Geometria Plana DD20

Prévia do material em texto

Geometria plana.
#DD2020
Relação das aulas.
Página
Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ 02
Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... 17
Aula 03 - Congruência de triângulos.................................................. 27
Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................ 36
Aula 05 - Polígonos convexos............................................................ 45
Aula 06 - Ângulos na circunferência................................................... 58
Aula 07 - Segmentos proporcionais................................................... 70
Aula 08 - Semelhança de triângulos................................................... 80
Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo........................... 94
Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer....................... 107
Aula 11 - Circunferência e círculo..................................................... 121
Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 131
Aula 13 - Áreas das figuras planas................................................... 141
Autor - Lucas Octavio de Souza
(Jeca)
Geometria plana
Aula 01
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
I) Reta, semirreta e segmento de reta.
Definições.
A
A
A
A
B
B
B
B
reta AB
semirreta AB
semirreta BA
segmento AB
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
II) Ângulo.
O
A
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem.
b) Ângulos congruentes.
OA - lado
OB - lado
B
Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.
O - vértice
ângulo AOB ou ângulo
IIa) Unidades de medida de ângulo.
a) Grau.
A medida de uma volta completa é 360º.
c) Bissetriz de um ângulo.
É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.
b) Radiano.
A medida de uma volta completa é 2 radianos.
1º = 60'
1' = 60"
º - grau
' - minuto
" - segundo
Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência.
IIb) Classificação dos ângulos.
= 0º
0º < < 90º
= 90º
-
-
-
ângulo nulo.
ângulo agudo.
ângulo reto.
Definições.
a) Ângulos complementares.
É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.
90º <
< 180º
= 180º
-
-
ângulo obtuso.
ângulo raso.
b) Ângulos suplementares.
É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.
IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal.
t
a) Ângulos correspondentes (mesma posição). exemplo - b e f.
Propriedade - são congruentes.
r
b
a
c
d
b) Ângulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c.
r // s
exemplo de colaterais externos - d e g. Propriedade - são suplementares (soma = 180º)
s
f
e
g
h
c) Ângulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g.
Propriedade - são congruentes.
3
1
2
III) Triângulos.
Ângulo externo.
Classificação dos triângulos.
e
i
vértice
lado
i - ângulo interno
e - ângulo externo
Num mesmo
vértice, tem-se
O ângulo externo
de qualquer polígono
convexo é o ângulo
formado entre um
lado e o
prolongamento do
outro lado.
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
i + e = 180º
Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.
- triângulo acutângulo.
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
+
+ = 180º
e
e =
+
e
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru- entes.
Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado
e
e1
+ e2
+ e3
= 360º
diferente.
e
2
x
x
h
B
A
A
C
A
altura
Segmentos notáveis do triângulo.
mediana
mediatriz
Geometria plana
Aula 02
Pontos notáveis de um triângulo.
Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio.
Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
bissetriz
M
ponto médio
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.
Todo triângulo tem:
3 medianas
3 mediatrizes
3 bissetrizes
3 alturas
Baricentro (G).
É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. Propriedade.
O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- to que contém o ponto médio do lado oposto.
(razão 2 : 1)
Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área.
Pontos notáveis do triângulo
B - baricentro
I - incentro
C - circuncentro
O - ortocentro
Incentro (I).
É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. Propriedade.
O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter- na) no triângulo.
O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo.
A
S
Área de cada triângulo
AG = 2.GM
P
S
S
N
BG = 2.GN
CG = 2.GP
I
S
G
S
r
B
S
M
S
C
r - raio da circunferência inscrita.
Circuncentro (C).
É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.
Ortocentro (O).
É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
Propriedade.
O circuncentro é o centro da circunferência circuns- crita (externa) ao triângulo.
Propriedade.
Não tem.
A
O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3
A
h
vértices do triângulo.
h
B
mediatriz
h
O
B
A
h
C
C
ponto médio
B
C
R
h C
h
h
B
R - raio da circunferência
circunscrita.
O
ortocentro
B
O
h
C
C
mediatriz
l
Observações.
3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro, in-
4) No triângulo retângulo, o ortocen- tro é o vértice do ângulo reto e o cir-
1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) es-
cuncentro é o ponto médio da hipo-
estão localizados no interior do tão alinhados. triângulo.
2) O circuncentro e o ortocentro
podem estar localizados no exterior
mediana
mediatriz
bissetriz
altura
tenusa.
ortocentro
circuncentro
do triângulo.
C
mediana
G
R
C
R
bissetriz
I
O
hipotenusa
altura
Triângulo eqüilátero.
(importante)
Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro,
incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.
- lado do triângulo eqüilátero.
r - raio da circunferência inscrita.
R - raio da circunferência circunscrita.
BICO
l
r
r
r
l
l
R
r
h
R = 2r
e
h = 3r
h - altura dotriângulo.
A
D
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu- los dois a dois ordenadamente congruentes.
A D
ABC
DEF
B E
C F
AB DE
B
C
E
F
AC DF
BC EF
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado. AO - ângulo oposto ao lado.
Caso especial (CE). Observação.
Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no dese- congruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteri- triângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.
do outro triângulo
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.
MN
BC
Geometria plana
Aula 04
Quadriláteros notáveis.
I) Trapézio.
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.
+
= 180º
base menor
base maior
A altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.
h
Trapézio
retângulo
Trapézio
isósceles
Trapézio
escaleno
II) Paralelogramo.
É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
III) Retângulo.
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos
A
B
congruentes e iguais a 90º.
AB // CD
e
AD //BC
A
h
b
B
h
D
C
D
b
C
IV) Losango.
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
B
V) Quadrado.
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e
todos os ângulos internos
45º
A
C
AB // CD
e
congruentes (90º).
AD // BC
D
Propriedades dos quadriláteros notáveis.
1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais são:
respectivos pontos médios.
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A
B
M
B
y y
D
C
A
x
x
x
x
C
M é ponto médio de AC
e
M é ponto médio de BD.
3) Base média de trapézio.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos
y y
D
4) Base média de triângulo.
Em todo triângulo, o segmento que une os pontos
médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a
bases e vale a média aritmética dessas bases. A B
metade desse 3º lado.
A
M
N
MN // AB // CD
e
AB + CD
=
2
MN // BC
e
MN =
2
M
N
base média
base média
D
C
B
C
i
e
i
 
1
 
2
 
3
n
e
 
1
 
2
 
3
n
i
e
i
e
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)
I) Polígonos convexos.
Geometria plana
Aula 05
Polígonos convexos.
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
d
3 lados
4 lados
-
-
triângulo
quadrilátero
11 lados
12 lados
-
-
undecágono
dodecágono
vértice
5 lados
-
pentágono
13 lados
-
tridecágono
i
e
d - diagonal
i - ângulo interno
e - ângulo externo i + e = 180º
lado
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
-
-
-
-
-
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
14 lados
15 lados
16 lados
17 lados
18 lados
19 lados
20 lados
-
-
-
-
-
-
-
quadridecágono
pentadecágono
hexadecágono
heptadecágono
octodecágono
eneadecágono
icoságono
II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.
(S )
i4
i3
in
III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
(S )
e4
e3
IV) Número de diagonais de um polí- gono convexo.
(d)
i2
i1
e2
en
S = i + i + i + ... + i
e1
S = e + e + e + ... + e
Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.
S = 180 (n - 2)
S = 360º
d
=
n (n - 3)
2
n - nº de lados do polígono
Para qualquer polígono convexo
n - nº de lados do polígono
V) Polígono regular.
e
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
e
i
c) todos os ângulos externos congruentes entre si. Classificação dos polígonos regulares
i
i
3 lados - triângulo equilátero
e
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular 6 lados - hexágono regular
e
i
i
e
etc
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
i =
S
n
>
i =
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
ângulo
central
e
=
S
n
>
e
=
360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.
e
a
t
s
c
n
e
g
e
n
t
e
a
n
te
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)
I) Elementos da circunferência.
A
r
Geometria plana
Aula 06
Ângulos na circunferência.
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
r
C
r
D
P
ACD = - ângulo central APD - arco da circunferência AD - corda da circunferência
B
II) Posições relativas entre ponto e circunferência.
III) Posições relativas entre reta e circunferência.
A
B
A - ponto
exterior
B - ponto da
circunferência
ponto de tangência reta tan
C
D - ponto
interior
reta sec
D
C - centro da
circunferência
IV) Propriedades da circunferência.
reta exterior
1) Em toda circunferência, a medida 2) Em toda circunferência, o raio é 3) Em toda circunferência, o raio, do ângulo central é igual à medida perpendicular à reta tangente no quando perpendicular à corda, divi-
do arco correspondente.
ponto de tangência.
de essa corda ao meio.
A
APB =
C
P
C
C
B
M
B
A
AM = MB
V) Ângulos na circunferência.
a) Ângulo inscrito na circunferência.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun- ferência e os dois lados secantes a essa circunferência.
Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente. vértice
- ângulo central
- ângulo inscrito
b) Ângulo de segmento.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe- rência, um lado secante e um lado tangente a essa circunferência.
Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
- ângulo central
- ângulo de segmento
=
2
vértice
=
2
tangente
IV) Consequências do ângulo inscrito.
	1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência
onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.
ângulo
inscrito
hipotenusa
e diâmetro
	2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale
a metade dessa hipotenusa.
mediana
relativa à
R hipotenusa
R R
hipotenusa
	3) Todos os ângulos de uma circun- ferência inscritos no mesmo arco
são congruentes.
arco de
medida
2
	4) Em todo quadrilátero inscrito nu- ma circunferência os ângulos inter-
nos opostos são suplementares.
+ = 180º
e
+ = 180º
	5) Ângulo excêntrico de vértice interno.
x a + b
2
C
b
a
x
vértice
	6) Ângulo excêntrico de vértice externo.
x a - b
2
a b x
vértice
I) Teorema de Tales.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razão entre dois segmento quais- quer de umatransversal é igual à razão entre os seg- mentos correspondentes da outra transversal.
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
II) Teorema da bissetriz interna.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.
A
bissetriz
a
c
r
s
Teorema
de Tales
c
b
Teorema da
bissetriz interna
b
d
t
a c
=
b d
B
x
y
C
x
c
=
y
b
r // s // t
=
e
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
I) Semelhança de triângulos.
A
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
Definição mais "popular".
D
C
B
ABC
~
semelhante
DEF
A D
B E
C F
e
AB AC BC
=
DE DF EF
= k
Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.
F
E
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo).
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.
2) Caso LLL.
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or- denadamente proporcionais.
3) Caso LAL.
Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen- tes ao ângulo são proporcionais
a
b
aos dois lados adjacentes ao ângu- lo do outro triângulo.
c
a
d
e
c
f
d
a c
= =
d f
k
a b c
= = =
d f
k
f
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de , e os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.
12
4
2
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
Dada uma circunferência e um ponto P, P não pertencente a , se A e B são os pontos de intersecção entre
e a reta secante a
P
B
por P, define-se potência de P em relação a Propriedade.
o produto PA x PB.
A
Dados e P, a potência de P em relação a qualquer que seja a reta AB secante a
por P.
é constante,
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a
. C E 2º caso: O ponto P é exterior a
.
B
H
P
B
A
A
O
G
P
C
O
D
D
F
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
T é ponto de tangência
T
PA x PB = PC x PD = ( PT ) = cte
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
A
Teorema.
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original.
B
c
m
h
H
b
n
C
a
2
c = a . m
2
b = a . n
2
h = m . n
a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
A
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
c
b
2 2 2 a = b + c
B
a
C
I) Lei dos senos.
Geometria plana
Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer. II) Lei dos cossenos.
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
A
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.
a
x
B
O
R
C
Lei dos senos
b
Lei dos cossenos
a b c
= =
sen A sen B sen C
=
2R
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos
III) Propriedades dos triângulos. 1) Em todo triângulo, ao maior lado
opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um triângulo.
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença das medi-
3) Natureza de um triângulo. Quanto à natureza um triângulo
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
a
c
das dos outros dois lados.
c) triângulo acutângulo.
b
Condição de existência.
Reconhecimento da natureza de
um triângulo.
Seja a o maior lado de um triân-
b - c
< a <
b + c
gulo de lados a, b e c.
a < b < c < <
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo.
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo.
2 2 2
- Se a = b + c
2 2 2
- Se a > b + c
2 2 2
- Se a < b + c
triângulo
retângulo.
triângulo
obtusângulo.
triângulo
acutângulo.
IV) Pré-requisitos de trigonometria.
(Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2
cos 2a = cos a - sen a
I) Elementos da circunferência.
A
r
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
r
C
r
D
P
ACD = - ângulo central APD - arco da circunferência AD - corda da circunferência
B
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2 r - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S = r
360º
- área do círculo.
- abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2
rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
R
R
=
l
i
e
I) Polígono regular.
e
Geometria plana
Aula 12
Inscrição e circunscrição de
polígonos regulares.
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
e
i
c) todos os ângulos externos congruentes entre si. Classificação dos polígonos regulares
i
i
3 lados - triângulo equilátero
e
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular 6 lados - hexágono regular
e
i
i
e
etc
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
i =
S
n
>
i =
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
ângulo
central
e
=
S
n
>
e
=
360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero.
2) Quadrado.
3) Hexágono regular.
l
R
30º
r
l
l
BICO
l
l
l
45º
r
l
l
l
60º
r
l
l
l
Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (BICO) coin- cidem num mesmo ponto.
l
-
lado do polígono regular
Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláte- ros.
r
=
l 3
6
R =
l 3
3
r
=
l
2
R =
l 2
2
r
=
l 3
2
R =
l
III) Apótema de um polígono regular.
O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígonoe o ponto médio de qualquer lado. O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
b
 
+
 
B
.
p
1
=
I) Áreas das figuras planas. Área é a medida de superfície.
II) Áreas das figuras poligonais.
Geometria plana
Aula 13
Áreas das figuras planas.
	1) Área do retângulo.
h
b
S = b . h
	2) Área do quadrado.
l
2
l S = l
	3) Área do paralelogramo.
h
S = b . h
b
	4) Área do trapézio.
b
h
B
S = ( ) h 2
	5) Área do losango.
D
S d . D
2
d
	6) Área do triângulo.
h
S b . h
b 2
III) Outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo.
1) Em função de dois lados e do ângulo entre eles.
2) Em função dos 3 lados (Fórmula de Hierão)
a
a
c
p - semiperímetro
a + b + c =
2
b
S
(Importantíssima)
a . b. sen
2
b
S
=
p.(p - a)(p - b)(p - c)
3) Em função do raio da circunferência inscrita.
p - semiperímetro
4) Em função do raio da circunferência circunscrita.
a
r
c
p
=
a+ b +c
2
a
R
c
b
S =
p . r
b
S
=
a . b . c 4 R
IV) Áreas das figuras circulares.
1) Área do círculo.
Área do círculo
1) Área da coroa circular.
r
S
=
2
r
R
r
R - raio do círculo maior r - raio do círculo menor
r - raio do círculo.
Perímetro do círculo
c = 2 r
S
=
2
R -
2
r
S
1
S
S
=
 
S
-
 
S
1
2
l
2
S
1
1
S
l
3) Área do setor circular.
4) Área do segmento circular.
C
r
r
Regra de três
2
360º r
setor
C
r
r
Lembrar que a área do triângulo é dada por
Striângulo = a . b. sen
2
r - raio do círculo.
setor
=
360
.
2
r
segmento circular
setor
triângulo
V) Áreas das figura semelhantes.
Duas figuras planas são
ditas semelhantes se uma delas é a redução ou a ampliação da outra.
l1
S
l2
S
Se duas figuras planas
são semelhantes, então vale
a relação:
= ( )
2 l2
- comprimento
S - área