Movimento Curvilíneo 1
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Movimento Curvilíneo 1


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Mec. Ger. II \u2013 Movimento Curvilíneo \u2013 A.R. Alvarenga / 2012 1/2 
 
 
MECÂNICA GERAL II \u2013 MOVIMENTO CURVILINEO 
 
Grandezas do Movimento Geral \u2013 Coordenadas normal e tangencial (3D) 
 
Sistema Euleriano: acompanha o ponto P que descreve a trajetória s(t) no instante t. 
 
Vetor unitário tangente: ut define a direção da tangente à trajetória no ponto P. 
 
Vetor unitário normal: un define a direção normal à ut voltada para o centro de 
curvatura (CIR centro instantâneo de rotação) que define o vetor raio r posição em 
sistemas Lagrangianos. Segue o crescimento dos ângulos no sentido anti-horário. 
 
Vetor unitário binormal: ub define a direção que forma o triedro com os 2 vetores 
anteriores e define o plano osculador que contém os mesmos. ub = ut × un. 
\u2022 2D: existe 1 plano osculador coincidente; 
\u2022 3D: existe 1 único plano osculador (que contém ut e un). 
 
Velocidade: v = ds/dt ut = s\ufffd . ut 
 
Aceleração: a = at ut × an un 
\u2022 tangencial: at = v\ufffd \u2192 at .ds = v. dv (modifica o módulo |a| = a) 
\u2022 normal: an = v2/R (modifica a direção ua) R = raio de curvatura 
 
Grandezas do Movimento Geral \u2013 Coordenadas cilíndricas (3D) 
 
Composto de coordenadas polares (r, \u3b8) + eixo z (cartesiano) 
Vetor unitário ur define a direção de crescimento do raio (radial) 
Vetor unitário u\u3b8 define a direção ortogonal a ur (de crescimento de \u3b8) 
 
Posição: r = r ur + z k (Hibbeler emprega a variável \u3c1) 
 
Velocidade: v = (r\ufffd. ur + r. \u3b8\ufffd . u\u3b8) + z\ufffd k 
Aceleração: a = [(r\ufffd \ufffd r\u3b8	\ufffd ). ur +(r\u3b8 \ufffd \ufffd 2r\ufffd\u3b8\ufffd ). u\u3b8] + z \ufffd k 
 
Obs.: 1) \u3b8\ufffd 
 \ufffd\ufffd 
\ufffd\ufffd
 = \u3c9: velocidade angular [rad/s, rpm, cpm, cps, rad/min]. 
 2) \u3b8\ufffd 
 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd
 \u3b1: aceleração angular [rad/s2] 
 3) Aceleração radial: ar = (r\ufffd \ufffd r\u3b8	\ufffd ), (lembre-se não é an!). 
 4) Aceleração tangencial: a\u3b8 = (r\u3b8 \ufffd \ufffd 2r\ufffd\u3b8\ufffd ), (lembre-se não é at!). 
 5) Quando r = r(t) e \u3b8 = \u3b8(t), as diferenciais temporais são obtidas diretamente 
 por aplicar d/dt as funções (r, \u3b8, r\ufffd e \u3b8\ufffd ). 
 6) Quando r = f(\u3b8) aplica-se a regra da cadeia: 
 velocidade radial: r\ufffd = df(\u3b8)/ d\u3b8 . d\u3b8 / dt = \u3c9 .df(\u3b8)/ d\u3b8 = \u3b8\ufffd . df(\u3b8)/ d\u3b8. 
aceleração radial: r\ufffd = \u3b8 \ufffd df(\u3b8)/ d\u3b8 + \u3b8	\ufffd . d2f(\u3b8)/ d\u3b82. 
 
Transformando grandezas polares em retangulares: 
 
Posição: x = r. cos \u3b8; \u3b8 = arc tg( y/x) 
 y = r. sen \u3b8. r = (x2 +y2)1/2 
Mec. Ger. II \u2013 Movimento Curvilíneo \u2013 A.R. Alvarenga / 2012 2/2 
 
 
Velocidades: vx = x\ufffd = r\ufffd. cos \u3b8 \u2013 r. \u3b8\ufffd . sen \u3b8; 
 vy = y\ufffd = r\ufffd. sen \u3b8 + r. \u3b8\ufffd . cos \u3b8 
Acelerações: ax = \ufffd\ufffd = r\ufffd. cos \u3b8 \u2013 2. r\ufffd.\u3b8\ufffd . sen \u3b8 \u2013 r\u3b8 \ufffd . sen \u3b8 \u2013 r.\u3b8	\ufffd . cos \u3b8 
 ay = \ufffd\ufffd = r\ufffd. sen \u3b8 + 2. r\ufffd.\u3b8\ufffd . cos \u3b8 + r\u3b8 \ufffd . cos \u3b8 \u2013 r.\u3b8	\ufffd . sen \u3b8. 
 
Casos Particulares: 
 
Revisão MCU (Movimento Circular Uniforme): 
 
r = R constante (r\ufffd = r\ufffd = 0) .:. \u3b8 varia uniformemente: \u3b8\ufffd = \u3c9 constante (\u3b8 \ufffd = \u3b1 = 0). 
v = \u3c9. R = R. d\u3b8 / dt = R. \u3b8\ufffd (constante: sempre tangencial) 
a = \u2013 R. \u3b8\ufffd 	 = R. \u3c92 = v.\u3c9 = v2 /R (modifica a direção: sempre radial = centrípeta) 
 
Revisão MCV (Movimento Circular Variável): acelerado/retardado 
 
r = R constante (r\ufffd = r\ufffd = 0) .:. \u3b8 = \u222b \u3b8\ufffd dt : \u3b8\ufffd = \u222b \u3b8 \ufffd dt (\u3b8 \ufffd = \u3b1 \u2260 0). 
v = R. \u3b8\ufffd . u\u3b8 ( a velocidade varia com a velocidade angular \u3c9, sempre tangencial) 
a = \ufffdR. \u3b8	\ufffd . ur +R . \u3b8 \ufffd . u\u3b8 
 (a aceleração tem 2 componentes: 
 direção radial é centrípeta: ac = \u2013 R. \u3b8\ufffd 	 = R. \u3c92 = v.\u3c9 = v2 /R. 
 direção \u3b8 depende da aceleração angular \u3b1: R. \u3b1). 
 
Referência: HIBBELER, R.C.; Dinâmica \u2013 Mecânica para Engenharia Cap. 12. 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
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