Exercícios - Função Custo - Função Receita - Função Lucro - Matemática para Negócios

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
1 
 
 
FUNÇÃO CUSTO / FUNÇÃO RECEITA / FUNÇÃO LUCRO / PONTO DE EQUILÍBRIO 
 
1 – Um grupo de estudantes, dedicados à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto 
fixo de R$ 600,00 por mês e gasta R$ 25,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida 
por R$ 175,00. Determine: 
 
a) A função custo total, a função receita total e a função lucro total; 
b) Quantas unidades terão que ser vendidas para se obter o ponto de equilíbrio (ponto de 
nivelamento ou ponto crítico)?; 
c) Quantas unidades os estudantes terão que vender para obter um lucro de R$ 450,00? 
 
2 – O custo total de um fabricante consiste de uma quantia fixa de R$ 200,00 somadas ao custo 
de produção que é de R$ 50,00 por unidade. Determine a função custo total e faça a 
representação gráfica da função. 
 
3 – Determine o ponto crítico e faça o gráfico das funções receita total, custo total e lucro total 
para R(x) = 4x e C(x) = 2x + 50. 
 
4 – O custo total de um fabricante consiste de uma quantia fixa de R$ 200,00 somadas ao custo 
de produção que é de R$ 50,00 por unidade. O preço de venda do produto é de R$ 70,00. 
Determine: 
 
a) A função custo total, a função receita total e a função lucro total; 
b) Quantas unidades terão que ser vendidas para se obter o ponto de equilíbrio (ponto de 
nivelamento ou ponto crítico)?; 
c) O gráfico das funções receita total, custo total e lucro total. 
 
5 – Um grupo de amigos deseja montar um curso de inglês. Eles observaram que teriam um 
gasto fixo mensal de R$ 1.680,00 e gastariam ainda R$ 24,00, em materiais e pagamento de 
professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$ 40,00. Determine: 
 
a) Quantos alunos o curso necessita para qua não tenha prejuízo? 
b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se existirem 70 alunos? 
c) Quantos alunos o curso precisa para atingir um lucro de R$ 592,00? 
 
6 - No processo de venda de um determinado produto, sabe-se que a margem de contribuição 
por unidade (custo variável) é de R$ 3,00. O preço de venda deste produto é de R$ 10,00 e o 
custo fixo é de R$ 150,00. Determine: 
 
a) A função custo total, a função receita total e a função lucro total; 
b) Quantas unidades terão que ser vendidas para se obter o ponto de equilíbrio (ponto de 
nivelamento ou ponto crítico)? 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
2 
 
7 – Para produzir x peças de um produto, uma empresa tem um custo que é composto de um 
valor fixo de R$ 20.000,00 e um custo variável de R$ 30,00 por unidade produzida. Se o custo 
total da produção foi de R$ 23.600,00, qual foi a quantidade de peças produzidas? 
 
8 – Uma indústria apresentou num determinado mês um custo fixo de R$ 450.000,00. Nesse 
mesmo mês, a indústria produziu 30.000 produtos. Qual foi o custo fixo unitário desse produto 
naquele mês? Se nesse mesmo mês, fossem produzidos 40.000 produtos, qual teria sido o custo 
fixo? 
 
9 – Uma empresa tem um custo fixo de R$ 9.000,00 e um custo variável por unidade produzida 
de R$ 8,00. Considerando-se o preço unitário de venda de R$ 20,00, calcule a quantidade que 
deve ser vendida para que se atinja o ponto de equilíbrio. 
 
10 – Uma metalúrgica fabrica e vende um determinado produto pelo preço de R$ 48,00 a 
unidade. Para operar, essa empresa tem um custo fixo de R$ 80.000,00 por mês e para produzir 
cada unidade de seu produto, tem um custo de R$ 32,00. A partir dessas informações, qual o 
lucro obtido pela empresa se ela vender 5.600 unidades do seu produto? Qual seria o custo 
médio para essa produção de 5.600 unidades? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
3 
 
 
GABARITO 
 
1 
 
Temos as seguintes fórmulas: 
 
C(x) = Cv . x + CF 
R(x) = p . x 
L(x) = R(x) - C(x) 
 
a) C(x) = 25x + 600 
 R(x) = 175x 
 L(x) = 175x – (25x + 600) = 175x – 25x – 600 = 150x – 600 
 
b) Quando R(x) = C(x) temos o ponto de equilíbrio (ponto de nivelamento ou ponto crítico). 
 
175x = 25x + 600 
175x – 25x = 600 então 150x = 600 logo x = 4 
 
O ponto de equilíbrio será atingido quando forem vendidas 4 unidades. 
 
c) L(x) = 150x – 600. Se quisermos um lucro de R$ 450,00, devemos substituir esse valor na 
fórmula. 
 
450 = 150x – 600 
150x = 600 + 450 então 150x = 1050 logo x = 7 
 
Para se obter o lucro de R$ 450,00 terão que ser vendidas 7 unidades. 
 
2 
 
C(x) = Cv . x + CF 
 
C(x) = 50x + 200 
 
Para traçarmos o gráfico dessa função temos que atribuir valores a variável x (que serão os 
valores do eixo das abcissas – eixo horizontal – eixo x) e calcularmos os valores de C(x) (que 
serão os valores do eixo das ordenadas – eixo y – eixo vertical). 
 
Quando x = 0, C(x) = 200, o que indica que a reta parte do ponto 200 no eixo y. 
 
x C(x) 
0 200 
4 400 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
4 
 
 
 
 
3 
 
Já temos C(x) = 2x + 50 e R(x) = 4x 
 
O ponto de equilíbrio é R(x) = C(x) então: 
 
4x = 2x + 50 logo 2x = 50 e x = 25. Isso quer dizer que o ponto de equilíbrio será atingido quando 
x = 25. 
 
O lucro total é representado por: L(x) = R(x) – C(x) então: 
 
L(x) = 4x – (2x + 50) = 4x – 2x – 50 = 2x – 50 
 
Para representarmos os gráficos, temos que atribuir valores a variável x e calcularmos os 
valores de C(x), R(x) e L(x) respectivamente. 
 
Para C(x) = 2x + 50 temos: 
 
x C(x) 
0 50 
25 100 
 
Para R(x) = 4x temos: 
 
x R(x) 
0 0 
25 100 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
5 
 
 
Para L(x) = 2x - 50 temos: 
 
x L(x) 
0 - 50 
25 0 
 
Temos então os seguintes gráficos no Plano Cartesiano: 
 
 
Obs.: Observe que o ponto onde as retas das funções Custo e Receita se encontram é o 
Ponto de Equilíbrio. Como calculado anteriormente, o valor de x nesse ponto é 25. Também 
podemos concluir que se a produção for menor do que o Ponto de Equilíbrio (x = 25) o Lucro 
será negativo. Isso pode ser confirmado pelo gráfico da função Lucro. 
 
4 
 
Temos as seguintes fórmulas: 
 
C(x) = Cv . x + CF 
R(x) = p . x 
L(x) = R(x) - C(x) 
 
a) C(x) = 50x + 200 
 R(x) = 70x 
 L(x) = 70x – (50x + 200) = 70x – 50x – 200 = 20x – 200 
 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
6 
 
 
b) O ponto de equilíbrio é R(x) = C(x) então: 
 
70x = 50x + 200 então 20x = 200 logo x = 10. Isso quer dizer que o ponto de equilíbrio será 
atingido quando x = 10. 
 
Para representarmos os gráficos, temos que atribuir valores a variável x e calcularmos os 
valores de C(x), R(x) e L(x) respectivamente. 
 
Para C(x) = 50x + 200 temos: 
 
x C(x) 
0 200 
10 700 
 
Para R(x) = 70x temos: 
 
x R(x) 
0 0 
10 700 
 
Para L(x) = 20x - 200 temos: 
 
x L(x) 
0 - 200 
10 0 
 
Temos então os seguintes gráficos no Plano Cartesiano: 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
7 
 
 
Obs.: Observe que o ponto onde as retas das funções Custo e Receita se encontram é o 
Ponto de Equilíbrio. Como calculado anteriormente, o valor de x nesse ponto é 10. Também 
podemos concluir que se a produção for menor do que o Ponto de Equilíbrio (x = 10) o Lucro 
será negativo. Isso pode ser confirmado pelo gráfico da função Lucro. 
 
5 
 
a) Para que não haja nem lucro, nem prejuízo, temos que ter C(x) = R(x), ou seja, temos que 
achar o ponto de equilíbrio. 
 
Temos as seguintes fórmulas: 
 
C(x) = Cv . x + CF 
R(x) = p . x 
L(x) = R(x) - C(x) 
 
C(x) = 24x + 1680 
R(x) =40x 
 
Então: 24x + 1680 = 40x logo 16x = 1680 e x = 105. Isso quer dizer que o curso precisa de 105 
alunos para atingir o seu ponto de equilíbrio. 
 
b) caso o curso tenha 70 alunos, já podemos concluir que haverá prejuízo, pois o ponto de 
equilíbrio são 105 alunos. Vamos então calcular esse prejuízo. 
 
L(x) = R(x) - C(x) 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
8 
L(x) = 40x – (24x + 1680) = 40x – 24x – 1680 = 16x – 1680 
 
L(x) = 16x – 1680 para x = 70 temos: 
 
L(70) = 16 . 70 – 1680 = 1120 – 1680 = - 560. Isso quer dizer que haverá prejuízo de R$ 560,00 se 
o curso só tiver 70 alunos. 
 
c) Para o curso ter um lucro de R$ 592,00, temos que achar a quantidade de alunos necessária. 
Temos então: 
 
592 = 16x – 1680 então 16x = 592 + 1680 logo 16x = 2272 e x = 142. O curso precisará de 142 
alunos para ter um lucro de R$ 592,00. 
 
6 
 
a) Temos as seguintes fórmulas: 
 
C(x) = Cv . x + CF 
R(x) = p . x 
L(x) = R(x) - C(x) 
 
Obs.: Nesse exemplo não foi dado o custo variável por unidade. Foi dada a margem de 
contribuição por unidade. O custo variável é o preço de venda menos a margem de 
contribuição. Logo o custo variável será R$ 10,00 menos R$ 3,00 que dá R$ 7,00. 
 
C(x) = 7x + 150 
R(x) = 10x 
L(x) = 10x – (7x + 150) = 10x – 7x – 150 = 3x - 150 
 
b) Quando R(x) = C(x) temos o ponto de equilíbrio (ponto de nivelamento ou ponto crítico). 
 
10x = 7x + 150 
10x – 7x = 150 então 3x = 150 logo x = 50. 
 
O ponto de equilíbrio será atingido quando forem vendidas 50 unidades. 
 
7 
 
Sabemos que C(x) = Cv . x + CF, logo para o problema proposto temos: 
 
C(x) = 30x + 20.000 
 
Como o custo total foi de R$ 23.600,00, temos que substituir esse valor na fórmula para 
acharmos a quantidade de unidades produzidas que geraram esse custo. 
 
23.600 = 30x + 20.000 
 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
9 
30x = 23.600 – 20.000 então 30x = 3.600 logo x = 120. 
 
A produção de 120 unidades gerou um custo total de R$ 23.600,00. 
 
8 
 
Nesse problema queremos saber qual é o custo fixo unitário por produto. Nesse caso, é só 
dividir o custo fixo total pela quantidade de produtos produzidos. Temos então: 
 
Custo fixo unitário = 450.000 / 30.000 = 15 
 
O custo fixo por produto foi de R$ 15,00. 
 
Se nesse mês fossem produzidos 40.000 produtos, o custo fixo seria: 
 
40.000 . R$ 15,00 = R$ 600.000,00 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Quando R(x) = C(x) temos o ponto de equilíbrio (ponto de nivelamento ou ponto crítico). Temos 
que achar primeiro R(x) e C(x). 
 
C(x) = Cv . x + CF 
R(x) = p . x 
 
C(x) = 8x + 9.000 
R(x) = 20x 
 
R(x) = C(x) 
20x = 8x + 9.000 
20x – 8x = 9.000 então 12x = 9.000 logo x = 750 
 
O ponto de equilíbrio será atingido quando forem vendidas 750 unidades. 
 
10 
 
Para acharmos o lucro, precisamos achar o custo e a receita. Logo devemos aplicar as seguintes 
fórmulas: 
 
C(x) = Cv . x + CF 
R(x) = p . x 
L(x) = R(x) - C(x) 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
 
EXERCÍCIOS 
10 
 
C(x) = 32x + 80.000 
R(x) = 48x 
L(x) = 48x – (32x + 80.000) então L(x) = 48x – 32x – 80.000 logo L(x) = 16x – 80.000 
 
Se a empresa produzir 5.600 peças o seu lucro será: 
 
L(5.600) = 16 . 5.600 – 80.000 = 89.600 – 80.000 = 9.600 
 
O lucro da empresa, para a produção de 5.600 unidades, será de R$ 9.600,00. 
 
Sabemos que o custo médio é dado pela fórmula: 
 
Cm(x) = C(x) / x, onde x é a quantidade de unidades produzidas. 
 
Temos que calcular o custo para as 5.600 unidades e depois calcular o custo médio. 
 
C(5.600) = 32 . 5600 + 80.000 
C(5.600) = 259.200 
 
 
 
 
Logo o custo médio será: 
 
Cm(5.600) = 259.200 / 5.600 = 46,29 (aproximadamente) 
 
O custo médio da produção de 5.600 unidades é de aproximadamente R$ 46,29.