apostila matematica 1 02 RELAÇÕES e FUNÇÕES cassio

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MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
PAR ORDENADO ........................................................................ 2 
PRODUTO CARTESIANO ........................................................... 3 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .................................................... 4 
RELAÇÃO .................................................................................... 8 
DOMÍNIO E IMAGEM ................................................................. 12 
CONTRA-DOMÍNIO ................................................................... 13 
RELAÇÃO INVERSA ................................................................. 17 
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA .............................. 18 
FUNÇÕES .................................................................................. 22 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ...................................................... 27 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO..................................................... 34 
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO .................................................. 34 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO .................................................... 37 
FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................. 43 
RESPOSTAS ............................................................................. 44 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 51 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” 
de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo 
IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem 
ao volume 1. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
PAR ORDENADO 
 
Chama-se par todo conjunto formado 
por dois elementos. Assim, {1; 2}, {7, -3} ou 
{a, b} indicam pares. Lembrando o conceito de 
igualdade de conjuntos, observamos que 
inverter os elementos não gera um par 
diferente, assim, temos: 
{1, 2} = {2, 1} 
 
{7, −3} = {−3. 7} 
 
{𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎} 
 
Em matemática, existem situações em 
que há a necessidade de distinguir dois pares 
pela ordem de seus elementos. 
 
 
Ex.1: Imaginemos que o time de futebol da 
escola será formada por 10 atletas (titulares e 
reservas) escolhidos entre os alunos do 1º e 2º 
anos. Podemos indicar a quantidade de alunos 
escolhidos de cada série no seguinte 
esquema: anotamos entre parênteses primeiro 
o número de alunos selecionados no 1º ano e 
depois o do 2º ano. 
 
 
 
 Então (3, 7) indicará que foram 
escolhidos 3 alunos do 1ºano e 7 do 2º ano e 
(7, 3) nos dirá que 7 alunos são do 1º ano e 3 
são oriundos do 3º ano. (5, 5) indicaria, por 
exemplo, que foram escolhidos 5 alunos de 
cada série, etc. 
 
 Observamos, neste caso, que (3, 7) e 
(7, 3) representam dois modos diferentes de 
selecionar os alunos para o time de futebol. Em 
(7, 3) e (3, 7) temos as mesmas quantidades, 
porém em ordens diferentes. Por isso, dizemos 
que (7, 3) e (3, 7) são dois PARES 
ORDENADOS diferentes. 
 
Ex.2: No sistema de equações 
x y 3
x y 1
 

  
 
𝑥 = 2 e 𝑦 = 1 é a solução ao passo que 
𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 não é solução. 
 
Se representássemos por um conjunto, 
teríamos: { 2, 1} é solução e {1, 2} não seria 
solução e aí há uma contradição pois 
{2, 1} = {1, 2}. Por causa disso, dizemos que a 
solução é o PAR ORDENADO (2, 1) em que 
fica subentendido que o primeiro valor se 
refere à incógnita x e o segundo é referente à 
incógnita y. 
 
 Admitiremos a noção de PAR 
ORDENADO como conceito primitivo. 
Podemos formar a idéia de par ordenado, 
imaginando-o como um conjunto de dois 
elementos considerando-os numa dada 
ordem. Para lembrar que a ordem está sendo 
considerada, na representação do par 
ordenado, utilizamos parênteses e não chaves 
como nos conjuntos em geral e para cada 
elemento 𝑎 e cada elemento 𝑏, admitiremos a 
existência de um terceiro elemento (𝑎, 𝑏) que 
denominamos par ordenado, de modo que se 
tenha: 
 
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑)  𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑 
 
 
Ou seja, impomos que dois pares 
ordenados são iguais se, e somente se, 
tiverem os primeiros termos iguais entre si e os 
segundos termos também iguais entre si. 
 
 Veja, a seguir, alguns exemplos: 
MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
Ex.1: (𝑎, 𝑏) = (3, 7)  𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 7 
 
Ex.2: (𝑎, 𝑏) = (7, 3)  𝑎 = 7 𝑒 𝑏 = 3 
 
Ex.3: (𝑎, 𝑏) = (5, 5)  𝑎 = 5 𝑒 𝑏 = 5 
 
Note que em um par ordenado, 
podemos ter termos iguais. 
 
PRODUTO CARTESIANO 
 
 Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} e 
𝐵 = {1, 2, 3, 4}, vamos formar os pares 
ordenados que têm o primeiro elemento em 𝐴 
e o segundo elemento em 𝐵. Observe o 
esquema em que cada flecha representa um 
par: 
 
Veja a mesma formação, agora numa tabela: 
 
 
 
O conjunto formado pelos pares 
ordenados obtidos é denominado PRODUTO 
CARTESIANO DE A POR B e o indicamos por 
𝐴 𝑥 𝐵 onde lemos “A cartesiano B”. Desta 
forma, temos então: 
 
A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2); 
(2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); (3 , 4)} 
 
De forma genérica, o produto cartesiano 
de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto 𝐴 𝑥 𝐵 
formado pelos pares ordenados que trazem o 
primeiro elemento extraído de 𝐴 e o segundo 
de 𝐵 ou: 
 
𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒙, 𝒚) | 𝒙  𝑨 𝒆 𝒚  𝑩} 
(Lemos: A cartesiano B é igual ao conjunto formado por pares 
ordenados x, y tal que x pertence a A e y pertence a B) 
 
Observações: 
 
1. Se 𝐴  𝐵 então 𝐴 𝑥 𝐵  𝐵 𝑥 𝐴, ou seja, o 
produto cartesiano não é comutativo 
 
2. Se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos finitos com 𝑚 e 
𝑛 elementos respectivamente, então 
𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto finito com 𝑚 ∙ 𝑛 
elementos 
 
3. Se 𝐴 ou 𝐵 for infinito e nenhum dos dois 
for vazio, então 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto 
infinito. 
 
 
Ex.1: Dados 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖} e 𝐵 = {𝑝, 𝑞}, 
determinar: 
a) A X B b) B X A 
c) A2 d) B2 
 
Solução: 
a) 
A X B = {(a, p); (a, q); (e, p); (e, q); 
(i, p); (i, q)} 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
b) 
B X A = {(p, a); (p, e); (p, i); (q, a); 
(q, e); (q, i)} 
 
c) 
A2 = A X A = {(a, a); (a, e); (a, i); 
(e, a); (e, e); (e, i); (i, a); (i, e); (i, i)} 
 
d) B2 = B X B = {(p, p); (p, q); (q, p); 
(q, q)}. 
 
Ex.2: Se A tem 4 elementos e B tem 9 
elementos, quantos elementos tem: 
a) A X B b) B X A 
c) A2 d) B2 
 
Solução: 
a) 
4 9 36 
 elementos. 
b) 
9 4 36 
 elementos. 
c) 
4 4 16 
 elementos. 
d) 
9 9 81 
 elementos. 
________________________ 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Pares ordenados de números reais 
podem ser representados por pontos em um 
plano chamado de PLANO CARESIANO. 
 
O Plano Cartesiano é determinado por 
duas retas orientadas perpendiculares num 
ponto chamado de origem. Cada ponto deste 
plano será associado à um par ordenado (𝑎, 𝑏) 
de números reais da seguinte forma: 
 
1. Sobre a reta horizontal, chamada de eixo 
𝑂𝑋, marcamos o ponto referente ao 
número 𝑎. 
2. Traçamos a reta 𝑦’ paralela à reta 𝑦 
passando por 𝑎. 
3. Sobre a reta vertical, chamada de eixo 
𝑂𝑌, marcamos o ponto referente ao 
número 𝑏. 
4. Traçamos a reta 𝑥’ paralela à reta 𝑥 
passando por 𝑏. 
5. O encontro entre 𝑥’ e 𝑦’ será o afixo do 
ponto 𝑃 de coordenadas (𝑎, 𝑏). 
 
 
No plano cartesiano acima, temos: 
 
 O número 𝑎 é a abscissa do ponto 𝑃. 
 O número 𝑏 é a ordenada do ponto 𝑃. 
 O eixo 𝑂𝑋 é chamado de eixo das 
abscissas. 
 O eixo 𝑂𝑌 é chamado de eixo das 
ordenadas. 
 O ponto 𝑂 é a origem e tem 
coordenadas (𝟎, 𝟎). 
 
A cada par de números reaisfazemos 
corresponder um único ponto do plano e a 
cada ponto do plano, fazemos corresponder 
um único par ordenado de números reais. Essa 
correspondência é denominada de Sistema de 
Coordenadas Cartesianas Ortogonais (ou 
simplesmente Sistema Cartesiano 
Ortogonal). Ortogonal porque os eixos 
formam entre si um ângulo de 90º e Cartesiano 
é homenagem à René Descartes, um 
matemático considerado o “pai da filosofia 
moderna” 
 
 
Ex.: 1 
Veja no plano cartesiano a seguir a localização 
de cada dos pontos abaixo: 
A (2, 4) B (-2, 3) 
C (-3, -3) D (1, -2) 
E (4, 0) F (0, 5) 
G (-2, 0) H (0, -4) 
MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
Ex.2: Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3} 
e B = {1, 2, 3, 4}. Faça A x B e a seguir 
represente os pares ordenados num sistema 
cartesiano ortogonal. 
 
Solução 
 
A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2); 
(2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); 
(3 , 4)} 
 
 
 
 
1) Represente corretamente no plano 
cartesiano abaixo, cada um dos pares 
ordenados a seguir: 
 
A (1, 1) D (-3, -2) G (0, -2) 
B (3, 2) E (1, -4) H (3, 0) 
C (-4, 5) F (0, 5) J (-4, 0) 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
2) Determine as coordenadas de cada dos 
pontos marcados no sistema abaixo. 
 
 
A B 
C D 
E F 
G H 
J 
3) Assim como na questão 160, localize os seis 
pontos abaixo no plano cartesiano. 
L 
5
3; 
3
 
 
 
 P 
47 12
; -
10 5
 
 
 
 
M 
 0,5; 4
 Q 
 0; 10
 
N 
 3; -
 R 
9 3
; 
3 2
 
 
 
 
 
 
4) Sendo A = {1. 2. 3. 4. 5} e 
B = {3, 4, 5, 7}. Represente num 
sistema ortogonal o conjunto A x B. 
 
 
___________________ 
Também podemos representar 
graficamente produtos cartesianos formados a 
partir de conjuntos determinados por 
intervalos. 
 
 
Ex.1: Sendo 𝐴 = {𝑥  ℝ | 1 < 𝑥  6 } e 
𝐵 = {𝑦  ℝ | 2  𝑦  5 }, representar 
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵. 
 
MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
Ex.2: Sendo 𝐴 = {𝑥  ℝ | 1  𝑥  4 } e 
𝐵 = {𝑦  ℝ | 𝑦 = 2 }, representar 
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵. 
 
 
Ex.3: Sendo 𝐴 = {𝑥  ℝ | 1  𝑥  4 } e 
𝐵 = {𝑦  ℝ | 2  𝑦  4 }, representar 
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵. 
 
 
 
 
 
 
5) Sendo A = {x   | 1  x  6 } e 
B = {x   | -2  x < 3 }, representar 
graficamente: 
 
a) A x B. 
 
 
 
b) B x A 
 
 
c) A x A 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
RELAÇÃO 
Quando começamos a falar de produto 
cartesiano, citamos dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵 e 
formamos 𝐴 𝑥 𝐵. 
 
 Naquele exemplo, tínhamos 
𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4} e o 𝐴 𝑥 𝐵 
apresentava 12 elementos. 
 
 Destes 12 elementos, vamos formar 
agora o conjunto R dos pares ordenados que 
têm o primeiro termo em A e o segundo termo 
em B tais que o 1º termo é menor que o 2º. 
 
 Veja no diagrama a seguir como ficaria 
este conjunto. 
 
 
 
𝑅 = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); 
(2, 3); (2, 4); (3, 4)} 
 
Este conjunto R, que é um subconjunto 
de 𝐴 𝑥 𝐵, é exemplo de uma relação de 𝐴 em 
𝐵. 
 
De modo geral, denominamos relação 
de 𝐴 em 𝐵 a todo subconjunto de 𝐴 𝑥 𝐵. 
 
R é relação de A em B  R  A x B 
 
Veja, agora, outros exemplos que 
ilustram relações. 
 
 
Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} e 
𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, determinar as relações de A 
em B: 
a) S = {(x, y)  A x B | x + y = 6} 
b) M = {(x, y)  A x B | xy  6} 
 
Solução: 
Em a), a relação S é formada pelos pares 
ordenados (x, y) onde x  A e y  B, com a 
soma dos termos x + y = 6. Estes pares são 
(1, 5), (3, 3) e (5, 1), então, 
S = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)} 
 
 
Pares com soma igual a 6 
 
Em b), a relação M é formada pelos pares 
ordenados (x, y) onde x  A e y  B, com o 
produto dos termo menor ou igual a 6. Nesta 
condição, os pares são (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 
1), (2, 3), (3, 1), (4, 1) e (5, 1) então, 
 
M = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), 
(2, 3), (3, 1), (4, 1), (5, 1)} 
 
 
Pares com produto menor ou igual a 6 
 
MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
6) Dados 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {4, 5}, forme 
todos os pares ordenados de: 
a) 𝐴 𝑥 𝐵 
 
 
 
 
 
 
b) 𝐵 𝑋 𝐴 
 
 
 
 
 
 
c) 𝐴2 
 
 
 
 
d) 𝐵2 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 em cada caso 
abaixo: 
a) 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝑒 𝐵 = {9} 
𝐴 𝑥 𝐵 = 
 
 
 
 
 
 
 
𝐵 𝑥 𝐴 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝐴 = {5} 𝑒 𝐵 = {7} 
𝐴 𝑥 𝐵 = 
 
 
 
 
 
 
 
𝐵 𝑥 𝐴 = 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) 𝐴 = {4, 8, 12} 𝑒 𝐵 = Ø 
𝐴 𝑥 𝐵 = 
 
 
 
 
 
 
𝐵 𝑥 𝐴 = 
 
 
 
 
 
 
 
8) Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 
10 elementos: 
a) quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵? 
 
 
 
 
 
 
 
b) quantos elementos tem 𝐵 𝑥 𝐴? 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Os conjuntos 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 são iguais? 
Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Dados 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e 
𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}, forme as seguintes 
relações: 
a) 𝐾 = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 = 12} 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝐿 = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦  15} 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑀 = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 < 8} 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Dados 𝐴 = {3, 6, 9, 12} e 𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, 
determine 
𝑇 = = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥2 + 𝑦2 < 50} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
11) Sabendo que {(1, 2), (4, 2)}  𝐴2 e 
𝑛(𝐴2) = 9, represente, pelos elementos, o 
conjunto 𝐴2. 
(Veja a resolução desta questão nas respostas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Se {(1, −2), (3, 0)}  𝐴2 e 𝑛(𝐴2) = 16, 
então represente 𝐴2 pelos seus elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Considerando 
𝐴  𝐵, {(0, 5), (−1, 2), (2, −1)}  𝐴 𝑥 𝐵 
e 𝑛(𝐴 𝑥 𝐵) = 12, represente 𝐴 𝑥 𝐵 pelos seus 
elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Sendo A = {x  ℤ | − 2 < x  4} e B o 
conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos 
entre 7 e 35, quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
15) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
enumere os pares ordenados e construa o 
plano cartesiano da relação R de A em A dada 
por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦)  𝐴2 | 𝑚𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) = 2 }. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
enumere os pares ordenados e construa o 
plano cartesiano da relação R de A em A dada 
por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦)  𝐴2 | 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖 }. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOMÍNIO E IMAGEM 
 
Seja R uma relação de A em B que, a 
partir de agora representaremos R: A  B. 
Chamamos de DOMÍNIO de R o conjunto 
formado por todos os primeiros elementos dos 
pares ordenados pertencentes à relação R. O 
domínio de uma relação será representado por 
D, assim, 
 
  RyxByyDx  ,|,
(Lemos: x é parte do domínio se, e somente 
se existe y pertencente a B tal que o par 
ordenado x, y pertence à relação R) 
 
 
Chamamos de IMAGEM de R o conjunto 
de todos os segundos elementos dos pares 
ordenados (x, y) pertencentes a R. A imagem 
será representada por Im e é sempre um sub-
conjunto de B. 
 
  RyxAxxy  ,|,Im
 
(Lemos: y é parte da imagem se, e somente 
se, existe x pertencente a A tal que o par 
ordenado (x, y) pertence à relação R) 
 
 
Em outras palavras, podemos dizer que 
o domínio é formado por todos os valores que 
x assumee a imagem são os valores admitidos 
por y. 
 
Quando representado pelo diagrama de 
Venn, o domínio é o conjunto formados 
pelos elementos de onde saem as flechas e 
a imagem é o conjunto dos elementos que 
recebem flecha. 
 
 
Veja, a seguir, alguns exemplos: 
MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
Ex. 1: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e 
B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos 
R: A  B como uma relação que associa cada 
elemento de A à sua metade em B. 
 
 Observe a figura: 
 
 
 
 Os elementos destacados no conjunto A 
formam o domínio e os elementos destacados 
no conjunto B, formam a imagem. 
 
Note que, assim, o domínio é um sub-
conjunto de A e a imagem é um sub-conjunto 
de B. 
 
Ex.2: Seja A = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 ≤ 4} e 
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 3}, qual o domínio e 
imagem da relação 
R = {(x, y) ∈ A × B|y = x − 1} 
 
Resolução: 
 
CONTRA-DOMÍNIO 
 Numa relação 𝑅: 𝐴 → 𝐵 dada por 
R = {(x, y)|(x, y) ∈ A × B}, o conjunto B é 
chamado de contra-domínio. Em outras 
palavras, o contra-domínio é o conjunto 
formado por todos os valores que y pode 
assumir. 
 
 
17) Determine Domínio e Imagem de cada uma 
das relações abaixo: 
a) 𝐴 = {(1; 1), (1; 3), (2; 4)} 
 
D = 
 
 
Im = 
 
 
 
b) 𝐵 = {(−2; 4), (−1; 1), (3; −7), (2; 1)} 
 
D = 
 
 
Im = 
 
 
 
c) 𝐶 = {(2; 1), (1; −3), (5; √2)} 
 
D = 
 
 
Im = 
 
 
 
d) 𝐷 = {(1 + √2; √2; 
2
), (1 − √3; 1)} 
 
D = 
 
 
Im = 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
e) 𝐸 = {(3;
1
2
), (
5
2
; −1), (
3
2
; 0)} 
D = 
 
 
Im = 
 
 
 
18) Em cada uma das relações de A em B 
abaixo, pede-se: 
I) Enumerar os pares ordenados que formam 
as relações. 
II) Representar por meio de diagrama de Venn 
e flechas. 
III) Fazer a representação no plano cartesiano. 
IV) Estabelecer Imagem. 
V) Estabelecer Domínio. 
Para tal, considere 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} e 
𝐵 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}. 
 
a) R = {(x, y)  A × B | x + y = 2} 
 
D = 
 
Im =
b) R = {(x, y) A × B | x2 = y} 
 
 
D = 
 
Im = 
 
 
c) R = {(x, y)  A × B | x =  y} 
 
D = 
 
Im = 
MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
d) R = {(x, y)  A × B | x + y > 2} 
 
D = 
 
Im = 
 
e) R = {(x, y)  A × B | (x – y)2 = 1} 
 
D = 
 
Im = 
19) Dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, 
enumere os pares ordenados, construa o 
gráfico cartesiano e determine a imagem da 
relação R: A  A onde: 
a) R = {(x; y) | mdc(x, y) = 2} 
 
 
 
 
 
Im = 
 
b) R = {(x; y) | x e y são primos entre si} 
 
 
 
 
 
Im = 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
20) Se R é a relação binária de A em B tal que 
A = { x  ℝ | 1  x  6} e B = { y  ℝ | 1  y  4} 
definida por R = {(x; y)  A x B | x = 2y}, 
pede-se 
 
a) A representação cartesiana de A X B. 
 
 
 
 
b) A representação cartesiana de R. 
 
 
 
c) Domínio e imagem de R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Se R e S são relações binárias de A em B 
sendo 𝐴 = {𝑥 ℤ | − 2  𝑥  5} e 
B = { xℤ| − 2  x  3} definidas por 
R = {(x; y) | 2 divide x – y} e 
S = {(x; y) | (x – 1)2 = (y – 2)2}, pede-se: 
 
a) As representações cartesianas de R e S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
b) Domínio e Imagem de R e S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) R  S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
___________________ 
RELAÇÃO INVERSA 
 
Dada uma relação binária R de A em B, 
consideremos o conjunto 
R−1 = {(y, x)  B x A | (x, y)  R} 
Como R-1 é um subconjunto de B x A, então 
R-1 é uma relação binária de B em A à qual 
daremos o nome de relação inversa de R. 
 
(y, x)  R−1  (x, y)  R 
 
Decorre desta definição que R-1 é o 
conjunto dos pares ordenados obtidos a partir 
dos pares ordenados de R invertendo-se a 
ordem dos termos de cada par. 
 
 
 
 
Ex.1: Se A = {2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7}, quais 
são os elementos de R e R-1 sabendo que 
R = {(x; y)  A x B | x < y} 
 
Solução: 
 
 
Observando os diagramas, podemos 
descrever os pares ordenados. 
𝑅 = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 5), 
(3; 7), (4; 7), (5; 7)} 
 
𝑅−1 = {(3; 2), (5; 2), (7; 2), (5; 3), 
(7; 3), (7; 4), (7; 5)} 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Ex.2: 𝑆𝑒 𝐴 = { 𝑥  ℝ | 1  𝑥  4} e 
𝐵 = { 𝑦  ℝ | 2  𝑥  8}, representar no plano 
cartesiano as relações R e R-1 sendo 
R = { (x; y)  A x B | y = 2x}. 
 
 
 
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO 
INVERSA 
As seguintes propriedades da relação inversa 
são evidentes e podemos percebe-las 
simplesmente observando os dois exemplos 
anteriores. 
 
P1: 
A imagem de uma relação é o domínio de sua 
inversa. 
 
P2: 
O domínio de uma relação é a imagem de sua 
inversa. 
 
P3: 
(R-1)-1 = R 
 
22) Enumerar os elementos de R-1, relação 
inversa de R, nos seguintes casos: 
a) R = {(1; 3), (3; 1), (2; 3)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) R = {(1; -1), (2; -1), (3; -1), (-2; 1)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) R = {(-3; -2), (1; 3), (-2; -3), (3; 1)} 
 
 
MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
23) Enumerar os elementos e esboçar os 
gráficos de R e R-1, relações binárias de 
A = { x  ℕ | x  10 }. 
(Dica: faça R e R-1 no mesmo plano usando cores distintas) 
a) R = {(x; y)  A2 | x + y = 8} 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) R = {(x; y)  A2 | x + 2y = 10} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) R = {(x; y)  A2 | y = (x – 3)2 + 1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) R = {(x; y)  A2 | y = 2x } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
24) A = {x  ℝ | 1  x  6 } e 
B = {y  ℝ | 2  y  10 }. 
 
Dados os conjuntos A e B acima e as relações 
R a seguir, pede-se o gráfico cartesiano 
dessas relações e das respectivas relações 
inversas. 
 
a) R = {(x; y)  A x B | x = y } 
 
 
 
 
 
 
b) R = {(x; y)  A x B | y = 2x } 
 
 
 
 
c) R = {(x; y)  A x B | y = x + 2 } 
 
 
 
 
d) R = {(x; y)  A x B | x + y =7 } 
 
 
 
25) Considere a relação R: ℤ → ℤ 
𝑅 = { (𝑥; 𝑦)  ℤ2 | | 𝑥 | + | 𝑦 | = 3} 
Escreva: 
a) Im (R) 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 21 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
b) D (R) 
 
 
 
 
 
c) Nesta relação, existe algum elemento do 
domínio que não possui imagem? E existe 
algum elemento que possui mais de uma 
imagem? 
 
 
 
 
 
d) Faça a representação cartesiana desta 
relação. 
 
 
26) Vamos responder as mesmas perguntas 
propostas na questão anterior, agora para a 
relação 
R = { (x; y)  2| y = x2} 
Escreva: 
a) Im (R) 
 
 
 
 
 
 
 
b) D (R) 
 
 
 
c) Nesta relação existe algum elemento do 
domínio que não possui imagem? E existe 
algum elemento que possui mais de uma 
imagem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Faça a representação cartesiana desta 
relação. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
FUNÇÕES 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B*, 
uma relação f de A em B recebe a 
denominação de função de A em B se, e 
somente para todo x  A existe um único 
(𝑥, 𝑦)  𝑓. 
 
f é uma função de A em B 
 
( x  A,  y  B | (x; y)  f) 
 
É importante notar que: 
 
 Todo elemento de A deve ser associado a 
um elemento de B; 
 Para um dado elemento de A associamos um 
único elemento de B. 
 
Usando o conceito de domínio e 
imagem que já estudamos em relações, 
podemos dizer também, que: 
 
f : A B é uma função se todo 
elemento do domínio possui somente 
uma imagem. 
 
 
Veja, a seguir, alguns exemplos que 
ilustram relações deA em B. Note que algumas 
delas expressam função e outras não. 
 
 
 
* Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido 
que A e B são conjuntos formados por números reais, ou 
seja, A e B estão contidos em ℝ. 
 
Vamos considerar os conjuntos 
A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as 
seguintes relações binárias: 
R = {(x; y)  A x B | y = x + 1} 
S = {(x; y)  A x B | y2 = x2} 
T = {(x; y)  A x B | y = x} 
V = {(x; y)  A x B | y = (x -1)2 -1} 
W = {(x; y)  A x B | y = s} 
 
Começaremos pela relação R: 
 
 
Desta forma temos: 
 
R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) } 
 
Para cada elemento x  A com exceção 
do 3, existe um só elemento 
y  B tal que (x; y)  R. 
 
Para o elemento 3  A, não existe y  B 
tal que (3; y)  R. 
 
Neste caso, como existe elemento de A 
que não possui imagem, R NÃO é uma função 
de A em B. 
 
 
 
MATEMÁTICA I 23 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
Vejamos agora a relação S que associa 
x e y em pares de números que possuem o 
mesmo quadrado. 
 
 
S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)} 
 
 Para cada elemento x  A, com exceção 
do 1, existe um só elemento y  B tal que 
(x; y)  S. 
 
 Para o elemento 1, existem dois 
elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1)  S 
e (1, 1)  S. 
 
 Assim, S NÃO é uma função pois existe 
elemento do domínio que possui mais de uma 
imagem. 
 
Agora, a relação T: 
 
 
T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) } 
 
Para todo elemento x  A sem exceção, 
existe um só elemento y  B tal que (x; y)  T. 
 
Então T É UMA FUNÇÃO de A em B. 
 
Veja a relação V agora: 
 
 
 
V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) } 
 
Para todo elemento x  A sem exceção, 
existe um só elemento y  B tal que (x; y)  V. 
 
Então S É UMA FUNÇÃO de A em B. 
 
Vamos encerrar esta série com a 
relação W.: 
 
 
 
W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) } 
 
 
Para todo elemento x  A sem exceção, 
existe um só elemento y  B tal que (x; y)  W. 
 
Então W É UMA FUNÇÃO de A em B. 
 
Estas três últimas relações: T, V e W 
que apresentam a particularidade: “Para todo 
elemento x  A sem exceção, existe um só 
elemento y  B tal que (x; y) pertence à 
relação”, logo são funções de A em B. 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Quando analisamos uma relação a partir 
da representação por diagrama de flechas em 
dois conjuntos A e B, devemos observar duas 
condições para que a relação de A em B seja 
uma função de A em B: 
 
1. Deve sair flecha de TODOS os 
elementos de A. 
 
2. Deve sair apenas uma flecha de 
cada elemento de A. 
 
Estas duas condições apenas afirmam o 
que foi dito no início da página 22 desta 
apostila. Lá está afirmando que f: A  B é uma 
função se todo elemento de A possui uma 
(condição 1) e somente uma (condição 2) 
imagem. 
 
 
Vamos identificar, nos diagramas a 
seguir, onde está e onde não está 
representada uma função de A em B 
justificando, quando for o caso. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
Função? 
 
 
Justifique: 
 
b) 
 
 
 
 
 
Função? 
 
 
 
Justifique: 
 
c) 
 
 
 
 
Função? 
 
 
 
Justifique: 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
Função? 
 
 
Justifique: 
 
e) 
 
 
 
 
Função? 
 
 
 
Justifique: 
 
f) 
 
 
 
 
Função? 
 
 
 
Justifique: 
 
 
MATEMÁTICA I 25 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
Podemos verificar também se uma 
relação é ou não função a partir de sua 
representação gráfica. 
Para tal, basta verificarmos se todas as 
retas paralelas ao eixo das ordenadas que 
podemos traçar dentro do domínio da relação 
toca o gráfico em um e somente um ponto, veja 
nos exemplos que seguem. 
 
Vamos identificar, nos gráficos a seguir, 
onde está e onde não está representada uma 
função de A em B ficando atentos para o 
domínio determinado e justificando, quando for 
o caso. 
a) A = [-1; 2] e B =  
 
Função? 
 
 
Justifique: 
 
 
b) A = [-2; 2] e B =  
 
 
Função? 
 
 
Justifique: 
 
 
c) A = [0; 4] e B =  
 
Função? 
 
 
Justifique: 
 
______________________ 
 
EXEMPLOS COMPLEMENTARES 
Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124 
______________________ 
 
 
27) Assim como foi feito no exemplo da página 
24, identifique cada uma das relações de A em 
B abaixo, apresentadas sob forma de 
diagrama, como função ou não e a seguir, 
justifique. 
a) 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
28) Dentre os gráficos abaixo, identifique 
aqueles que apresentam ou não apresentam 
função justificando sua resposta ficando 
sempre atento ao domínio dado. 
a)D = [1; 4] 
 
 
 
b) D = [-4; 3] 
 
 
 
c) D = [-7; 7] 
 
MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
d) D = [-4; 4] 
 
 
 
 
e) D = 
 
 
 
 
f) D = 
 
 
 
 
g) D = 
 
 
 
h) D = 
 
 
 
 
 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
Dada uma função f: A  B sendo 
 f = {(x, y)  A x B}, assim como vimos nas 
relações, os valores que a ordenada y admite, 
formam o conjunto chamado IMAGEM. 
 
 Veja, nos dois exemplos a seguir, a 
determinação da imagem de uma função. 
 
 
Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a 
função f: A  definida por f(x) = 2x, temos: 
 
Para x = 1, 
  2121f 
 
Para x = 2, 
  4222f 
 
Para x = 3, 
  6323f 
 
Para x = 4, 
  8424f 
 
 
 
 
A imagem desta função é 
Im(f) = {2; 4; 6; 8} 
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Ex.: Determinar a imagem da função f: D  ℝ 
definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo 
D = { -2; -1; 0; 1; 2}. 
 
Para x = -2 
      4102810222f 3 
 
 
Para x = -1 
      10101110111f 3 
 
 
Para x = 0 
      10100010000f 3 
 
 
Para x = 1 
      10101110111f 3 
 
 
Para x = 2 
      16102810222f 3 
 
 
 
 
Logo, Im(f) = {4; 10; 16} 
 
 Observe que três elementos do domínio 
(-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto 
é permitido no conceito de função, pois ele 
exige que cada elemento do domínio tenha 
somente uma imagem. Nada impede que um 
mesmo elemento do contra-domínio tenha 
mais de uma contra-imagem. 
 
Lembre-se que, para que f: A  B seja 
uma função o que não pode ocorrer é um dado 
elemento de A não ter imagem ou ter mais de 
uma imagem. 
 
29) Determine o conjunto imagem em cada 
uma das funções a seguir apresentadas sob 
forma de diagrama de flechas. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
MATEMÁTICA I 29 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
30) Sendo f: A  , uma função definida por 
f(x) = 3x2 + 1, determine a imagem de f 
sabendo que 






 13 ;3 ;
3
2
 ;5 ;5A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) Seja f:  a função definida por 
 
1x
2
xf
2 

. Calcule: 
a) 
 1f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 






2
1
f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 2f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 21f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Se 
 
1x
1
x
1
xf


, qual é o valor de 
f(1) + f(2) + f(3)? 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
33) Determine a imagem de cada função: 
a) f: A  dada por 
 
x
1
xxf 
 e 






 3 ;2 ;1 ;
2
1
 ;
3
1
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f: D  dada por 
  11xxf e 
 2 ;1 ;0 ;1 ;2D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34) Na função f:  definida por 
f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se 
f(x) = 18? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Na função f:  definida por 
f(x) = x2 – 2x, para que valor de x tem-se 
f(x) = 3? E f(x) = 0? 
 
MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
36) Uma função definida por 
 
1x2
1x
xf



 tem 
imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio 
de x? 
 
 
37) Dada 
  1xxf 
, calcule o valor de x 
para o qual se tem f(x) = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 123 – Exercícios 17 a 22 
______________________ 
 
Imagem a partir de um Gráfico 
 Para determinar a imagem de uma 
função a partir do seu gráfico, devemos 
observar quais são os valores do eixo vertical 
que possuem uma contra-imagem no eixo OX. 
 De forma prática, entretanto, basta 
traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas 
que tocarem o gráfico em pelo menos um 
ponto determinam, no eixo OY a imagem. 
 
Veja nos exemplos a seguir. 
 
Vamos determinar a imagem de cada uma das 
funções abaixo apresentadas pelos seus 
gráficos. 
a) 
 
Im = [a; b] 
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
b) 
 
Im = [a; b] 
 
 
c) 
 
Im = [a; b[ - {0} 
 
 
d) 
 
Im = [-2; 0[  ]1; 3[ 
 
 
e) 
 
 
Im = {1; 3} 
 
38) Seguem 12 gráficos montados em uma 
malha quadriculada. Sabendo que cada 
quadrinho representa uma unidade, determine 
a imagem da função em cada caso. 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
MATEMÁTICA I 33 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
i) 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
j) 
 
 
 
k) 
 
 
 
l) 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
Considerando que toda função de A em 
B é uma relação binária então f tem uma 
imagem, como já vimos, e também um 
domínio. 
 
Chamamos de domínio o conjunto D dos 
elementos x  A para os quais existe y  B tal 
que (x; y)  f. Como pela definição de função, 
todo elemento de A tem essa propriedades, 
temos, nas funções: 
 
Domínio = conjunto de partida 
 
É importante ressaltar que os elementos 
que formam o domínio são aqueles assumidos 
pela abscissa, desta forma, no plano 
cartesiano, o domínio são os valores neste eixo 
(eixo horizontal). 
 
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO 
 
Tomemos algumas funções e 
determinemos o seu domínio: 
 
 
Ex.1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
Notemos que 2𝑥  ℝ para todo 𝑥  ℝ, temos, 
então D = ℝ 
 
 
Ex.2: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
Notemos que x2  ℝ para todo x  ℝ, temos, 
então D = ℝ 
 
 
Ex.3: 
 
x
1
xf 
 
Notemos que 

x
1
 ℝ se, e somente se, x é real 
diferente de zero, temos, então, D = ℝ∗. 
 
 
MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
Ex.4: 
  xxf 
 
Notemos que 
x
 ℝ se, e somente se, x é 
real e não negativo, então D = ℝ+ 
 
 
Ex.: 5 
  3 xxf 
 
Notando que 
3 x
 ℝ para todo x  ℝ, temos, 
então, D = ℝ 
 
 
 
 
 
39) Determine o domínio de cada uma das 
funções reais a seguir: 
a) 
  2x3xf 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
2x
1
xf


 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
4x
1x
xf
2 


 
d) 
  1xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
1x
1
xf


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
2x
2x
xf



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
  3 1x2xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
h) 
 
3 3x2
1
xf


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 
 
3x
2x
xf
3



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio a partir de um Gráfico 
 Para determinar o domínio de uma 
função a partir do seu gráfico, devemos 
observar quais são os valores do eixo 
horizontal que possuem uma imagem no eixo 
OY. 
 
 De forma prática, entretanto, basta 
traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que 
tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o 
domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas 
verticais podem tocar o gráfico em mais de um 
ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não 
representa uma função. 
 
Veja nos exemplos a seguir. 
 
Ex.1: 
 
D = [a; b] 
 
 
Ex.: 2 
 
D = [a; b] 
 
Ex.: 3 
 
D = 
 
Ex.: 4 
 
D = * 
 
MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
40) Todos os gráficos a seguir representam 
funções. Determine o domínio de cada uma 
delas. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 127 – Exercícios 24, 25 e 26 
______________________ 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
 Quando o domínio e o contradomínio de 
uma função f são subconjuntos de ℝ, dizemos 
que f é uma função real de variável real. 
Neste caso, podemos fazer uma 
representação geométrica da função 
assinalando num sistema de coordenadas 
cartesianas os pontos (x; y) com x  D e 
y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos 
de gráfico de f. 
 
 
Ex.1: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3 
definida no domínio 𝐷(𝑓) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. 
Resolução: 
Para cada x  D(f), calculamos 
y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. 
Temos: 
Para x = 0 → 
  33020fy 
 
Para x = 1 → 
  13121fy 
 
Para x = 2 → 
  13222fy 
 
Para x = 3 → 
  33323fy 
 
Para x = 4 → 
  53424fy 
 
Para x = 5 → 
  73525fy 
 
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
O gráfico de f é formado pelos pontos 
A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) 
e F(5; 7). 
 
 
 
 
Ex.2: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3 
definida no domínio D(f) = {x  ℝ | 0  x  5}. 
Resolução: Neste caso temos a mesma lei do 
exemplo anterior, y = f(x) = 2x – 3, porém o 
intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos 
pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, 
considerar os pontos situados “entre eles”, no 
segmento de reta 
AF
. Veja, por exemplo: 
 
Para x = 0,5 → 
  235,025,0fy 
 
Para x = 2,25 → 
  5,1325,2225,2fy 
 
 
 
 
Ex.3: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3 
definida no domínio D(f) = ℝ 
 
Resolução: Temos, mais uma vez, a mesma lei 
dos exemplos anteriores, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3, 
mas o domínio é formado por todos os 
números reais. Assim, além do segmento 
AF
, 
devemos considerar pontos À direita, com 
abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. 
 Veja, por exemplo: 
Para x = 6 → 
  93626fy 
 
Para x = -1 → 
    53121fy 
 
 
 O gráfico é, neste caso, a reta 
AF
que 
não tem fim de um lado nem de outro. 
 
 
MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 
41) Faça o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 6 – 𝑥 nos 
casos: 
a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5} 
 
 
b) sendo D = {x  | 1  x  5} 
 
 
c) sendo D = 
 
42) Faça o gráfico da função 
 
2
x
xf 
 nos 
casos. 
a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} 
 
 
 
 
 
 
b) sendo D = {x  | -2  x  2} 
 
 
 
 
 
 
c) sendo D = 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
43) Faça o gráfico da função 
  2xxf 
 nos 
casos. 
a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} 
 
Para x = -2, y = _______ 
 
Para x = -1, y = _______ 
 
Para x = 0, y = _______ 
 
Para x = 1, y = _______ 
 
Para x = 2, y = _______ 
 
 
 
 
 
b) sendo D = {x  | -2  x  2} 
 
 
c) sendo D = 
 
 
 
 
44) Faça o gráfico da função  xxf 
 nos 
casos. 
a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4} 
 
 
 
 
 
 
b) sendo D = +. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
45) Faça o gráfico da função 
 
2
1x
xf


 com 
domínio D = ℝ. (Obtenha pontos do gráfico 
escolhendo valores para x e calculando 
y = f(x)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio 
D = [0; 3[ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
47) Faça o gráfico de f: [-1; 5]  , definida 
por 
 
2
x5
xf


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48) Faça o gráfico de f: [-2; 2]  , definida 
por 
 
2
x
xf
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Dado um número real k, podemos 
considerar uma função que a todo número real 
x faz corresponder o número k: 
 
f:  , com f(x) = k ( x  ) 
 
Esta função é denominada função 
constante. O gráfico é uma reta paralela ao 
eixo das abscissas passado por todos os 
pontos de ordenada y = k. 
 
Observe que o domínio é D(f) = e a 
imagem é Im(f) = { k }. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.1: Construir o gráfico da função 
f:  dado por f(x) = 2. 
 
Resolução 
Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico 
será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), 
veja: 
 
Ex.2: Construir o gráfico da função 
f: +  dado por f(x) = 2. 
 
Resolução 
Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico 
será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), 
mas agora há uma restrição no domínio. Veja: 
 
 
 
 
49) Faça o gráfico da função 
f:  dado por f(x) = - 1. 
 
 
 
50) Faça o gráfico da função 
f:  dado por 
 






0 xse1-
0 xse,1
xf
. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
RESPOSTAS 
 
1) 
 
 
2) A(-3, 5) B(1, 3) C(0, 2) 
 D(3, 1) E(-2, 0) F(4, -1) 
 G(-3, -2) H(-2, -2) J(-2, 0) 
 
3) 
 
 
4) 
 
 
5) a) 
 
 b) 
 
 
c) 
 
 
6) a) A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), 
(2, 5), (3, 4), (3, 5)} 
 b) B X A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), 
(5, 1), (5, 2), (5, 3)} 
 c) A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 
2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} 
 d) B2 = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} 
 
7) a) A x B = {(1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), 
(5, 9)} 
B x A = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), 
(9, 5),} 
 
 b) A x B = {(5, 7)} 
B x A = {(7, 5)} 
 c) A x B = Ø 
B x A = Ø 
 
8) a) 50 b) 50 
 c) Não pois o produto cartesiano não 
admite a propriedade comutativa. 
A x B = B x A se, e somente se A 
= B ou se um dos conjuntos for 
vazio. 
 
9) a) K = {(2, 10), (4, 8), (6, 6), 
(8, 4)} 
 b) L = {(5, 10), (6, 10), (7, 8), 
(7, 10), (8, 8), (8, 10)} 
 c) M = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 
4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2)} 
 
10) T = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3)} 
 
 
MATEMÁTICA I 45 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
11) (Resolução) 
O número de elementos de A2 é igual 
ao quadrado de elementos de A, 
portanto 
n(A2) = [n(A)]2  [n(A)]2 = 9  n(A) = 3 
Se A é um conjunto de 3 elementos, 
(1, 2)  A2 e (4, 2)  A2, concluímos que 
A = {1, 2, 4} 
Assim sendo, 
A2 = A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), 
(2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 4)} 
12) A2 = {(-2; -2), (-2; 0), (-2; 1), (-2; 3), (0; 
-2), (0; 0), (0; 1), (0; 3), (1; -2), (1; 0), (1; 
1), (1; 3), (3; -2), (3; 0), (3; 1), (3; 3)} 
 
13) A x B = {(-1; -1), (-1; 0), (-1; 2), (-1; 5), 
(0; -1), (0; 0), (0; 2), (0; 5), (2; -1), (2; 0), 
(2; 2), (2; 5)} 
 
14) 54 
 
15) R = {(2; 2), (2; 
4), (2; 6), (4; 2), 
(4; 6), (6; 2), (6; 
4)} 
 
 
 
16) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), 
(1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), 
(3, 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), 
(5, 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)} 
 
 
 
17) a) D = {1, 2} 
 Im = {1, 3, 4} 
 b) D = {-2, -1, 2, 3} 
 Im = {-7, 1, 4} 
 c) D = {1, 2, 5} 
 Im = {-3, 1, 
2
} 
 d) D = {
31
, 
21
} 
 Im = {1, 
2
} 
 e) 
D = {3, 
2
5
,
2
3
 } 
 
Im = {
2
1
, -1, 0} 
 
18) a) R = {(-2; 4), (-1; 3), (0; 2), (1; 1) 
 
 
D = {-2; -1; 0; 1} 
Im = {1; 2; 3; 4} 
 b) R = {(-2; 4), (2; 4), (-1; 1), (1; 1)} 
 
 
D = {-2; -1; 1; 2} 
Im = {1; 4} 
 
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 c) R = {(-2; -2), (-2; 2), (-1; -1), 
(-1; 1), (1; -1), (1; 1), (2; -2), 
(2; 2)} 
 
 
D = {-2; -1; 1; 2} 
Im = {-2; -1; 1; 2} 
 
 d) R = {(-1; 4), (0; 3), (0; 4), (1; 2), 
(1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), 
(2; 4)} 
 
 
D = {-1; 0; 1; 2} 
Im = {1; 2; 3. 4} 
 
 e) R = {(-2; -3), (-2; -1), (-1; -2), 
(0; -1), (0; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 
3)} 
 
 
D = A 
Im = {-3; -2; -1; 1; 2; 3} 
 
19) a) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), 
(4; 6), (6; 2), (6; 4)} 
 
Im = {2; 4; 6} 
 b) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), 
(1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), 
(3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (4; 1), 
(4; 3), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), 
(5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)} 
 
Im = A 
 
20) a) 
 
MATEMÁTICA I 47 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 b) 
 
 c) d = [2; 6] e Im = [1; 3] 
 
21) a) 
 
 b) D = A e Im = B 
 c) R  S = Ø 
 
22) a) R-1 = {(2; 1), (1; 3), (3; 2)} 
 b) R-1 = {(-1; 1), (-1; 2), (-1; 3), 
(1; -2)} 
 c) R-1 = {(-2; -3), (3; 1), (-3; -2), 
(1; 3)} 
 
23) a) R = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), 
(4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} 
 
R-1 = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), 
(4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} 
 
23) 
(Cont.) 
 
 
 b) R= {(0; 5), (2; 4), (4; 3), (6; 2), 
(8; 1), (10; 0) } 
R-1 = {(5; 0), (4; 2), (3; 4), (2; 6), 
(1; 8), (0; 10) } 
 
 c) R= {(0; 10), (1; 5), (2; 2), (3; 1), 
(4; 2), (5; 5), (6; 10)} 
R-1 = {(10; 0), (5; 1), (2; 2), 
(1; 3), (2; 4), (5; 5), (10; 6)} 
 
23) 
(Cont.) 
d) R= {(0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)} 
R-1 = {(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)} 
 
24) a) 
 
CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 b) 
 
 c) 
 
 d) 
 
 
25) a) Im (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} 
 b) D (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} 
 c) O 4, por exemplo, não possui 
imagem e o 2 possui duas 
imagens que são -1 e 1. 
 d) 
 
 
26) a) Im (R) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 
36, ... } 
 b) D (R) = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2, 
3, ...} 
 c) Não pois qualquer número pode 
ser elevado ao quadrado. Não 
pois todo número possui apenas 
um quadrado 
 d) 
 
 
27) a) Não é função pois existe elemento 
no domínio que não possui imagem. 
 
 
b) É função pois todos os elementos 
do domínio possuem uma e somente 
uma imagem. 
 
 
c) Não é função pois existe elemento 
no domínio que não possui imagem. 
 
 
d) Não é função pois existe elemento 
no domínio que não possui imagem 
além de elemento que possui mais de 
uma imagem. 
 
 
e) É função pois todos os elementos 
do domínio possuem uma e somente 
uma imagem. 
 
 
f) Não é função pois existe elemento 
no domínio que não possui imagem 
além de elemento que possui mais de 
uma imagem. 
 
28) a) Não é função, pois existe 
elemento do domínio com mais de 
uma imagem. 
MATEMÁTICA I 49 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
 b) Função c) Função 
 
d) Não é função, pois existe 
elemento do domínio com mais de 
uma imagem. 
 e) Função f) Função 
 
g) Não é função pois existem 
elementos do domínio que não 
possuem imagem.h) Não é função, pois existe elemento 
do domínio com mais de uma 
imagem. 
 
29) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} 
 c) Im = {-1, 2} 
 
30) 
 






 76 ;3613 ;10 ;
3
7
fIm
 
 
31) a) 1 b) 
5
8
 
 c) 
3
2
 d) 
2
22 
 
 
32) 
4
3
 
 
33) a) 
 






 2 ;
2
5
 ;
3
10
fIm
 
 b) 
   4 ;3 ;2 ;1fIm 
 
 
34) Resolução: 
   
3x
21x7
183x7
18xf e 3x7xf




 
 
35) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1 
f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2 
 
36) 
 







3
2
 ;
5
4
 ;2 ;0 ;
7
2
fD
 
 
37) x = 3 
 
38) a) Im = {-2, 0, 2} 
 b) Im = 
 c) Im = [-2; 2] 
 d) Im = {y  | -4  x  -2 ou -1 < x 
 4} 
 e) Im = {y  | x  -1} 
 f) Im = {y  | x > 2 ou x = 1} 
 g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} 
 h) Im = [1; 4[ 
 i) Im = [-4; 3[ 
 j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} 
 k) Im = [-2; 3] 
 
39) a) 
D
 
 
b) 
   2x|xD ou 2D 
 
 
c) Resolução 
 
 2x e 2x|xD
2x
4x
04x
4x
1x
xf
2
2
2







 
 d) 
 1x|xD 
 
 e) 
 1x|xD 
 
 f) 
 2x e 2x|xD 
 
 g) 
D
 
 h) 







2
3
D
 
 i) 
 3D 
 
 
40) a) [-3; 4[ 
 b) [-3; 3] - {-1; 1} 
 c) * 
 d) * 
 
41) a) 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
42) a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
43) a) 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
44) a) 
 
 
 
b) 
 
 
45) 
 
 
MATEMÁTICA I 51 RELAÇÕES e FUNÇÕES 
 
 
46) 
 
 
47) 
 
 
48) 
 
 
49) 
 
 
50) 
 
 
 
 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; Matemática. 
São Paulo, Ática, 2004 
MACHADO, Antônio dos Santos; 
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 
1988 
IEZZI, Gelson e outros; Matemática, 
Volume único. São Paulo, Atual, 2002 
 
VÍDEOS SUGERIDOS NESTA 
APOSTILA 
 
Pág. 05 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoes-
entre-conjuntos-1/ 
 
 
Pág. 09 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoes-
entre-conjuntos-2/ 
 
 
Pág. 25 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceito-
de-funcao 
 
 
Pág. 38 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceito-
de-funcao-2