Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal do Para´ Campus Universita´rio de Tucuru´ı Faculdade de Engenharia Sanita´ria e Ambiental Apostila de FI´SICA FUNDAMENTAL I Prof. Ce´sar Juan Baseada nos livros: © D. Halliday & R. Resnick & J. Walker, Fundamentos de F´ısica, Vol. 1, 8ed., LTC (2008); © P.A. Tipler & G. Mosca, F´ısica para Cientistas e Engenhei- ros, Vol. 1, 6ed., LTC (2009); © Serway & Jewett, Physics for Scientists and Engineers, 8ed, Brooks/Cole (2010); © H.M. Nussenzveig, Curso de F´ısica Ba´sica, Vol. 1, 4ed., Edgard Blucher (2002); © P.G. Hewitt, F´ısica Conceitual, 12ed., Bookman(2015). Tucuru´ı - Para´ 2018 i Suma´rio Introduc¸a˜o 1 1 Cinema´tica: movimento retil´ıneo 3 1.1 Movimento Retil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Movimento retil´ıneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 O problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Cinema´tica: movimento em um plano 9 2.1 Descric¸a˜o em termos de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Descric¸a˜o em termos de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 A´lgebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Posic¸a˜o e deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.7 Movimento uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.8 Movimento dos proje´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Dinaˆmica: leis de Newton 20 3.1 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Algumas forc¸as especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Trabalho e energia 28 4.1 Energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Teorema trabalho-energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Trabalho e energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Teorema de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ii 5 Momentum e coliso˜es 33 5.1 Conservac¸a˜o do momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Coliso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6 Sistema de part´ıculas e rotac¸o˜es 36 6.1 O centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.3 O momentum de um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.4 Movimento de Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 iii Introduc¸a˜o Como todas as outras cieˆncias, a F´ısica1 e´ baseada em observac¸o˜es experimentais e medic¸o˜es quantitativas. O objetivo principal da f´ısica e´ iden- tificar um nu´mero limitado de leis fundamentais que governam os fenoˆmenos naturais e usar elas para desenvolver teorias que possam predecir o re- sultado dos futuros experimentos. Para desenvol- ver uma teoria e´ necessa´rio o uso da matema´tica, ferramenta que fornece uma ponte entre a teoria e o experimento. Atualmente, a f´ısica e´ uma cieˆncia com di- versas ramificac¸o˜es. Por exemplo, a f´ısica cla´ssica e´ um ramo que estuda os princ´ıpios da mecaˆnica cla´ssica, a termodinaˆmica, a o´tica, e o eletromag- netismo desenvolvido antes de 1900. Isaac Newton foi o primeiro cientista em formular os princ´ıpios da mecaˆnica cla´ssica, e foi tambe´m um dos criadores do ca´lculo infinitesimal (atualmente conhecido como ca´lculo), ferramenta que foi usada para desenvolver sua teoria. Medidas e unidades Uma lei f´ısica mostra uma relac¸a˜o entre duas ou mais grandezas f´ısicas2. Medir uma grandeza f´ısica significa compa- rar esta grandeza com algum padra˜o (ou unidade) precisamente definido, para essa grandeza. Por exemplo, para medir a distaˆncia entre dois pontos, precisamos de uma unidade de distaˆncia, como a polegada, o metro, ou o quiloˆmetro. A afirmac¸a˜o de que uma certa distaˆncia equivale a 25 metros significa que ela e´ 25 vezes o comprimento da uni- dade denominada metro. O sistema internacional de unidades Em f´ısica, e´ importante utilizar um conjunto universal de unidades. Em 1960, um comiteˆ inter- nacional estabeleceu um conjunto de unidades para a comunidade cient´ıfica, chamado de SI (Syste`me International). Definic¸a˜o 1: O Tempo e´ uma grandeza f´ısica as- sociada ao correto sequenciamento dos fenoˆmenos naturais (ou eventos), mediante a ordem de 1Do grego antigo physis que significa natureza. 2Denota-se grandeza f´ısica a qualquer atributo da natu- reza que seja mensura´vel. ocorreˆncia. Desta forma, o tempo nos permite de- terminar se um evento aconteceu antes, ou simulta- neamente, ou depois que outro evento de refereˆncia. O tempo tambe´m nos permite medir a durac¸a˜o de um evento, o que permite determinar se um evento e´ mais, ou igual ou menos demorado que outro evento de refereˆncia. Qualquer instrumento que permita medir o tempo denomina-se cronoˆmetro ou relo´gio. Me- dir o tempo significa comparar a durac¸a˜o de um evento com a durac¸a˜o de outro evento considerado unidade, essa unidade no SI e´ o segundo (s). Historicamente, o segundo foi definido em termos da rotac¸a˜o da Terra, e era igual a (1/60)(1/60)(1/24) do dia solar me´dio. No en- tanto, os cientistas observaram que a taxa de rotac¸a˜o da Terra esta´ gradualmente diminuindo, por esta raza˜o, atualmente, o segundo e´ definido em termos de uma frequeˆncia caracter´ıstica associ- ada ao a´tomo de Ce´sio (relo´gio atoˆmico de Ce´sio), em que um segundo e´ a durac¸a˜o de 9 192 631 770 oscilac¸o˜es da radiac¸a˜o emitida na transic¸a˜o entre os dois n´ıveis hiperfinos do estado fundamental do a´tomo de Ce´sio-133. Definic¸a˜o 2: O Comprimento e´ a medida da dimensa˜o espacial de um objeto. A unidade do comprimento e´ o metro (m), que e´ definido como a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo durante um intervalo de tempo de 1/299792458 segundos (≈ 3,3×10−9 s). Historicamente, o metro foi definido como o comprimento de uma barra de platina e ir´ıdio fabricada pela Comissa˜o Internacional de Pesos e Medidas, e se que encontra guardada no escrito´rio de Pesos e Medidas em Paris. Prefixos de unidades A`s vezes torna-se necessa´rio trabalhar com medidas que sa˜o muito menores ou muito maio- res que as unidades SI. Nessas situac¸o˜es podemos usar outras unidades, relacionadas a`s unidades SI por um mu´ltiplo ou submu´ltiplo de dez. Prefixos sa˜o usados para designar as diferentes poteˆncias de dez. Por exemplo, o prefixo “quilo” significa 103, enquanto oprefixo “micro” significa 10−6. A se- guinte tabela lista os prefixos mais usuais. 1 Factor Prefixo Abreviatura 109 giga G 106 mega M 103 quilo k 102 hecto h 101 deca da 10−1 deci d 10−2 centi c 10−3 mili m 10−6 micro µ 10−9 nano n Estes prefixos podem ser aplicados a qualquer uni- dade SI; por exemplo, 0,001 s = 10−3 s = 1 ms (um milissegundo). Movimento Denomina-se movimento ao deslocamento cont´ınuo de um objeto em relac¸a˜o a outro objeto de refereˆncia. Para falar de movimento e´ impres- cind´ıvel ter pelo menos dois objetos: o primeiro move-se em relac¸a˜o ao segundo ou vice-versa. Por exemplo, imagine que um u´nico objeto seja isolado no espac¸o, onde na˜o existem outros objetos na sua proximidade, neste caso, na˜o sera´ poss´ıvel determi- nar se o objeto esta´ em movimento ou esta´ em re- pouso, pois na auseˆncia de um objeto de refereˆncia, na˜o havera´ possibilidade de fazer medic¸o˜es. Sistema de refereˆncia Para estudar o movimento de um objeto A e´ necessa´rio a presenc¸a de um objeto de refereˆncia, assim todas as medic¸o˜es sobre o movimento do ob- jeto A, se realizara´ em relac¸a˜o ao objeto de re- fereˆncia. Logo, um observador que se encontra pa- rado sobre o objeto de refereˆncia, deve ter os instru- mentos de medida do comprimento e do tempo. Ao conjunto {objeto de refereˆncia, observador, instru- mentos de medida} denomina-se sistema de re- fereˆncia. Um sistema de refereˆncia muito usual e´ a superf´ıcie da Terra, onde se encontra um observa- dor com seus instrumentos de medic¸a˜o. Logo, este observador podera´, por exemplo, estudar o movi- mento de qualquer objeto em relac¸a˜o a` superf´ıcie da Terra, tal como, o voo dos pa´ssaros, o movi- mento de um carro, etc. O movimento de um u´nico corpo em relac¸a˜o a dois diferentes sistemas de refereˆncia pode ter di- ferentes caracter´ısticas. Por exemplo, imagine um carro em movimento, o motorista desse carro es- tara´ em repouso em relac¸a˜o ao carro, pore´m ele estara´ em movimento em relac¸a˜o a um poste que se encontra no lado da estrada. Isto significa que o movimento e´ relativo. Exerc´ıcios (1) Exemplo 1-1 (Pag. 6 - TIPLER3) (2) Exemplo 1-4 (Pag. 10 - TIPLER) (3) Exemplo 1-5 (Pag. 10 - TIPLER) (4) Problema 23 (Pag. 23 - TIPLER) (5) Problema 34 (Pag. 23 - TIPLER) (6) Problema 35 (Pag. 23 - TIPLER) (7) Problema 49 (Pag. 49 - TIPLER) Para resolver alguns dos exerc´ıcios anterio- res leve em considerac¸a˜o as transformac¸o˜es de uni- dades: 1 mi (milha) = 1,609 km; 1 ft (pe´) = 30,48 cm; 1 in (polegada) = 25,4 mm. 3Daqui em frente, TIPLER refere-se ao livro Tipler & Mosca: F´ısica para Cientistas e Engenheiros, Volume 1 2 Cap´ıtulo 1 Cinema´tica: movimento retil´ıneo O estudo do movimento e os conceitos relaci- onados de forc¸a e massa e´ chamado de mecaˆnica. Neste cap´ıtulo comec¸amos o estudo do movimento examinando a cinema´tica, o ramo da mecaˆnica que lida com as caracter´ısticas do movimento. Um bom entendemento da cinema´tica permitira´ compreender os outros ramos da mecaˆnica. No Cap´ıtulo 3 comec¸aremos o estudo da dinaˆmica, o ramo da mecaˆnica que relaciona movimento, forc¸a e massa. 1.1 Movimento Retil´ıneo Todo movimento que acontece ao longo de uma linha reta denomina-se movimento retil´ıneo, e e´ o tipo de movimento mais simples da cinema´tica. Neste cap´ıtulo estudaremos as caracter´ısticas deste tipo de movimento. Como exemplo deste tipo de movimento podemos citar: o movimento de um carro em uma estrada reta; o movimento de uma esfera de ac¸o liberado no ar, ou liberado em um plano inclinado. Posic¸a˜o Em f´ısica, a posic¸a˜o de um objeto define-se como a localizac¸a˜o desse objeto em relac¸a˜o a ou- tro objeto de refereˆncia (sistema de refereˆncia). A posic¸a˜o de um objeto pode ser quantificada como a distaˆncia entre esse objeto e o objeto de refereˆncia. No contexto do movimento retil´ıneo, a posic¸a˜o de um objeto se representa matematicamente medi- ante um nu´mero real x, a posic¸a˜o x = 0 indica que o objeto esta´ localizado no mesmo lugar que o ob- jeto de refereˆncia, a posic¸a˜o x > 0 indica que o ob- jeto esta´ a uma distaˆncia x do objeto de refereˆncia em uma determinada direc¸a˜o (arbitrariamente es- colhida), e a posic¸a˜o x < 0 indica que o objeto esta´ a uma distaˆncia |x| do objeto de refereˆncia na direc¸a˜o contra´ria ao anterior. Quando no´s referimos a posic¸a˜o de um ob- jeto, na verdade estamos no´s referindo a posic¸a˜o do centro de massa desse objeto. Uma definic¸a˜o mais elaborada para o centro de massa sera´ apre- sentada mais na frente, por agora, por simplicidade podemos considerar o centro de massa de um ob- jeto como o centro geome´trico desse objeto. Em f´ısica, denomina-se part´ıcula (ponto material) a um objeto fict´ıcio que na˜o possui nenhuma estrutura interna (sem volume). Na mecaˆnica, por simplicidade, e´ comum aproximar um objeto real como uma part´ıcula, e´ dizer como um ponto material. Isso e´ justificado pela fato de que em muitas situac¸o˜es a estrutura interna de um objeto na˜o tem influeˆncia considera´vel nas carac- ter´ısticas do movimento daquele objeto. Deslocamento Definic¸a˜o 1.1: Chama-se deslocamento a` va- riac¸a˜o de posic¸a˜o de um objeto. Seja xi a posic¸a˜o inicial do objeto e xf a posic¸a˜o final do mesmo (veja a Figura 1.1), o deslocamento denotado pelo s´ımbolo ∆x e´ definido como ∆x = xf − xi (1.1) O x xfxi ∆x Figura 1.1: A diferenc¸a da posic¸a˜o final xf e a posic¸a˜o inicial xi e´ o deslocamento ∆x. O s´ımbolo ∆1 e´ com frequeˆncia usado para indicar variac¸a˜o de alguma quantidade, neste caso ∆x indica variac¸a˜o de posic¸a˜o de algum objeto. E´ importante distinguir a diferenc¸a entre desloca- mento e distaˆncia percorrida: • a distaˆncia percorrida por um objeto e´ o com- primento do caminho percorrido pelo ob- jeto, desde sua posic¸a˜o inicial ate´ sua posic¸a˜o final, a distaˆncia percorrida e´ sempre uma quantidade real positiva; • o deslocamento e´ a variac¸a˜o de posic¸a˜o de um objeto, e pode ser uma quantidade posi- 1Denomina-se delta no alfabeto grego 3 1.2 Movimento retil´ıneo uniforme (MRU) 4 tiva ou negativa, dependendo da direc¸a˜o de movimento do objeto. Exemplo 1.1: Voceˆ esta´ exercitando um cachorro. O cachorro esta´ inicialmente junto a voceˆ. Depois, ele corre 20 ft (1 feet [ft] ≈ 30 cm) em linha reta para buscar um graveto e traz o graveto de volta 15 ft pelo mesmo caminho, antes de se deitar no cha˜o e comec¸ar a mascar o graveto. (a) Qual a distaˆncia total percorrida pelo ca- chorro? (b) Qual o deslocamento final do cachorro? (c) Mostre que o deslocamento final da viagem e´ a soma dos sucessivos deslocamentos realizados na viagem. 0 5 10 15 20 x [ft] x0 = 0 x2 = 5 ft x1 = 20 ft Tempo 1Tempo 2Tempo 0 Figura 1.2: As bolinhas pretas representam o ca- chorro nas diferentes posic¸o˜es. Soluc¸a˜o: (a) (i) Fac¸a um diagrama do movimento (veja a Figura 1.2), inclua o eixo x; (ii) Calcule a distaˆncia total percorrida: s02 = s01+s12 = (20 ft)+(15 ft) = 35 ft, em que s01 e´ a distaˆncia percorrida entre o tempo 0 e o tempo 1, e s12 e´ a distaˆncia percorrida entre o tempo 1 e o tempo 2. (b) O deslocamento final e´ encontrado a partir de sua definic¸a˜o, ∆x = xf−xi, em que xi = x0 = 0 e´ a posic¸a˜o inicial do cachorro, e xf = x2 = 5 ft e´ a posic¸a˜o final do cachorro: ∆x02 = x2 − x0 = 5 ft− 0 ft = 5 ft. (c) O deslocamento final tambe´m e´ encontrado so- mando o deslocamento da primeira corrida e o deslocamento da segunda corrida: ∆x01 = x1 − x0 = 20 ft− 0 ft = 20 ft ∆x12 = x2 − x1 = 5 ft− 20 ft = −15 ft somando obtemos ∆x01 +∆x12 = (x1 − x0) + (x2 − x1) = x2 − x0 = ∆x02 logo ∆x02 = ∆x01 +∆x12 = 20 ft− 15 ft = 5 ft. 1.2 Movimento retil´ıneo uni- forme (MRU) Quando um objeto se desloca amesma quan- tidade em intervalos de tempo de igual durac¸a˜o, di- zemos que o objeto realiza um movimento retil´ıneo uniforme (MRU). Por exemplo, veja a Figura 1.3, note que por cada segundo transcorrido o objeto sempre se desloca 20 cm, isto e´ um movimento uni- forme. Figura 1.3: Movimento retil´ıneo uniforme. Velocidade Definic¸a˜o 1.2: A velocidade de um objeto define- se como a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o daquele ob- jeto em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer, e´ uma medida de quanto se desloca um objeto por unidade de tempo. Quantitativamente, a velocidade v de um objeto se determina da seguinte maneira v = ∆x ∆t (1.2) em que ∆x e´ o deslocamento do objeto no intervalo de tempo ∆t. A unidade da velocidade no SI e´ o metro por segundo (m/s ou m·s−1). Em nosso exemplo o objeto se desloca 20 cm por cada segundo transcorrido, portanto a veloci- dade do objeto sera´ 20 cm/s ou no SI 0,2 m/s. Note que a velocidade mante´m o mesmo valor indepen- dentemente do intervalo de tempo escolhido, isto e´ a caracter´ıstica principal de um MRU. A velocidade v de um objeto sempre tem o mesmo sinal que o deslocamento ∆x do objeto, devido a que o intervalo de tempo ∆t que aparece na equac¸a˜o (1.2) e´ sempre uma quantidade positivo (por definic¸a˜o, o tempo sempre aumenta). O valor absoluto da velocidade, |v|, denomina-se rapidez do objeto. 1.3 Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) 5 Exemplo 1.2: O cachorro que voceˆ estava exerci- tando no exemplo anterior correu 20 ft afastando- se de voceˆ em 1, 0 s, apanhou o graveto e voltou caminhando 15 ft em 1, 5 s. Calcule a velocidade me´dia2 do cachorro (a) na ida, (b) na volta, e (c) para o total da viagem. Soluc¸a˜o: Por definic¸a˜o, a velocidade e´ dada pela fo´rmula v = ∆x∆t . (a) Na ida temos xi = 0 ft e ti = 0 s, xf = 20 ft e tf = 1 s. Assim a velocidade fica vida = 20 ft− 0 ft 1 s− 0 s = 20 ft 1 s = 20 ft/s = 20 ft · s−1. (b) Na volta temos xi = 20 ft e ti = 1 s, xf = 5 ft e tf = 2, 5 s. Assim a velocidade fica vvolta = 5 ft− 20 ft 2, 5 s− 1 s = −15 ft 1, 5 s = −10 ft/s = −10 ft · s−1. (c) Para o total da viagem xi = 0 ft e ti = 0 s, xf = 5 ft e tf = 2, 5 s. Assim a velocidade fica vviagem = 5 ft− 0 ft 2, 5 s− 0 s = 5 ft 2, 5 s = 2 ft/s = 2 ft · s−1. A velocidade me´dia do trecho total (c) e´ menos in- formativa que a velocidade me´dia nos trechos par- ciais (a) e (b). 1.3 Movimento retil´ıneo uni- formemente acelerado (MRUA) O movimento retil´ıneo em que um objeto se desloca diferentes quantidades em intervalos de tempo iguais (veja a Figura 1.4) denomina-se mo- vimento acelerado. Logo em um movimento ace- lerado a velocidade vai adotar diferentes valores dependendo do intervalo de tempo adotado, e´ di- zer, a velocidade varia a medida que transcorre o tempo. Por exemplo, na Figura 1.4 nota-se que a pequena esfera sobre um plano inclinado vai per- correndo distaˆncia maiores a medida que aumenta o tempo, isso significa que o objeto vai ficando cada vez mais veloz (aumenta sua velocidade). Velocidade instantaˆnea 2Quando o intervalo de tempo ∆t na definic¸a˜o da velo- cidade (equac¸a˜o (1.2)) na˜o for pequeno, a velocidade recebe o nome de velocidade me´dia. Figura 1.4: Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado. Definic¸a˜o 1.3: A velocidade instantaˆnea define- se como a velocidade de um objeto em um instante de tempo dado. Para determinar a velocidade ins- tantaˆnea no tempo t, se escolhe um intervalo de tempo [t, t + ∆t], em que ∆t e´ a largura tempo- ral do intervalo, e calcula-se a velocidade usando a equac¸a˜o (1.2), logo se realiza o limite ∆t → 0 de modo que o intervalo tenha a apareˆncia pontual (instantaˆnea) de tempo. Assim, quantitativamente a velocidade instantaˆnea e´ definida como v = lim ∆t→0 ∆x ∆t = dx dt (1.3) que e´ a derivada da func¸a˜o posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo t. Para determinar a velocidade instantaˆnea (daqui em frente denominada somente como velo- cidade) sera´ necessario conhecer a func¸a˜o x = x(t) da posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo (lei hora´ria). No exemplo da Figura 1.4, notamos que os valores da posic¸a˜o seguem uma lei matema´tica em relac¸a˜o aos valores do tempo, podemos notar que cumpri-se a lei x = αt2 em que α = 10 cm/s2. Logo a velocidade no tempo t sera´ v = dx dt = d dt ( αt2 ) = 2αt que tambe´m e´ uma func¸a˜o do tempo, neste caso uma func¸a˜o linear do tempo. Logo algunos valores particulares da velocidade sa˜o: t (s) 0 1 2 3 4 v (cm/s) 0 20 40 60 80 Da tabela anterior notamos que a velocidade vai aumentando uniformemente (a mesma quanti- dade por cada unidade de tempo). Um movimento 1.4 O problema inverso 6 retil´ıneo em que a velocidade vai variando unifor- memente denomina-semovimento retil´ıneo uni- formemente acelerado (MRUA). Acelerac¸a˜o Definic¸a˜o 1.4: A acelerac¸a˜o define-se como a taxa de variac¸a˜o da velocidade em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer, e´ uma medida de quanto varia a velocidade de um objeto por unidade de tempo. Quantita- tivamente, a acelerac¸a˜o a de um objeto se define como a = ∆v ∆t (1.4) em que ∆v e´ a variac¸a˜o da velocidade do objeto no intervalo de tempo ∆t. A unidade da acelerac¸a˜o no SI e´ o metro por segundo ao quadrado (m/s2 ou m·s−2). Para o movimento apresentado na Figura 1.4, em que os valores da velocidade sa˜o apresen- tados na tabela anterior, a acelerac¸a˜o do objeto sera´ 20 cm/s2, independentemente do intervalo de tempo adotado, e´ dizer, a acelerac¸a˜o do objeto se mante´m constante. Um movimento retil´ıneo em que a acelerac¸a˜o se mante´m constante, denomina-se movimento re- til´ıneo uniformemente acelerado. Acelerac¸a˜o instantaˆnea Definic¸a˜o 1.5: Da mesma forma que para a ve- locidade instantaˆnea, para determinar a acelerac¸a˜o instantaˆnea no tempo t, se escolhe um intervalo de tempo [t, t+∆t], e calcula-se a acelerac¸a˜o usando a equac¸a˜o (1.4), logo se realiza o limite ∆t→ 0. E´ dizer, a = lim ∆t→0 ∆v ∆t = dv dt (1.5) que e´ a derivada da func¸a˜o velocidade v(t) em relac¸a˜o ao tempo t. Combinando as equac¸o˜es (1.3) e (1.5) encon- tramos a = dv dt = d dt ( dx dt ) = d2x dt2 (1.6) em que a acelerac¸a˜o de um objeto e´ a derivada segunda da func¸a˜o posic¸a˜o do objeto em relac¸a˜o ao tempo. Exerc´ıcio 1.1: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no eixo x e´ dada por x = 4 − 27t + t3, com x em metros e t em segundos. (a) Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula. (b) Existe algum instante para o qual v = 0? Exerc´ıcio 1.2: A posic¸a˜o de uma part´ıcula que se move em um eixo x e´ dada pela “lei hora´ria” x = 7, 8 + 9, 2t− 2, 1t3, com x em metros e t em segundos. Qual e´ a velo- cidade da part´ıcula em t = 3, 5 s? a velocidade e´ constante ou esta´ variando continuamente? Exerc´ıcio 1.3: Depois de dirigir uma van em uma estrada retil´ınea por 8,4 km a 70 km/h, voceˆ pa´ra por falta de gasolina. No´s 30 min seguintes voceˆ caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada ate´ chegar ao posto de gasolina mais pro´ximo. (a) Qual e´ o deslocamento total, desde o in´ıcio da viagem ate´ chegar ao posto de gasolina? (b) Qual e´ o intervalo de tempo ∆t entre o in´ıcio da viagem e o instante em que voceˆ chega ao posto? (c) Qual e´ a velocidade me´dia v¯ do in´ıcio da via- gem ate´ a chegada ao posto de gasolina? Exerc´ıcio 1.4: A posic¸a˜o de um objeto que se move ao longo de um eixo x e´ dada por x = 2t − t2 + t3, onde x esta´ em metros (m) e t em segundos (s). (a) Qual e´ o deslocamento e a velocidade me´dia do objeto para o intervalo de tempo de t = 0 s a t = 4 s? (b) Qual e´ o deslocamento e a velocidade me´dia do objeto para o intervalo de tempo de t = 4 s a t = 7 s? 1.4 O problema inversoVimos como, conhecendo a lei hora´ria de um objeto, ou seja, a func¸a˜o x = x(t), e´ poss´ıvel cal- cular a velocidade v(t) e logo a acelerac¸a˜o a(t) do objeto, para isso usando o Ca´lculo Diferencial. Pore´m, frequentemente temos de resolver o problema inverso, em que conhecendo a func¸a˜o ace- lerac¸a˜o a = a(t) de um objeto, precisamos deter- minar a velocidade e a posic¸a˜o do objeto. Para determinar a velocidade vamos partir da equac¸a˜o (1.5), escrevendo dv dt = a(t) que e´ uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem, que devemos resolver integrando ela. Integrando a equac¸a˜o anterior considerando os limites de inte- 1.5 Queda livre 7 grac¸a˜o t = 0 e t = τ , temos∫ τ 0 dv dt dt = ∫ τ 0 a(t)dt v(τ)− v(0) = ∫ τ 0 a(t)dt v(τ) = v(0) + ∫ τ 0 a(t)dt (1.7) em que v(0) e´ a velocidade inicial do objeto. A equac¸a˜o (1.7) permite encontrar a velocidade a par- tir da acelerac¸a˜o a(t) e do valor inicial da veloci- dade v(0). Uma vez determinada a velocidade, pode- mos usar novamente a te´cnica de integrac¸a˜o para determinar a posic¸a˜o de um objeto. Neste caso vamos integrar a equac¸a˜o (1.3), logo temos∫ τ 0 dx dt dt = ∫ τ 0 v(t)dt x(τ)− x(0) = ∫ τ 0 v(t)dt x(τ) = x(0) + ∫ τ 0 v(t)dt (1.8) em que x(0) e´ a posic¸a˜o inicial do objeto Lei hora´ria do MRU O MRU e´ um movimento retil´ıneo em que a velocidade se mante´m constante no tempo, logo v(t) = v0, em que v0 e´ uma quantidade constante. Usando a fo´rmula (1.8), temos x(t) = x(0) + v0 t, (1.9) logo, a lei hora´ria de um MRU e´ uma func¸a˜o linear. Lei hora´ria do MRUA Em umMRUA a acelerac¸a˜o se mante´m cons- tante, logo a(t) = a0, em que a0 e´ uma quantidade constante. Usando a fo´rmula (1.7), temos v(t) = v(0) + a0 t, (1.10) em que a velocidade e´ uma func¸a˜o linear do tempo. Para determinar a lei hora´ria usaremos a fo´rmula (1.8) conjuntamente com o resultado (1.10) para a velocidade, logo x(τ) = x(0) + ∫ τ 0 [v(0) + a0 t]dt x(τ) = x(0) + v(0) τ + a0 2 τ2 substituindo τ por t, temos x(t) = x(0) + v(0) t+ a0 2 t2 (1.11) a lei hora´ria de um MRUA e´ uma func¸a˜o quadra´tica. 1.5 Queda livre Figura 1.5: Queda livre de uma bolinha. Um objeto em queda livre e´ um exemplo t´ıpico de MRUA, cuja acelerac¸a˜o e´ aproximada- mente a = −g, em que g = 9, 8 m/s2, neste caso a direc¸a˜o de posic¸o˜es positivas e´ para cima. Seja uma bolinha liberada no ar a partir de uma altura H em relac¸a˜o ao solo e desde o repouso (velocidade inicial nulo), logo usando a equac¸a˜o (1.11) temos a lei hora´ria para este caso, x(t) = H − g 2 t2 (1.12) No momento em que a bolinha toca o solo a posic¸a˜o se anula, e´ dizer cumpri-se x(t) = 0, resolvendo esta equac¸a˜o podemos determinar a durac¸a˜o da queda t, e´ dizer, fazendo H − g 2 t2 = 0 2H g = t2 t = √ 2H g (1.13) que e´ o tempo que demora a bolinha para chegar no solo. Exemplo 1.3: Frequentemente interessa tambe´m expressar a velocidade no MRUA em func¸a˜o da posic¸a˜o x (em lugar do tempo t), mostre que esta 1.5 Queda livre 8 relac¸a˜o e´ dada como v2 = v20 + 2a(x− x0) (1.14) em que a e´ a acelerac¸a˜o. Soluc¸a˜o: A partir da fo´rmula (1.10) obtemos t = v − v0 a logo substituindo na relac¸a˜o (1.11) obtemos x = x0 + v0 v − v0 a + 1 2 a (v − v0)2 a2 x− x0 = v − v0 a [ v0 + v 2 − v0 2 ] = (v − v0)(v + v0) 2a = v2 − v20 2a v2 = v20 + 2a(x− x0). Exerc´ıcio 1.5: Um motorista freia seu carro uni- formemente, de tal maneira que a velocidade cai de 60 km/h a 30 km/h em 5 s. (a) Que distaˆncia o carro ainda percorrera´ depois disso ate´ parar? (b) E quanto tempo levara´ para percorrer essa distaˆncia adicional? Dica: utilize a fo´rmula (1.14) para determinar a distaˆncia percorrida. Exerc´ıcio 1.6: Um guepardo pode acelerar de 0 a 96 km/h em 2,0 s, enquanto um automo´vel co- mum requer 4,5 s. Calcule as acelerac¸o˜es me´dias do guepardo e do automo´vel e compare-as com a acelerac¸a˜o de queda livre, g = 9, 8 m/s2. Exerc´ıcio 1.7: Um part´ıcula se desloca ao longo de um eixo x com uma acelerac¸a˜o dada pela lei a(t) = αt onde α = 5 m/s3, e t e´ o tempo em segundos. Considere que a part´ıcula parte do repouso e da posic¸a˜o x0 = 1 m no tempo inicial t = 0 s: (a) determine a lei hora´ria x(t) e a velocidade em func¸a˜o do tempo; (b) determine a posic¸a˜o e a velocidade da part´ıcula no tempo t = 2 s; (c) determine o deslocamento, a velocidade me´dia e a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula para o inter- valo de tempo de t = 0 s ate´ t = 3 s. Exerc´ıcios adicionais (1) Exemplo 2-9 (Pag. 40 - TIPLER) (2) Exemplo 2-14 (Pag. 44 - TIPLER) (3) Problema 54 (Pag. 56 - TIPLER) (4) Problema 73 (Pag. 57 - TIPLER) (5) Problema 77 (Pag. 57 - TIPLER) Cap´ıtulo 2 Cinema´tica: movimento em um plano Neste cap´ıtulo, vamos passar do estudo de movimento retil´ıneo ao estudo de movimento num plano, que inclui muitos casos importantes, como o movimento dos proje´teis e o movimento da Terra em torno do Sol. 2.1 Descric¸a˜o em termos de coordenadas Pode-se especificar a posic¸a˜o de um objeto num plano atrave´s de dois paraˆmetros, que sa˜o suas coordenadas em relac¸a˜o a um dado referencial. Se adotarmos coordenadas cartesianas, por exemplo, a posic¸a˜o de um objeto em qualquer tempo t sera´ descrita pelo par de func¸o˜es (x(t), y(t)) em que x(t) e´ a abscissa e y(t) a ordenada do objeto no instante t (veja a Figura 2.1). x y x (t) y (t) O P(x,y) Figura 2.1: Movimento num plano. A medida que o objeto P se move ao longo da sua trajeto´ria (veja a Figura 2.1), suas projec¸o˜es sobre os eixos Ox e Oy se movem correspon- dentemente, descrevendo movimentos unidimensi- onais. Assim, podemos decompor o movimento so- bre um plano em dois movimentos unidimensionais simultaˆneos e independentes, este fato foi obser- vado pela primeira vez por Galileu e permitiu-lhe descrever corretamente o movimento dos proje´teis. Exemplo 2.1: Se um canha˜o horizontal numa torre atira paralelamente ao horizonte, na˜o impor- tando se a carga de po´lvora e´ grande ou pequena, ou se a bala caia a mil jardas de distaˆncia, ou qua- tro mil, ou seis mil; todos estes tiros levam o mesmo tempo para atingir o cha˜o, e este tempo e´ igual ao que a bala levaria para cair desde a boca do canha˜o ate´ o solo diretamente sem qualquer velocidade ini- cial. 2.2 Descric¸a˜o em termos de vetores Um objeto que realiza um movimento re- til´ıneo pode-se deslocar somente em duas direc¸o˜es, e podemos definir o deslocamento como um nu´mero real, em que um numero real positivo representa um deslocamento em uma determinada direc¸a˜o e um real negativo representa um deslocamento na direc¸a˜o contra´ria. Pore´m no caso em que um ob- jeto realize movimento sobre um plano, existe um nu´mero infinito de direc¸o˜es na qual o objeto pode- se mover, assim o sinal de um nu´mero real na˜o e´ suficiente para indicar a direc¸a˜o de deslocamento, neste caso sera´ necessa´rio introduzir um novo ente matema´tico denominado vetor. A f´ısica lida com um grande nu´mero de quantidades que possuem valor e orientac¸a˜o, e para descrever elas precisa-se de uma a´lgebra ma- tema´tica especial, que denomina-se a´lgebra veto- rial. Vetor e Escalar Definic¸a˜o 2.1: Um vetor1 e´ um ente matema´tico que possui mo´dulo (valor ou magnitude) e uma orientac¸a˜o. Os vetores se somam (combinam) se- gundo a regra do paralelogramo, que sera´ apresen- tado mais em frente. Geralmente um vetor e´ repre- 1Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia de segmentos orientados do espac¸o ou do plano. Se (A,B) e´ um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo re- presentante e´ (A,B)) sera´ indicado por −→ AB [I. de Camargo:Geometria Anal´ıtica]. 9 2.3 A´lgebra vetorial 10 sentado geometricamente mediante um segmento orientado. Uma quantidade f´ısica que seja representada por um vetor2 denomina-se quantidade vetorial, sa˜o exemplos de quantidades vetoriais, o desloca- mento, a velocidade, a acelerac¸a˜o, e a forc¸a. Uma quantidade f´ısica que seja representada por um nu´mero real denomina-se quantidade escalar ou simplesmente escalar, sa˜o exemplos de escalares, a temperatura, a pressa˜o, a energia, a massa e o tempo. 2.3 A´lgebra vetorial Adic¸a˜o de vetores A cada par de vetores ~u e ~v corresponde o vetor soma ou resultante ~u+~v, que se determina geometricamente usando a regra do paralelogramo (ou a regra do triaˆngulo), tal como me mostra na Figura 2.2. ~u + ~v ~v ~u Figura 2.2: Soma ou adic¸a˜o dos vetores ~u e ~v. Propriedades de vetores I P1 - PROPRIEDADE COMUTATIVA: a ordem em que os vetores sa˜o somados e´ irrelevante, somar ~u a ~v e´ o mesmo que somar ~v a ~u, ou seja, ~u+ ~v = ~v + ~u I P2 - PROPRIEDADE ASSOCIATIVA: quando existem mais de dois vetores podemos agrupa´-los em qualquer ordem para soma´-los. Assim, se queremos somar os vetores ~u, ~v, e ~w, podemos primeiro somar ~u e ~v e depois somar o resultado a ~w. Podemos tambe´m somar primeiro ~v e ~w e depois somar o resultado a ~u, o resultado e´ o mesmo, e´ dizer (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) 2Daqui em diante, denotaremos um vetor mediante uma seta sobre um s´ımbolo em ita´lico, por exemplo ~u indica um vetor. I P3 - EXISTEˆNCIA DO VETOR NULO: existe o vetor ~0, denominado vetor nulo, tal que satisfaz ~u+~0 = ~u para qualquer vetor ~u. I P4 - EXISTEˆNCIA DO VETOR OPOSTO: para qualquer vetor na˜o nulo ~u existe outro vetor −~u, denominado vetor oposto de ~u, tal que ~u+ (−~u) = ~0 −~u e ~u teˆm o mesmo mo´dulo, pore´m teˆm sen- tidos opostos, tal como mostra a Figura 2.3. −~u ~u Figura 2.3: Os vetores ~u e −~u teˆm o mesmo mo´dulo e sentidos opostos. I P5 - SUBTRAC¸A˜O DE VETORES: dado os vetores ~u e ~v, existe o vetor diferenc¸a de ~u com ~v denotado como “~u−~v”, e definido como a soma de ~u e o vetor oposto de ~v, e´ dizer ~u− ~v = ~u+ (−~v) O vetor diferenc¸a ~u− ~v tem a propriedade de que ao somar com ~v se simplifica a ~u. I P6 - MULTIPLICAC¸A˜O COM UM REAL: para um nu´mero real λ e para um vetor ~u se associa um novo vetor indicado por λ~u tal que: • Se λ = 0 ou ~u = ~0, enta˜o λ~u = ~0, por definic¸a˜o. • Se λ 6= 0 e ~u 6= ~0, λ~u e ~u sa˜o vetores paralelos (tem a mesma inclinac¸a˜o): (i) se λ > 0, λ~u e ~u teˆm mesmo sentido; (ii) se λ < 0, λ~u e ~u teˆm sentidos opos- tos. O mo´dulo de λ~u e´ definido como, ‖λ~u‖ = |λ| · ‖~u‖ em que o s´ımbolo “‖ ‖” denota o mo´dulo do vetor e “| |” denota valor absoluto do nu´mero real. 2.3 A´lgebra vetorial 11 Produto escalar Definic¸a˜o 2.2: Sejam ~u e ~v vetores na˜o-nulos. Chama-semedida angular entre ~u e ~v a medida φ do aˆngulo formado pelos segmentos orientados que representam esses vetores, em que esses segmen- tos orientados devem ter a mesma origem. Sobre o nu´mero φ impo˜e-se a restric¸a˜o 0 ≤ φ ≤ pi se a unidade adotada for radiano, ou 0 ≤ φ ≤ 180, se for grau. Indica-se φ por ang(~u,~v). ~u ~v φ Figura 2.4: Medida angular entre ~u e ~v. Definic¸a˜o 2.3: Produto escalar dos vetores ~u e ~v, indicado por ~u · ~v, e´ o nu´mero real tal que: (a) se ~u ou ~v e´ nulo, ~u · ~v = 0; (b) se ~u e ~v na˜o sa˜o nulos e φ e´ a medida angular entre eles, ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cosφ. Componentes de um vetor Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa. Uma te´cnica mais elegante e mais simples envolve o uso da a´lgebra, mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Os ei- xos x e y sa˜o normalmente desenhados no plano do papel, como na Figura 2.5. O eixo z e´ perpendicu- lar ao papel; vamos ignora´-lo, por agora, e tratar apenas os vetores bidimensionais. Geometricamente, a componente de um vetor sobre um eixo dado e´ a projec¸a˜o ortogonal desse vetor sobre aquele eixo. Para determinar a projec¸a˜o de um vetor sobre um eixo dado, primei- ramente fac¸a coincidir a origem da seta que repre- senta o vetor com a origem de sistema de coorde- nadas, logo trac¸e uma reta perpendicular ao eixo dado a partir da extremidade da seta, como se mos- tra na Figura 2.5. • A projec¸a˜o de um vetor em relac¸a˜o ao eixo x e´ chamada de componente x do vetor; ana- logamente, a projec¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y recebe o nome de componente y. θ ~u x y ux uy O Figura 2.5: Componentes de um vetor. • O processo de obter as componentes de um vetor e´ chamado de decomposic¸a˜o de um vetor. Sejam ux e uy as componentes x e y, res- pectivamente, do vetor ~u, tal como se mostra na Figura 2.5, logo usando trigonometria e´ poss´ıvel mostrar as seguintes relac¸o˜es ux = u cos θ uy = u sen θ } (2.1) onde θ e´ o aˆngulo que o vetor ~u faz com o semi-eixo x positivo (inclinac¸a˜o do vetor) e u e´ o mo´dulo de ~u, e´ dizer u = ‖~u‖. Logo, fazendo algumas mani- pulac¸o˜es na equac¸a˜o (2.1) determina-se as seguin- tes equac¸o˜es u = √ u2x + u 2 y e tan θ = uy ux (2.2) que permite determinar o mo´dulo e a inclinac¸a˜o (aˆngulo θ) de qualquer vetor, a partir de suas suas componentes. Exerc´ıcio 2.1: Seja ~a um vetor representado pelo segmento orientado −−→ OP , em que O e´ o origem de coordenadas, e P e´ um ponto cujas coordenadas sa˜o (-2,1). Determine o mo´dulo e a inclinac¸a˜o do vetor ~a. Exerc´ıcio 2.2: Um pequeno avia˜o decola de um aeroporto em um dia nublado e e´ avistado mais tarde a 215 km de distaˆncia, em um curso que faz um aˆngulo de 22◦ a leste do norte. A que distaˆncia a leste e ao norte do aeroporto esta´ o avia˜o no momento em que e´ avistado? Vetores unita´rios Um vetor denomina-se unita´rio se e so- mente se o vetor tiver mo´dulo igual a unidade. Um vetor unita´rio na˜o possui dimensa˜o nem unidade; sua u´nica func¸a˜o e´ especificar uma orientac¸a˜o. 2.3 A´lgebra vetorial 12 O vetor unita´rio uˆ associado a um vetor na˜o- nulo ~u e´ u´nico e determina-se a partir da seguinte fo´rmula uˆ = ~u ‖~u‖ (2.3) dado que 1/‖~u‖ > 0 enta˜o uˆ e ~u devem ter a mesma direc¸a˜o, em geral uˆ e ~u teˆm mo´dulos diferentes. Qualquer vetor unita´rio designa-se pelo s´ımbolo “ˆ ” em vez de uma seta “~ ”. Exerc´ıcio 2.3: Mostre que o versor (vetor unita´rio) definido pela equac¸a˜o (2.3) tem mo´dulo exatamente igual a unidade. Isolando ~u na equac¸a˜o (2.3) pode-se encon- trar a seguinte relac¸a˜o muito util, ~u = ‖~u‖ · uˆ que decompo˜e qualquer vetor em func¸a˜o do seu mo´dulo e sua orientac¸a˜o. • Os vetores unita´rios nas direc¸o˜es dos semi- eixos x e y positivos sa˜o designados pelos s´ımbolos iˆ e jˆ respectivamente, ou enta˜o por xˆ e yˆ, tal como se veˆ na Figura 2.6, esse veto- res unita´rios denominam-se vetores unita´rios cartesianos. y x uxiˆ uyjˆ iˆO ~u jˆ Figura 2.6: Descomposic¸a˜o de vetor. Expressa˜o a´lgebrica de um vetor Qualquer vetor sobre o plano cartesiano xy pode ser expressado em func¸a˜o dos vetores unita´rios cartesianos iˆ e jˆ. A regra do paralelo- gramo permite mostrar que o vetor ~u da Figura 2.6 pode ser expressado como: ~u = uxiˆ+ uy jˆ (2.4) em que os vetores uxiˆ e uy jˆ sa˜o denominados com- ponentes vetoriais de ~u, e os nu´meros ux e uy sa˜o as componentes escalares ou simplesmente componentes de ~u. Usando a esseˆncia da equac¸a˜o (2.4) podemos somar vetores usando suas componentes. Seja o par de vetores ~u = uxiˆ+ uy jˆ e ~v = vxiˆ+ vy jˆ logo enta˜o ~u+ ~v = (ux + vx)ˆi+ (uy + vy)jˆ (2.5) e´ dizer, para determinar as componentes do vetor soma basta somar as correspondentes componentes dos dois vetores,isto e´ verificado geometricamente na Figura 2.7 usando a regra do triaˆngulo3. O ~uuy ux ~v y x vx vy ux + vx uy + vy Figura 2.7: Componentes da soma. Da mesma forma pode-se encontrar a multi- plicac¸a˜o de um vetor por um escalar λ, λ~v = λ(vxiˆ+ vy jˆ) = λvxiˆ+ λvy jˆ (2.6) ou seja, as componentes de λ~v sa˜o λvx e λvy. Exerc´ıcio 2.4: Um explorador polar foi surpreen- dido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acam- pamento. Para chegar ao acampamento ele deve- ria caminhar 5,6 km para o norte, mas quando o tempo melhorou percebeu que na realidade tinha caminhado 7,8 km em uma direc¸a˜o 50◦ ao norte do leste. (a) Que distaˆncia e (b) em que sentido deve caminhar para voltar a` base? Exerc´ıcio 2.5: O oa´sis B esta´ 25 km a leste do oa´sis A. Partindo do oa´sis A, um camelo percorre 24 km em uma direc¸a˜o 15◦ ao sul do leste e 8,0 3A regra do triaˆngulo consiste em que para somar os ve- tores ~a e ~b por exemplo, devemos seguir os seguintes passos: (i) desenhe o vetor ~a em uma escala conveniente e no aˆngulo apropriado; (ii) desenhe o vetor ~b na mesma escala, com a origem na extremidade do vetor ~a, tambe´m no aˆngulo apropri- ado; (iii) o vetor soma ~s e´ o vetor que vai da origem de ~a a` extremidade de ~b. 2.4 Posic¸a˜o e deslocamento 13 km para o norte. A que distaˆncia o camelo esta´ do oa´sis B? Exerc´ıcio 2.6: Usando a lei dos cossenos mostre que o produto escalar dos vetores ~u = uxiˆ+ uy jˆ e ~v = vxiˆ+ vy jˆ e´ dado como ~u · ~v = uxvx + uyvy (2.7) 2.4 Posic¸a˜o e deslocamento Definic¸a˜o 2.4: A posic¸a˜o de um objeto pode ser especificada atrave´s de um vetor ~r denominado ve- tor posic¸a˜o. O vetor posic¸a˜o de um objeto e´ de- finido como ~r = xiˆ+ yjˆ (2.8) em x e y sa˜o as coordenadas cartesianas do objeto no plano xy, e iˆ e jˆ sa˜o os versores4 cartesianos. Geometricamente o vetor posic¸a˜o pode-se represen- tar mediante uma seta que comec¸a na origem de coordenadas e vai ate´ a posic¸a˜o que ocupa o objeto no plano xy, tal como pode-se ver na Figura 2.8. ~r x y O (-3 m)ˆi (2 m)jˆ Figura 2.8: Vetor posic¸a˜o ~r de um objeto que pos- sui coordenadas cartesianas (-3 m, 2 m). Por exemplo, na Figura 2.8 se mostra o vetor posic¸a˜o ~r de um objeto cujas coordenadas sa˜o (-3 m, 2 m), logo podemos escrever ~r = (−3m)ˆi+ (2m)jˆ O sinal negativo da componente-x de ~r indica que o objeto esta´ a 3 m a` esquerda do eixo y: na direc¸a˜o oposta de iˆ. O sinal positivo da componente-y in- dica que objeto esta´ a 2 m para cima do eixo x: na mesma direc¸a˜o que jˆ. Definic¸a˜o 2.5: Quando um objeto comec¸a se mo- ver, seu vetor posic¸a˜o comec¸a variar. Seja ~ri o vetor posic¸a˜o do objeto no tempo inicial ti e ~rf no tempo 4Versor e´ sinoˆnimo de vetor unita´rio. final tf , logo o vetor deslocamento ∆~r do objeto durante esse intervalo de tempo e´ definido como ∆~r = ~rf − ~ri (2.9) Da Figura 2.9 pode-se notar que quando um objeto se move, a seta que representa seu vetor posic¸a˜o gira ao redor da origem de coordenadas. x y O ~ri ~rf ∆~r Figura 2.9: Vetor deslocamento de um objeto. Suponha que um objeto se desloca de A a B e depois de B a C, tal como mostra a Figura 2.10(a). O deslocamento total ou resultante −→ AC sa- tisfaz a regra do triaˆngulo, tal como pode-se ver na Figura 2.10, isto caracteriza o deslocamento como um vetor. Assim podemos escrever −→ AC = −−→ AB + −−→ BC em que o deslocamento resultante e´ igual a soma vetorial dos dois deslocamentos sucessivos, inde- pendentemente da trajeto´ria seguida pelo objeto. A B C Deslocamento resultante Trajeto´ria real (a) (b) −−→ BC −→ AB + −−→ BC −→ AB Figura 2.10: (a) Dois deslocamentos sucessivos −−→ AB e −−→ BC; (b) soma geome´trica de dois vetores se- guindo a regra do triaˆngulo. Por exemplo, o vetor deslocamento total ~r de uma pedra que se deixa cair do topo do mastro de um navio que anda com uma certa velocidade pode ser considerado como resultante ou soma do deslocamento ~rx na direc¸a˜o horizontal (que e´ o deslocamento do navio) e o deslocamento ~ry devido a` queda livre da pedra na direc¸a˜o vertical, tal como se mostra na Figura 2.11, e´ dizer ~r = ~rx + ~ry. 2.5 Velocidade 14 ~r ~ry ~rx Figura 2.11: Soma de deslocamentos. Componentes do vetor deslocamento Sejam a posic¸a˜o inicial e a posic¸a˜o final de um objeto dadas em termos dos versores cartesia- nos ~ri = xiiˆ+ yijˆ ~rf = xf iˆ+ yf jˆ logo a partir da definic¸a˜o do deslocamento, equac¸a˜o (2.9), obtemos o deslocamento em termos dos ver- sores cartesianos ∆~r = (xf − xi)ˆi+ (yf − yi)jˆ = ∆x iˆ+∆y jˆ (2.10) em que ∆x representa o deslocamento horizontal do objeto e ∆y representa o deslocamento vertical. Exerc´ıcio 2.7: Um coelho atravessa um estacio- namento, no qual, por alguma raza˜o, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordena- das da posic¸a˜o do coelho, em metros, em func¸a˜o do tempo t, em segundos, sa˜o dadas por: x = −0, 31t2 + 7, 2t+ 28 y = 0, 22t2 − 9, 1t+ 30 (a) no instante t = 15 s, qual e´ o vetor posic¸a˜o ~r do coelho na notac¸a˜o de vetores unita´rios e na notac¸a˜o mo´dulo-aˆngulo? (b) determine o deslocamento do coelho durante o intervalo de tempo de t = 0 ate´ t = 15 s; (c) trace a trajeto´ria do coelho desde t = 0 ate´ t = 25 s. 2.5 Velocidade Definic¸a˜o 2.6: Se um objeto se move de um ponto para outro, podemos estar interessados em saber com que rapidez isso acontece. Se um objeto sofre um deslocamento ∆~r em um intervalo de tempo ∆t, definimos a velocidade ou velocidade me´dia ~v como ~v = ∆~r ∆t (2.11) Dado que o fator 1/∆t e´ um real positivo, enta˜o, notamos que a velocidade e o deslocamento sempre teˆm a mesma direc¸a˜o. Velocidade instantaˆnea Para determinar a velocidade instantaˆnea de um objeto e´ necessa´rio realizar o limite ∆t→ 0 na definic¸a˜o da velocidade, equac¸a˜o (2.11). Definic¸a˜o 2.7: A velocidade instantaˆnea ~v(t) no tempo t e´ definido como o limite ~v(t) = lim ∆t→0 ∆~r ∆t = d~r dt (2.12) em que ∆~r = ~r(t+∆t)−~r(t). E´ dizer, a velocidade instantaˆnea e´ a derivada do vetor posic¸a˜o. x y O Trajeto´ria t t +∆t ∆~r Tangente ~r(t) ~r(t +∆t) Figura 2.12: O deslocamento ∆~r de um objeto du- rante um intervalo de tempo ∆t. Quando ∆t → 0 o vetor ∆~r tende se alinhar com a reta tangente a` trajeto´ria. A Figura 2.12 mostra a trajeto´ria de um ob- jeto no plano xy, em que ~r(t) e´ posic¸a˜o do objeto no tempo t e ~r(t+∆t) no tempo t+∆t. Logo para determinar a velocidade instantaˆnea do objeto no tempo t e´ necessa´rio fazer o limite ∆t→ 0. Quando realizamos o limite ∆t→ 0, uma coisa interessante acontece: a inclinac¸a˜o do vetor deslocamento ∆~r se aproxima a` inclinac¸a˜o da reta tangente a` tra- jeto´ria do objeto no tempo t. Isto no´s permite afirmar que em geral, a direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea de um objeto e´ sempre tangente a` trajeto´ria do objeto no ponto que ocupa o objeto. Este resultado tambe´m pode ser generali- zado para o caso de um movimento no espac¸o (treˆs dimenso˜es). Componentes da velocidade Seja ~r = xiˆ+yjˆ o vetor posic¸a˜o de um objeto que se move em um plano, logo usando a equac¸a˜o 2.6 Acelerac¸a˜o 15 (2.12), podemos obter a velocidade ~v = d dt ( xiˆ+ yjˆ ) = dx dt iˆ+ dy dt jˆ (2.13) = vxiˆ+ vy jˆ em que consideramos diˆdt = ~0 e djˆdt = ~0, devido a que os versores cartesianos sa˜o vetores constante (independente do tempo). A componente-x da ve- locidade, vx, e´ a medida da rapidez com que o ob- jeto se move na direc¸a˜o do eixo x, e vy e´ a medida da rapidez com que se move na direc¸a˜o do eixo y. A Figura 2.13 mostra ovetor velocidade ~v e suas componentes vetoriais. x y O Trajeto´ria ~v Tangente vxiˆ vyjˆ Figura 2.13: A velocidade ~v de um objeto e suas componentes vetoriais. Exerc´ıcio 2.8: Determine a velocidade ~v do coe- lho do Exerc´ıcio 2.7 no instante t = 15 s. 2.6 Acelerac¸a˜o Definic¸a˜o 2.8: A acelerac¸a˜o de um objeto define-se como a taxa de variac¸a˜o da sua velocidade em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer quantitativamente ~a(t) = d~v dt (2.14) que e´ a derivada da velocidade em relac¸a˜o ao tempo. Se o mo´dulo e/ou a direc¸a˜o da velocidade variar com o tempo, enta˜o o objeto possui uma acelerac¸a˜o na˜o nula. Juntando as equac¸o˜es (2.12) e (2.14) pode- mos obter uma nova fo´rmula para a acelerac¸a˜o ~a, ~a = d2~r dt2 (2.15) A acelerac¸a˜o e´ a derivada segunda do vetor posic¸a˜o de um objeto. Componentes da acelerac¸a˜o Usando a relac¸a˜o (2.13) para a velocidade, e substituindo na equac¸a˜o (2.14), obtemos ~a = d dt (vxiˆ+ vy jˆ) = dvx dt iˆ+ dvy dt jˆ = d2x dt2 iˆ+ d2y dt2 jˆ (2.16) = axiˆ+ ay jˆ A Figura 2.14 mostra o vetor acelerac¸a˜o e suas componentes vetoriais para um objeto que se move em um plano. x y O Trajeto´ria axiˆ ayjˆ ~a Figura 2.14: A acelerac¸a˜o ~a de um objeto e suas componentes vetoriais. Exerc´ıcio 2.9: Para o coelho do Exerc´ıcio 2.7, de- termine a acelerac¸a˜o ~a no instante t = 15 s, de- termine suas componentes, seu mo´dulo e sua in- clinac¸a˜o. Exerc´ıcio 2.10: Um objeto cuja velocidade e´ ~v0 = −2ˆi + 4jˆ (em metros por segundo) em t = 0 sofre uma acelerac¸a˜o constante ~a, de mo´dulo a = 3m/s2, que faz um aˆngulo θ = 130◦ com o semi-eixo x positivo. Qual e´ a velocidade ~v do objeto em t = 5 s? 2.7 Movimento uniforme- mente acelerado Um movimento e´ uniformemente acele- rado se a acelerac¸a˜o for uniforme, e´ dizer se for uma constante (independente do tempo), assim ~a(t) = ~a (2.17) onde ~a e´ um vetor constante, tanto em mo´dulo e em direc¸a˜o. Sejam dadas as seguintes condic¸o˜es 2.8 Movimento dos proje´teis 16 iniciais: ~v(0) = ~v0 ~r(0) = ~r0 Para determinar a velocidade em func¸a˜o do tempo devemos resolver a seguinte equac¸a˜o diferencial (equac¸a˜o (2.14)) d~v dt = ~a integrando em t a partir de 0 ate´ τ , temos∫ τ 0 d~v dt dt = ∫ τ 0 ~a dt ~v(τ)− ~v(0) = ~a τ ~v(τ) = ~v0 + ~a τ onde foi considerado que ~a e´ um vetor constante e a velocidade inicial ~v(0) = ~v0. Fazendo a mu- danc¸a da varia´vel τ para t, reescrevemos a ultima equac¸a˜o, ~v(t) = ~v0 + ~a t (2.18) que e´ a velocidade de um objeto que realiza um movimento uniformemente acelerado. Agora, para encontrar a lei hora´ria vamos usar a definic¸a˜o da velocidade, equac¸a˜o (2.12), escrevendo como d~r dt = ~v usando a equac¸a˜o (2.18) para ~v e integrando a equac¸a˜o anterior novamente em t a partir de 0 ate´ τ , temos ∫ τ 0 d~r dt dt = ∫ τ 0 [~v0 + ~a t]dt ~r(τ)− ~r(0) = ~v0τ + ~a 2 τ2 ~r(τ) = ~r0 + ~v0τ + ~a 2 τ2 onde foi considerado o valor inicial da posic¸a˜o ~r(0) = ~r0. Fazendo a mudanc¸a da varia´vel τ para t, reescrevemos a ultima equac¸a˜o, ~r(t) = ~r0 + ~v0t+ ~a 2 t2 (2.19) Que e´ a lei hora´ria de um movimento uniforme- mente acelerado. Equac¸a˜o de Torricelli A partir da equac¸a˜o (2.18) notamos que o produto escalar de ~v e ~v resulta em v2 = v20 + 2~v0 · ~a t+ a2t2 v2 − v20 = 2~v0 · ~a t+ a2t2 (2.20) Por outro lado, a partir da equac¸a˜o (2.19), temos ~d = ~v0 t+ 1 2 ~a t2 ~a · ~d = ~a · ~v0 t+ 1 2 a2t2 2~a · ~d = 2~v0 · ~a t+ a2t2 (2.21) em que ~d = ~r − ~r0 e´ o vetor deslocamento. Logo comparando as equac¸o˜es (2.20) e (2.21) obtemos v2 − v20 = 2~a · ~d v2 = v20 + 2~a · ~d (2.22) esta fo´rmula que relaciona a rapidez final v e a ra- pidez inicial v0 denomina-se equac¸a˜o de Torricelli. 2.8 Movimento dos proje´teis Qualquer objeto lanc¸ado no ar com uma certa velocidade inicial denomina-se proje´til, por exemplo, uma pedra lanc¸ada no ar, uma bala dis- parada por uma arma de fogo, etc. Quando des- prezamos a resisteˆncia do ar, o movimento de um proje´til sempre acontece em um plano vertical, com uma acelerac¸a˜o constante denominada acelerac¸a˜o de queda livre ~g, e esta acelerac¸a˜o sempre aponta para baixo. Este tipo de movimento e´ chamado movimento bal´ıstico (veja a Figura 2.15). Um proje´til pode ser uma bola de teˆnis ou de pingue-pongue, mas na˜o um avia˜o ou um pato. Em muitos esportes aparecem os movimentos bal´ısticos; jogadores e te´cnicos esta˜o sempre pro- curando controlar esses movimentos para obter o ma´ximo de vantagem. x y θ ~v0 A QP ym xmO Figura 2.15: Movimento bal´ıstico. A Figura 2.15 mostra um proje´til lanc¸ado com uma velocidade inicial ~v0, a qual forma um aˆngulo θ com a horizontal. O ponto de lanc¸amento coincide com o origem do sistema de coordenadas, o eixo x e´ orientado na direc¸a˜o horizontal, e o eixo y e´ orientado na direc¸a˜o vertical (apontando para cima). Logo a acelerac¸a˜o da queda livre sera´ ~g = −gjˆ (2.23) 2.8 Movimento dos proje´teis 17 onde g = 9, 8 m/s2, e as condic¸o˜es iniciais sera˜o neste caso ~r0 = ~0, ~v0 = v0 cos θ iˆ+ v0 sen θ jˆ (2.24) em que v0 = ‖~v0‖ e´ a rapidez inicial. Substi- tuindo estas informac¸o˜es na equac¸a˜o (2.19) obte- mos a posic¸a˜o do proje´til em qualquer tempo t, ~r(t) = v0 cos θ t iˆ+ v0 sen θ t jˆ − g 2 t2 jˆ = [v0 cos θ t] iˆ+ [v0 sen θ t− g 2 t2] jˆ comparando com ~r = xiˆ + yjˆ, obtemos as coorde- nadas do proje´til em func¸a˜o do tempo t: x = v0 cos θ t ; (2.25) y = v0 sen θ t− g 2 t2 (2.26) As componentes do vetor velocidade pode-se determinar facilmente, derivando em relac¸a˜o a t as equac¸o˜es (2.25) e (2.26), respectivamente, e´ dizer: vx = dx dt = v0 cos θ; (2.27) vy = dy dt = v0 sen θ − g t (2.28) Movimento horizontal As equac¸o˜es (2.25) e (2.27) indicam que o movimento horizontal de um proje´til e´ de tipo MRU, isto e´ devido a que na˜o existe acelerac¸a˜o na direc¸a˜o horizontal, assim a componente horizontal da velocidade, vx, permanece inalterada. Movimento vertical As equac¸o˜es (2.26) e (2.28) indicam que o movimento vertical de um proje´til e´ de tipo MRUA, isto devido a que na direc¸a˜o vertical existe uma acelerac¸a˜o de valor constante g. A compo- nente vertical da velocidade, vy, e´ uma func¸a˜o li- near do tempo, inicialmente ela tem um valor posi- tivo (o proje´til subi), logo seu valor vai diminuindo continuamente ate´ se anular (o proje´til alcanc¸a a altura ma´xima), em seguida muda de sinal para valores negativos (o proje´til cai). A ordenada do proje´til, y, e´ uma func¸a˜o quadra´tica do tempo, ca- racter´ıstica de um MRUA. Equac¸a˜o da trajeto´ria do movimento bal´ıstico Podemos obter a equac¸a˜o do caminho per- corrido (trajeto´ria) pelo proje´til “eliminando” a varia´vel tempo t nas equac¸o˜es (2.25) e (2.26). E´ dizer, isolando t na equac¸a˜o (2.25), obtemos t = x v0 cos θ substituindo este resultado na equac¸a˜o (2.26) e de- pois de algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, obtemos y = tanθ · x− g 2v20 cos 2 θ · x2 (2.29) Dado que g, θ e v0 sa˜o constantes, a equac¸a˜o (2.29) representa a equac¸a˜o de uma para´bola, e´ di- zer, a trajeto´ria de um movimento bal´ıstico e´ uma para´bola, tal como se mostra na Figura 2.15. Altura ma´xima Conforme mostra a Figura 2.15, a altura ma´xima ym atingido pelo proje´til corresponde ao instante ts em que a componente vertical da velo- cidade se anula, ou seja a partir da equac¸a˜o (2.28) obtemos ts = v0 sen θ g (2.30) Em que ts e´ o tempo que leva o proje´til para atingir a altura ma´xima e denomina-se tempo de subida. Agora a altura ma´xima sera´ ym = y(ts) ym = v0sen θ · v0sen θ g − 1 2g · v 2 0sen 2θ g2 ym = (v0 sen θ) 2 2g (2.31) em que foi usado a equac¸a˜o (2.26). O fator v0 sen θ e´ a componente vertical da velocidade inicial, logo a altura ma´xima depende somente da componente vertical da velocidade inicial e da acelerac¸a˜o da queda livre g. Exemplo 2.2: Quanto tempo o proje´til leva para atingir o solo no ponto A? (veja a Figura 2.15) Soluc¸a˜o: Quando o proje´til atinge o solo sua orde- nada se anula, e´ dizer, y(tv) = 0 em que tv e´ o tempo que o proje´til leva para atin- gir o solo, e denomina-se tempo de voo. Para determinar o tempo de voo precisamos resolver a equac¸a˜o anterior, e´ dizer, y(tv) = 0 v0 sen θ tv − g 2 t2v = 0 tv · (v0 sen θ − g 2 tv) = 0 em que foi usado a equac¸a˜o (2.26). A equac¸a˜o anterior e´ uma equac¸a˜o quadra´tica, que tem duas 2.8 Movimento dos proje´teis 18 soluc¸o˜es tv = 0, e tv = 2v0 sen θ g a primeira soluc¸a˜o corresponde ao ponto de lanc¸amento, em que tambe´m a ordenada do proje´til se anula, pore´m esse resultado na˜o e´ de interesse neste caso. Logo a segunda soluc¸a˜o deve ser o tempo de voo ou tempo que o proje´til leva para atingir o solo, e´ dizer tv = 2v0 sen θ g (2.32) Neste caso o tempo de voo e´ duas vezes o tempo de subida, e´ dizer tv = 2 ts, o que poder´ıamos ter inferido pela simetria da trajeto´ria em relac¸a˜o a reta x = xm. Exemplo 2.3: Com que velocidade o proje´til atinge o solo? Soluc¸a˜o: Basta fazer t = tv nas equac¸o˜es (2.27) e (2.28), e´ dizer: vx = v0 cos θ; vy = v0 sen θ − gtv = −v0 sen θ. Logo a velocidade com que atinge o solo e´ ~v = v0 cos θiˆ− v0 sen θjˆ e a rapidez sera´ v = v0 e´ dizer, a rapidez do proje´til no momento em que atinge o solo e´ exatamente igual a rapidez inicial do proje´til. Da mesma forma podemos mostrar que as rapidezes nos ponto P e Q na Figura 2.15 que esta˜o na mesma linha horizontal (y = constante) sa˜o iguais. Alcance horizontal O alcance horizontal A de um proje´til e´ de- finido como a distaˆncia horizontal percorrida pelo proje´til ate´ atingir o solo (veja a Figura 2.15). O alcance horizontal e´ igual a abscissa do proje´til no tempo t = tv, e´ dizer, A = x(tv) logo usando a equac¸a˜o (2.25), obtemos A = v0 cos θ · 2v0sen θ g = v20 g sen 2θ (2.33) • Atenc¸a˜o: a equac¸a˜o (2.33) na˜o fornece o al- cance horizontal do proje´til quando a altura de lanc¸amento e a altura final sejam diferentes. O alcance horizontal atinge o valor ma´ximo para sen 2θ = 1, que corresponde a 2θ = 90◦ ou θ = 45◦. Novamente, este resultado na˜o e´ va´lido quando a altura de lanc¸amento e´ diferente da altura final, e´ dizer, na˜o e´ va´lido para o arremesso de peso, no lanc¸amento de disco, ou em lanc¸amento livre em basquetebol. Exerc´ıcio 2.11: Um objeto e´ lanc¸ado de uma al- tura H em relac¸a˜o ao solo, com uma rapidez ini- cial v0 e em uma direc¸a˜o θ acima da horizontal. Ignorando a resisteˆncia do ar em todos os casos, determine: (a) a lei hora´ria do objeto; (b) a velocidade em func¸a˜o do tempo; (c) o tempo de voo; (d) o alcance horizontal; (e) a altura ma´xima em relac¸a˜o ao solo. Exerc´ıcio 2.12: Um helico´ptero larga um pacote de suprimentos para v´ıtimas de uma inundac¸a˜o, que esta˜o dentro de um bote em um lago cheio. Quando o pacote e´ largado, o helico´ptero esta´ a 100 m diretamente acima do bote e voando com uma velocidade de 25,0 m/s a um aˆngulo de 36, 9◦ acima da horizontal: (a) quanto tempo o pacote fica no ar? (b) a que distaˆncia do bote o pacote cai? (c) se o helico´ptero continua com a velocidade constante, onde estara´ o helico´ptero quando o pacote atingir o lago? (d) encontre o tempo t1 para o pacote atingir sua altura ma´xima h acima da a´gua, e encontre essa altura ma´xima. Ignore a resisteˆncia do ar em todos os casos. Exerc´ıcio 2.13: Um avia˜o de salvamento voa ho- rizontalmente a 198 km/h (= 55,0 m/s), a uma altura constante de 500 m, rumo a um ponto di- retamente acima da v´ıtima de um naufra´gio, para deixar cair uma balsa: (a) qual deve ser o aˆngulo φ entre a linha de vi- sada do piloto para a v´ıtima e a horizontal no instante em que o piloto deixa cair a balsa? (b) no momento em que a balsa atinge a a`gua, qual e´ sua velocidade ~v? E qual e´ sua rapidez? Qual e´ a inclinac¸a˜o da direc¸a˜o do movimento? Exerc´ıcio 2.14: Um objeto, movendo-se a` veloci- dade de 4,0 m/s no sentido +x, tem uma acelerac¸a˜o de 3,0 m/s2 no sentido +y, durante 2,0 s. Encontre a rapidez final do objeto. 2.8 Movimento dos proje´teis 19 Exerc´ıcio 2.15: Um objeto tem uma acelerac¸a˜o constante ~a= (6,0 m/s2)ˆi+ (4,0 m/s2)jˆ. No tempo t = 0, a velocidade e´ zero e o vetor deslocamento e´ ~r0 = (10 m)ˆi: (a) encontre os vetores velocidade e deslocamento em func¸a˜o do tempo t; (b) encontre a equac¸a˜o da trajeto´ria do objeto no plano Oxy e esboce a trajeto´ria. Cap´ıtulo 3 Dinaˆmica: leis de Newton Nos cap´ıtulos anteriores discutimos as ca- racter´ısticas de um movimento sem nos preocupar das razo˜es pelas quais as part´ıculas se movem de uma determinada forma, pore´m neste cap´ıtulo es- tudaremos essas razo˜es. Esta parte da mecaˆnica que se dedica ao estudo das causas do movimento denomina-se dinaˆmica. Forc¸a Nossa ide´ia intuitiva de forc¸a esta´ relacio- nada com o esforc¸o muscular que realizamos para alterar o estado de movimento de um objeto, por exemplo, para colocar um objeto em movimento e´ necessa´rio aplicar um puxa˜o sobre o objeto (es- forc¸o muscular), e para frear um objeto tambe´m e´ necessa´rio aplicar um empurra˜o sobre o objeto (esforc¸o muscular). Definic¸a˜o 3.1: Uma forc¸a, no sentido mais sim- ples, e´ um empurra˜o ou puxa˜o. Sua origem pode ser gravitacional, ele´trica, magne´tica ou simples- mente um esforc¸o muscular. O instrumento de medida da forc¸a denomina-se dinamoˆmetro. A unidade no SI da forc¸a e´ newton (N). A forc¸a e´ uma quantidade f´ısica vetorial, pois puxo˜es ou em- purro˜es em diferentes direc¸o˜es produzem diferentes movimentos. Quando mais de uma forc¸a atuar sobre um objeto, e´ necessa´rio definir a forc¸a resultante, que define-se como a combinac¸a˜o (soma) dessas forc¸as. 3.1 Leis de Newton Isaac Newton (1642-1727), em seu monu- mental trabalho: Os Princ´ıpios Matema´ticos da Filosofia Natural, publicado em 1687, formulou treˆs axiomas ou leis do movimento 1. Essas treˆs leis sa˜o a base da dinaˆmica. Primeira lei de Newton (lei da ine´rcia) 1Um axioma e´ uma premissa que, por considerar-se evi- dente, e´ aceita sem comprovac¸a˜o. Primeira lei de Newton: Todo objeto per- manece em seu estado de repouso ou de rapidez uniforme em uma linha reta (MRU) a menos que uma forc¸a resultante na˜o nula seja exercida sobre ele. Segundo Aristo´teles (384 a.C. - 322 a.C.), tanto para colocar um corpo em movimento, como para manteˆ-lo em movimento, e´ necessa´rio a ac¸a˜o de uma forc¸a. Isto parece concordar com nossa ex- perieˆncia dia´ria. Se voceˆ faz um disco de metal deslizar em uma superf´ıcie de madeira, a veloci- dade dele realmente diminui ate´ parar. Para que continue a deslizar indefinidamente deve ser em- purrado ou puxado continuamente. Pore´m, se o disco for lanc¸ado em uma pista de patinac¸a˜o, per- correra´ uma distaˆncia bem maior antes de parar. E´ poss´ıvel imaginar superf´ıcies mais escorregadias, nas quais o disco percorreria distaˆncias ainda mai- ores. No limite, podemos pensar em uma superf´ıcie extremamente escorregadia, na qual o disco na˜o di- minuiria de velocidade. Podemos, de fato, chegar muito perto dessa situac¸a˜o fazendo o disco deslizar em uma mesa de ar, na qual o disco e´ sustentado por uma corrente de ar. Massa A primeira lei de Newton diz que qualquer objeto tende permanecer em repouso a menos que uma forc¸a seja exercida sobre ele, emoutras pala- vras, um objeto pode ser colocado em movimento se e somente se for aplicado uma forc¸a sobre ele. Nossa experieˆncia cotidiana mostra que existem objetos mais dif´ıceis de ser colocado em movimento e outros mais fa´ceis. Por exemplo, se voceˆ chutar uma bola de futebol, ela entra em movimento com facilidade, agora, se voceˆ chutar uma bola de boli- che sera´ mais dif´ıcil de ela entrar em movimento, o que e´ evidenciado pelos seus dedos do pe´ doloridos depois que voceˆ chutar a bola de boliche. A grandeza f´ısica associada a dificuldade de colocar um objeto em movimento denomina-se inercia. A inercia e´ uma propriedade intr´ınseca de um objeto, e´ dizer, na˜o depende de nenhum fator externo. 20 3.1 Leis de Newton 21 Definic¸a˜o 3.2: A massa e´ definida como a quan- tidade de mate´ria num objeto. E´ tambe´m a medida da ine´rcia ou lentida˜o com que um objeto responde a qualquer esforc¸o feito para moveˆ-lo ou alterar de algum modo o seu estado de movimento. O instru- mento de medida da massa denomina-se balanc¸a. A unidade no SI da massa e´ quilograma2(kg). A massa e´ uma quantidade f´ısica escalar. Segunda lei de Newton Segunda lei de Newton: A acelerac¸a˜o de um objeto e´ diretamente proporcional a` forc¸a resultante atuando sobre ele; tem o mesmo sentido que essa forc¸a e e´ inversamente proporcional a` massa do objeto. Quantitativamente na forma escalar e na forma ve- torial, respectivamente: a = Fres m (3.1) ~a = ~Fres m (3.2) em que ~a e´ a acelerac¸a˜o que sofre o objeto, m e´ a massa do objeto, e ~Fres e´ a forc¸a resultante que age sobre o objeto. As equac¸o˜es (3.1) e (3.2) sa˜o simples, pore´m devem ser usadas com cuidado para na˜o encon- trar resultados incoherentes. Primeiro, devemos escolher o objeto cuja acelerac¸a˜o sera´ determinada, logo ~Fres deve ser a soma vetorial de todas as forc¸as que agem sobre esse objeto, somente as forc¸as que agem sobre esse objeto. Se sobre o objeto esta˜o agindo n forc¸as, enta˜o ~Fres = n∑ i=1 ~Fi = ~F1 + ~F2 + · · ·+ ~Fn Uma consequeˆncia da equac¸a˜o (3.2) e´ que se a forc¸a resultante que age sobre um objeto e´ nula, enta˜o a acelerac¸a˜o do corpo tambe´m e´ nula (~a = ~0). Se o corpo esta´ em repouso, permanece em repouso; se esta´ em movimento, continua a se mover com velocidade constante. Naquele caso, em que as forc¸as que agem sobre um objeto se com- pensam ou sa˜o nulas, dizemos que o objeto esta´ em equil´ıbrio. Logo podemos escrever a condic¸a˜o de equil´ıbrio de um objeto como ~Fres = ~0∑ ~F = ~0 (3.3) 2Massa de um cilindro feito de uma liga de platina-ir´ıdio que se encontra guardada em Biroˆ Internacional de Pesos e Medidas em Se`vres, na Franc¸a. em que o somato´ria se estende a todas as forc¸as que agem sobre o objeto. A segunda lei de Newton no´s permite definir a unidade da forc¸a, newton (N) como: 1 N = 1 kg ·m/s2 Terceira lei de Newton Terceira lei de Newton: Sempre que um objeto exerce uma forc¸a sobre outro objeto, este exerce uma forc¸a igual e oposta sobre o primeiro. Por exemplo, se voceˆ apoia um livro L em uma caixa C, tal como se mostra na Figura 3.1(a), o livro e a caixa interagem3: a caixa exerce uma forc¸a horizontal ~FLC sobre o livro e o livro tambe´m exerce uma forc¸a horizontal ~FCL sobre a caixa, pore´m esta ultima forc¸a e´ oposta ao primeiro. Esse par de forc¸as sa˜o mostradas na Figura 3.1(b), em que tanto o livro e a caixa sa˜o representado como um ponto. ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� L C (b) (a) Livro L Caixa C ~FLC ~FCL Figura 3.1: (a) O livro L esta´ apoiado na caixa C. (b) As forc¸as ~FLC (forc¸a da caixa sobre o livro) e ~FCL (forc¸a do livro sobre a caixa) teˆm o mesmo mo´dulo e sentidos opostos. Para o exemplo da Figura 3.1, podemos es- crever FLC = FCL ou na forma vetorial ~FLC = −~FCL onde o sinal negativo indica que as forc¸as teˆm sen- tidos opostos. O livro e a caixa esta˜o em repouso, mas a terceira lei seria va´lida se estivessem em mo- vimento uniforme ou mesmo acelerado. 3Dizemos que dois corpos interagem quando empurram ou puxam um ao outro, ou seja, quando cada um exerce uma forc¸a sobre o outro. 3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton 22 As forc¸as que existem entre dois objetos que interagem sa˜o denominados par de forc¸as da ter- ceira lei. Exemplo 3.1: Como outro exemplo, vamos exami- nar os pares de forc¸as da terceira lei que existem no sistema da Figura 3.2(a), constitu´ıdo por uma abo´bora, uma mesa e a Terra. A abo´bora interage com a mesa e esta com a Terra (desta vez, existem treˆs corpos cujas interac¸o˜es devemos estudar). ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� (a) ~FAM (forc¸a normal da mesa) (b) Abo´bora A Mesa M Terra T ~FAT (forc¸a gravitacional) Abo´bora ~FAT ~FTA Terra (c) (d) ~FMA ~FAM Figura 3.2: (a) Uma abo´bora esta´ em repouso so- bre uma mesa na superf´ıcie da Terra. (b) As forc¸as que agem sobre a abo´bora sa˜o ~FAM e ~FAT . (c) Par de forc¸as da terceira lei para a interac¸a˜o abo´bora- Terra. (d) Par de forc¸as da terceira lei para a in- terac¸a˜o abo´bora-mesa. Soluc¸a˜o: A Figura 3.2(b) mostra as forc¸as que agem sobre a abo´bora: a forc¸a ~FAM que a mesa exerce sobre a abo´bora e a forc¸a ~FAT a Terra exerce sobre a abo´bora (forc¸a gravitacional). Essas for- mam um par de forc¸as da terceira lei? Na˜o, pois sa˜o forc¸as que atuam sobre um mesmo corpo, a abo´bora, e na˜o sobre os dois corpos que interagem. Para encontrar um par de terceira lei pre- cisamos nos concentrar na˜o na abo´bora, mas na interac¸a˜o entre a abo´bora e outro corpo. Na in- terac¸a˜o abo´bora-Terra, tal como mostra a Figura 3.2(c), a Terra atrai a abo´bora com uma forc¸a gra- vitacional ~FAT e a abo´bora atrai a Terra com uma forc¸a gravitacional ~FTA. Essas forc¸as formam um par de forc¸as da terceira lei? Sim, porque as forc¸as atuam sobre os dois corpos que interagem e a forc¸a a que um esta´ submetido e´ causada pelo outro, as- sim pela terceira lei de Newton ~FAT = −~FTA A Figura 3.2(d) mostra a interac¸a˜o abo´bora- mesa, a forc¸a da mesa sobre a abo´bora e´ ~FAM e a forc¸a da abo´bora sobre a mesa e´ ~FMA. Essas forc¸as tambe´m formam um par de forc¸as da terceira lei e, portanto, ~FAM = −~FMA 3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton Diagrama de corpo livre (DCL) Para resolver problemas que envolve a se- gunda lei de Newton frequentemente desenhamos um diagrama de corpo livre, que consisteem mostrar somente aquele corpo de interesse, se- guindo o seguinte roteiro. (i) Primeiro, vamos desenhar um ponto geome´trico que representa o corpo de interesse, logo desenhamos as setas que repre- sentam as forc¸as que agem sobre o corpo, as setas devem ter origem no ponto geome´trico que representa o corpo. (ii) Segundo, desenhamos um sistema de coorde- nadas apropriadamente, e usualmente dese- nhamos a acelerac¸a˜o do corpo mediante outra seta de outro cor ou de outro tipo. Forc¸a externa e forc¸a interna Um sistema e´ formado por um ou mais cor- pos, qualquer forc¸a que sofre um corpo do sistema devido a um agente fora do sistema e´ chamada de forc¸a externa. A forc¸a que sofre um corpo devido a outro corpo que pertence ao sistema denomina-se forc¸a interna. Exerc´ıcio 3.1: A Figura 3.3 mostra duas forc¸as horizontais atuando em um bloco de massa m = 1 kg apoiado em um piso sem atrito. Se uma terceira forc¸a horizontal ~F3 tambe´m esta´ agindo sobre o bloco, determine o mo´dulo e a orientac¸a˜o de ~F3 se o bloco esta´: (a) em repouso; (b) se movendo para a esquerda com uma veloci- dade constante de 5 m/s; (c) se movendo com uma acelerac¸a˜o constante de 2 m/s2. (d) se movendo com uma acelerac¸a˜o constante de -2 m/s2. 3.3 Algumas forc¸as especiais 23 3 N 5 N Figura 3.3: Bloco apoiado em um piso sem atrito. Exerc´ıcio 3.2: Nas Figuras 3.4, uma ou duas forc¸as agem sobre um disco meta´lico que se move sobre o gelo sem atrito ao longo do eixo x, em um movimento unidimensional. A massa do disco e´ m = 0, 20 kg. As forc¸as ~F1 e ~F2 atuam ao longo do eixo x e teˆm mo´dulos F1 = 4, 0 N e F2 = 2, 0 N. A forc¸a ~F3 faz um aˆngulo θ = 30 o com o eixo x e tem um mo´dulo F3 = 1, 0 N. Qual e´ a acelerac¸a˜o do disco em cada situac¸a˜o? (a) ~F1 A B C ~F1 x Disco x ~F1~F2 x ~F2 θ x~F3 x ~F1 ~F2 (b) (c) (f) x θ (d) (e) ~F2 ~F3 Figura 3.4: (a)-(c) Em treˆs situac¸o˜es, forc¸as atuam sobre um disco que se move ao longo do eixo x. (d)- (f) Diagramas de corpo livre. Exerc´ıcio 3.3: A Figura 3.5 mostra a vista su- perior de uma lata de biscoitos de 2,0 kg que e´ acelerada a 3,0 m/s2 na orientac¸a˜o definida por ~a, em uma superf´ıcie horizontal sem atrito. A ace- lerac¸a˜o e´ causada por treˆs forc¸as horizontais, das quais apenas duas sa˜o mostradas: ~F1, de mo´dulo 10 N, e ~F2, de mo´dulo 20 N. Determine a terceira forc¸a, ~F3. Qual e´ o mo´dulo e a orientac¸a˜o desta forc¸a? 3.3 Algumas forc¸as especiais Forc¸a gravitacional Qualquer objeto colocado nas proximidades de nosso planeta Terra sofre uma forc¸a atrativa, o que causa que todos os objetos tendem cair na direc¸a˜o do centro da Terra (verticalmente para baixo). Essa forc¸a denomina-se forc¸a gravitacio- nal ~Fg, que e´ devido a presenc¸a da Terra. Esse tipo de forc¸a age a distaˆncia, e´ dizer o objeto na˜o precisa estar em contato com a Terra para sofrer a forc¸a da gravidade. x y ~F1 y (a) (b) ~F2 ~a 50◦ 30◦ −~F2 m~a ~F3 −~F1 Figura 3.5: (a) Vista superior de duas das treˆs forc¸as que agem sobre uma lata de biscoitos, pro- duzindo uma acelerac¸a˜o ~a, ~F3 na˜o e´ mostrada. (b) Um arranjo de vetores m~a, −~F1 e −~F2 para deter- minar a forc¸a ~F3. Exemplo 3.2: Determine a forc¸a gravitacional que sofre um corpo de massa “m”, por simplicidade, considere que o corpo esta´ em queda livre com ace- lerac¸a˜o g. Soluc¸a˜o: Se desprezarmos os efeitos da resisteˆncia do ar a u´nica forc¸a que age sobre o corpo e´ a forc¸a gravitacional ~Fg. Logo a forc¸a resultante sera´ igual a forc¸a gravitacional, enta˜o usando a segunda lei de Newton podemos encontrar uma relac¸a˜o entre a forc¸a gravitacional e a acelerac¸a˜o de queda livre g. x y ~a ~Fg Terra Figura 3.6: Diagrama de corpo livre. Fazendo o diagrama de corpo livre, tal como mostra a Figura 3.6, e usando a segunda lei de Newton (equac¸a˜o (3.1)), temos g = Fg m mg = Fg Fg = mg (3.4) a forc¸a gravitacional sobre um corpo e´ proporcio- 3.3 Algumas forc¸as especiais 24 nal a sua massa. A forc¸a gravitacional na forma vetorial sera´ ~Fg = −mgjˆ o sinal negativo indica que a forc¸a gravitacional sempre aponta verticalmente para baixo. Essa mesma forc¸a gravitacional Fg = mg age sobre o corpo de massammesmo quando na˜o esteja em queda livre, por exemplo, quando se encontra em repouso sobre uma mesa ou movendo-se sobre a mesa. A forc¸a gravitacional nunca se anula, para que a forc¸a gravitacional desaparec¸a, a Terra teria que desaparecer. Exerc´ıcio 3.4: Se a forc¸a gravitacional sobre um objeto e´ proporcional a sua massa, por que um ob- jeto de maior massa na˜o cai com maior acelerac¸a˜o que um objeto de menor massa? Peso Definic¸a˜o 3.3: O peso P define-se como a forc¸a sobre um objeto devido a` gravidade, quantitativa- mente define-se como o mo´dulo da forc¸a gravitaci- onal que age sobre o objeto, e´ dizer, P = mg (3.5) O peso de um objeto e´ proporcional a sua massa, por isso, massa e peso podem com frequeˆncia ser trocados um pelo outro. Ale´m disso, massa e peso a`s vezes sa˜o confundidos porque e´ costumeiro medir a quantidade de mate´ria nas coisas (massa) por meio da atrac¸a˜o gravitacional da Terra (peso). O peso de um objeto na˜o e´ equivalente a sua massa. Se voceˆ levar um objeto para um local onde o valor de g e´ diferente, o valor do seu peso mudara´, pore´m sua massa continuara´ a mesma, isto devido a que a massa e´ uma propriedade intr´ınseca de um objeto, diferentemente do peso. Por exemplo, o peso de uma bola de boliche de massa 7,2 kg e´ apropriadamente 71 N na Terra, mas apenas 12 N na Lua, pois o valor da acelerac¸a˜o de queda livre na Lua e´ apenas g = 1,6 m/s2. Pore´m, a massa e´ a mesma na Terra e na Lua. Forc¸a normal Se voceˆ ficar em pe´ em um colcha˜o, a Terra puxara´ voceˆ para baixo, mas voceˆ permanecera´ em repouso. Isso acontece porque o colcha˜o se deforma sob o seu pe´ e empurra voceˆ para cima. Da mesma forma, se voceˆ esta´ sobre um piso, ele se deforma (ainda que imperceptivel) e o empurra para cima. A forc¸a exercido pelo colcha˜o ou pelo piso sobre o pe´ de voceˆ denomina-se forc¸a normal e denota-se por ~FN . O nome vem do termo matema´tico nor- mal, que significa perpendicular. A forc¸a que o piso ou colcha˜o exerce sobre o pe´ de voceˆ e´ perpen- dicular ao piso. Definic¸a˜o 3.4: Quando um corpo exerce uma forc¸a sobre uma superf´ıcie, a superf´ıcie se deforma, ainda que a superf´ıcie seja aparentemente r´ıgida. Imediatamente depois que comec¸ar a deformac¸a˜o da superf´ıcie, a superf´ıcie comec¸a exercer uma forc¸a sobre o corpo, a componente normal ou perpendi- cular desta forc¸a define-se como a forc¸a normal e denota-se por ~FN , e a componente tangencial re- cebe o nome de forc¸a de atrito. Exemplo 3.3: A Figura 3.7(a) mostra um bloco de massa “m” que pressiona uma mesa para baixo, isto devido a forc¸a gravitacional ~Fg que sofre o bloco. Determine a forc¸a normal sobre o bloco. x Bloco y ~Fg ~FN (b)(a) Bloco Forc¸a normal ~FN ~Fg Figura 3.7: (a) Um bloco que repousa sobre uma mesa recebe uma forc¸a normal ~FN perpendicular a` superf´ıcie da mesa. (b) Diagrama de corpo livre do bloco. Soluc¸a˜o: A mesa empurra o bloco para cima com a forc¸a normal ~FN . A Figura 3.7(b) mostra o DCL do bloco, as forc¸as ~Fg e ~FN sa˜o as u´nicas forc¸as que atuam sobre o bloco, e ambas sa˜o verticais. Logo, a forc¸a resultante sera´: ~Fres = (FN − Fg)jˆ em que jˆ e´ um versor que aponta verticalmente para cima. Substituindo na segunda lei de Newton, temos ~a = (FN − Fg)jˆ/m de onde reconhecemos que ax = 0 e ay = (FN − Fg)/m, logo FN = may + Fg Dado que Fg = mg, Finalmente obtemos a forc¸a normal FN = m(ay + g) (3.6) em que ay e´ a acelerac¸a˜o vertical
Compartilhar