Apostila Matemática para Negócios 1 Estácio

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
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TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Define-se como conjunto um grupo de itens, denominados elementos, com características bem 
definidas. Esse grupo de elementos, no entanto, depende do contexto em que um problema é 
definido. 
 
Exemplos 
 
 Conjunto de alunos da nossa disciplina 
 Conjunto de pessoas com mais de 18 anos 
 Conjunto de times do torneio de futebol 
 Conjunto de países membros da ONU 
 
DIAGRAMA DE VENN 
 
Um conjunto pode ser representado graficamente por um diagrama chamado diagrama de 
VENN (John Venn – Século XIX). Consiste em uma curva fechada simples, desenhada em um 
plano e contendo todos os seus elementos. 
 
Exemplo 
 
 Conjunto de vogais do alfabeto 
 
 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 
A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar entre seus elementos é 
denominada relação de pertinência. 
 
Para indicar que um elemento pertence a um conjunto, usa-se o símbolo . Para não pertence, 
o símbolo usado é . 
 
 
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Exemplos 
 
 a  V – lê-se: a pertence ao conjunto V 
 p  V – lê-se: p não pertence ao conjunto V 
 
MÉTODOS DE INDICAÇÃO DOS ELEMENTOS DE UM CONJUNTO 
 
A indicação dos elementos de um conjunto pode ser feita enumerando-se todos os seus 
elementos, ou seja, apresentando explicitamente cada um dos elementos pertencentes ao 
conjunto ou através da definição de uma propriedade comum a todos os seus elementos. 
 
A enumeração é mais adequada quando o número de elementos do conjunto é pequeno. A sua 
representação através de uma propriedade é mais adequada quando o número de elementos 
for razoavelmente grande. 
 
Exemplos 
 
 Conjunto de vogais do alfabeto 
 
V = {a, e, i, o, u} 
X = {e, i, a, u, o} 
 
OBS.: A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto. Dois conjuntos são 
iguais se apresentam os mesmos elementos. 
 
X = V 
 
 Conjunto de estados da região sudeste do Brasil 
 
V = {Rio de Janeiro, São Paulo, Minas Gerais, Espírito Santo} 
 ou 
V = {x | x é um estado da região sudeste do Brasil} – lê-se: x tal que x é um estado da 
região sudeste do Brasil 
 
 Conjunto de números ímpares múltiplos de 4 
 
V = { } ou V = Ø 
 
OBS.: Um conjunto é denominado vazio quando não possui nenhum elemento. 
 
CONJUNTO UNIVERSO 
 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados num determinado 
contexto. O conjunto universo é representado pela letra U. 
 
 
 
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Exemplo 
 
 Considerando-se todas as vogais do nosso alfabeto o conjunto universo seria: 
 
U = {a, e, i, o, u} 
 
CONJUNTOS DISJUNTOS 
 
Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. 
 
Exemplo 
 
 V = {x | x é uma vogal do alfabeto} 
 Y = {z | z é uma consoante do alfabeto} 
 
Logo, V e Y são conjuntos disjuntos. 
 
IGUALDADE DE CONJUNTOS 
 
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. A ordem desses 
elementos não influencia a igualdade dos conjuntos. 
 
Exemplo 
 
 V = {1, 2, 3} 
 Y = {3, 1, 2} 
 
Logo, V = Y. 
 
SUBCONJUNTOS 
 
Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto cujos elementos são, 
necessariamente, elementos do conjunto original. 
 
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
 
Exemplos 
 
 A = {1, 2, 3} 
 B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 C = {7, 8, 9} 
 
Logo: A é um subconjunto de B 
 
Quando um conjunto A é um subconjunto de outro conjunto B, diz-se que A está contido em B e 
representa-se: A  B. Essa relação só existe para conjuntos e não para elementos dos 
conjuntos. 
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Também podemos dizer que B contém A e representa-se: B  A. 
 
Temos também que C  B e lê-se: C não está contido em B, logo C não é subconjunto de B. 
Também podemos dizer que B não contém C. 
 
OBS.: Um conjunto com n elementos possui 2n subconjuntos. 
 
Logo o conjunto A = {a, e, i, o, u} possui 25 subconjuntos, ou seja, possui 32 
subconjuntos possíveis. Não devemos esquecer que o conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto. Nesse caso teremos o conjunto vazio, 5 subconjuntos com 1 
elemento, 10 subconjuntos com 2 elementos, 10 subconjuntos com três elementos, 5 
subconjuntos com quatro elementos e 1 subconjunto com cinco elementos. 
 
OPERAÇÕES BÁSICAS ENTRE CONJUNTOS 
 
Entre dois ou mais conjuntos distintos podem-se definir diversas operações entre eles. É 
importante ressaltar que as operações definidas sobre conjuntos resultarão sempre em outro 
conjunto no mesmo contexto em que os conjuntos originais foram definidos. 
 
UNIÃO DE CONJUNTOS 
 
A união de dois ou mais conjuntos é um terceiro conjunto cujos elementos pertencem a pelo 
menos um dos conjuntos. A união dos conjuntos é representada pelo símbolo . 
 
Exemplo 
 
 A = {2, 5, 7, 8} 
 B = {0, 2, 3, 4, 5, 7, 8} 
 C = {9} 
 
Logo: A  B = {x | x  A ou x  B }  A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 7, 8} 
 A  C = {x | x  A ou x  C }  A  C = {2, 5, 7, 8, 9} 
 
Para os conjuntos A, B e C são válidas as seguintes propriedades: 
 
 A  A = A – Propriedade Reflexiva 
 A  B = B  A – Propriedade Comutativa 
 A  Ø = A – Propriedade Elemento Neutro / Nulo 
 (A  B)  C = A  (B  C) – Propriedade Associativa 
 A  B  A  B = B 
 
 
 
 
 
 
 
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O diagrama de Venn para a união dos conjuntos é representado por: 
 
 A  B 
 
 
 A  B  C 
 
 
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS 
 
A interseção de dois ou mais conjuntos é um terceiro conjunto cujos elementos pertencem, 
obrigatoriamente, a todos os conjuntos cuja interseção se deseja obter. A interseção dos 
conjuntos é representada pelo símbolo . 
 
Exemplo 
 
 A = {2, 5, 7, 8} 
 B = {0, 2, 3, 4, 5, 7, 8} 
 C = {9} 
 
Logo: A  B = {x | x  A e x  B }  A  B = {2, 5, 7, 8} 
 A  C = {x | x  A e x  C }  A  C = Ø 
 
 
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Podemos afirmar que os conjuntos A e C são disjuntos. A interseção de dois conjuntos disjuntos 
é o conjunto vazio. 
 
Para os conjuntos A, B e C são válidas as seguintes propriedades: 
 
 A  A = A – Propriedade Reflexiva 
 A  B = B  A – Propriedade Comutativa 
 A  Ø = Ø – Propriedade Elemento Neutro / Nulo 
 (A  B)  C = A  (B  C) – Propriedade Associativa 
 A  B  A  B = A 
 A  (B  C) = (A  B)  (A  C) – Propriedade Distributiva 
 A  (B  C) = (A  B)  (A  C) – Propriedade Distributiva 
 
O diagrama de Venn para a interseção dos conjuntos é representado por: 
 
 A  B 
 
 
 A  B  C 
 
 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
 
A diferença entre conjuntos é definida como sendo um terceiro conjunto cujos elementos 
pertencem ao primeiro conjunto, mas não ao segundo. 
 
 
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 Exemplos 
 
 V = {x | x são todos os jovens brasileiros que completam 18 anos} 
 Y = {z | z são todos os jovens brasileiros que completam 18 anos e devem fazer o 
alistamento militar} 
 
Logo: V – Y – lê-se: V menos Y, são todos os jovens brasileiros, do sexo feminino, que 
completam 18 anos. 
 
 Y – V = Ø – lê-se: Y menos V é um conjunto vazio. 
 
 V = {0, 1, 2, 3, 4} 
 Y = {2,3, 5} 
 
Logo: V – Y = {0, 1, 4} 
 
 Y – V = {5} 
 
OBS.: O conjunto V – Y é diferente do conjunto Y – V. 
 
O diagrama de Venn para a diferençade conjunto {A – B} é representado por: 
 
 {A – B} 
 
 
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO 
 
O complemento de um conjunto A em relação a um conjunto B é um terceiro conjunto C 
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B, mas não pertencem ao conjunto A e 
desde que A seja um subconjunto de B (A  B). 
 
Exemplo 
 
 A = {1, 2, 3} 
 B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
Logo: O conjunto A’ = {4, 5} é o complemento do conjunto A em relação ao conjunto B. 
 
 
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Também podemos representar o complemento de um conjunto através da diferença de 
conjuntos, ou seja, A’ = B – A. 
 
Logo, o complemento do conjunto B em relação ao conjunto A é: B’ = A – B = Ø. 
 
APLICAÇÃO PRÁTICA – DIAGRAMA DE VENN 
 
Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os 
seguintes resultados: 
 
JORNAIS A B B A e B A e C B e C A, B e C NENHUM 
LEITORES 300 250 200 70 65 105 40 150 
 
1 – Quantas pessoas leem apenas o jornal A? 205 
2 – Quantas pessoas leem o jornal A ou B? 480 
3 – Quantas pessoas não leem o jornal C? 500 
4 – Quantas pessoas participaram da pesquisa? 700 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os conceitos abstratos sobre conjuntos, vistos anteriormente, serão particularizados para os 
diversos tipos de conjuntos numéricos existentes. 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
O conjunto dos números naturais é representado por N. Temos então: 
 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 
Sobre o conjunto de números naturais podem ser estabelecidas as seguintes propriedades: 
 
 Cada número possui um sucessor, que no processo de contagem representa uma 
unidade a mais na contagem dos objetos. 
 O número de elementos desse conjunto é infinito, pois para qualquer número natural 
sempre se poderá definir o seu sucessor. 
 
O conjunto dos números naturais não nulos é representado por N*. Temos então: 
 
 N* = {1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 
Exemplos 
 
 A = {x | x  N, x > 5} 
 
 Logo: A = {6, 7, 8, ...} 
 
 B = {x | x  N*, x < 10, x é par} 
 
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 Logo: A = {2, 4, 6, 8} 
 
NÚMEROS INTEIROS 
 
O conjunto dos números inteiros é uma expansão do conjunto de números naturais com a 
incorporação dos números negativos. É representado por Z. Temos então: 
 
 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
 
O conjunto dos números inteiros não negativos é representado por Z+. Temos então: 
 
 Z+ = {0, 1, 2, 3, ... }. Podemos concluir então que: N = Z+ 
 
O conjunto dos números inteiros positivos é representado por Z*+. Temos então: 
 
 Z*+ = {1, 2, 3, ... }. Podemos concluir então que: N* = Z*+ 
 
O conjunto dos números inteiros não positivos é representado por Z-. Temos então: 
 
 Z- = {..., -3, -2, -1, 0} 
 
O conjunto dos números inteiros negativos é representado por Z*-. Temos então: 
 
 Z*- = {..., -3, -2, -1} 
 
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Temos então: 
 
 N  Z ou Z  N 
 
Com a inclusão dos números negativos, surge o conceito de oposto ou simétrico de um número 
inteiro. Considerando um número inteiro a o seu simétrico será –a. Temos então que a soma de 
um número inteiro com o seu simétrico é igual à zero. 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais são usados, inicialmente, para representar a divisão de objetos em partes 
menores e iguais, das quais são selecionadas algumas partes. Os números racionais são 
números que podem ser expressos na forma de uma fração. Qualquer número inteiro é 
racional. 
 
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q e pode ser definido da seguinte 
maneira: 
 
 Q = {x | x = 
b
a
, a, b  Z, b  0} 
 
 
Exemplo 
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 Q = {2/5; 2,3; 0, – 0,05; – 2; 18; 5; 2,25} 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Os números irracionais formam um conjunto de valores que não podem ser expressos na forma 
de uma fração. 
 
O conjunto dos números racionais é representado pela letra I. 
 
Exemplo 
 
 I = {√2; √3; –√6; 2,36521452...} 
 
O número pi ( π ), que representa a divisão entre o perímetro de uma circunferência e o seu 
diâmetro, cujo valor é 3,141592... , é um número irracional. 
 
A interseção entre o conjunto de números racionais e irracionais é o conjunto vazio. Temos 
então: 
 
 Q  I = Ø 
 
NÚMEROS REAIS 
 
Os números reais formam um conjunto de valores que compreende os números racionais e 
irracionais. 
 
O conjunto dos números reais é representado pela letra R. 
 
Exemplo 
 
 R = {-3, –√6, -1, 0, √2; √3; 2,36521452...} 
 
Abaixo temos o diagrama de Venn representando todos os conjuntos numéricos vistos.