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Cálculo Diferencial E Integral (200)

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= 20000.
EXEMPLO 5.6.10 Determine se a série
∞∑
n=1
2n
5n−1
é convergente ou divergente.
Solução: Devemos veri�car se a sequência de somas parciais desta série tem limite. Todas
as séries que apresentam esse modelo (séries geométricas) podem ser resolvidas conforme o
modelo que segue.
(i) Escrevemos a soma dos n primeiros termos:
Sn = 2 +
22
5
+
23
52
+
24
53
+ · · ·+ 2
n
5n−1
(ii) Multiplicamos Sn por
2
5
2
5
Sn =
22
5
+
23
52
+
24
53
+ · · ·+ 2
n
5n−1
+
2n+1
5n
(iii) Tomamos a diferença entre os resultados de (i) e (ii), obtendo
Sn − 2
5
Sn =
(
2 +
22
5
+
23
52
+ · · ·+ 2
n
5n−1
)
−
(
22
5
+
23
52
+ · · ·+ 2
n
5n−1
+
2n+1
5n
)
ou seja,
3
5
Sn = 2− 2
n+1
5n
153
ou ainda,
Sn =
10
3
− 5
3
2n+1
5n
=
10
3
− 10
3
(
2
5
)n
e como
2
5
< 1, temos que a
S = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
10
3
− 10
3
(
2
5
)n
=
10
3
.
Consequentemente, a série
∞∑
n=1
2n
5n−1
converge para
10
3
.
OBSERVAÇÕES 5.6.11 .
1. Uma das propriedades das séries in�nitas é que a convergência ou divergência não
é afetada se subtrairmos ou adicionarmos um número �nito de termos a elas. Por
exemplo, se no Exemplo 5.6.3 o estudante só começasse a receber a primeira parcela
após 5 meses, a série seria escrita com n = 6 no primeiro termo, ou seja,
∞∑
n=6
20000
n(n+1)
, e
a soma seria S = 20000− S5. Se por outro lado, o seu pai decidisse nos primeiros 10
meses dar uma mesada �xa de 2000u.m. por mês e iniciar o pagamento com n = 1 no
décimo primeiro mês, a soma seria S = 2000(10)+ lim
n→∞
20000n
n+ 1
. Em ambos os casos a
série continuará convergente.
2. Se a série
∞∑
n=1
un é convergente e a série
∞∑
n=1
yn é divergente, então a série
∞∑
n=1
(un+yn) é
divergente. No entanto, se as séries
∞∑
n=1
un e
∞∑
n=1
yn são divergentes, a série
∞∑
n=1
(un+yn)
pode ou não ser convergente.
3. Se
∞∑
n=1
un é uma série convergente de termos positivos, seus termos podem ser reagru-
pados de qualquer modo e a série resultante também será convergente e terá a mesma
soma que a série dada.
TEOREMA 5.6.12 Seja
∞∑
n=1
un uma série e α ∈ N. Se a série
∞∑
n=α
un = uα + uα+1 + uα+2 + · · ·
for convergente, então a série
∞∑
n=1
un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · ·
também será convergente.
DEMONSTRAÇÃO: Supondo que a série
∞∑
n=α
un é convergente, temos que ela possui uma soma.
Seja Sn−α o termo geral da sequência de suas somas parciais, tal que S = lim
n→∞
Sn−α e seja
Sα = u1 + u2 + u3 + · · ·+ uα. Desse modo, o termo geral da soma parcial da série
∞∑
n=1
un será
Sn = Sα+Sn−α e, portanto, lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
Sα+ lim
n→∞
Sn−α, donde segue que lim
n→∞
Sn = Sα+S.
Consequentemente,
∞∑
n=1
un é convergente.
154
Propriedades
Sejam
∞∑
n=1
un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · ·
e ∞∑
n=1
yn = y1 + y2 + y3 + · · ·+ yk + · · ·
duas séries que convergem para S e S ′, respectivamente, então são válidas as seguintes
propriedades:
(i)
∞∑
n=1
kun = k
∞∑
n=1
un para todo k ∈ R, ou seja, a série
∞∑
n=1
kun converge para kS.
(ii)
∞∑
n=1
(un ± yn) =
∞∑
n=1
un ±
∞∑
n=1
yn, ou seja, a série
∞∑
n=1
(un ± yn) converge para S + S ′.
5.7 Condição necessária para Convergência
Não existe uma regra geral para veri�car se uma série é convergente ou não. Como veremos
nos próximos itens, há critérios que dão respostas a tipos particulares de séries. Porém,
veri�cando se uma série não possui a condição necessária para convergência, saberemos que
ela não é convergente. Essa condição, é dada pelo teorema abaixo.
TEOREMA 5.7.1 Se
∞∑
n=1
un é uma série convergente, então lim
n→∞
un = 0.
DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que a série
∞∑
n=1
un converge para S, então podemos a�rmar
que lim
n→∞
Sn = S, de modo que, pela De�nição 5.6.8, dado ε > 0 podemos encontrar K > 0
tal que para todo n > K vale a desigualdade |Sn − S| < ε2 e |Sn−1 − S| < ε2 . Como
Sn = Sn−1 + un, temos que un = Sn − Sn−1 e assim,
|un − 0| = |Sn − Sn−1 − 0|
= |Sn − S + S − Sn−1|
= |(Sn − S) + (S − Sn−1)|
= |Sn − S|+ |S − Sn−1|
≤ |Sn − S|+ |Sn−1 − S|
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
Assim, pela De�nição 5.2.4, segue que lim
n→∞
un = 0.
Uma consequência muito importante desse teorema é o corolário a seguir.
COROLÁRIO 5.7.2 Seja
∞∑
n=1
un uma série tal que lim
n→∞
un 6= 0, então
∞∑
n=1
un é divergente.
EXEMPLO 5.7.3 A série
∞∑
n=1
2n+2
3n+5
é divergente já que lim
n→∞
un = lim
n→∞
2n+2
3n+5
= 2
3
6= 0.
155
EXEMPLO 5.7.4 A série
∞∑
n=1
1
n
é tal que lim
n→∞
un = lim
n→∞
1
n
= 0, isto é, possui a condição
necessária para convergência. No entanto, não podemos, sem aplicar outros testes de con-
vergência, a�mar se ela é convergente ou divergente.
OBSERVAÇÃO 5.7.5 Portanto �quem atentos, se o lim
n→∞
un 6= 0 prova-se que a série é diver-
gente. Mas se lim
n→∞
un = 0 a série pode convergir ou divergir, para issso necessitamos estudar
critérios para fazer tal veri�cação.
Veremos, na sequência, alguns resultados que permitem veri�car se uma série é conver-
gente ou não.
TEOREMA 5.7.6 Seja Sn uma sequência de somas parciais convergente. Então, dado ε >
0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo m,n > K vale a desigualdade |Sm − Sn| < ε.
DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que Sn seja uma sequência de somas parciais que converge
para S. Então, dado ε > 0 podemos encontrar K > 0 tal que, para todo m,n > K valem as
desigualdades |Sm − S| < ε2 e |Sn − S| < ε2 . Assim,
|Sm − Sn| = |Sm − S + S − Sn|
= |(Sm − S) + (S − Sn)|
≤ |(Sm − S)|+ |(Sn − S)|
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
OBSERVAÇÃO 5.7.7 O Teorema 5.7.6 pode ser ilustrado considerando o Exemplo 5.6.3. Lá
nossa suposição era saber a partir de que parcela a diferença entre o montante e o limite era
menor do que 300 u.m.. Para obter a resposta, tomamos ε = 300 e obteremos K = 65, 667.
Isso signi�ca que, em todas as parcelas, a partir da sexagésima sexta, a diferença entre o
montante e o limite é menor do que 300 u.m.. Agora tomando n = 70 e m = 80 obteremos
S70 =
20000 ∗ 70
70 + 1
= 19718 e S80 =
20000 ∗ 80
80 + 1
= 19753. Consequentemente, |S70 − S80| =
|19718− 19753| = 35 < 300. Caso tomássemos m,n < 66 não necessariamente a diferença
entre as somas seria menor do que 300.
5.8 Séries Especiais
5.8.1 Série harmônica
DEFINIÇÃO 5.8.2 A série
∞∑
n=1
1
n
é denominada série harmônica.
A série harmônica é uma das séries mais importantes da matemática. Seu nome surge
em conexão com os sons harmônicos produzidos pela vibração de uma corda musical.
A série harmônica, embora possua a condição necessária para convergência, é uma série
divergente. A divergência da série harmônica não é trivial. Sua lenta divergência se tornará
evidente quando examinarmos suas somas parciais com maior detalhe. Na verdade, vamos
mostrar que a sequência de somas parciais Sn da série harmônica não converge, pois admite
156
subsequências divergentes. Para isso, vamos considerar as somas S2, S4, S8, S16, S32, · · · cujos
índices são sempre potências de 2, formando a subsequência S2n de Sn. Temos que
S21 = S2 = 1 +
1
2
>
1
2
+
1
2
=
2
2
S22 = S4 = S2 +
1
3
+
1
4
> S2 +
(
1
4
+
1
4
)
= S2 +
1
2
>
3
2
S23 = S8 = S4 +
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
> S4 +
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
= S4 +
1
2
>
4
2
S24 = S16 = S8 +
1
9
+
1
10
+
1
11
+
1
12
+
1
13
+
1
14
+
1
15
+
1
16
> S8 +
(