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Equações e Inequações
Equações
Exercícios
Resolva as equações
Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxímetro. Sabendo que cada quilômetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilômetros foram percorridos.
Se hoje um rapaz tem 24 anos e seu pai 42, há quantos anos a idade do pai foi o triplo da do filho?
Fatoração
Fatorar os polinômios em polinômios de 1º e 2º (quando for irredutível).
Possíveis raízes (por Girard) e o algoritmo de Briote-Ruffini para verificação das mesmas.
Exemplo: equação do quarto grau
Por Girard as possíveis raízes são os divisores do termo , aplicamos em seguida Briote-Ruffini, e podemos ter as seguintes fatorações:
 Todas as raízes são reais
 Duas raízes reais e duas complexas
 Todas as raízes complexas.
Exercícios
Fatore:
Inequações
Exercícios
Resolva as inequações:
Sistemas de coordenadas
Espaço bidimensional
 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
É constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O;
A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas;
A reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas;
Os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes;
O ponto P fica determinado por suas coordenadas cartesianas:
OPERAÇÕES E IGUALDADE (pares ordenados)
Adição
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
Exemplo:
(2, 5) + (1, - 3) =
Multiplicação por um número real k
k (x , y ) = (kx , ky )
Exemplo:
3(5, 1) =
Igualdade de dois pares ordenados
(x1 , y1 ) = (x2 , y2) →x1 =x2 e y1 = y2
Exemplo:
(x - 1, y + 3) = (1, 7)
Distância entre dois pontos
Exemplo:
P1(1, -3) e P2(4, 1)
 SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO
o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º.
 SISTEMA POLAR
Eixo polar do sistema – p
Pólo do sistema – O
O ponto P fica determinado por suas coordenadas polares:
 Exercícios
Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas cartesianas de .
O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhecendo- se o ponto A=(-2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1.
Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo eqüilátero de vértices A=(3, 3),B=(-3,-3) e C=(-3,3) .
Dados os pontos A=(2, y), B =(-8, 4) e C = (5, 3), determinar y para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.
Encontre o ponto P=(x, y) eqüidistante dos pontos P1 =(0, - 5), P2 =(- 1, 2) e P3 =(6, 3).
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos pontos A=(1,)e B=(2,  ).
Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e (-5, 6). Determine a área do quadrado.
Espaço tridimensional
 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
É constituído de três retas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no mesmo ponto O;
A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo da abscissa;
A reta orientada y é denominada eixo y ou eixo da ordenada;
A reta orientada z é denominada eixo z ou eixo da cota
Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões ou octantes;
O ponto P fica determinado por suas coordenadas cartesianas:
P=(x,y,z)
Distância entre dois pontos
 SISTEMA CILÍNDRICO
 SISTEMA ESFÉRICO
 EXERCÍCIOS
Calcular a somadas arestas do tetraedro regular de vértices A=(, 0, 1), B=(-,0,1), C=(0,2 , 2) e D=(0, 0, 4).
Provar que os pontos A=(2, 0, 1), B = (3, 1, 5), C = (4, 2, 9) são colineares.
Achar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos A=(1, -1, 3) e B=(2, 2, 1).
Verificar se os pontos A=(2, 1, 2), B = (1, 2,-1) e C=(-1, 0,-1) são vértices de algum triângulo retângulo.
Vetores
Conceitos
 RETA ORIENTADA
 SEGMENTO ORIENTADO
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos,o primeiro chamado Origem do segmento (A), o segundo de extremidade (B).
 MEDIDA DE UM SEGMENTO
Fixada uma unidade de medida, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo.
 DIREÇÃO E SENTIDO
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas.
 SEGMENTOS EQUIPOLENTES
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Notação (AB~CD)
Vetores
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB.
 NOTAÇÃO
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Uma letra latina minúscula encimada por uma seta.
Exemplos: ...
Uma letra latina minúscula.
Exemplos: u,v,w...
Dois pontos que são a origem e a extremidade de um representante do vetor.
Exemplo:
A soma do ponto A com o vetor  é o ponto B.
Onde A é a origem e B a extremidade. Notação (=AB)
 VETORES IGUAIS
Os vetores  e  são iguais se os segmentos forem eqüipolentes.
 MÓDULO
É o número não negativo que indica o comprimento do vetor. 
 VETOR NULO
É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a ZERO . O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas.
 VETOR UNITÁRIO
 VETOR OPOSTO
Seja o vetor  temos que o vetor oposto é 
 VERSOR
Versor de um vetor não nulo  é um vetor unitário de mesma direção e sentido de .
 VETORES COLINEARES
Dois vetores  e  são colineares se tiverem a mesma direção.
 VETORES COPLANARES
Se ,  e  são coplanares se tiverem imagens geométricas paralelas ao mesmo plano.
(obs. Dois vetores são sempre coplanares)
 OPERAÇÕES COM VETORES
Adição
u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ), então u + v=(x1 +x2 ,y1 +y2 ,z1 +z2 ).
Propriedades
Comutativa:
u+v=v+u
Associativa:
( u + v )+ w=u+(v+w)
Elemento neutro:
u + 0=0+u=u
Elemento oposto:
u + (-u)=-u+u=0
Subtração de vetores
u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ), então u - v=(x1 - x2 ,y1 - y2 ,z1 - z2 ).
Multiplicação de um vetor por um escalar
mv =m(x ,y ,z ) = (mx ,my ,mz )
Propriedades
Propriedade associativa em relação aos escalares.
m(nv) = n(mv) = (mn) v
Propriedade distributiva em relação à adição de escalares.
(m+n) v= mv+nv
Propriedade distributiva em relação à adição de vetores.
m(v+w)=mv+mw
Identidade
1v=v
Exercícios
Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar:
2u - v + 4w
3(u + v) -2(2v - w)
Conhecidos A = (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular:
A + v
2A - 3B - v
Sendo A = (2, 0, 1), B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar D = (x, y, z ) tal que BD = AB + CB.
Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3).
Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a:
Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5).
Calcular P tal que AP=2/3 AB. Dados A=(-1, -1, 0) e B=(3, 5, 0).
Sabendo-se que u e v são perpendiculares tais que | u | =5 e | v | = 12, calcular |u+v| e |u- v|.
Produto de vetores
 PRODUTO ESCALAR (ou produto interno usual)
Notação:
u.v
Definição:
O produto escalar de dois vetores u e v é o número (escalar) tal que
Interpretação geométrica:
 ou ( medida algébrica da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u).
Expressão cartesiana do produto escalar:
u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ), então u.v=x1x2 +y1y2 +z1z2 .
Módulo de um vetor:
Nulidade do produto escalar:
Um dos vetores for nulo
Os dois vetores forem ortogonais
Ângulo de dois vetores:
, 
Exemplos:
Determinar,sabendo que =(1,-2) e=(4,2).
Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
Dados os vetores =(1,-2,2) e=(4,3), calcular || e || .
Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que || = 7.
Determinar o valor de n para que o vetor seja unitário.
Determinar os versores dos vetores = (0,-3,4) e v = (-1,1).
Calcular os ângulos entre os vetores  e, sendo:
i) =(1,2) e=(-1,2) ii) =(2,-1)e=(1,2) iii) =(0,2) e=(0,1)
iv) =(1,1,4) e=(-1,2,2) v) =(2,-1,2) e=(-1,2,2) vi) =(0,2,4) e=(0,1,2)
Sabendo que o ângulo entre os vetores =(2,1,-1) e=(1,-1,m+2) é , calcular m.
Dados os vetores =(1,-2,2) e=(4,m,-5), calcular m para que e sejam ortogonais.
O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ?
Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:
i) as componentes de  ii) o módulo de  iii) o versor de 
Dados os vetores ,e, determinar:
i)  ii)  iii)o ângulo entre e iv) o versor de 
v) o valor de m para que o vetor  seja ortogonal a -
Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo:
i) u = (1,1) e v = (2,0) ii) u = (1,1,1) e v = (3,3,0)
 PRODUTO VETORIAL (ou produto externo)
Notação:
Definição:
O produto vetorial de dois vetores u e v , não paralelos entre si, é um terceiro vetor com as seguintes características quanto:
À direção: o vetor  é um vetor perpendicular aos vetores u e v;
Ao sentido: =
Ao módulo:
Nulidade do produto vetorial:
Um dos vetores forem nulo;
Os dois vetores forem paralelos.
Produto vetorial dos versores i, j e k
i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).
Obs: o vetor u=(x ,y ,z ) pode ser representado por 
Expressão cartesiana do produto vetorial:
u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ).
Interpretação geométrica:
Área de um paralelogramo: 
Área de um triângulo: 
Exemplos:
Determinarx,sabendo que =(1,-2,4) e=(4,2,-5).
Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
Dados os vetores  e, determinar:
i) x ii) x iii) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a - e + iv) o valor de m para que o vetor seja paralelo a x
Dados os pontos A(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determinar:
i) a área do paralelogramo determinado pelos vetores e ;
ii) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores e  relativa ao lado ;
iii) a área do triângulo de vértices A, B e C.
 PRODUTO MISTO
Notação:
Definição:
O produto misto entre três vetores u, v e w é o número (escalar)
Nulidade do produto misto:
Um dos vetores forem nulo;
Os vetores u e v forem paralelos.
Os três vetores coplanares
Expressão cartesiana do produto misto:
u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ) e w=(x3 ,y3 ,z3 )
Interpretação geométrica:
volume de um paralelepípedo 
volume de um tetraedro 
Propriedades do produto misto:
Exemplos:
Dados os vetores =(-2,1,2) , =(1,-1,1) e= (1,1,1) , calcular:
i) ( u,v,w) ii) (v,u,w) iii) (v,w,u)
Verificar se são coplanares os vetores:
i) =(1,-1,0) , =(2,1,3) e= (3,2,1) ii) =(1,-1,-2) , =(3,-2,5) e= (5,-4,1)
Qual deve ser o valor de n para que os vetores =(3,n,2) , =(4,0,1) e= (2,-1,-2) para que os vetores sejam coplanares ?
Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão num mesmo plano.
Dados os pontos A(1,1,-1), B(2,2,-1) , C(3,1,-1) e D(2,3,1), determinar:
i) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,e .
ii) a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores ,e  relativa a face determinada por e .
iii) o volume do tetraedro cujos vértices são: A, B, C e D
Dados os vetores =(x,5,0) , =(3,-2,1) e= (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por , eseja 24 u.v.
Determinar o valor de  para que:
i)(,3,-7)x(11,1,10)=(37,-87,-32) ii)(10,,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36
Dados os vetores  e, determinar (uxv ).( u-v).
Dados os pontos A(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determinar:
i) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,e .
ii) a área do paralelogramo determinado pelos vetores  e.
Determine o valor de p e q para que
i)(p,5,q).(2,4,6) = 30 ii)(p,q,-7)x(11,1,10) = (37,-87,-32) iii)(10,q,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36
Gabarito
Produto escalar
a) 0 b) -1 c) 3 e 5 d) m = -3 ou m = 9 e) n = f) ;  g) i) = arc cos(3/5) ii) 90o iii) 0o iv) 45o v) 90o vi) 0o h) m = -4 i) m = -3 j) SIM k) i) (-9,1,3) ii) iii)  l) i) 21 ii) 30 iii) 45o iv)  v) m = -18 m) i) (1,0) ii) (1,1,0)
Produto Vetorial
a) (2,21,10) b) (9,-7,1) c) i) (2,1,-5) ii) (-2,-1,5) iii) iv) m = -5 d) i) 13 ii)  iii) 
Produto misto
b) i) NÃO ii) SIM c) n = d) SIM e) i) 4 ii) 2 iii)  f) x = 4 ou x = -44
g) i) = 1 ii) = 16 h) 0 i) i) 2 ii) 1 j) i) p = 5 – 3q ii) p = 1 e q = 3 iii) q = 16
BIBLIOGRAFIA
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria analítica. 2. ed.; São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 5. ed.; Curitiba: Editora da UFPR, 1991.
Obs.: as notas de aula não dispensa o uso do livro
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