4ª Lista

Prévia do material em texto

Quarta Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo II - IFSP
2o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Mudança de variável.
Exercício 1: Calcule.
a)
∫
x2 (x+ 1 )10 dx b)
∫
x2
√
x− 1 dx
c)
∫
x (x− 2 )5 dx d)
∫
x+ 2
(x+ 1 )5
dx
e)
∫
x+ 3
(x− 2 )4 dx f)
∫
x− 1√
2x+ 1
dx
g)
∫
x
√
x+ 5 dx h)
∫
x2 3
√
x− 2 dx
Exercício 2: Calcule.
a)
∫
( 2x+ 5 )3 dx b)
∫
sen x
√
cos x dx
Resposta:
b)
−2
3
√
cos3(x) + k
Exercício 3: Calcule a integral
∫
sen2 x cos x dx. (Resp.:
1
3
sen3(x) + k)
Exercício 4: Calcule.
a)
∫
( 3x− 2 )3 dx b)
∫
1
( 3x− 2 )2 dx
c)
∫
x2 ex
3
dx d)
∫
cos3 x senx dx
e)
∫
x3 cos (x4) dx f)
∫
x e−x
2
dx
1
g)
∫ (
x
1 + 4x2
)
dx h)
∫
ex
√
1 + ex dx
i)
∫
x
√
1 + 3x2 dx
Respostas:
a)
(3x− 2)4
12
+ k b)
−1
3 (3x− 2) + k c)
1
3
ex
3
+ k
d)
−1
4
cos4(x) + k e)
1
4
sen4(x) + k f)
−1
2
e−x
2
+ k
g)
1
8
ln(1 + 4x2) + k h)
2
3
√
(1 + ex)3 + k i)
1
9
√
(1 + 3x2)3 + k
Exercício 5: Calcule as integrais.
a)
∫
sen (2x)
√
1 + cos2 x dx b)
∫
sen3 x dx
Respostas:
a) −−2
3
√
[1 + cos2(x)]3 + k b) −cos(x) + 1
3
cos3(x) + k
Exercício 6: Calcule.
a)
∫
x3
16 + x4
dx b)
∫
x3
( 16 + x4 )3
dx
c)
∫
x√
1− 4x2 dx d)
∫
ex
1 + 3 ex
dx
Respostas:
a)
1
4
ln(16 + x4) + k b)
−1
8 (16 + x4)2
+ k
c)
−1
4
√
1− 4x2 + k d) 1
3
ln(1 + 3 ex) + k
Exercício 7: Calcule
∫
et
cos2(et − 2) dt. (Resp.: tg(e
t − 2) + k)
2
Exercício 8: Calcule.
a)
∫ 2
1
(x− 2)5 dx b)
∫ 1
0
(3x+ 1)4 dx
c)
∫ 1
0
√
3x+ 1 dx d)
∫ 0
−1
2x (2x+ 5)3 dx
e)
∫ 1
0
1
(x+ 1 )5
dx f)
∫ 1
0
x ex
2
dx
Respostas:
a) −1/6 b) 1023/15 c) 14/9
d) 68 e) 15/64 f)
1
2
(e− 1)
Exercício 9: Use substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema
Fundamental do Cálculo para calcular as integrais.
a)
∫ 1
0
t
√
t2 + 1 dt. (Resp.:
1
3
(2
√
2− 1))
b)
∫ pi
0
sen2
(
1 +
θ
2
)
dθ. (Resp.:
pi
2
+ sen(2))
Exercício 10: Calcule.
a)
∫ 1
0
x
√
x2 + 3 dx b)
∫ 1
0
x (x2 + 3)5 dx
c)
∫ 3
0
x√
x+ 1
dx d)
∫ pi/6
0
cos(x) sen5(x) dx
Respostas:
a)
8−√27
3
b) 3367/12 c) 8/3 d) 1/384
Exercício 11: Suponha f contínua em [−2, 0]. Calcule
∫ 2
0
f(x − 2) dx, sabendo que∫ 0
−2
f(x) dx = 3. (Resp.: 3)
Exercício 12: Suponha f contínua em [0, 4]. Calcule
∫ 2
−2
x f(x2) dx. (Resp.: 0)
3
Exercício 13: Calcule
∫ pi/3
0
sen(x)
cos2(x)
dx. (Resp.: 1)
Exercício 14: Calcule
∫ e
1
√
ln(x)
x
dx. (Resp.: 2/3)
Exercício 15: Rendimentos a partir do rendimento marginal.
Suponha que o rendimento marginal de uma empresa pela fabricação e venda de batedeiras
seja
dr
dx
= 2− 2
(x+ 1)2
,
onde r é medido em milhares de dólares e x em milhares de unidades. Quanto dinheiro a
companhia deve esperar de uma produção de x = 3 mil batedeiras? Para descobrir, integre o
rendimento marginal de x = 0 a x = 3. (Resp.: 4, 5 ou $4500)
Exercício 16: Seja f uma função par (uma função f é par se, e somente se, f(−x) = f(x))
e contínua em [−r, r], r > 0.
a) Mostre que
∫ 0
−r
f(x) dx =
∫ r
0
f(x) dx;
b) Conclua de a) que
∫ r
−r
f(x) dx = 2
∫ r
0
f(x) dx.
4