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TAXAS DE VARIAÇÃO - Exercícios (com resolução)

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TAXAS RELACIONADAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS/ RESOLVIDOS 
Prof: Kennedy Scopel 
Créditos: Profª Cinthia C L Caliari 
 
 
1) Se 
xxy 23 
e 
5/ dtdx
, encontre 
dtdy /
quando 
2x
 
 
2) Se 
3622  yx
e 
3/ dtdy
, encontre 
dtdx /
quando 
4y
 
 
3) Se 
222 yxz 
e 
2/ dtdx
e 
3/ dtdy
, encontre 
dtdz /
quando 
5x
e 
12y
 
 
4) Ar está sendo bombeado para dentre de um balão esférico e seu volume 
cresce à taxa de 
scm /100 3
.Qual a velocidade com que o raio cresce quando 
o diâmetro for 50cm? 
 
5) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio da 
base 2m e a altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque 
à taxa de 
min/2 3m
, encontre a taxa pela qual o nível de água estará 
elevando quando a água estiver a 3 m de profundidade. 
 
6) O carro A segue em uma estrada (leste-oeste), em direção a oeste a 90 
km/h e o carro B segue em uma estrada (norte-sul), rumo ao norte a 100 km/h. 
Ambos estão se dirigindo para a interseção das duas estradas. A que taxa os 
carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60m e o carro B 
está a 80m da interseção? 
 
7) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6cm/s. Com 
que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado 
for 
216cm
? 
 
8) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8cm/s e sua 
largura está crescendo a uma taxa de 3cm/s. Quando o comprimento for 20 cm 
e a largura for 10 cm, quão rapidamente estará crescendo a área do retângulo? 
 
9) Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa 
de 
min/3 3m
. Quão rápido estará aumentando a altura da água? 
 
10) O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido 
o volume está aumentando quando o diâmetro for 80 mm? 
 
11) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa 
diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a 
distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km da 
estação. 
 
12) Um foguete é lançado verticalmente de um local a 9 Km de um ponto de 
observação. Após 20 s, sua velocidade de subida é de 700m/s e ele está a 
altura de 12Km. Determine a velocidade com que ele se distancia do ponto de 
observação. 
 
13) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície 
decresce a taxa de 1 cm2/min, encontre a taxa segunda a qual o raio decresce 
quando o diâmetro é 10 cm. 
 
14) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área 
do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa varia a base do 
triângulo quando a altura é de 10 cm e a área, 100 cm2? 
 
15) Uma criança está empinando uma pipa que move-se horizontalmente a 4 
m/s. Supondo que a pipa permaneça a 80 m de altura, sobre o nível do solo. 
Desprezando a altura da criança, qual é a velocidade com que a linha está 
sendo dada no momento em que a distância dela até a pipa é de 100 m? 
 
16) Um tanque cilíndrico, de 2m de raio, está recebendo óleo à taxa de 
3m3/min. A que taxa o óleo sobe no tanque? 
 
17) Uma quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando 
um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, 
com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? 
 
18) Um homem começa a andar para o norte a 8 m/min de um ponto P. Cinco 
minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhada para o oeste a uma 
velocidade de 10 m/min partindo de um ponto localizado 270 m a leste de P. 
Quinze minutos após a mulher ter iniciado a caminhada, eles estarão se 
afastando ou se aproximando? A que taxa? 
 
19) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. 
Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 
0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele 
instante? 
 
20) A equação da oferta de um certo produto é 
ppx 2031000 2 
 onde x 
unidades são oferecidas por mês quando p for o preço unitário. Ache a taxa de 
variação na oferta se o preço corrente for de R$20,00 por unidade e se o preço 
estiver crescendo a uma taxa de R$0,50 ao mês. 
 
1) Se 
xxy 23 
e 
5/ dtdx
, encontre 
dtdy /
quando 
2x
 
705.25.2.323 22 
dt
dy
dt
dy
dt
dx
dt
dx
x
dt
dy 
 
2) Se 
3622  yx
e 
3/ dtdy
, encontre 
dtdx /
quando 
4y
 
Quando 
4y
, temos que 
5220364 222  xxx
 
125203.4520022 
dt
dx
dt
dx
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dy
y
dt
dx
x
 
5
56
52
12 




dt
dx
dt
dx 
 
3) Se 
222 yxz 
e 
2/ dtdx
e 
3/ dtdy
, encontre 
dtdz /
quando 
5x
e 
12y
 
Quando 
5x
e 
12y
, temos que 
1316914425 22  zzz
 
13
46
133.122.5222 
dt
dz
dt
dz
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
 
 
4) 
dt
dr
r
dt
dV
dt
dr
r
dt
dV
rV 223 43.
3
4
3
4   
Temos que: 
scm
dt
dV
/100 3
, , 
?
dt
dr 
Assim: 
scm
dt
dr
dt
dr
/
25
1
25.25.4
100
)25(4100 2  
 
 
5) 
hrV 2
3


. 
 Por semelhança de 
triângulos, 
2
2
24 h
rhr
rh

. 
Então, podemos substituir: 
 3
2
1223
hh
h
V








 
Derivando: 
dt
dh
h
dt
dV
dt
dh
h
dt
dV 22
4
3
12


. 
Como: 
min/2 3m
dt
dV

, 
mh 3
, 
?
dt
dh 
cmrcmd 2550 
min/
9
8
.9.
4
2 m
dt
dh
dt
dh



 
 
6) Como os carros A e B estão em movimento, as 
distâncias x, y e z modificam com o tempo. Assim, 
temos:
hkm
dt
dx
/90
, 
hkm
dt
dy
/100
, 
?
dt
dz 
Observe que as velocidades são negativas, pois as 
distâncias estão diminuindo. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo acima, temos: 
222 zyx 
. 
Derivando: 
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x  222
 
No momento em que 
kmmx 06,060 
, 
kmmy 08,080 
, podemos 
calcular z: 
kmmzzzyx 1,01008060 222222 
 
Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: 
hkm
dt
dz
dt
dz
dt
dz
/1344,131,01,0100.08,090.06,0 
 
 
 7) Temos que: 
scm
dt
dl
/6
, 
?
dt
dA , quando cmlcmA 416 2  
scm
dt
dA
dt
dA
dt
dl
l
dt
dA
lA /486.4.22 22 
 
8) Temos que: 
scm
dt
dc
/8
, 
scm
dt
dl
/3
, 
?
dt
dA , quando cmc 20 e 
cml 10
. 
scm
dt
dA
dt
dA
c
dt
dl
l
dt
dc
dt
dA
lcA /14020.310.8... 2
 
 
9) Temos que: 
min/3 3m
dt
dV

, 
?
dt
dh , se mr 5 . 
min/
25
3
25325252 m
dt
dh
dt
dh
dt
dh
dt
dV
hhrV   
 
10) 
smm
dt
dr
/4
, 
?
dt
dV , se mmr 40 . 
 
smm
dt
dV
dt
dV
dt
dr
r
dt
dV
dt
dr
r
dt
dV
rV
/25600
4.40443
3
4
3
4 2223




 
 
11) 
hkm
dt
dx
/800
, 
?
dt
dz , quando kmz 3 . 
Observe que a altura (2 km) do avião permanece constante, 
então, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, 
temos: 222 2 zx  . 
Derivando: 
dt
dz
z
dt
dx
x
dt
dz
z
dt
dx
x  22No momento em que 
kmz 3
, podemos calcular x: 
kmxxx 5532 2222 
 
Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: 
hkm
dt
dz
dt
dz
dt
dz
/3,596
3
5800
3800.5 
 
 
12) 
sm
dt
dy
/700
, 
?
dt
dz , quando 
mkmy 1200012 
. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao 
lado, temos: 
2229 zy 
. 
Derivando: 
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dz
z
dt
dy
y  22
 
No momento em que 
kmy 12
, podemos calcular z: 
kmzzz 15225912 2222 
 
 
Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: 
sm
dt
dz
dt
dz
/56015000700.12000 
 
 
13) 
min/1 2cm
dt
dA

, 
?
dt
dr , se cmr 5 . 
min/
40
1
40184 2 cm
dt
dr
dt
dr
dt
dr
r
dt
dA
rA   
 
14) 
min/1cm
dt
dh

e 
min/2 2cm
dt
dA

, 
?
dt
db quando cmh 10 e 
2100cmA
 






 b
dt
dh
h
dt
db
dt
dAhb
A
2
1
2
. 
Quando 
cmh 10
 e 2100cmA , temos que 
cmb
bhb
A 20
2
10.
100
2
.

 
Então: 
min/6,1105220.110
2
1
2 cm
dt
db
dt
db
dt
db







 
 
15) 
sm
dt
dx
/4
, 
?
dt
dz , quando mz 100 . 
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 22280 zx  . 
Derivando: 
dt
dz
z
dt
dx
x
dt
dz
z
dt
dx
x  22
 
No momento em que 
mz 100
, podemos 
calcular x: 
mxxx 60360010080 2222 
 
 
Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: 
sm
dt
dz
dt
dz
dt
dz
/4,2
100
240
1004.60 
 
 
16) Como o raio de um cilindro é uma constante, podemos substituí-lo direto na 
fórmula, assim: 
hVhrV  42  e sabendo que min/3 3m
dt
dV

 
min/
4
3
434 m
dt
dh
dt
dh
dt
dh
dt
dV
 
 
 
17) 
hrV 2
3


., como 
2
2
h
rrh 
 
Então, podemos substituir: 
 3
2
1223
hh
h
V








 
Derivando: 
dt
dh
h
dt
dV
dt
dh
h
dt
dV 22
4
3
12


. 
Como: 
min/10 3m
dt
dV

, 
mh 8
, 
?
dt
dh 
min/
8
5
16
10
.64.
4
10 m
dt
dh
dt
dh
dt
dh



 
 
18) 
 Cinco minutos após o homem começar a caminhar, ele estará 40m a norte 
do ponto P. 
 Nesse momento a mulher começa a caminhar para oeste. Ela está 270m a 
leste de P. 
 Quinze minutos depois, o homem estará 160m a norte de P e a mulher 
estará (270-150) 120m a leste de P conforme a figura abaixo. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao 
lado, temos: 
222 zyx 
. 
Derivando: 
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x  222
 
No momento em que 
mx 120
e 
my 160
, 
podemos calcular z: 
mzzz 20040000160120 2222 
 
Sabendo que 
sm
dt
dx
/10
(negativo, pois está se aproximando do ponto P) 
e 
sm
dt
dy
/8
(positivo pois está se afastando do ponto P), podemos substituir 
cada um dos valores na derivada acima e teremos: 
sm
dt
dz
dt
dz
dt
dz
/4,0802002008.160)10.(120 
 
Como a velocidade entre eles é positiva, eles estão se afastando. 
 
19) 
?
dt
dV , 
diacm
dt
dr
/001,0
, se 
cmr 5
. 
diacm
dt
dV
dt
dV
dt
dr
r
dt
dV
rV /1,0001,0.544
3
4 3223   
 
20) 
?
dt
dx , 
mesR
dt
dp
/$50,0
, se 
00,20$Rp 
. 
  2/122 20310002031000 ppxppx 
 
 
pp
dt
dp
dt
dp
p
dt
dx
dt
dp
dt
dp
ppp
dt
dx
203
206500
206203.
2
1
.1000
2
2/12
















 
 
mesunid
dt
dx
dt
dx
dt
dx
/875
40
35000
20.2020.3
50,0.2050,0.20.6500
2





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