duvidoso da medida seja avaliado. A escala de medida destes aparelhos 
geralmente varia forma “contínua”. Alguns exemplos de instrumentos analógicos são: 
réguas, paquímetro, balança de braço e termômetros “clássicos”. Neste caso, é usual 
adotar a incerteza do aparelho como sendo a metade da precisão. Ou seja, para 
instrumentos analógicos a incerteza proveniente do aparelho é: 
 
)(
1
precisão
2
X inst 
 
 
Os instrumentos digitais apresentam o valor da medida direta já em forma de 
números. Nestes instrumentos, no mínimo, o algarismo duvidoso é o último algarismo 
lido no display do aparelho. Ou seja, o erro corresponde ao menor valor que o 
aparelho pode medir. Contudo deve-se sempre procurar a especificação do fabricante, 
que em muitos casos é menos precisa que o último algarismo. Deste modo, para 
instrumentos digitais a incerteza proveniente do aparelho é igual à precisão: 
 
)(precisão instX
 
 
A leitura do valor da medida em instrumentos digitais, geralmente não é difícil. O uso 
apropriado de réguas e trenas também é relativamente trivial. Deste modo, nesta 
apostila será apresentada somente a utilização do paquímetro, um instrumento muito 
comum em laboratório, mas pouco familiar à boa parte dos estudantes. A leitura de tal 
instrumento torna-se um pouco mais complexa devido à escala de Nônio (ou Vernier). 
Tal escala também é utilizada em outros aparelhos analógicos (balanças, micrômetros, 
etc). A genialidade matemática e geométrica do princípio de funcionamento e garantia 
precisão de tal escala não será descrita nesta apostila. Para tal, recomenda-se 
fortemente a procura de outras fontes bibliográficas. Nesta apostila nos restringiremos 
a uma descrição rápida das diferentes partes e funções do Paquímetro e do modo de 
execução de leitura de medida. 
 
Paquímetro 
 
Frequentemente necessitamos medir comprimentos, diâmetros de vergalhões, 
diâmetros internos de tubos e profundidades com precisão de décimos de milímetros. 
Desde que as medições máximas não superem ~15 cm, o paquímetro é o instrumento 
indicado para a realização de tais medidas. O paquímetro é um instrumento de 
precisão utilizado para medir as dimensões lineares internas, externas e de 
profundidade de um objeto. Trata-se de uma régua principal sob a qual está montada 
uma segunda haste que pode deslizar sob a régua. A régua é graduada em polegadas 
e em milímetros. A haste deslizante possui uma pequena escala, denominada vernier 
que permite fazer uma medida com precisão de 1/10 a 1/50 de milímetro. Uma 
ilustração de um paquímetro típico e suas funções é apresentada na figura abaixo. 
 
 
Em uma medida utilizando um paquímetro é necessário somar: (i) a leitura da escala 
principal correspondente ao traço na escala principal (central fixa) imediatamente 
inferior ao zero do nónio (escala móvel); com (ii) o valor na escala de vernier que 
melhor com um traço qualquer na escala principal. 
 
Na figura abaixo, é ilustrada a leitura da medida do diâmetro de uma porca. Neste 
exemplo, o zero do nónio encontra-se após a medida de 24 milímetros da escala 
principal, e o traço do nónio melhor alinhado com a escala principal é o 
correspondente a 0.70 milímetros. Logo, a medida lida pelo instrumento é (24.0+0.70) 
= 24.70 milímetros. (este paquímetro tem precisão de 0,05 mm) 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 Guia para Física Experimental, Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros, Instituto de 
Física, Unicamp, IFGW, Unicamp,Carlos Henrique de Brito Cruz et al., 1997 
 FFI-181 - LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL I, IFSC/USP São Carlos, Diversos 
autores, 20a edição 2008 (1a edição em 01/92) 
 LABORATÓRIO DE FÍSICA I, UNESP Campus Ilha Solteira, Departamento de Física e 
Química, Haroldo Naoyuki Nagashima, 2011 
 Laboratório de Física-Apostila, UFES Departamento de Engenharia e Ciências Exatas, 
2013 
 TEXTOS DE LABORATÓRIO – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I-E e IF, UFBA, 
Instituto de Física, Francisco Clodorian Fernandes Cabral,2007 
 INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO, CTA Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA – 
Departamento de Física, Terezinha Saes de Lima, 
 
 
24mm + 0,70 mm = 24,70 mm 
Resposta FINAL= (24,70 ± 0,025) mm 
 
Exemplo/Exercício 5: Faça a leitura das seguintes medidas com o paquímetro: 
(note que a precisão do paquímetro (1) a (4)é de 0,1mm, 
e do paquímetro (5) é de 0,02mm) 
 
 
 
 
 
Respostas: (1) (0,3±0,05)mm; (2) (2,5±0,05)mm; (3) (7,0±0,05)mm; (4) (14,8±0,05)mm; (5) (34,72±0,01)mm 
5