Lista 7 - Filtragem e Projeto de Filtros e Projeto Resp Freq

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Engenharia de Controle e Automação – 2013/1 
Sinais e Sistemas Lineares II – Lista de Exercícios 07 
Professor: Ribas 
 
Exercício 01) – Para o circuito RC da Figura 01, 
determine: (a) a função de transferência entre a 
tensão da fonte e a tensão de saída; (b) uma 
equação para a frequência de corte do circuito e 
(c) escolha valores para R e C que resultem em 
um filtro passa-baixas com uma frequência de 
corte de 3 kHz. 
Figura 01 – Filtro passa-baixas RC em série. 
 
 
Exercício 02) – (a) Deduza uma expressão para 
a função de transferência do circuito RL em série 
da Figura 02; (b) determine a equação para a 
frequência de corte do circuito e (c) escolha 
valores para R e L que resultem em um filtro 
passa-altas com uma frequência de corte de 15 
kHz. 
Figura 02 – Filtro passa-altas RL em série. 
 
 
Exercício 03) – Usando o circuito da Figura 03, 
calcule os valores de R e L para um filtro passa-
faixa com uma frequência central de 12 kHz e um 
fator de qualidade 6. Use um capacitor de 0,1 μF. 
Figura 03 – Filtro passa-faixa RLC em série. 
 
 
Exercício 04) – Usando o circuito da Figura 04, 
calcule os valores de L e C para um filtro passa-
faixa com uma frequência central de 2 kHz e uma 
largura de faixa de 500 Hz. Use um resistor de 
250 Ω. 
Figura 04 – Filtro passa-faixa RLC em paralelo. 
 
Exercício 05) – Calcule os valores dos 
componentes para o filtro rejeita-faixa RLC em 
série mostrado na Figura 05 de modo que a 
frequência central seja 4 kHz e o fator de 
qualidade seja 5. Use um capacitor de 500 nF. 
Figura 05 – Filtro rejeita-faixa RLC em série. 
 
 
Exercício 06) – Um filtro de banda passante pode 
ser construído usando o circuito da Figura 06. 
Determine (a) o módulo de H = Vo/Vs, (b) as 
frequências de corte de baixa e alta frequências, 
ω1 e ω2, e (c) o ganho na banda passante para 
ω1 << ω << ω2. 
Figura 06 – Circuito de um filtro de banda passante. 
 
 
Exercício 07) – Um sensor acústico produz uma 
saída senoidal com uma frequência de 5 kHz. O 
sinal do sensor foi contaminado por ruído. A 
Figura 07 monstra um filtro que foi projetado para 
separar o sinal do ruído. 
Figura 07 – Circuito de um filtro de banda passante. 
 
A tensão vs representa o sinal ruidoso proveniente 
do sensor. A saída vo deve ser um sinal menos 
ruidoso. Determine (a) o tipo de filtro, (b) a 
frequência central e (c) a banda passante deste 
filtro. 
Exercício 08) – Considere o filtro RC mostrado 
na Figura 08. Ele se comporta como um sistema 
LIT de tempo contínuo implementado como um 
circuito RC. A fonte de tensão x(t) é considerada 
a entrada desse sistema. A tensão y(t) no 
capacitor é considerada a saída do sistema. É 
possível que a reposta ao degrau desse filtro 
tenha um comportamento oscilatório? Justifique 
sua resposta. 
Figura 08 – Sistemas LIT RC. 
 
 
Exercício 09) – Considere o filtro RLC mostrado 
na Figura 09. Ele se comporta como um sistema 
LIT de tempo contínuo implementado como um 
circuito RLC. A fonte de tensão x(t) é considerada 
a entrada desse sistema. A tensão y(t) no 
capacitor é considerada a saída do sistema. 
Como R, L e C devem estar relacionados de 
modo que não haja oscilação na resposta desse 
filtro a uma entrada a degrau? Justifique sua 
resposta. 
Figura 09 – Sistemas LIT RLC. 
 
 
Exercício 10) – Um sistema LIT de tempo 
contínuo S com resposta em frequência H(jω) é 
constituído pela cascata de dois sistemas LIT de 
tempo contínuo com respostas em frequências 
H1(jω) e H2(jω), respectivamente. As Figuras 
10(a) e (b) mostram as aproximações por 
segmentos de reta dos diagramas de Bode de 
magnitude H1(jω) e H2(jω), respectivamente. 
Especifique H2(jω). 
Figura 10 – Aproximações das respostas em módulo de 
H1(jω) e H2(jω). 
 
 
 
Exercício 11) – A aproximação por segmentos de 
reta do diagrama de Bode de magnitude de uma 
sistema LIT de tempo contínuo S é mostrado na 
Figura 11. S pode ser construído conectando-se 
dois sistemas de primeira ordem S1 e S2 em 
cascata ou dois sistemas de primeira ordem S3 e 
S4 em paralelo. Determine se cada uma das 
afirmações a seguir é verdadeira ou falsa, 
justificando suas respostas. 
(a) As respostas em frequências de S1 e S2 
podem ser unicamente determinadas. 
(b) As respostas em frequências de S3 e S4 
podem ser unicamente determinadas. 
Figura 11 – Aproximação da resposta em módulo de S. 
 
 
Exercício 12) – A aproximação por segmentos de 
reta do diagrama de Bode de magnitude de uma 
sistema LIT de tempo contínuo causal e estável S 
é mostrada na Figura 12. Especifique a resposta 
em frequência de um sistema que é o inverso de 
S. 
Figura 12 – Aproximação da resposta em módulo de S. 
 
 
Exercício 13) – Considere o sistema 
representado na Figura 13. O “compensador” é 
um sistema LIT de tempo contínuo. 
Figura 13 – Sistema com compensador. 
 
(a) Suponha que se deseje escolher a resposta 
em frequência do compensador de modo que a 
resposta em frequência total H(jω) da cascata 
satisfaça as duas condições a seguir: 
1. A magnitude logarítmica de H(jω) tem uma 
inclinação de –40 dB/década acima de ω = 
1000; 
2. Para 0 < ω < 1000), a magnitude 
logarítmica de H(jω) deve estar entre –10 dB 
e 10 dB. 
Projete um compensador adequado (ou seja, 
determine uma resposta em frequência para 
um compensador que atenda os requisitos 
anteriores) e esboce o diagrama de Bode 
para o H(jω) resultante. 
(b) Repita (a) se as especificações sobre a 
magnitude logarítmica de H(jω) forem as 
seguintes: 
1. Ela deverá ter uma inclinação de +40 
dB/década para 0 < ω < 10; 
2. Ela deverá estar entre +10 e +30 dB para 
10 < ω < 100; 
3. Ela deverá ter uma inclinação de –20 
dB/década para 100 < ω < 1000; 
4. Ela deverá ter uma inclinação de –40 
dB/década para ω > 1000. 
 
Respostas de alguns exercícios: 
Exercício 01) – (a) 
)/(1
)/(1
)(
RCs
RC
sH


; (b) 
RC
c
1

; (c) Sugestão: se escolher C = 1 μF 
então R = 53,05 Ω. 
Exercício 02) – (a) 
)/(
)(
LRs
s
sH


; (b) 
L
R
c 
; 
(c) Sugestão: se escolher R = 500 Ω então L = 
5,31 mH. 
Exercício 03) – L = 1,761 mH , R = 22,10 Ω. 
Exercício 04) – L = 4,97 mH , C = 1,27 μF. 
Exercício 05) – L = 3,17 mH , R = 15,92 Ω. 
Exercício 06) – (a) 














2211
12
11
)(
CR
j
CR
j
CRj
j

H
; 
(b) 
22
2
11
1
1
;
1
CRCR
 
; (c) ganho na banda 
passante = 
1
2
R
R
. 
Exercício 07) – (a) Filtro de passa-faixa; (b) 
21212211
2
21
111
1
)(
CCRR
s
CRCR
s
s
CR
sH







 ; com 
kHz)25,11(2krad/s7,70
1
2121
0  
CCRR
; (c) 
kHz)9,23(2krad/s150
11
2211
00  


CRCR
Q
BP
. 
Exercício 08) – Não, pois o sistema é de primeira 
ordem. 
Exercício 09) – O sistema é descrito pela 
equação 
1
1
/)2/(2
1
1
)(
2









LC
j
LCR
LC
j
jH


. 
O fator de amortecimento constante é 
LCR /)2/(
. Para a resposta do filtro não ser 
oscilatória, 
1
 e para isso, necessita-se que 
C
L
R 2
. 
Exercício 10) – Dos gráficos encontram-se 
)40)(8(
)1(640
)(1


 

jj
j
jH
 e 
2)8(
4,6
)(




j
jH
. 
Sabendo que 
)()()( 21  jHjHjH 
, então 
)8)(1(
)40(01,0
)(2


 

jj
j
jH
. 
Exercício 11) – (a) Não, poisa resposta S pode 
ser constituída da combinação de diferentes de 
sistemas. (b) Sim, pois a resposta S somente 
poderá ser constituída da combinação de dois 
tipos diferentes de sistemas. 
Exercício 12) – Usando o método de 
aproximações tem-se 
)10)(50(
)2,0(50000
)(
2


 

jj
j
jH
 e 
assim o sistema inverso é 
2
4
1
)2,0(
)10)(50(102,0
)(
1
)(







 j
jj
jH
jH
. 
Exercício 13) – (a) Uma possível escolha para a 
resposta em frequência do compensador é 
2
100
50
)1(
)1(50
)(


 


j
j
c jH
 e a resposta em frequência 
total do sistema é 
2
100
)1(
1
)(

  jjH
. (b) Uma 
possível escolha para a resposta em frequência 
do compensador é 
)1)(1)(1(
)1(50
)(
100010010
50


 

jjj
j
c
j
jH
 
e a resposta em frequência total do sistema é
)1)(1)(1(
)(
100010010

 

jjj
j
jH
.