3ª Lista

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Terceira Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo II - IFSP
2o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Cálculo de áreas. Sólidos de revolução. Comprimento de curva.
Exercício 1: Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas
retas x = 0 e x = 1, isto é, calcule ∫ 1
0
x 3 dx .
Exercício 2: Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x2, pelo eixo x e pelas
retas x = 1 e x = 2.
Exercício 3: Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 2 e pelo gráfico
de y = x2. (Resp.: 5/3)
Exercício 4: Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ √x.
(Resp.: 1/3)
Dica: Notar que as funções x2 e
√
x se interseccionam nos pontos 0 e 1, onde esses serão os
limites de integração; ou ver Guidorizzi, p. 318.
Exercício 5: Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
a) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0; (Resp.: 4/3)
b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo gráfico de
y = x2 + 2x+ 5; (Resp.: 21)
c) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo 0x, pelo gráfico de y = x3−x, para −1 ≤ x ≤ 1;
(Resp.: 1/2. Dica: Obtenha as raízes e esboce o gráfico.)
d) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x ≤ 0 e x3 ≤ y ≤ x; (Resp.: 1/4. Dica: Obtenha
a intersecção das curvas e esboce o gráfico.)
e) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x > 0 e
1
x2
≤ y ≤ 5 − 4x2; (Resp.: 1/3.
Dica: Obtenha a intersecção das curvas e esboce o gráfico. Os limites de integração serão:
1/2 e 1.)
1
Exercício 6: Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de f(x) = x3− 3x2 +2x,
para 0 ≤ x ≤ 2. (Resp.: 1/2)
Dica: Esboçar o gráfico de x3− 3x2+2x, notando que a mesma terá parte do gráfico abaixo
do eixo x, entre 1 e 2. Deverá ser feita a divisão de integração entre 0 e 1, e entre 1 e 2. As
raízes desta equção são 0, 1 e 2.
Exercício 7: Encontre a área da região delimitada pelas curvas y = sen(x), y = cos(x),
x = 0 e x = pi2 .
Dica: Desenha a figura e verifique onde as funções se encontram. A resposta é 2
√
2− 2.
Exercício 8: Esboce a região delimitada pelas curvas y = x e y = x2. Então calcule a área
da região.
Dica: Desenha a figura e verifique onde as funções se encontram. A resposta é 1/6.
Exercício 9: Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas parábolas
y = x2 − c2 e y = c2 − x2 seja 576.
Dica: Assuma que c > 0 pois se c = 0 não teremos região. Desenhe a figura e observe a
simetria nos gráficos. A partir daí, teremos que a área A desejada é quatro vezes a área do
primeiro quadrante. Enfim, a área é
8
3 c
3
e o valor de c é 6.
Exercício 10: Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x,
das regiões limitadas pelas retas e curvas indicadas.
a) y = x2, y = 0, x = 2;
b) y =
√
9− x2, y = 0;
c) y =
√
cos(x), 0 ≤ x ≤ pi2 , y = 0, x = 0;
Respostas: A resposta do item a) é 32pi/5. Do item b) é 36pi, e do item c) é pi.
Exercício 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas
curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
a) y = 2− 12x, y = 0, x = 1, x = 2; em torno do eixo x
b) y = 1− x2, y = 0; em torno do eixo x
c) y = 1x , y = 0, x = 1, x = 2; em torno do eixo x
d) y = x3, y = x, x ≤ 0; em torno do eixo x
Respostas: A resposta do item a) é 19pi/12. Do item c) é pi/2, e do item d) é 4pi/21.
2
Exercício 12: Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por
y =
√
x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno do eixo x.
Dica: Desenhe a figura e observe a região pedida. Em seguida, calcule a integral observando
que o limite de integração será de 0 a 4. A resposta é 8pi.
Exercício 13: Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da
curva y = 2x−5, −1 ≤ x ≤ 3. Verifique o seu resultado observando que a curva é um segmento
de reta e calculando seu comprimento pela fórmula da distância. (Resp.: 3
√
10)
Exercício 14: Encontre o comprimento exato da curva 1 + 6x
3
2
, para 0 ≤ x ≤ 1.
(Resp.:
2
243 (82
√
82− 1))
Exercício 15: Nas curvas a seguir, determine os respectivos comprimentos.
a) y = 13 (x
2 + 2)
3
2
, de x = 0 a x = 3
b) y = x
3
2
, de x = 0 a x = 4
c) y = 34 x
4
3 − 38 x
2
3 + 5, de x = 1 a x = 8
Respostas: A resposta do item a) é 12. Neste item, forme o quadrado perfeito para simplificar
a expressão. A resposta do item b) é
8
27 (10
√
10 − 1). Neste item b) será necessário realizar a
mudança de variável. A resposta do item c) é 99/8; a dificuldade deste item c) é perceber a
formação do quadrado perfeito.
Exercício 16: Encontre a função comprimento de arco para a curva y = 2x
3
2
, com ponto
inicial P0(1, 2).
Dica: Faça as contas usualmente, notando que a resposta dependerá de x ou alguma outra
variável. Observo ainda que para o cálculo da integral precisaremos utilizar a mudança de
variável. A resposta é
2
27 ((1 + 9x)
3
2 − 10√10)
Exercício 17: Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = sen(2 t),
t ≥ 0. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = pi. (Resp.: 2)
Exercício 18: Calor específico de um gás. (Resp.: aproximadamente 5.434)
A capacidade térmica Cv é a quantidade de calor necessária para acrescentar 1
oC à
temperatura de uma dada massa de gás, a um volume constante, medida em cal/
o
C.mol (caloria
por grau centígrafo, por mol). A capacidade térmica do oxigênio depende de sua temperatura T
e satisfaz a fórmula
C v = 8, 27 + 0, 00001 (26T − 1, 87 T 2 ) .
Determine o valor médio de C v para 20
o ≤ T ≤ 675oC, notando que
C vmédio =
∫ 675
20 Cv dT
(675− 20) .
3