Módulos 2 e 3 -Eduardo Campos

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2 – Estimação Pontual de 
Médias e Totais Populacionais
2.1 – Objetivo Geral da Estimação
Dado um plano amostral probabilístico, 
digamos p, e um parâmetro-alvo θ, definir:
1) Estimador Pontual Não Viciado para θ
2) Variância (Teórica) do Estimador de θ
3) Estimador da Variância do Estimador de θ
2.2 - Distribuição Amostral
A distribuição amostral de um estimador 
é a sua distribuição de probabilidade. 
Ela representa o comportamento dos 
valores assumidos pelo estimador, 
quando consideramos todas as 
amostras de tamanho n que poderiam 
ser selecionadas da população U.
Exemplo 2.1 - considere a população do 
exemplo 1.1, repetida a seguir:
U yi
1 4
2 5
3 3
4 3
Obtenha a distribuição amostral de , 
considerando uma AAS com n = 2.
y
Solução:
O espaço amostral é S = 
{(1,2);(1,3);(1,4);(2,3);(2,4);(3,4)}.
Estas amostras, suas probabilidades e os 
respectivos valores de são dados a seguir.y
s p(s)
(1,2) 1/6 4,5
(1,3) 1/6 3,5
(1,4) 1/6 3,5
(2,3) 1/6 4
(2,4) 1/6 4
(3,4) 1/6 3
y
A distribuição amostral de é: y
3/1)4y(p)5,3y(p
6/1)5,4y(p)3y(p
====
====
2
Um estimador não viciado é aquele cujo 
valor esperado é igual ao parâmetro.
Ou seja, um estimador é não 
viciado para um parâmetro θ se:
θˆ
.)ˆ(E θ=θ
2.3 - Estimador Não Viciado O vício de é dado por:
Evidentemente, se um estimador 
é não viciado, seu vício é zero.
.)ˆ(E)ˆ(B θ−θ=θ
θˆ
Do inglês: bias = vício.
Exemplo 2.1 (cont.) - Calcule e 
verifique se é um estimador não viciado 
para .
Solução:
.75,35,4
6
14
3
15,3
3
13
6
1)y(E =+++=
.75,3Y =
O estimador é não viciado!
),y(E
Y
y
2.4 - Estimador Linear
Um estimador linear é aquele que é 
dado por uma combinação linear das 
observações y na amostra, ou seja:
Exemplos de estimadores lineares?
.yˆ i
si
i∑
∈
ω=θ
A média amostral é um estimador 
linear, com pesos ωi = 1/n, ∀i ∈s.
O total amostral t é um estimador 
linear, com pesos ωi = 1, ∀i ∈s.
Intuitivamente, t parece um bom estimador 
para o total populacional Y?
2.5 - Estimadores de Horvitz-Thompson
Dois pesquisadores (Horvitz e Thompson) 
desenvolveram, na década de 50, uma 
teoria que define estimadores lineares não 
viciados para total e média para qualquer
plano amostral que seja probabilístico.
Os estimadores resultantes são chamados 
estimadores de Horvitz-Thompson.
3
Demonstração do Estimador de HT 
para o Total Populacional:
Seja o parâmetro total populacional:
E um estimador linear genérico:
∑
∈
=
Ui
iyY
∑
∈
ω=
si
iiyYˆ
Nosso problema é obter os pesos ωi tais 
que este estimador seja não viciado.
Em princípio, isto poderia ser feito 
diretamente, resolvendo a equação:
∑ ∑
∑∑
∈ ∈
∈∈
=ω
=ω
=
si Ui
iii
Ui
i
si
ii
y)y(E
y)y(E
Y)Yˆ(E
Problema: quanto vale E(yi)?
Uma forma elegante de resolver este 
problema passa pela definição da 
seguinte variável binária:
Esta variável, definida ∀ i∈U, é 
chamada variável indicadora de 
inclusão na amostra.
s.i se 0, 
s;i se 1,δi
∉=
∈=
δi é utilizada para escrever o estimador 
de forma equivalente, como um 
somatório na população:
(a equivalência vem do fato de que, se 
i∉s, então δi = 0, e assim ωiyiδi = 0)
.yyYˆ
Ui
iii
si
ii ∑∑
∈∈
δω=ω=
A vantagem desta nova representação 
é que yi não é mais variável aleatória 
(pois está associada a uma unidade 
populacional, fixa). A única variável 
aleatória no novo somatório é δi, assim:
.)(Ey)Yˆ(E
Ui
iii∑
∈
δω=
pii, pois δi ~ Bernoulli(pii).
Assim, para que seja não viciado, 
é necessário que:
Yˆ
.Ui ,11
yy
Y)Yˆ(E
i
iii
Ui
ii
Ui
ii
∈∀
pi
=ω⇔=piω
=piω
=
∑∑
∈∈
pesos amostrais para o estimador de total.
4
Estimador de HT para o Total:
Estimador de HT para a Média:
∑
∈
=
si
i
i
HT y
π
1Yˆ
∑
∈
==
si
i
i
HT
HT yNπ
1
N
YˆYˆ
no caso 
da média, 
os pesos 
amostrais
são ωi = 
1/Npii, ∀i∈s.
Exemplo 2.2 - Considere os dados do 
ex. 1.1 e a amostra s = (2,3), 
obtida pelo plano amostral do ex. 1.3: 
p(1,2) = p(3,4) = 0;
p(1,3) = ½;
p(1,4) = p(2,3) = p(2,4) = 1/6.
Estime sem vício a média 
e o total populacionais.
Solução:
.5,193*
2
35*3y
2
3y3y1y1Yˆ 323
3
2
2
HT =+=+=
pi
+
pi
=
.875,4
4
5,19
N
YˆYˆ HT ===
• Interpretação do Peso Amostral
O peso ωi é o número de unidades 
populacionais que estão sendo representadas 
na amostra pela i-ésima unidade amostral.
Isto ficará mais claro mais adiante.
• Expansão da Amostra
O processo de multiplicar os valores de y na 
amostra pelos respectivos pesos, para fins 
de cálculo de estimadores, chama-se 
expandir a amostra. A expansão da amostra 
é necessária para que os parâmetros 
populacionais sejam estimados sem vício.
Perceba a importância dos resultados obtidos 
aqui: eles permitem estimar totais e médias 
sem vício, sob qualquer plano probabilístico, 
desde que tenhamos as probabilidades de 
inclusão (e já aprendemos como calculá-las).
Os estimadores obtidos são os únicos não 
viciados, dentre os estimadores lineares.
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3 - Estimação de Variâncias 
e Medidas de Precisão
3.1 - Objetivo Principal
Estimar as variâncias dos estimadores 
derivados no módulo 2 sob cada plano, 
para, a partir delas, calcular medidas de 
variabilidade associadas às estimativas.
Lembrem-se: estimativas pontuais sem 
medida de variabilidade não dizem nada.
3.2 - Comparando Estratégias Não Viciadas
Cada plano amostral probabilístico gera um 
estimador não viciado diferente (módulo 2).
O conjunto plano amostral + respectivo 
estimador não viciado para θ, é chamado 
estratégia de estimação não viciada para θ.
Assim, podemos ter várias estratégias de 
estimação não viciadas para um parâmetro, 
e, portanto, precisamos saber compará-las.
Esta comparação é feita a partir das 
variâncias teóricas das estratégias de 
estimação, ou seja, dos estimadores não 
viciados sob cada plano amostral.
Ilustração - estratégia 1 melhor que a 2:
θ-ε θ+εθ
11 p sob,ˆ de ãodistribuiç θ
22 p sob ,ˆ de ãodistribuiç θ
Formalmente, a comparação é feita via Efeito 
do Plano Amostral, ou EPA (design effect), 
que nada mais é do que a razão das 
variâncias teóricas dos estimadores.
• Efeito do Plano Amostral (EPA) 
O EPA (Efeito do Plano Amostral) é 
a razão entre as variâncias teóricas 
correspondentes a duas estratégias não 
viciadas de estimação, quando utilizadas 
para estimar um mesmo parâmetro-alvo.
6
EPA < 1 ⇒ Estratégia E1 mais eficiente.
EPA > 1 ⇒ Estratégia E2 mais eficiente.
.
)θˆ(V
)θˆ(V)E,EPA(E
:por dado é elas entreEPA O
22P
11P
21 =
).θˆ;P(:E e )θˆ;P(:E
 : viciadas)(não sestratégia as Sejam
222111
Para calcular o EPA, precisamos de uma 
fórmula para obter as variâncias teóricas.
3.3 - Variâncias Teóricas dos Estimadores de HT
As variâncias dos estimadores de Horvitz-
Thompson dependem dos piis e das 
probabilidades de inclusão conjuntas ou 
de segunda ordem: piij = p[(i∈s)∩(j∈s)]. 
Começaremos apresentando a variância do 
estimador de total. A variância do estimador 
de média pode ser obtida a partir dele.
Note que o estimador de total, escrito na 
forma de um somatório na população, fica:
Por outro lado, a variância da combinação 
linear de v.a.`s apresentada acima é:
.),(Covyy2)(Vy
ji
ji
j
j
i
i
Ui
i
2
i
i ∑∑∑
<∈
δδ








pi






pi
+δ





pi
.
yYˆ
Ui
i
i
i∑
∈
δ
pi
=
Sendo δi ~ Bernoulli(pii), verifica-se que:Substituindo na fórmula do slide anterior, 
obtemos a expressão final da variância, 
apresentada no slide seguinte.
V(δi) = pii(1-pii) 
e 
Cov(δi,δj) = piij-piipij. 
Variância do Estimador de Total:
sendo piij = p[(i∈s)∩(j∈s)].
∑∑∑
<∈
pipi−pi







pi






pi
+pi−pi





pi
=
ji
jiij
j
j
i
i
Ui
ii
2
i
i
HT
)(yy2)1(y
)Yˆ(V
7
Para obter a variância do estimador da 
média, basta dividir por N2.
Variância do Estimador da Média:








pipi−pi








pi






pi
+pi−pi





pi
==
∑∑∑
<∈ ji
jiij
j
j
i
i
Ui
ii
2
i
i
2
2
HT
HT
)(yy2)1(y
N
1
N
)Yˆ(V)Yˆ(V
3.4 – Estimação das Variâncias
Na prática, o que fazemos é calcular as 
estimativas das variâncias, a partir das 
fórmulas dos próximos slides.
Estimador da Variância 
do Estimador do Total:
Este estimador é não viciado para 
∑∑∑
<∈ pi
pipi−pi








pi






pi
+pi−





pi
==
ji ij
jiij
j
j
i
i
si
i
2
i
i
HTHT
)(yy2)1(y
)Yˆ(v)Yˆ(Vˆ
).Yˆ(V HT
Estimador da Variância 
do Estimador da Média:








pi
pipi−pi








pi






pi
+pi−





pi
==
∑∑∑
<∈ ji ij
jiij
j
j
i
i
si
i
2
i
i
2
2
HT
HT
)(yy2)1(y
N
1
N
)Yˆ(Vˆ)Yˆ(Vˆ
Este estimador é não viciado para 
).Yˆ(V HT
Exemplo 3.1 - Considere novamente os 
dados do exemplo 1.1 e o plano amostral: 
p(1,2) = p(3,4) = 0;
p(1,3) = ½;
p(1,4) = p(2,3) = p(2,4) = 1/6.
Baseado na amostra s = (2,3), obtenha as 
estimativas da variância dos estimadores 
de total e média populacionais, usando os 
estimadores não viciados apresentados.
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Relembrando os dados do exemplo 1.1:
U yi
1 4
2 5
3 3
4 3
Respostas - piij = 1/6 (que é a própria 
probabilidade da amostra s = (2,3)) e:
.98,6
16
75,111
N
)Yˆ(v)Yˆ(v
.75,111)Yˆ(v
2
HT
HT
HT
===
=
Obs - uma crítica aos estimadores de variância 
reportados é que, em situações não tão raras, 
podem gerar estimativas negativas.
Um estimador alternativo, também não viciado, 
e que gera valores negativos com frequência 
menor, foi definido por Sen-Yates-Grundy:
2
j
j
i
i
si ji ij
ijji
HTSYG
yy)()Yˆ(Vˆ








pi
−
pipi
pi−pipi
=∑∑
∈ <
3.5 - Medidas de Precisão
A partir da variância, podemos obter 
importantes medidas de precisão
associadas às estimativas, como:
- erros padrão (desvios padrão dos 
estimadores – para que servem?)
- coeficientes de variação (CV`s)
• Erro Padrão
O erro padrão de um estimador é o seu 
desvio padrão, isto é, a raiz quadrada da 
sua variância: 
)Yˆ(V)Yˆ(EP =
)Yˆ(EP*N)Yˆ(V)Yˆ(EP ==
Na prática, o erro padrão teórico não 
é conhecido. Entretanto, dada uma 
amostra, podemos estimá-lo :
)Yˆ(v)Yˆ(ep =
)Yˆ(ep*N)Yˆ(v)Yˆ(ep ==
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• Coeficiente de Variação
Outra medida usual é o coeficiente de 
variação (CV). O CV de um estimador é:
)ˆ(E
)ˆ(EP)ˆ(CV
θ
θ
=θ
= θ, se o estimador é não viciado.
No caso específico da estimação sem 
vício (via HT) da média e do total 
populacionais, a fórmula do CV torna-se:
Y
)Yˆ(EP)Yˆ(CV =
Y
)Yˆ(EP)Yˆ(CV =
são iguais, 
sempre!
O CV expressa o erro padrão em relação 
ao parâmetro (proporção ou percentual 
dele), permitindo comparar a variabilidade 
de estimadores de diferentes magnitudes. 
Exemplo 3.2 - Suponha que estejamos 
interessados em estimar o salário médio 
em diferentes ramos de atividade, por 
exemplo, salários médios de gerentes e de 
office-boys. Suponha que o salário médio 
dos gerentes seja de R$ 5.000,00 e o dos 
office-boys seja de R$ 500,00. 
Um erro padrão igual a 100 indica 
variabilidade alta ou baixa?
No caso dos office-boys, este erro padrão é 
20% do salário médio, portanto é 
relativamente alto. CV = 0,2 = 20%.
Por outro lado, no caso dos gerentes, este 
erro padrão representa 2% do salário médio, 
sendo relativamente baixo. CV = 0,02 = 2%. A 
dispersão relativa é bem menor!
O coeficiente de variação estimado é:
Yˆ
)Yˆ(ep)Yˆ(cv =
Yˆ
)Yˆ(ep)Yˆ(cv =
O coeficiente de variação estimado
fornece uma medida do erro padrão 
em relação ao valor da estimativa.
são iguais, 
sempre!
Exemplo 3.3 - Na situação do exemplo 
3.1, estime o erro padrão e o CV dos 
estimadores adotados. 
).Yˆ(cv%15,54)Yˆ(cv
 )4/)Yˆ(ep ou( 64,2)Yˆ(v)Yˆ(ep
.56,10)Yˆ(v)Yˆ(ep:R
HTHT
HTHTHT
HTHT
==
==
==