Movimento Curvilíneo 1

Mec. Ger. II – Movimento Curvilíneo – A.R. Alvarenga / 2012 1/2 
 
 
MECÂNICA GERAL II – MOVIMENTO CURVILINEO 
 
Grandezas do Movimento Geral – Coordenadas normal e tangencial (3D) 
 
Sistema Euleriano: acompanha o ponto P que descreve a trajetória s(t) no instante t. 
 
Vetor unitário tangente: ut define a direção da tangente à trajetória no ponto P. 
 
Vetor unitário normal: un define a direção normal à ut voltada para o centro de 
curvatura (CIR centro instantâneo de rotação) que define o vetor raio r posição em 
sistemas Lagrangianos. Segue o crescimento dos ângulos no sentido anti-horário. 
 
Vetor unitário binormal: ub define a direção que forma o triedro com os 2 vetores 
anteriores e define o plano osculador que contém os mesmos. ub = ut × un. 
• 2D: existe 1 plano osculador coincidente; 
• 3D: existe 1 único plano osculador (que contém ut e un). 
 
Velocidade: v = ds/dt ut = s� . ut 
 
Aceleração: a = at ut × an un 
• tangencial: at = v� → at .ds = v. dv (modifica o módulo |a| = a) 
• normal: an = v2/R (modifica a direção ua) R = raio de curvatura 
 
Grandezas do Movimento Geral – Coordenadas cilíndricas (3D) 
 
Composto de coordenadas polares (r, θ) + eixo z (cartesiano) 
Vetor unitário ur define a direção de crescimento do raio (radial) 
Vetor unitário uθ define a direção ortogonal a ur (de crescimento de θ) 
 
Posição: r = r ur + z k (Hibbeler emprega a variável ρ) 
 
Velocidade: v = (r�. ur + r. θ� . uθ) + z� k 
Aceleração: a = [(r� � rθ	� ). ur +(rθ � � 2r�θ� ). uθ] + z � k 
 
Obs.: 1) θ� 
 �� 
��
 = ω: velocidade angular [rad/s, rpm, cpm, cps, rad/min]. 
 2) θ� 
 ���
���
 α: aceleração angular [rad/s2] 
 3) Aceleração radial: ar = (r� � rθ	� ), (lembre-se não é an!). 
 4) Aceleração tangencial: aθ = (rθ � � 2r�θ� ), (lembre-se não é at!). 
 5) Quando r = r(t) e θ = θ(t), as diferenciais temporais são obtidas diretamente 
 por aplicar d/dt as funções (r, θ, r� e θ� ). 
 6) Quando r = f(θ) aplica-se a regra da cadeia: 
 velocidade radial: r� = df(θ)/ dθ . dθ / dt = ω .df(θ)/ dθ = θ� . df(θ)/ dθ. 
aceleração radial: r� = θ � df(θ)/ dθ + θ	� . d2f(θ)/ dθ2. 
 
Transformando grandezas polares em retangulares: 
 
Posição: x = r. cos θ; θ = arc tg( y/x) 
 y = r. sen θ. r = (x2 +y2)1/2 
Mec. Ger. II – Movimento Curvilíneo – A.R. Alvarenga / 2012 2/2 
 
 
Velocidades: vx = x� = r�. cos θ – r. θ� . sen θ; 
 vy = y� = r�. sen θ + r. θ� . cos θ 
Acelerações: ax = �� = r�. cos θ – 2. r�.θ� . sen θ – rθ � . sen θ – r.θ	� . cos θ 
 ay = �� = r�. sen θ + 2. r�.θ� . cos θ + rθ � . cos θ – r.θ	� . sen θ. 
 
Casos Particulares: 
 
Revisão MCU (Movimento Circular Uniforme): 
 
r = R constante (r� = r� = 0) .:. θ varia uniformemente: θ� = ω constante (θ � = α = 0). 
v = ω. R = R. dθ / dt = R. θ� (constante: sempre tangencial) 
a = – R. θ� 	 = R. ω2 = v.ω = v2 /R (modifica a direção: sempre radial = centrípeta) 
 
Revisão MCV (Movimento Circular Variável): acelerado/retardado 
 
r = R constante (r� = r� = 0) .:. θ = ∫ θ� dt : θ� = ∫ θ � dt (θ � = α ≠ 0). 
v = R. θ� . uθ ( a velocidade varia com a velocidade angular ω, sempre tangencial) 
a = �R. θ	� . ur +R . θ � . uθ 
 (a aceleração tem 2 componentes: 
 direção radial é centrípeta: ac = – R. θ� 	 = R. ω2 = v.ω = v2 /R. 
 direção θ depende da aceleração angular α: R. α). 
 
Referência: HIBBELER, R.C.; Dinâmica – Mecânica para Engenharia Cap. 12. 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
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