6ª Lista

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Sexta Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo II - IFSP
2o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Primitivas de funções racionais. Integrais impróprias.
Exercício 1: Calcule
∫
x+ 3
x2 − 3x+ 2 dx.
(Resp.: −4 ln|x− 1|+ 5 ln|x− 2|+ k)
Exercício 2: Calcule
∫
x2 + 2
x2 − 3x+ 2 dx.
Dica: Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faça a divisão do
polinômio para depois aplicar o teorema visto em sala de aula.
(Resp.: x− 3 ln|x− 1|+ 6 ln|x− 2|+ k)
Exercício 3: Calcule
∫
x3 + 2
(x− 1)2 dx.
Dica: Faça a divisão do polinômio para depois aplicar o teorema visto em sala de aula. Essa
integral também pode ser resolvida fazendo a mudança de variável u = x − 1, e talvez esse
`caminho' seja mais fácil.
(Resp.:
x2
2
+ 2x+ 3 ln|x− 1| − 3
x− 1 + k)
Exercício 4: Calcule.
a)
∫
1
x2 − 4 dx b)
∫
x
x2 − 5x+ 6 dx
c)
∫
x
x2 − 4 dx d)
∫
2x+ 1
x2 − 1 dx
e)
∫
x+ 3
(x− 1)2 dx f)
∫
x2 + 3x+ 1
x2 − 2x− 3 dx
g)
∫
x+ 3
x2 − x dx h)
∫
1
x2 − x− 2 dx
1
Respostas:
a)
1
4
(ln|x− 2| − ln|x+ 2|) + k b) −2 ln|x− 2|+ 3 ln|x− 3|+ k
c)
1
2
ln|x2 − 4|+ k d) ln|x2 − 1|+ 1
2
(ln|x− 1| − ln|x+ 1|) + k
e) ln|x− 1| − 4
x− 1 + k f) x+
1
4
ln|x+ 1|+ 19
4
ln|x− 3|+ k
Exercício 5: Encontre
∫
1
x2 − a2 dx, onde a 6= 0.
(Resp.:
1
2 a
(ln|x− a| − ln|x+ a|) + k.)
Exercício 6: Calcule
∫
x4 + 2x+ 1
x3 − x2 − 2x dx.
Dica: Faça a divisão do polinômio. Em seguida, encontre as raízes do denominador para
então aplicar o teorema visto em sala de aula. Para obter os valores de A, B e C, faça x = 0,
x = −1 e x = 2, pois esses valores são as raízes deste polinômio.
(Resp.:
x2
2
+ x− 1
2
ln|x|+ 21
6
ln|x− 2|+ k)
Exercício 7: Calcule.
a)
∫
x+ 1
x (x− 2) (x+ 3) dx b)
∫
x+ 3
x3 − 2x2 − x+ 2 dx
Dica: No item b) encontre as raízes do polinômio do denominador para então aplicar o
teorema visto em sala de aula (tente seguir o procedimento da questão 5).
Respostas:
a) −1
6
ln|x|+ 3
10
ln|x− 2| − 2
15
ln|x+ 3|+ k
b) −2 ln|x− 1|+ 1
3
ln|x+ 1|+ 5
3
ln|x− 2|+ k
Exercício 8: Calcule.
a)
∫
x4 + x+ 1
x3 − x dx b)
∫
2
(x+ 2) (x− 1)2 dx
c)
∫
x+ 5
x3 − 4x2 + 4x dx
2
Exercício 9: Encontre
∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1 dx, onde a 6= 0.
(Resp.:
x2
2
+ x− 2
x− 1 + ln
∣∣∣∣x− 1x+ 1
∣∣∣∣+ k.)
Exercício 10: Expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule a integral de∫ 1
0
x3
x2 + 2x+ 1
dx. (Resp.: 3 ln(2)− 2.)
(Dica: Teremos A = 3 e B = −1. Logo, prosseguimos com os cálculos e obtemos 3 ln(2)−2.)
Exercício 11: Calcule.
a)
∫ +∞
1
1
x3
dx b)
∫ +∞
0
e−s x dx, s > 0
c)
∫ +∞
1
1√
x
dx d)
∫ +∞
0
t e−t dt
Respostas:
a)
1
2
b)
1
s
c) +∞ d) 1
Exercício 12: Seja s > 0 em real dado. Verifique que∫ +∞
0
t e−s t dt =
1
s2
.
Exercício 13: Calcule
∫ 0
−∞
ex dx. (Resp.: 1.)
Exercício 14: Calcule
∫ 0
−∞
x e−x
2
dx. (Resp.: -1/2.)
Exercício 15: Avalie
∫ 0
−∞
x ex dx. (Resp.: -1.)
(Dica: Para calcular o limite obtido é interessante usar a regra de L'Hospital.)
3
Exercício 16: A área sob a curva y = ln(x)
x2
de x = 1 a x =∞ é finita? Se for, qual é ela?
(Resp.: Valor finito igual a 1.)
(Dica: Temos que resolver
∫ ∞
1
ln(x)
x2
dx. Para calcular o limite obtido é interessante usar a
regra de L'Hospital; e o limite obtido é
(
− ln(b)b − 1b + 1
)
.)
Exercício 17: Determine m para que
∫ +∞
−∞
f(x) dx = 1, sendo
f(x) =
{
m se |x| ≤ 3
0 se |x| > 3 .
(Resp.: 1/6.)
Exercício 18: Uma substância radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo t é
m(t) = m(0) ek t, onde m(0) é a massa inicial e k, uma constante negativa. A vida média M de
um átomo na substância é
M = −k
∫ ∞
0
t ek t dt .
Para o isótopo radioativo de carbono,
14C, usado para a datação, o valor de k é −0, 000121.
Calcule a vida média de um átomo de
14C. (Resp.: Aproximadamente 8264, 5 anos.)
(Dica: Para calcular o limite obtido pode-se utilizar a regra de L'Hospital, mas não é
necessário. Além disso, o limite resultante é
1
k2
. Logo, fazemos M = −k 1
k2
=
−1
k
∼= 8264, 5
anos.)
Exercício 19: Se f(t) é contínua para t ≥ 0, a Transformada de Laplace de f é a função F
definida por
F (s) =
∫ ∞
0
f(t) e−s t dt .
O domínio de F é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Calcule
a Transformada de Laplace da função f(t) = 1, com s > 0. (Resp.: Temos F (s) = 1/s, com
s > 0.)
(Dica: Devemos calcular o limite de
(
e−s n
−s +
1
s
)
).
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