apostila-fisica 1 COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS( BASE DO LIVRO TIPLER 6 Edição)

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Universidade Federal do Para´
Campus Universita´rio de Tucuru´ı
Faculdade de Engenharia Sanita´ria e Ambiental
Apostila de FI´SICA FUNDAMENTAL I
Prof. Ce´sar Juan
Baseada nos livros:
© D. Halliday & R. Resnick & J. Walker, Fundamentos de
F´ısica, Vol. 1, 8ed., LTC (2008);
© P.A. Tipler & G. Mosca, F´ısica para Cientistas e Engenhei-
ros, Vol. 1, 6ed., LTC (2009);
© Serway & Jewett, Physics for Scientists and Engineers, 8ed,
Brooks/Cole (2010);
© H.M. Nussenzveig, Curso de F´ısica Ba´sica, Vol. 1, 4ed.,
Edgard Blucher (2002);
© P.G. Hewitt, F´ısica Conceitual, 12ed., Bookman(2015).
Tucuru´ı - Para´
2018
i
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
1 Cinema´tica: movimento retil´ıneo 3
1.1 Movimento Retil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Movimento retil´ıneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 O problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Cinema´tica: movimento em um plano 9
2.1 Descric¸a˜o em termos de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Descric¸a˜o em termos de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 A´lgebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Posic¸a˜o e deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Movimento uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Movimento dos proje´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Dinaˆmica: leis de Newton 20
3.1 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Algumas forc¸as especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Trabalho e energia 28
4.1 Energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Teorema trabalho-energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Trabalho e energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Teorema de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ii
5 Momentum e coliso˜es 33
5.1 Conservac¸a˜o do momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Coliso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Sistema de part´ıculas e rotac¸o˜es 36
6.1 O centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 O momentum de um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii
Introduc¸a˜o
Como todas as outras cieˆncias, a F´ısica1 e´
baseada em observac¸o˜es experimentais e medic¸o˜es
quantitativas. O objetivo principal da f´ısica e´ iden-
tificar um nu´mero limitado de leis fundamentais
que governam os fenoˆmenos naturais e usar elas
para desenvolver teorias que possam predecir o re-
sultado dos futuros experimentos. Para desenvol-
ver uma teoria e´ necessa´rio o uso da matema´tica,
ferramenta que fornece uma ponte entre a teoria e
o experimento.
Atualmente, a f´ısica e´ uma cieˆncia com di-
versas ramificac¸o˜es. Por exemplo, a f´ısica cla´ssica
e´ um ramo que estuda os princ´ıpios da mecaˆnica
cla´ssica, a termodinaˆmica, a o´tica, e o eletromag-
netismo desenvolvido antes de 1900.
Isaac Newton foi o primeiro cientista em
formular os princ´ıpios da mecaˆnica cla´ssica, e foi
tambe´m um dos criadores do ca´lculo infinitesimal
(atualmente conhecido como ca´lculo), ferramenta
que foi usada para desenvolver sua teoria.
Medidas e unidades
Uma lei f´ısica mostra uma relac¸a˜o entre duas
ou mais grandezas f´ısicas2.
Medir uma grandeza f´ısica significa compa-
rar esta grandeza com algum padra˜o (ou unidade)
precisamente definido, para essa grandeza. Por
exemplo, para medir a distaˆncia entre dois pontos,
precisamos de uma unidade de distaˆncia, como a
polegada, o metro, ou o quiloˆmetro. A afirmac¸a˜o
de que uma certa distaˆncia equivale a 25 metros
significa que ela e´ 25 vezes o comprimento da uni-
dade denominada metro.
O sistema internacional de unidades
Em f´ısica, e´ importante utilizar um conjunto
universal de unidades. Em 1960, um comiteˆ inter-
nacional estabeleceu um conjunto de unidades para
a comunidade cient´ıfica, chamado de SI (Syste`me
International).
Definic¸a˜o 1: O Tempo e´ uma grandeza f´ısica as-
sociada ao correto sequenciamento dos fenoˆmenos
naturais (ou eventos), mediante a ordem de
1Do grego antigo physis que significa natureza.
2Denota-se grandeza f´ısica a qualquer atributo da natu-
reza que seja mensura´vel.
ocorreˆncia. Desta forma, o tempo nos permite de-
terminar se um evento aconteceu antes, ou simulta-
neamente, ou depois que outro evento de refereˆncia.
O tempo tambe´m nos permite medir a
durac¸a˜o de um evento, o que permite determinar
se um evento e´ mais, ou igual ou menos demorado
que outro evento de refereˆncia.
Qualquer instrumento que permita medir
o tempo denomina-se cronoˆmetro ou relo´gio. Me-
dir o tempo significa comparar a durac¸a˜o de um
evento com a durac¸a˜o de outro evento considerado
unidade, essa unidade no SI e´ o segundo (s).
Historicamente, o segundo foi definido em
termos da rotac¸a˜o da Terra, e era igual a
(1/60)(1/60)(1/24) do dia solar me´dio. No en-
tanto, os cientistas observaram que a taxa de
rotac¸a˜o da Terra esta´ gradualmente diminuindo,
por esta raza˜o, atualmente, o segundo e´ definido
em termos de uma frequeˆncia caracter´ıstica associ-
ada ao a´tomo de Ce´sio (relo´gio atoˆmico de Ce´sio),
em que um segundo e´ a durac¸a˜o de 9 192 631 770
oscilac¸o˜es da radiac¸a˜o emitida na transic¸a˜o entre
os dois n´ıveis hiperfinos do estado fundamental do
a´tomo de Ce´sio-133.
Definic¸a˜o 2: O Comprimento e´ a medida da
dimensa˜o espacial de um objeto. A unidade do
comprimento e´ o metro (m), que e´ definido como
a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo durante
um intervalo de tempo de 1/299792458 segundos
(≈ 3,3×10−9 s).
Historicamente, o metro foi definido como
o comprimento de uma barra de platina e ir´ıdio
fabricada pela Comissa˜o Internacional de Pesos e
Medidas, e se que encontra guardada no escrito´rio
de Pesos e Medidas em Paris.
Prefixos de unidades
A`s vezes torna-se necessa´rio trabalhar com
medidas que sa˜o muito menores ou muito maio-
res que as unidades SI. Nessas situac¸o˜es podemos
usar outras unidades, relacionadas a`s unidades SI
por um mu´ltiplo ou submu´ltiplo de dez. Prefixos
sa˜o usados para designar as diferentes poteˆncias de
dez. Por exemplo, o prefixo “quilo” significa 103,
enquanto oprefixo “micro” significa 10−6. A se-
guinte tabela lista os prefixos mais usuais.
1
Factor Prefixo Abreviatura
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
102 hecto h
101 deca da
10−1 deci d
10−2 centi c
10−3 mili m
10−6 micro µ
10−9 nano n
Estes prefixos podem ser aplicados a qualquer uni-
dade SI; por exemplo, 0,001 s = 10−3 s = 1 ms (um
milissegundo).
Movimento
Denomina-se movimento ao deslocamento
cont´ınuo de um objeto em relac¸a˜o a outro objeto
de refereˆncia. Para falar de movimento e´ impres-
cind´ıvel ter pelo menos dois objetos: o primeiro
move-se em relac¸a˜o ao segundo ou vice-versa. Por
exemplo, imagine que um u´nico objeto seja isolado
no espac¸o, onde na˜o existem outros objetos na sua
proximidade, neste caso, na˜o sera´ poss´ıvel determi-
nar se o objeto esta´ em movimento ou esta´ em re-
pouso, pois na auseˆncia de um objeto de refereˆncia,
na˜o havera´ possibilidade de fazer medic¸o˜es.
Sistema de refereˆncia
Para estudar o movimento de um objeto A
e´ necessa´rio a presenc¸a de um objeto de refereˆncia,
assim todas as medic¸o˜es sobre o movimento do ob-
jeto A, se realizara´ em relac¸a˜o ao objeto de re-
fereˆncia. Logo, um observador que se encontra pa-
rado sobre o objeto de refereˆncia, deve ter os instru-
mentos de medida do comprimento e do tempo. Ao
conjunto {objeto de refereˆncia, observador, instru-
mentos de medida} denomina-se sistema de re-
fereˆncia.
Um sistema de refereˆncia muito usual e´ a
superf´ıcie da Terra, onde se encontra um observa-
dor com seus instrumentos de medic¸a˜o. Logo, este
observador podera´, por exemplo, estudar o movi-
mento de qualquer objeto em relac¸a˜o a` superf´ıcie
da Terra, tal como, o voo dos pa´ssaros, o movi-
mento de um carro, etc.
O movimento de um u´nico corpo em relac¸a˜o
a dois diferentes sistemas de refereˆncia pode ter di-
ferentes caracter´ısticas. Por exemplo, imagine um
carro em movimento, o motorista desse carro es-
tara´ em repouso em relac¸a˜o ao carro, pore´m ele
estara´ em movimento em relac¸a˜o a um poste que
se encontra no lado da estrada. Isto significa que o
movimento e´ relativo.
Exerc´ıcios
(1) Exemplo 1-1 (Pag. 6 - TIPLER3)
(2) Exemplo 1-4 (Pag. 10 - TIPLER)
(3) Exemplo 1-5 (Pag. 10 - TIPLER)
(4) Problema 23 (Pag. 23 - TIPLER)
(5) Problema 34 (Pag. 23 - TIPLER)
(6) Problema 35 (Pag. 23 - TIPLER)
(7) Problema 49 (Pag. 49 - TIPLER)
Para resolver alguns dos exerc´ıcios anterio-
res leve em considerac¸a˜o as transformac¸o˜es de uni-
dades: 1 mi (milha) = 1,609 km; 1 ft (pe´) = 30,48
cm; 1 in (polegada) = 25,4 mm.
3Daqui em frente, TIPLER refere-se ao livro Tipler &
Mosca: F´ısica para Cientistas e Engenheiros, Volume 1
2
Cap´ıtulo 1
Cinema´tica: movimento retil´ıneo
O estudo do movimento e os conceitos relaci-
onados de forc¸a e massa e´ chamado de mecaˆnica.
Neste cap´ıtulo comec¸amos o estudo do movimento
examinando a cinema´tica, o ramo da mecaˆnica
que lida com as caracter´ısticas do movimento.
Um bom entendemento da cinema´tica permitira´
compreender os outros ramos da mecaˆnica. No
Cap´ıtulo 3 comec¸aremos o estudo da dinaˆmica, o
ramo da mecaˆnica que relaciona movimento, forc¸a
e massa.
1.1 Movimento Retil´ıneo
Todo movimento que acontece ao longo de
uma linha reta denomina-se movimento retil´ıneo, e
e´ o tipo de movimento mais simples da cinema´tica.
Neste cap´ıtulo estudaremos as caracter´ısticas deste
tipo de movimento. Como exemplo deste tipo de
movimento podemos citar: o movimento de um
carro em uma estrada reta; o movimento de uma
esfera de ac¸o liberado no ar, ou liberado em um
plano inclinado.
Posic¸a˜o
Em f´ısica, a posic¸a˜o de um objeto define-se
como a localizac¸a˜o desse objeto em relac¸a˜o a ou-
tro objeto de refereˆncia (sistema de refereˆncia). A
posic¸a˜o de um objeto pode ser quantificada como a
distaˆncia entre esse objeto e o objeto de refereˆncia.
No contexto do movimento retil´ıneo, a posic¸a˜o de
um objeto se representa matematicamente medi-
ante um nu´mero real x, a posic¸a˜o x = 0 indica que
o objeto esta´ localizado no mesmo lugar que o ob-
jeto de refereˆncia, a posic¸a˜o x > 0 indica que o ob-
jeto esta´ a uma distaˆncia x do objeto de refereˆncia
em uma determinada direc¸a˜o (arbitrariamente es-
colhida), e a posic¸a˜o x < 0 indica que o objeto
esta´ a uma distaˆncia |x| do objeto de refereˆncia na
direc¸a˜o contra´ria ao anterior.
Quando no´s referimos a posic¸a˜o de um ob-
jeto, na verdade estamos no´s referindo a posic¸a˜o
do centro de massa desse objeto. Uma definic¸a˜o
mais elaborada para o centro de massa sera´ apre-
sentada mais na frente, por agora, por simplicidade
podemos considerar o centro de massa de um ob-
jeto como o centro geome´trico desse objeto.
Em f´ısica, denomina-se part´ıcula (ponto
material) a um objeto fict´ıcio que na˜o possui
nenhuma estrutura interna (sem volume). Na
mecaˆnica, por simplicidade, e´ comum aproximar
um objeto real como uma part´ıcula, e´ dizer como
um ponto material. Isso e´ justificado pela fato de
que em muitas situac¸o˜es a estrutura interna de um
objeto na˜o tem influeˆncia considera´vel nas carac-
ter´ısticas do movimento daquele objeto.
Deslocamento
Definic¸a˜o 1.1: Chama-se deslocamento a` va-
riac¸a˜o de posic¸a˜o de um objeto. Seja xi a posic¸a˜o
inicial do objeto e xf a posic¸a˜o final do mesmo
(veja a Figura 1.1), o deslocamento denotado pelo
s´ımbolo ∆x e´ definido como
∆x = xf − xi (1.1)
O x
xfxi
∆x
Figura 1.1: A diferenc¸a da posic¸a˜o final xf e a
posic¸a˜o inicial xi e´ o deslocamento ∆x.
O s´ımbolo ∆1 e´ com frequeˆncia usado para
indicar variac¸a˜o de alguma quantidade, neste caso
∆x indica variac¸a˜o de posic¸a˜o de algum objeto.
E´ importante distinguir a diferenc¸a entre desloca-
mento e distaˆncia percorrida:
• a distaˆncia percorrida por um objeto e´ o com-
primento do caminho percorrido pelo ob-
jeto, desde sua posic¸a˜o inicial ate´ sua posic¸a˜o
final, a distaˆncia percorrida e´ sempre uma
quantidade real positiva;
• o deslocamento e´ a variac¸a˜o de posic¸a˜o de
um objeto, e pode ser uma quantidade posi-
1Denomina-se delta no alfabeto grego
3
1.2 Movimento retil´ıneo uniforme (MRU) 4
tiva ou negativa, dependendo da direc¸a˜o de
movimento do objeto.
Exemplo 1.1: Voceˆ esta´ exercitando um cachorro.
O cachorro esta´ inicialmente junto a voceˆ. Depois,
ele corre 20 ft (1 feet [ft] ≈ 30 cm) em linha reta
para buscar um graveto e traz o graveto de volta
15 ft pelo mesmo caminho, antes de se deitar no
cha˜o e comec¸ar a mascar o graveto.
(a) Qual a distaˆncia total percorrida pelo ca-
chorro?
(b) Qual o deslocamento final do cachorro?
(c) Mostre que o deslocamento final da viagem e´ a
soma dos sucessivos deslocamentos realizados
na viagem.
0 5 10 15 20 x [ft]
x0 = 0 x2 = 5 ft x1 = 20 ft
Tempo 1Tempo 2Tempo 0
Figura 1.2: As bolinhas pretas representam o ca-
chorro nas diferentes posic¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
(a)
(i) Fac¸a um diagrama do movimento (veja a
Figura 1.2), inclua o eixo x;
(ii) Calcule a distaˆncia total percorrida:
s02 = s01+s12 = (20 ft)+(15 ft) = 35 ft,
em que s01 e´ a distaˆncia percorrida entre
o tempo 0 e o tempo 1, e s12 e´ a distaˆncia
percorrida entre o tempo 1 e o tempo 2.
(b) O deslocamento final e´ encontrado a partir de
sua definic¸a˜o, ∆x = xf−xi, em que xi = x0 =
0 e´ a posic¸a˜o inicial do cachorro, e xf = x2 = 5
ft e´ a posic¸a˜o final do cachorro:
∆x02 = x2 − x0 = 5 ft− 0 ft = 5 ft.
(c) O deslocamento final tambe´m e´ encontrado so-
mando o deslocamento da primeira corrida e
o deslocamento da segunda corrida:
∆x01 = x1 − x0 = 20 ft− 0 ft = 20 ft
∆x12 = x2 − x1 = 5 ft− 20 ft = −15 ft
somando obtemos
∆x01 +∆x12 = (x1 − x0) + (x2 − x1)
= x2 − x0
= ∆x02
logo
∆x02 = ∆x01 +∆x12 = 20 ft− 15 ft = 5 ft.
1.2 Movimento retil´ıneo uni-
forme (MRU)
Quando um objeto se desloca amesma quan-
tidade em intervalos de tempo de igual durac¸a˜o, di-
zemos que o objeto realiza um movimento retil´ıneo
uniforme (MRU). Por exemplo, veja a Figura 1.3,
note que por cada segundo transcorrido o objeto
sempre se desloca 20 cm, isto e´ um movimento uni-
forme.
Figura 1.3: Movimento retil´ıneo uniforme.
Velocidade
Definic¸a˜o 1.2: A velocidade de um objeto define-
se como a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o daquele ob-
jeto em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer, e´ uma medida de
quanto se desloca um objeto por unidade de tempo.
Quantitativamente, a velocidade v de um objeto se
determina da seguinte maneira
v =
∆x
∆t
(1.2)
em que ∆x e´ o deslocamento do objeto no intervalo
de tempo ∆t. A unidade da velocidade no SI e´ o
metro por segundo (m/s ou m·s−1).
Em nosso exemplo o objeto se desloca 20 cm
por cada segundo transcorrido, portanto a veloci-
dade do objeto sera´ 20 cm/s ou no SI 0,2 m/s. Note
que a velocidade mante´m o mesmo valor indepen-
dentemente do intervalo de tempo escolhido, isto e´
a caracter´ıstica principal de um MRU.
A velocidade v de um objeto sempre tem
o mesmo sinal que o deslocamento ∆x do objeto,
devido a que o intervalo de tempo ∆t que aparece
na equac¸a˜o (1.2) e´ sempre uma quantidade positivo
(por definic¸a˜o, o tempo sempre aumenta). O valor
absoluto da velocidade, |v|, denomina-se rapidez
do objeto.
1.3 Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) 5
Exemplo 1.2: O cachorro que voceˆ estava exerci-
tando no exemplo anterior correu 20 ft afastando-
se de voceˆ em 1, 0 s, apanhou o graveto e voltou
caminhando 15 ft em 1, 5 s. Calcule a velocidade
me´dia2 do cachorro (a) na ida, (b) na volta, e (c)
para o total da viagem.
Soluc¸a˜o: Por definic¸a˜o, a velocidade e´ dada pela
fo´rmula v = ∆x∆t .
(a) Na ida temos xi = 0 ft e ti = 0 s, xf = 20 ft e
tf = 1 s. Assim a velocidade fica
vida =
20 ft− 0 ft
1 s− 0 s =
20 ft
1 s
= 20 ft/s
= 20 ft · s−1.
(b) Na volta temos xi = 20 ft e ti = 1 s, xf = 5 ft
e tf = 2, 5 s. Assim a velocidade fica
vvolta =
5 ft− 20 ft
2, 5 s− 1 s =
−15 ft
1, 5 s
= −10 ft/s
= −10 ft · s−1.
(c) Para o total da viagem xi = 0 ft e ti = 0 s,
xf = 5 ft e tf = 2, 5 s. Assim a velocidade fica
vviagem =
5 ft− 0 ft
2, 5 s− 0 s =
5 ft
2, 5 s
= 2 ft/s
= 2 ft · s−1.
A velocidade me´dia do trecho total (c) e´ menos in-
formativa que a velocidade me´dia nos trechos par-
ciais (a) e (b).
1.3 Movimento retil´ıneo uni-
formemente acelerado
(MRUA)
O movimento retil´ıneo em que um objeto
se desloca diferentes quantidades em intervalos de
tempo iguais (veja a Figura 1.4) denomina-se mo-
vimento acelerado. Logo em um movimento ace-
lerado a velocidade vai adotar diferentes valores
dependendo do intervalo de tempo adotado, e´ di-
zer, a velocidade varia a medida que transcorre o
tempo. Por exemplo, na Figura 1.4 nota-se que a
pequena esfera sobre um plano inclinado vai per-
correndo distaˆncia maiores a medida que aumenta
o tempo, isso significa que o objeto vai ficando cada
vez mais veloz (aumenta sua velocidade).
Velocidade instantaˆnea
2Quando o intervalo de tempo ∆t na definic¸a˜o da velo-
cidade (equac¸a˜o (1.2)) na˜o for pequeno, a velocidade recebe
o nome de velocidade me´dia.
Figura 1.4: Movimento retil´ıneo uniformemente
acelerado.
Definic¸a˜o 1.3: A velocidade instantaˆnea define-
se como a velocidade de um objeto em um instante
de tempo dado. Para determinar a velocidade ins-
tantaˆnea no tempo t, se escolhe um intervalo de
tempo [t, t + ∆t], em que ∆t e´ a largura tempo-
ral do intervalo, e calcula-se a velocidade usando
a equac¸a˜o (1.2), logo se realiza o limite ∆t → 0
de modo que o intervalo tenha a apareˆncia pontual
(instantaˆnea) de tempo. Assim, quantitativamente
a velocidade instantaˆnea e´ definida como
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(1.3)
que e´ a derivada da func¸a˜o posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o
ao tempo t.
Para determinar a velocidade instantaˆnea
(daqui em frente denominada somente como velo-
cidade) sera´ necessario conhecer a func¸a˜o x = x(t)
da posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo (lei hora´ria). No
exemplo da Figura 1.4, notamos que os valores da
posic¸a˜o seguem uma lei matema´tica em relac¸a˜o aos
valores do tempo, podemos notar que cumpri-se a
lei
x = αt2
em que α = 10 cm/s2. Logo a velocidade no tempo
t sera´
v =
dx
dt
=
d
dt
(
αt2
)
= 2αt
que tambe´m e´ uma func¸a˜o do tempo, neste caso
uma func¸a˜o linear do tempo. Logo algunos valores
particulares da velocidade sa˜o:
t (s) 0 1 2 3 4
v (cm/s) 0 20 40 60 80
Da tabela anterior notamos que a velocidade
vai aumentando uniformemente (a mesma quanti-
dade por cada unidade de tempo). Um movimento
1.4 O problema inverso 6
retil´ıneo em que a velocidade vai variando unifor-
memente denomina-semovimento retil´ıneo uni-
formemente acelerado (MRUA).
Acelerac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.4: A acelerac¸a˜o define-se como a taxa
de variac¸a˜o da velocidade em relac¸a˜o ao tempo, e´
dizer, e´ uma medida de quanto varia a velocidade
de um objeto por unidade de tempo. Quantita-
tivamente, a acelerac¸a˜o a de um objeto se define
como
a =
∆v
∆t
(1.4)
em que ∆v e´ a variac¸a˜o da velocidade do objeto no
intervalo de tempo ∆t. A unidade da acelerac¸a˜o
no SI e´ o metro por segundo ao quadrado (m/s2 ou
m·s−2).
Para o movimento apresentado na Figura
1.4, em que os valores da velocidade sa˜o apresen-
tados na tabela anterior, a acelerac¸a˜o do objeto
sera´ 20 cm/s2, independentemente do intervalo de
tempo adotado, e´ dizer, a acelerac¸a˜o do objeto se
mante´m constante.
Um movimento retil´ıneo em que a acelerac¸a˜o
se mante´m constante, denomina-se movimento re-
til´ıneo uniformemente acelerado.
Acelerac¸a˜o instantaˆnea
Definic¸a˜o 1.5: Da mesma forma que para a ve-
locidade instantaˆnea, para determinar a acelerac¸a˜o
instantaˆnea no tempo t, se escolhe um intervalo de
tempo [t, t+∆t], e calcula-se a acelerac¸a˜o usando
a equac¸a˜o (1.4), logo se realiza o limite ∆t→ 0. E´
dizer,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(1.5)
que e´ a derivada da func¸a˜o velocidade v(t) em
relac¸a˜o ao tempo t.
Combinando as equac¸o˜es (1.3) e (1.5) encon-
tramos
a =
dv
dt
=
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(1.6)
em que a acelerac¸a˜o de um objeto e´ a derivada
segunda da func¸a˜o posic¸a˜o do objeto em relac¸a˜o
ao tempo.
Exerc´ıcio 1.1: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no
eixo x e´ dada por x = 4 − 27t + t3, com x em
metros e t em segundos.
(a) Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula.
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
Exerc´ıcio 1.2: A posic¸a˜o de uma part´ıcula que se
move em um eixo x e´ dada pela “lei hora´ria”
x = 7, 8 + 9, 2t− 2, 1t3,
com x em metros e t em segundos. Qual e´ a velo-
cidade da part´ıcula em t = 3, 5 s? a velocidade e´
constante ou esta´ variando continuamente?
Exerc´ıcio 1.3: Depois de dirigir uma van em uma
estrada retil´ınea por 8,4 km a 70 km/h, voceˆ pa´ra
por falta de gasolina. No´s 30 min seguintes voceˆ
caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada ate´
chegar ao posto de gasolina mais pro´ximo.
(a) Qual e´ o deslocamento total, desde o in´ıcio da
viagem ate´ chegar ao posto de gasolina?
(b) Qual e´ o intervalo de tempo ∆t entre o in´ıcio
da viagem e o instante em que voceˆ chega ao
posto?
(c) Qual e´ a velocidade me´dia v¯ do in´ıcio da via-
gem ate´ a chegada ao posto de gasolina?
Exerc´ıcio 1.4: A posic¸a˜o de um objeto que se
move ao longo de um eixo x e´ dada por x =
2t − t2 + t3, onde x esta´ em metros (m) e t em
segundos (s).
(a) Qual e´ o deslocamento e a velocidade me´dia
do objeto para o intervalo de tempo de t = 0
s a t = 4 s?
(b) Qual e´ o deslocamento e a velocidade me´dia
do objeto para o intervalo de tempo de t = 4
s a t = 7 s?
1.4 O problema inversoVimos como, conhecendo a lei hora´ria de um
objeto, ou seja, a func¸a˜o x = x(t), e´ poss´ıvel cal-
cular a velocidade v(t) e logo a acelerac¸a˜o a(t) do
objeto, para isso usando o Ca´lculo Diferencial.
Pore´m, frequentemente temos de resolver o
problema inverso, em que conhecendo a func¸a˜o ace-
lerac¸a˜o a = a(t) de um objeto, precisamos deter-
minar a velocidade e a posic¸a˜o do objeto.
Para determinar a velocidade vamos partir
da equac¸a˜o (1.5), escrevendo
dv
dt
= a(t)
que e´ uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem,
que devemos resolver integrando ela. Integrando a
equac¸a˜o anterior considerando os limites de inte-
1.5 Queda livre 7
grac¸a˜o t = 0 e t = τ , temos∫ τ
0
dv
dt
dt =
∫ τ
0
a(t)dt
v(τ)− v(0) =
∫ τ
0
a(t)dt
v(τ) = v(0) +
∫ τ
0
a(t)dt (1.7)
em que v(0) e´ a velocidade inicial do objeto. A
equac¸a˜o (1.7) permite encontrar a velocidade a par-
tir da acelerac¸a˜o a(t) e do valor inicial da veloci-
dade v(0).
Uma vez determinada a velocidade, pode-
mos usar novamente a te´cnica de integrac¸a˜o para
determinar a posic¸a˜o de um objeto. Neste caso
vamos integrar a equac¸a˜o (1.3), logo temos∫ τ
0
dx
dt
dt =
∫ τ
0
v(t)dt
x(τ)− x(0) =
∫ τ
0
v(t)dt
x(τ) = x(0) +
∫ τ
0
v(t)dt (1.8)
em que x(0) e´ a posic¸a˜o inicial do objeto
Lei hora´ria do MRU
O MRU e´ um movimento retil´ıneo em que
a velocidade se mante´m constante no tempo, logo
v(t) = v0, em que v0 e´ uma quantidade constante.
Usando a fo´rmula (1.8), temos
x(t) = x(0) + v0 t, (1.9)
logo, a lei hora´ria de um MRU e´ uma func¸a˜o linear.
Lei hora´ria do MRUA
Em umMRUA a acelerac¸a˜o se mante´m cons-
tante, logo a(t) = a0, em que a0 e´ uma quantidade
constante. Usando a fo´rmula (1.7), temos
v(t) = v(0) + a0 t, (1.10)
em que a velocidade e´ uma func¸a˜o linear do tempo.
Para determinar a lei hora´ria usaremos a fo´rmula
(1.8) conjuntamente com o resultado (1.10) para a
velocidade, logo
x(τ) = x(0) +
∫ τ
0
[v(0) + a0 t]dt
x(τ) = x(0) + v(0) τ +
a0
2
τ2
substituindo τ por t, temos
x(t) = x(0) + v(0) t+
a0
2
t2 (1.11)
a lei hora´ria de um MRUA e´ uma func¸a˜o
quadra´tica.
1.5 Queda livre
Figura 1.5: Queda livre de uma bolinha.
Um objeto em queda livre e´ um exemplo
t´ıpico de MRUA, cuja acelerac¸a˜o e´ aproximada-
mente a = −g, em que g = 9, 8 m/s2, neste caso a
direc¸a˜o de posic¸o˜es positivas e´ para cima.
Seja uma bolinha liberada no ar a partir de
uma altura H em relac¸a˜o ao solo e desde o repouso
(velocidade inicial nulo), logo usando a equac¸a˜o
(1.11) temos a lei hora´ria para este caso,
x(t) = H − g
2
t2 (1.12)
No momento em que a bolinha toca o solo a posic¸a˜o
se anula, e´ dizer cumpri-se x(t) = 0, resolvendo
esta equac¸a˜o podemos determinar a durac¸a˜o da
queda t, e´ dizer, fazendo
H − g
2
t2 = 0
2H
g
= t2
t =
√
2H
g
(1.13)
que e´ o tempo que demora a bolinha para chegar
no solo.
Exemplo 1.3: Frequentemente interessa tambe´m
expressar a velocidade no MRUA em func¸a˜o da
posic¸a˜o x (em lugar do tempo t), mostre que esta
1.5 Queda livre 8
relac¸a˜o e´ dada como
v2 = v20 + 2a(x− x0) (1.14)
em que a e´ a acelerac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: A partir da fo´rmula (1.10) obtemos
t =
v − v0
a
logo substituindo na relac¸a˜o (1.11) obtemos
x = x0 + v0
v − v0
a
+
1
2
a
(v − v0)2
a2
x− x0 = v − v0
a
[
v0 +
v
2
− v0
2
]
=
(v − v0)(v + v0)
2a
=
v2 − v20
2a
v2 = v20 + 2a(x− x0).
Exerc´ıcio 1.5: Um motorista freia seu carro uni-
formemente, de tal maneira que a velocidade cai de
60 km/h a 30 km/h em 5 s.
(a) Que distaˆncia o carro ainda percorrera´ depois
disso ate´ parar?
(b) E quanto tempo levara´ para percorrer essa
distaˆncia adicional?
Dica: utilize a fo´rmula (1.14) para determinar a
distaˆncia percorrida.
Exerc´ıcio 1.6: Um guepardo pode acelerar de 0
a 96 km/h em 2,0 s, enquanto um automo´vel co-
mum requer 4,5 s. Calcule as acelerac¸o˜es me´dias
do guepardo e do automo´vel e compare-as com a
acelerac¸a˜o de queda livre, g = 9, 8 m/s2.
Exerc´ıcio 1.7: Um part´ıcula se desloca ao longo
de um eixo x com uma acelerac¸a˜o dada pela lei
a(t) = αt
onde α = 5 m/s3, e t e´ o tempo em segundos.
Considere que a part´ıcula parte do repouso e da
posic¸a˜o x0 = 1 m no tempo inicial t = 0 s:
(a) determine a lei hora´ria x(t) e a velocidade em
func¸a˜o do tempo;
(b) determine a posic¸a˜o e a velocidade da
part´ıcula no tempo t = 2 s;
(c) determine o deslocamento, a velocidade me´dia
e a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula para o inter-
valo de tempo de t = 0 s ate´ t = 3 s.
Exerc´ıcios adicionais
(1) Exemplo 2-9 (Pag. 40 - TIPLER)
(2) Exemplo 2-14 (Pag. 44 - TIPLER)
(3) Problema 54 (Pag. 56 - TIPLER)
(4) Problema 73 (Pag. 57 - TIPLER)
(5) Problema 77 (Pag. 57 - TIPLER)
Cap´ıtulo 2
Cinema´tica: movimento em um plano
Neste cap´ıtulo, vamos passar do estudo de
movimento retil´ıneo ao estudo de movimento num
plano, que inclui muitos casos importantes, como
o movimento dos proje´teis e o movimento da Terra
em torno do Sol.
2.1 Descric¸a˜o em termos de
coordenadas
Pode-se especificar a posic¸a˜o de um objeto
num plano atrave´s de dois paraˆmetros, que sa˜o suas
coordenadas em relac¸a˜o a um dado referencial. Se
adotarmos coordenadas cartesianas, por exemplo,
a posic¸a˜o de um objeto em qualquer tempo t sera´
descrita pelo par de func¸o˜es
(x(t), y(t))
em que x(t) e´ a abscissa e y(t) a ordenada do objeto
no instante t (veja a Figura 2.1).
x
y
x (t)
y (t)
O
P(x,y)
Figura 2.1: Movimento num plano.
A medida que o objeto P se move ao longo
da sua trajeto´ria (veja a Figura 2.1), suas projec¸o˜es
sobre os eixos Ox e Oy se movem correspon-
dentemente, descrevendo movimentos unidimensi-
onais. Assim, podemos decompor o movimento so-
bre um plano em dois movimentos unidimensionais
simultaˆneos e independentes, este fato foi obser-
vado pela primeira vez por Galileu e permitiu-lhe
descrever corretamente o movimento dos proje´teis.
Exemplo 2.1: Se um canha˜o horizontal numa
torre atira paralelamente ao horizonte, na˜o impor-
tando se a carga de po´lvora e´ grande ou pequena,
ou se a bala caia a mil jardas de distaˆncia, ou qua-
tro mil, ou seis mil; todos estes tiros levam o mesmo
tempo para atingir o cha˜o, e este tempo e´ igual ao
que a bala levaria para cair desde a boca do canha˜o
ate´ o solo diretamente sem qualquer velocidade ini-
cial.
2.2 Descric¸a˜o em termos de
vetores
Um objeto que realiza um movimento re-
til´ıneo pode-se deslocar somente em duas direc¸o˜es,
e podemos definir o deslocamento como um nu´mero
real, em que um numero real positivo representa
um deslocamento em uma determinada direc¸a˜o e
um real negativo representa um deslocamento na
direc¸a˜o contra´ria. Pore´m no caso em que um ob-
jeto realize movimento sobre um plano, existe um
nu´mero infinito de direc¸o˜es na qual o objeto pode-
se mover, assim o sinal de um nu´mero real na˜o e´
suficiente para indicar a direc¸a˜o de deslocamento,
neste caso sera´ necessa´rio introduzir um novo ente
matema´tico denominado vetor.
A f´ısica lida com um grande nu´mero de
quantidades que possuem valor e orientac¸a˜o, e
para descrever elas precisa-se de uma a´lgebra ma-
tema´tica especial, que denomina-se a´lgebra veto-
rial.
Vetor e Escalar
Definic¸a˜o 2.1: Um vetor1 e´ um ente matema´tico
que possui mo´dulo (valor ou magnitude) e uma
orientac¸a˜o. Os vetores se somam (combinam) se-
gundo a regra do paralelogramo, que sera´ apresen-
tado mais em frente. Geralmente um vetor e´ repre-
1Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia de segmentos
orientados do espac¸o ou do plano. Se (A,B) e´ um segmento
orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo re-
presentante e´ (A,B)) sera´ indicado por
−→
AB [I. de Camargo:Geometria Anal´ıtica].
9
2.3 A´lgebra vetorial 10
sentado geometricamente mediante um segmento
orientado.
Uma quantidade f´ısica que seja representada
por um vetor2 denomina-se quantidade vetorial,
sa˜o exemplos de quantidades vetoriais, o desloca-
mento, a velocidade, a acelerac¸a˜o, e a forc¸a. Uma
quantidade f´ısica que seja representada por um
nu´mero real denomina-se quantidade escalar ou
simplesmente escalar, sa˜o exemplos de escalares,
a temperatura, a pressa˜o, a energia, a massa e o
tempo.
2.3 A´lgebra vetorial
Adic¸a˜o de vetores
A cada par de vetores ~u e ~v corresponde o
vetor soma ou resultante ~u+~v, que se determina
geometricamente usando a regra do paralelogramo
(ou a regra do triaˆngulo), tal como me mostra na
Figura 2.2.
~u + ~v
~v
~u
Figura 2.2: Soma ou adic¸a˜o dos vetores ~u e ~v.
Propriedades de vetores
I P1 - PROPRIEDADE COMUTATIVA:
a ordem em que os vetores sa˜o somados e´
irrelevante, somar ~u a ~v e´ o mesmo que somar
~v a ~u, ou seja,
~u+ ~v = ~v + ~u
I P2 - PROPRIEDADE ASSOCIATIVA:
quando existem mais de dois vetores podemos
agrupa´-los em qualquer ordem para soma´-los.
Assim, se queremos somar os vetores ~u, ~v, e ~w,
podemos primeiro somar ~u e ~v e depois somar
o resultado a ~w. Podemos tambe´m somar
primeiro ~v e ~w e depois somar o resultado a
~u, o resultado e´ o mesmo, e´ dizer
(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c)
2Daqui em diante, denotaremos um vetor mediante uma
seta sobre um s´ımbolo em ita´lico, por exemplo ~u indica um
vetor.
I P3 - EXISTEˆNCIA DO VETOR NULO:
existe o vetor ~0, denominado vetor nulo, tal
que satisfaz
~u+~0 = ~u
para qualquer vetor ~u.
I P4 - EXISTEˆNCIA DO VETOR OPOSTO:
para qualquer vetor na˜o nulo ~u existe outro
vetor −~u, denominado vetor oposto de ~u, tal
que
~u+ (−~u) = ~0
−~u e ~u teˆm o mesmo mo´dulo, pore´m teˆm sen-
tidos opostos, tal como mostra a Figura 2.3.
−~u
~u
Figura 2.3: Os vetores ~u e −~u teˆm o mesmo mo´dulo
e sentidos opostos.
I P5 - SUBTRAC¸A˜O DE VETORES:
dado os vetores ~u e ~v, existe o vetor diferenc¸a
de ~u com ~v denotado como “~u−~v”, e definido
como a soma de ~u e o vetor oposto de ~v, e´
dizer
~u− ~v = ~u+ (−~v)
O vetor diferenc¸a ~u− ~v tem a propriedade de
que ao somar com ~v se simplifica a ~u.
I P6 - MULTIPLICAC¸A˜O COM UM REAL:
para um nu´mero real λ e para um vetor ~u
se associa um novo vetor indicado por λ~u tal
que:
• Se λ = 0 ou ~u = ~0, enta˜o λ~u = ~0, por
definic¸a˜o.
• Se λ 6= 0 e ~u 6= ~0, λ~u e ~u sa˜o vetores
paralelos (tem a mesma inclinac¸a˜o):
(i) se λ > 0, λ~u e ~u teˆm mesmo sentido;
(ii) se λ < 0, λ~u e ~u teˆm sentidos opos-
tos.
O mo´dulo de λ~u e´ definido como,
‖λ~u‖ = |λ| · ‖~u‖
em que o s´ımbolo “‖ ‖” denota o mo´dulo
do vetor e “| |” denota valor absoluto do
nu´mero real.
2.3 A´lgebra vetorial 11
Produto escalar
Definic¸a˜o 2.2: Sejam ~u e ~v vetores na˜o-nulos.
Chama-semedida angular entre ~u e ~v a medida φ
do aˆngulo formado pelos segmentos orientados que
representam esses vetores, em que esses segmen-
tos orientados devem ter a mesma origem. Sobre
o nu´mero φ impo˜e-se a restric¸a˜o 0 ≤ φ ≤ pi se a
unidade adotada for radiano, ou 0 ≤ φ ≤ 180, se
for grau. Indica-se φ por ang(~u,~v).
~u
~v
φ
Figura 2.4: Medida angular entre ~u e ~v.
Definic¸a˜o 2.3: Produto escalar dos vetores ~u e
~v, indicado por ~u · ~v, e´ o nu´mero real tal que:
(a) se ~u ou ~v e´ nulo, ~u · ~v = 0;
(b) se ~u e ~v na˜o sa˜o nulos e φ e´ a medida angular
entre eles, ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cosφ.
Componentes de um vetor
Somar vetores geometricamente pode ser
uma tarefa tediosa. Uma te´cnica mais elegante e
mais simples envolve o uso da a´lgebra, mas requer
que os vetores sejam representados em um sistema
de coordenadas retangulares ou cartesianas. Os ei-
xos x e y sa˜o normalmente desenhados no plano do
papel, como na Figura 2.5. O eixo z e´ perpendicu-
lar ao papel; vamos ignora´-lo, por agora, e tratar
apenas os vetores bidimensionais.
Geometricamente, a componente de um
vetor sobre um eixo dado e´ a projec¸a˜o ortogonal
desse vetor sobre aquele eixo. Para determinar a
projec¸a˜o de um vetor sobre um eixo dado, primei-
ramente fac¸a coincidir a origem da seta que repre-
senta o vetor com a origem de sistema de coorde-
nadas, logo trac¸e uma reta perpendicular ao eixo
dado a partir da extremidade da seta, como se mos-
tra na Figura 2.5.
• A projec¸a˜o de um vetor em relac¸a˜o ao eixo x
e´ chamada de componente x do vetor; ana-
logamente, a projec¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y
recebe o nome de componente y.
θ
~u
x
y
ux
uy
O
Figura 2.5: Componentes de um vetor.
• O processo de obter as componentes de um
vetor e´ chamado de decomposic¸a˜o de um
vetor.
Sejam ux e uy as componentes x e y, res-
pectivamente, do vetor ~u, tal como se mostra na
Figura 2.5, logo usando trigonometria e´ poss´ıvel
mostrar as seguintes relac¸o˜es
ux = u cos θ
uy = u sen θ
}
(2.1)
onde θ e´ o aˆngulo que o vetor ~u faz com o semi-eixo
x positivo (inclinac¸a˜o do vetor) e u e´ o mo´dulo de
~u, e´ dizer u = ‖~u‖. Logo, fazendo algumas mani-
pulac¸o˜es na equac¸a˜o (2.1) determina-se as seguin-
tes equac¸o˜es
u =
√
u2x + u
2
y e tan θ =
uy
ux
(2.2)
que permite determinar o mo´dulo e a inclinac¸a˜o
(aˆngulo θ) de qualquer vetor, a partir de suas suas
componentes.
Exerc´ıcio 2.1: Seja ~a um vetor representado pelo
segmento orientado
−−→
OP , em que O e´ o origem de
coordenadas, e P e´ um ponto cujas coordenadas
sa˜o (-2,1). Determine o mo´dulo e a inclinac¸a˜o do
vetor ~a.
Exerc´ıcio 2.2: Um pequeno avia˜o decola de um
aeroporto em um dia nublado e e´ avistado mais
tarde a 215 km de distaˆncia, em um curso que faz
um aˆngulo de 22◦ a leste do norte. A que distaˆncia
a leste e ao norte do aeroporto esta´ o avia˜o no
momento em que e´ avistado?
Vetores unita´rios
Um vetor denomina-se unita´rio se e so-
mente se o vetor tiver mo´dulo igual a unidade. Um
vetor unita´rio na˜o possui dimensa˜o nem unidade;
sua u´nica func¸a˜o e´ especificar uma orientac¸a˜o.
2.3 A´lgebra vetorial 12
O vetor unita´rio uˆ associado a um vetor na˜o-
nulo ~u e´ u´nico e determina-se a partir da seguinte
fo´rmula
uˆ =
~u
‖~u‖ (2.3)
dado que 1/‖~u‖ > 0 enta˜o uˆ e ~u devem ter a mesma
direc¸a˜o, em geral uˆ e ~u teˆm mo´dulos diferentes.
Qualquer vetor unita´rio designa-se pelo s´ımbolo “ˆ
” em vez de uma seta “~ ”.
Exerc´ıcio 2.3: Mostre que o versor (vetor
unita´rio) definido pela equac¸a˜o (2.3) tem mo´dulo
exatamente igual a unidade.
Isolando ~u na equac¸a˜o (2.3) pode-se encon-
trar a seguinte relac¸a˜o muito util,
~u = ‖~u‖ · uˆ
que decompo˜e qualquer vetor em func¸a˜o do seu
mo´dulo e sua orientac¸a˜o.
• Os vetores unita´rios nas direc¸o˜es dos semi-
eixos x e y positivos sa˜o designados pelos
s´ımbolos iˆ e jˆ respectivamente, ou enta˜o por
xˆ e yˆ, tal como se veˆ na Figura 2.6, esse veto-
res unita´rios denominam-se vetores unita´rios
cartesianos.
y
x
uxiˆ
uyjˆ
iˆO
~u
jˆ
Figura 2.6: Descomposic¸a˜o de vetor.
Expressa˜o a´lgebrica de um vetor
Qualquer vetor sobre o plano cartesiano
xy pode ser expressado em func¸a˜o dos vetores
unita´rios cartesianos iˆ e jˆ. A regra do paralelo-
gramo permite mostrar que o vetor ~u da Figura
2.6 pode ser expressado como:
~u = uxiˆ+ uy jˆ (2.4)
em que os vetores uxiˆ e uy jˆ sa˜o denominados com-
ponentes vetoriais de ~u, e os nu´meros ux e uy
sa˜o as componentes escalares ou simplesmente
componentes de ~u.
Usando a esseˆncia da equac¸a˜o (2.4) podemos
somar vetores usando suas componentes. Seja o
par de vetores
~u = uxiˆ+ uy jˆ e ~v = vxiˆ+ vy jˆ
logo enta˜o
~u+ ~v = (ux + vx)ˆi+ (uy + vy)jˆ (2.5)
e´ dizer, para determinar as componentes do vetor
soma basta somar as correspondentes componentes
dos dois vetores,isto e´ verificado geometricamente
na Figura 2.7 usando a regra do triaˆngulo3.
O
~uuy
ux
~v
y
x
vx
vy
ux + vx
uy + vy
Figura 2.7: Componentes da soma.
Da mesma forma pode-se encontrar a multi-
plicac¸a˜o de um vetor por um escalar λ,
λ~v = λ(vxiˆ+ vy jˆ) = λvxiˆ+ λvy jˆ (2.6)
ou seja, as componentes de λ~v sa˜o λvx e λvy.
Exerc´ıcio 2.4: Um explorador polar foi surpreen-
dido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade
a praticamente zero, quando retornava ao acam-
pamento. Para chegar ao acampamento ele deve-
ria caminhar 5,6 km para o norte, mas quando o
tempo melhorou percebeu que na realidade tinha
caminhado 7,8 km em uma direc¸a˜o 50◦ ao norte do
leste. (a) Que distaˆncia e (b) em que sentido deve
caminhar para voltar a` base?
Exerc´ıcio 2.5: O oa´sis B esta´ 25 km a leste do
oa´sis A. Partindo do oa´sis A, um camelo percorre
24 km em uma direc¸a˜o 15◦ ao sul do leste e 8,0
3A regra do triaˆngulo consiste em que para somar os ve-
tores ~a e ~b por exemplo, devemos seguir os seguintes passos:
(i) desenhe o vetor ~a em uma escala conveniente e no aˆngulo
apropriado;
(ii) desenhe o vetor ~b na mesma escala, com a origem na
extremidade do vetor ~a, tambe´m no aˆngulo apropri-
ado;
(iii) o vetor soma ~s e´ o vetor que vai da origem de ~a a`
extremidade de ~b.
2.4 Posic¸a˜o e deslocamento 13
km para o norte. A que distaˆncia o camelo esta´ do
oa´sis B?
Exerc´ıcio 2.6: Usando a lei dos cossenos mostre
que o produto escalar dos vetores ~u = uxiˆ+ uy jˆ e
~v = vxiˆ+ vy jˆ e´ dado como
~u · ~v = uxvx + uyvy (2.7)
2.4 Posic¸a˜o e deslocamento
Definic¸a˜o 2.4: A posic¸a˜o de um objeto pode ser
especificada atrave´s de um vetor ~r denominado ve-
tor posic¸a˜o. O vetor posic¸a˜o de um objeto e´ de-
finido como
~r = xiˆ+ yjˆ (2.8)
em x e y sa˜o as coordenadas cartesianas do objeto
no plano xy, e iˆ e jˆ sa˜o os versores4 cartesianos.
Geometricamente o vetor posic¸a˜o pode-se represen-
tar mediante uma seta que comec¸a na origem de
coordenadas e vai ate´ a posic¸a˜o que ocupa o objeto
no plano xy, tal como pode-se ver na Figura 2.8.
~r
x
y
O
(-3 m)ˆi
(2 m)jˆ
Figura 2.8: Vetor posic¸a˜o ~r de um objeto que pos-
sui coordenadas cartesianas (-3 m, 2 m).
Por exemplo, na Figura 2.8 se mostra o vetor
posic¸a˜o ~r de um objeto cujas coordenadas sa˜o (-3
m, 2 m), logo podemos escrever
~r = (−3m)ˆi+ (2m)jˆ
O sinal negativo da componente-x de ~r indica que o
objeto esta´ a 3 m a` esquerda do eixo y: na direc¸a˜o
oposta de iˆ. O sinal positivo da componente-y in-
dica que objeto esta´ a 2 m para cima do eixo x: na
mesma direc¸a˜o que jˆ.
Definic¸a˜o 2.5: Quando um objeto comec¸a se mo-
ver, seu vetor posic¸a˜o comec¸a variar. Seja ~ri o vetor
posic¸a˜o do objeto no tempo inicial ti e ~rf no tempo
4Versor e´ sinoˆnimo de vetor unita´rio.
final tf , logo o vetor deslocamento ∆~r do objeto
durante esse intervalo de tempo e´ definido como
∆~r = ~rf − ~ri (2.9)
Da Figura 2.9 pode-se notar que quando um objeto
se move, a seta que representa seu vetor posic¸a˜o
gira ao redor da origem de coordenadas.
x
y
O
~ri
~rf
∆~r
Figura 2.9: Vetor deslocamento de um objeto.
Suponha que um objeto se desloca de A a
B e depois de B a C, tal como mostra a Figura
2.10(a). O deslocamento total ou resultante
−→
AC sa-
tisfaz a regra do triaˆngulo, tal como pode-se ver na
Figura 2.10, isto caracteriza o deslocamento como
um vetor. Assim podemos escrever
−→
AC =
−−→
AB +
−−→
BC
em que o deslocamento resultante e´ igual a soma
vetorial dos dois deslocamentos sucessivos, inde-
pendentemente da trajeto´ria seguida pelo objeto.
A
B
C
Deslocamento resultante
Trajeto´ria real
(a) (b)
−−→
BC
−→
AB +
−−→
BC
−→
AB
Figura 2.10: (a) Dois deslocamentos sucessivos
−−→
AB
e
−−→
BC; (b) soma geome´trica de dois vetores se-
guindo a regra do triaˆngulo.
Por exemplo, o vetor deslocamento total ~r
de uma pedra que se deixa cair do topo do mastro
de um navio que anda com uma certa velocidade
pode ser considerado como resultante ou soma
do deslocamento ~rx na direc¸a˜o horizontal (que e´ o
deslocamento do navio) e o deslocamento ~ry devido
a` queda livre da pedra na direc¸a˜o vertical, tal como
se mostra na Figura 2.11, e´ dizer ~r = ~rx + ~ry.
2.5 Velocidade 14
~r ~ry
~rx
Figura 2.11: Soma de deslocamentos.
Componentes do vetor deslocamento
Sejam a posic¸a˜o inicial e a posic¸a˜o final de
um objeto dadas em termos dos versores cartesia-
nos
~ri = xiiˆ+ yijˆ
~rf = xf iˆ+ yf jˆ
logo a partir da definic¸a˜o do deslocamento, equac¸a˜o
(2.9), obtemos o deslocamento em termos dos ver-
sores cartesianos
∆~r = (xf − xi)ˆi+ (yf − yi)jˆ
= ∆x iˆ+∆y jˆ (2.10)
em que ∆x representa o deslocamento horizontal
do objeto e ∆y representa o deslocamento vertical.
Exerc´ıcio 2.7: Um coelho atravessa um estacio-
namento, no qual, por alguma raza˜o, um conjunto
de eixos coordenados foi desenhado. As coordena-
das da posic¸a˜o do coelho, em metros, em func¸a˜o do
tempo t, em segundos, sa˜o dadas por:
x = −0, 31t2 + 7, 2t+ 28
y = 0, 22t2 − 9, 1t+ 30
(a) no instante t = 15 s, qual e´ o vetor posic¸a˜o ~r
do coelho na notac¸a˜o de vetores unita´rios e na
notac¸a˜o mo´dulo-aˆngulo?
(b) determine o deslocamento do coelho durante
o intervalo de tempo de t = 0 ate´ t = 15 s;
(c) trace a trajeto´ria do coelho desde t = 0 ate´
t = 25 s.
2.5 Velocidade
Definic¸a˜o 2.6: Se um objeto se move de um ponto
para outro, podemos estar interessados em saber
com que rapidez isso acontece. Se um objeto
sofre um deslocamento ∆~r em um intervalo de
tempo ∆t, definimos a velocidade ou velocidade
me´dia ~v como
~v =
∆~r
∆t
(2.11)
Dado que o fator 1/∆t e´ um real positivo, enta˜o,
notamos que a velocidade e o deslocamento sempre
teˆm a mesma direc¸a˜o.
Velocidade instantaˆnea
Para determinar a velocidade instantaˆnea de
um objeto e´ necessa´rio realizar o limite ∆t→ 0 na
definic¸a˜o da velocidade, equac¸a˜o (2.11).
Definic¸a˜o 2.7: A velocidade instantaˆnea ~v(t)
no tempo t e´ definido como o limite
~v(t) = lim
∆t→0
∆~r
∆t
=
d~r
dt
(2.12)
em que ∆~r = ~r(t+∆t)−~r(t). E´ dizer, a velocidade
instantaˆnea e´ a derivada do vetor posic¸a˜o.
x
y
O
Trajeto´ria
t
t +∆t
∆~r
Tangente
~r(t)
~r(t +∆t)
Figura 2.12: O deslocamento ∆~r de um objeto du-
rante um intervalo de tempo ∆t. Quando ∆t → 0
o vetor ∆~r tende se alinhar com a reta tangente a`
trajeto´ria.
A Figura 2.12 mostra a trajeto´ria de um ob-
jeto no plano xy, em que ~r(t) e´ posic¸a˜o do objeto
no tempo t e ~r(t+∆t) no tempo t+∆t. Logo para
determinar a velocidade instantaˆnea do objeto no
tempo t e´ necessa´rio fazer o limite ∆t→ 0. Quando
realizamos o limite ∆t→ 0, uma coisa interessante
acontece: a inclinac¸a˜o do vetor deslocamento ∆~r
se aproxima a` inclinac¸a˜o da reta tangente a` tra-
jeto´ria do objeto no tempo t. Isto no´s permite
afirmar que em geral, a direc¸a˜o da velocidade
instantaˆnea de um objeto e´ sempre tangente
a` trajeto´ria do objeto no ponto que ocupa o
objeto. Este resultado tambe´m pode ser generali-
zado para o caso de um movimento no espac¸o (treˆs
dimenso˜es).
Componentes da velocidade
Seja ~r = xiˆ+yjˆ o vetor posic¸a˜o de um objeto
que se move em um plano, logo usando a equac¸a˜o
2.6 Acelerac¸a˜o 15
(2.12), podemos obter a velocidade
~v =
d
dt
(
xiˆ+ yjˆ
)
=
dx
dt
iˆ+
dy
dt
jˆ (2.13)
= vxiˆ+ vy jˆ
em que consideramos diˆdt =
~0 e djˆdt =
~0, devido a
que os versores cartesianos sa˜o vetores constante
(independente do tempo). A componente-x da ve-
locidade, vx, e´ a medida da rapidez com que o ob-
jeto se move na direc¸a˜o do eixo x, e vy e´ a medida
da rapidez com que se move na direc¸a˜o do eixo y.
A Figura 2.13 mostra ovetor velocidade ~v e suas
componentes vetoriais.
x
y
O
Trajeto´ria
~v Tangente
vxiˆ
vyjˆ
Figura 2.13: A velocidade ~v de um objeto e suas
componentes vetoriais.
Exerc´ıcio 2.8: Determine a velocidade ~v do coe-
lho do Exerc´ıcio 2.7 no instante t = 15 s.
2.6 Acelerac¸a˜o
Definic¸a˜o 2.8: A acelerac¸a˜o de um objeto
define-se como a taxa de variac¸a˜o da sua velocidade
em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer quantitativamente
~a(t) =
d~v
dt
(2.14)
que e´ a derivada da velocidade em relac¸a˜o ao
tempo. Se o mo´dulo e/ou a direc¸a˜o da velocidade
variar com o tempo, enta˜o o objeto possui uma
acelerac¸a˜o na˜o nula.
Juntando as equac¸o˜es (2.12) e (2.14) pode-
mos obter uma nova fo´rmula para a acelerac¸a˜o ~a,
~a =
d2~r
dt2
(2.15)
A acelerac¸a˜o e´ a derivada segunda do vetor posic¸a˜o
de um objeto.
Componentes da acelerac¸a˜o
Usando a relac¸a˜o (2.13) para a velocidade, e
substituindo na equac¸a˜o (2.14), obtemos
~a =
d
dt
(vxiˆ+ vy jˆ)
=
dvx
dt
iˆ+
dvy
dt
jˆ
=
d2x
dt2
iˆ+
d2y
dt2
jˆ (2.16)
= axiˆ+ ay jˆ
A Figura 2.14 mostra o vetor acelerac¸a˜o e suas
componentes vetoriais para um objeto que se move
em um plano.
x
y
O
Trajeto´ria
axiˆ
ayjˆ
~a
Figura 2.14: A acelerac¸a˜o ~a de um objeto e suas
componentes vetoriais.
Exerc´ıcio 2.9: Para o coelho do Exerc´ıcio 2.7, de-
termine a acelerac¸a˜o ~a no instante t = 15 s, de-
termine suas componentes, seu mo´dulo e sua in-
clinac¸a˜o.
Exerc´ıcio 2.10: Um objeto cuja velocidade e´ ~v0 =
−2ˆi + 4jˆ (em metros por segundo) em t = 0 sofre
uma acelerac¸a˜o constante ~a, de mo´dulo a = 3m/s2,
que faz um aˆngulo θ = 130◦ com o semi-eixo x
positivo. Qual e´ a velocidade ~v do objeto em t = 5
s?
2.7 Movimento uniforme-
mente acelerado
Um movimento e´ uniformemente acele-
rado se a acelerac¸a˜o for uniforme, e´ dizer se for
uma constante (independente do tempo), assim
~a(t) = ~a (2.17)
onde ~a e´ um vetor constante, tanto em mo´dulo e
em direc¸a˜o. Sejam dadas as seguintes condic¸o˜es
2.8 Movimento dos proje´teis 16
iniciais:
~v(0) = ~v0
~r(0) = ~r0
Para determinar a velocidade em func¸a˜o do tempo
devemos resolver a seguinte equac¸a˜o diferencial
(equac¸a˜o (2.14))
d~v
dt
= ~a
integrando em t a partir de 0 ate´ τ , temos∫ τ
0
d~v
dt
dt =
∫ τ
0
~a dt
~v(τ)− ~v(0) = ~a τ
~v(τ) = ~v0 + ~a τ
onde foi considerado que ~a e´ um vetor constante
e a velocidade inicial ~v(0) = ~v0. Fazendo a mu-
danc¸a da varia´vel τ para t, reescrevemos a ultima
equac¸a˜o,
~v(t) = ~v0 + ~a t (2.18)
que e´ a velocidade de um objeto que realiza um
movimento uniformemente acelerado. Agora, para
encontrar a lei hora´ria vamos usar a definic¸a˜o da
velocidade, equac¸a˜o (2.12), escrevendo como
d~r
dt
= ~v
usando a equac¸a˜o (2.18) para ~v e integrando a
equac¸a˜o anterior novamente em t a partir de 0 ate´
τ , temos ∫ τ
0
d~r
dt
dt =
∫ τ
0
[~v0 + ~a t]dt
~r(τ)− ~r(0) = ~v0τ + ~a
2
τ2
~r(τ) = ~r0 + ~v0τ +
~a
2
τ2
onde foi considerado o valor inicial da posic¸a˜o
~r(0) = ~r0. Fazendo a mudanc¸a da varia´vel τ para
t, reescrevemos a ultima equac¸a˜o,
~r(t) = ~r0 + ~v0t+
~a
2
t2 (2.19)
Que e´ a lei hora´ria de um movimento uniforme-
mente acelerado.
Equac¸a˜o de Torricelli
A partir da equac¸a˜o (2.18) notamos que o
produto escalar de ~v e ~v resulta em
v2 = v20 + 2~v0 · ~a t+ a2t2
v2 − v20 = 2~v0 · ~a t+ a2t2 (2.20)
Por outro lado, a partir da equac¸a˜o (2.19), temos
~d = ~v0 t+
1
2
~a t2
~a · ~d = ~a · ~v0 t+ 1
2
a2t2
2~a · ~d = 2~v0 · ~a t+ a2t2 (2.21)
em que ~d = ~r − ~r0 e´ o vetor deslocamento. Logo
comparando as equac¸o˜es (2.20) e (2.21) obtemos
v2 − v20 = 2~a · ~d
v2 = v20 + 2~a · ~d (2.22)
esta fo´rmula que relaciona a rapidez final v e a ra-
pidez inicial v0 denomina-se equac¸a˜o de Torricelli.
2.8 Movimento dos proje´teis
Qualquer objeto lanc¸ado no ar com uma
certa velocidade inicial denomina-se proje´til, por
exemplo, uma pedra lanc¸ada no ar, uma bala dis-
parada por uma arma de fogo, etc. Quando des-
prezamos a resisteˆncia do ar, o movimento de um
proje´til sempre acontece em um plano vertical, com
uma acelerac¸a˜o constante denominada acelerac¸a˜o
de queda livre ~g, e esta acelerac¸a˜o sempre aponta
para baixo. Este tipo de movimento e´ chamado
movimento bal´ıstico (veja a Figura 2.15).
Um proje´til pode ser uma bola de teˆnis
ou de pingue-pongue, mas na˜o um avia˜o ou um
pato. Em muitos esportes aparecem os movimentos
bal´ısticos; jogadores e te´cnicos esta˜o sempre pro-
curando controlar esses movimentos para obter o
ma´ximo de vantagem.
x
y
θ
~v0
A
QP
ym
xmO
Figura 2.15: Movimento bal´ıstico.
A Figura 2.15 mostra um proje´til lanc¸ado
com uma velocidade inicial ~v0, a qual forma um
aˆngulo θ com a horizontal. O ponto de lanc¸amento
coincide com o origem do sistema de coordenadas,
o eixo x e´ orientado na direc¸a˜o horizontal, e o eixo
y e´ orientado na direc¸a˜o vertical (apontando para
cima). Logo a acelerac¸a˜o da queda livre sera´
~g = −gjˆ (2.23)
2.8 Movimento dos proje´teis 17
onde g = 9, 8 m/s2, e as condic¸o˜es iniciais sera˜o
neste caso
~r0 = ~0, ~v0 = v0 cos θ iˆ+ v0 sen θ jˆ (2.24)
em que v0 = ‖~v0‖ e´ a rapidez inicial. Substi-
tuindo estas informac¸o˜es na equac¸a˜o (2.19) obte-
mos a posic¸a˜o do proje´til em qualquer tempo t,
~r(t) = v0 cos θ t iˆ+ v0 sen θ t jˆ − g
2
t2 jˆ
= [v0 cos θ t] iˆ+ [v0 sen θ t− g
2
t2] jˆ
comparando com ~r = xiˆ + yjˆ, obtemos as coorde-
nadas do proje´til em func¸a˜o do tempo t:
x = v0 cos θ t ; (2.25)
y = v0 sen θ t− g
2
t2 (2.26)
As componentes do vetor velocidade pode-se
determinar facilmente, derivando em relac¸a˜o a t as
equac¸o˜es (2.25) e (2.26), respectivamente, e´ dizer:
vx =
dx
dt
= v0 cos θ; (2.27)
vy =
dy
dt
= v0 sen θ − g t (2.28)
Movimento horizontal
As equac¸o˜es (2.25) e (2.27) indicam que o
movimento horizontal de um proje´til e´ de tipo
MRU, isto e´ devido a que na˜o existe acelerac¸a˜o na
direc¸a˜o horizontal, assim a componente horizontal
da velocidade, vx, permanece inalterada.
Movimento vertical
As equac¸o˜es (2.26) e (2.28) indicam que
o movimento vertical de um proje´til e´ de tipo
MRUA, isto devido a que na direc¸a˜o vertical existe
uma acelerac¸a˜o de valor constante g. A compo-
nente vertical da velocidade, vy, e´ uma func¸a˜o li-
near do tempo, inicialmente ela tem um valor posi-
tivo (o proje´til subi), logo seu valor vai diminuindo
continuamente ate´ se anular (o proje´til alcanc¸a a
altura ma´xima), em seguida muda de sinal para
valores negativos (o proje´til cai). A ordenada do
proje´til, y, e´ uma func¸a˜o quadra´tica do tempo, ca-
racter´ıstica de um MRUA.
Equac¸a˜o da trajeto´ria do movimento
bal´ıstico
Podemos obter a equac¸a˜o do caminho per-
corrido (trajeto´ria) pelo proje´til “eliminando” a
varia´vel tempo t nas equac¸o˜es (2.25) e (2.26). E´
dizer, isolando t na equac¸a˜o (2.25), obtemos
t =
x
v0 cos θ
substituindo este resultado na equac¸a˜o (2.26) e de-
pois de algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, obtemos
y = tanθ · x− g
2v20 cos
2 θ
· x2 (2.29)
Dado que g, θ e v0 sa˜o constantes, a equac¸a˜o
(2.29) representa a equac¸a˜o de uma para´bola, e´ di-
zer, a trajeto´ria de um movimento bal´ıstico e´ uma
para´bola, tal como se mostra na Figura 2.15.
Altura ma´xima
Conforme mostra a Figura 2.15, a altura
ma´xima ym atingido pelo proje´til corresponde ao
instante ts em que a componente vertical da velo-
cidade se anula, ou seja a partir da equac¸a˜o (2.28)
obtemos
ts =
v0 sen θ
g
(2.30)
Em que ts e´ o tempo que leva o proje´til para atingir
a altura ma´xima e denomina-se tempo de subida.
Agora a altura ma´xima sera´
ym = y(ts)
ym = v0sen θ · v0sen θ
g
− 1
2g · v
2
0sen
2θ
g2
ym =
(v0 sen θ)
2
2g
(2.31)
em que foi usado a equac¸a˜o (2.26). O fator v0 sen θ
e´ a componente vertical da velocidade inicial, logo
a altura ma´xima depende somente da componente
vertical da velocidade inicial e da acelerac¸a˜o da
queda livre g.
Exemplo 2.2: Quanto tempo o proje´til leva para
atingir o solo no ponto A? (veja a Figura 2.15)
Soluc¸a˜o: Quando o proje´til atinge o solo sua orde-
nada se anula, e´ dizer,
y(tv) = 0
em que tv e´ o tempo que o proje´til leva para atin-
gir o solo, e denomina-se tempo de voo. Para
determinar o tempo de voo precisamos resolver a
equac¸a˜o anterior, e´ dizer,
y(tv) = 0
v0 sen θ tv − g
2
t2v = 0
tv · (v0 sen θ − g
2
tv) = 0
em que foi usado a equac¸a˜o (2.26). A equac¸a˜o
anterior e´ uma equac¸a˜o quadra´tica, que tem duas
2.8 Movimento dos proje´teis 18
soluc¸o˜es
tv = 0, e
tv =
2v0 sen θ
g
a primeira soluc¸a˜o corresponde ao ponto de
lanc¸amento, em que tambe´m a ordenada do proje´til
se anula, pore´m esse resultado na˜o e´ de interesse
neste caso. Logo a segunda soluc¸a˜o deve ser o
tempo de voo ou tempo que o proje´til leva para
atingir o solo, e´ dizer
tv =
2v0 sen θ
g
(2.32)
Neste caso o tempo de voo e´ duas vezes o tempo
de subida, e´ dizer tv = 2 ts, o que poder´ıamos ter
inferido pela simetria da trajeto´ria em relac¸a˜o a
reta x = xm.
Exemplo 2.3: Com que velocidade o proje´til
atinge o solo?
Soluc¸a˜o: Basta fazer t = tv nas equac¸o˜es (2.27) e
(2.28), e´ dizer:
vx = v0 cos θ;
vy = v0 sen θ − gtv = −v0 sen θ.
Logo a velocidade com que atinge o solo e´
~v = v0 cos θiˆ− v0 sen θjˆ
e a rapidez sera´
v = v0
e´ dizer, a rapidez do proje´til no momento em que
atinge o solo e´ exatamente igual a rapidez inicial
do proje´til. Da mesma forma podemos mostrar que
as rapidezes nos ponto P e Q na Figura 2.15 que
esta˜o na mesma linha horizontal (y = constante)
sa˜o iguais.
Alcance horizontal
O alcance horizontal A de um proje´til e´ de-
finido como a distaˆncia horizontal percorrida pelo
proje´til ate´ atingir o solo (veja a Figura 2.15). O
alcance horizontal e´ igual a abscissa do proje´til no
tempo t = tv, e´ dizer,
A = x(tv)
logo usando a equac¸a˜o (2.25), obtemos
A = v0 cos θ · 2v0sen θ
g
=
v20
g
sen 2θ (2.33)
• Atenc¸a˜o: a equac¸a˜o (2.33) na˜o fornece o al-
cance horizontal do proje´til quando a altura de
lanc¸amento e a altura final sejam diferentes.
O alcance horizontal atinge o valor ma´ximo
para sen 2θ = 1, que corresponde a 2θ = 90◦ ou
θ = 45◦. Novamente, este resultado na˜o e´ va´lido
quando a altura de lanc¸amento e´ diferente da altura
final, e´ dizer, na˜o e´ va´lido para o arremesso de peso,
no lanc¸amento de disco, ou em lanc¸amento livre em
basquetebol.
Exerc´ıcio 2.11: Um objeto e´ lanc¸ado de uma al-
tura H em relac¸a˜o ao solo, com uma rapidez ini-
cial v0 e em uma direc¸a˜o θ acima da horizontal.
Ignorando a resisteˆncia do ar em todos os casos,
determine:
(a) a lei hora´ria do objeto;
(b) a velocidade em func¸a˜o do tempo;
(c) o tempo de voo;
(d) o alcance horizontal;
(e) a altura ma´xima em relac¸a˜o ao solo.
Exerc´ıcio 2.12: Um helico´ptero larga um pacote
de suprimentos para v´ıtimas de uma inundac¸a˜o,
que esta˜o dentro de um bote em um lago cheio.
Quando o pacote e´ largado, o helico´ptero esta´ a
100 m diretamente acima do bote e voando com
uma velocidade de 25,0 m/s a um aˆngulo de 36, 9◦
acima da horizontal:
(a) quanto tempo o pacote fica no ar?
(b) a que distaˆncia do bote o pacote cai?
(c) se o helico´ptero continua com a velocidade
constante, onde estara´ o helico´ptero quando
o pacote atingir o lago?
(d) encontre o tempo t1 para o pacote atingir sua
altura ma´xima h acima da a´gua, e encontre
essa altura ma´xima.
Ignore a resisteˆncia do ar em todos os casos.
Exerc´ıcio 2.13: Um avia˜o de salvamento voa ho-
rizontalmente a 198 km/h (= 55,0 m/s), a uma
altura constante de 500 m, rumo a um ponto di-
retamente acima da v´ıtima de um naufra´gio, para
deixar cair uma balsa:
(a) qual deve ser o aˆngulo φ entre a linha de vi-
sada do piloto para a v´ıtima e a horizontal no
instante em que o piloto deixa cair a balsa?
(b) no momento em que a balsa atinge a a`gua,
qual e´ sua velocidade ~v? E qual e´ sua rapidez?
Qual e´ a inclinac¸a˜o da direc¸a˜o do movimento?
Exerc´ıcio 2.14: Um objeto, movendo-se a` veloci-
dade de 4,0 m/s no sentido +x, tem uma acelerac¸a˜o
de 3,0 m/s2 no sentido +y, durante 2,0 s. Encontre
a rapidez final do objeto.
2.8 Movimento dos proje´teis 19
Exerc´ıcio 2.15: Um objeto tem uma acelerac¸a˜o
constante ~a= (6,0 m/s2)ˆi+ (4,0 m/s2)jˆ. No tempo
t = 0, a velocidade e´ zero e o vetor deslocamento e´
~r0 = (10 m)ˆi:
(a) encontre os vetores velocidade e deslocamento
em func¸a˜o do tempo t;
(b) encontre a equac¸a˜o da trajeto´ria do objeto no
plano Oxy e esboce a trajeto´ria.
Cap´ıtulo 3
Dinaˆmica: leis de Newton
Nos cap´ıtulos anteriores discutimos as ca-
racter´ısticas de um movimento sem nos preocupar
das razo˜es pelas quais as part´ıculas se movem de
uma determinada forma, pore´m neste cap´ıtulo es-
tudaremos essas razo˜es. Esta parte da mecaˆnica
que se dedica ao estudo das causas do movimento
denomina-se dinaˆmica.
Forc¸a
Nossa ide´ia intuitiva de forc¸a esta´ relacio-
nada com o esforc¸o muscular que realizamos para
alterar o estado de movimento de um objeto, por
exemplo, para colocar um objeto em movimento
e´ necessa´rio aplicar um puxa˜o sobre o objeto (es-
forc¸o muscular), e para frear um objeto tambe´m
e´ necessa´rio aplicar um empurra˜o sobre o objeto
(esforc¸o muscular).
Definic¸a˜o 3.1: Uma forc¸a, no sentido mais sim-
ples, e´ um empurra˜o ou puxa˜o. Sua origem pode
ser gravitacional, ele´trica, magne´tica ou simples-
mente um esforc¸o muscular. O instrumento de
medida da forc¸a denomina-se dinamoˆmetro. A
unidade no SI da forc¸a e´ newton (N). A forc¸a e´
uma quantidade f´ısica vetorial, pois puxo˜es ou em-
purro˜es em diferentes direc¸o˜es produzem diferentes
movimentos.
Quando mais de uma forc¸a atuar sobre um
objeto, e´ necessa´rio definir a forc¸a resultante,
que define-se como a combinac¸a˜o (soma) dessas
forc¸as.
3.1 Leis de Newton
Isaac Newton (1642-1727), em seu monu-
mental trabalho: Os Princ´ıpios Matema´ticos da
Filosofia Natural, publicado em 1687, formulou treˆs
axiomas ou leis do movimento 1. Essas treˆs leis sa˜o
a base da dinaˆmica.
Primeira lei de Newton (lei da
ine´rcia)
1Um axioma e´ uma premissa que, por considerar-se evi-
dente, e´ aceita sem comprovac¸a˜o.
Primeira lei de Newton: Todo objeto per-
manece em seu estado de repouso ou de rapidez
uniforme em uma linha reta (MRU) a menos que
uma forc¸a resultante na˜o nula seja exercida sobre
ele.
Segundo Aristo´teles (384 a.C. - 322 a.C.),
tanto para colocar um corpo em movimento, como
para manteˆ-lo em movimento, e´ necessa´rio a ac¸a˜o
de uma forc¸a. Isto parece concordar com nossa ex-
perieˆncia dia´ria. Se voceˆ faz um disco de metal
deslizar em uma superf´ıcie de madeira, a veloci-
dade dele realmente diminui ate´ parar. Para que
continue a deslizar indefinidamente deve ser em-
purrado ou puxado continuamente. Pore´m, se o
disco for lanc¸ado em uma pista de patinac¸a˜o, per-
correra´ uma distaˆncia bem maior antes de parar.
E´ poss´ıvel imaginar superf´ıcies mais escorregadias,
nas quais o disco percorreria distaˆncias ainda mai-
ores. No limite, podemos pensar em uma superf´ıcie
extremamente escorregadia, na qual o disco na˜o di-
minuiria de velocidade. Podemos, de fato, chegar
muito perto dessa situac¸a˜o fazendo o disco deslizar
em uma mesa de ar, na qual o disco e´ sustentado
por uma corrente de ar.
Massa
A primeira lei de Newton diz que qualquer
objeto tende permanecer em repouso a menos que
uma forc¸a seja exercida sobre ele, emoutras pala-
vras, um objeto pode ser colocado em movimento
se e somente se for aplicado uma forc¸a sobre ele.
Nossa experieˆncia cotidiana mostra que existem
objetos mais dif´ıceis de ser colocado em movimento
e outros mais fa´ceis. Por exemplo, se voceˆ chutar
uma bola de futebol, ela entra em movimento com
facilidade, agora, se voceˆ chutar uma bola de boli-
che sera´ mais dif´ıcil de ela entrar em movimento, o
que e´ evidenciado pelos seus dedos do pe´ doloridos
depois que voceˆ chutar a bola de boliche.
A grandeza f´ısica associada a dificuldade
de colocar um objeto em movimento denomina-se
inercia. A inercia e´ uma propriedade intr´ınseca de
um objeto, e´ dizer, na˜o depende de nenhum fator
externo.
20
3.1 Leis de Newton 21
Definic¸a˜o 3.2: A massa e´ definida como a quan-
tidade de mate´ria num objeto. E´ tambe´m a medida
da ine´rcia ou lentida˜o com que um objeto responde
a qualquer esforc¸o feito para moveˆ-lo ou alterar de
algum modo o seu estado de movimento. O instru-
mento de medida da massa denomina-se balanc¸a.
A unidade no SI da massa e´ quilograma2(kg). A
massa e´ uma quantidade f´ısica escalar.
Segunda lei de Newton
Segunda lei de Newton: A acelerac¸a˜o de
um objeto e´ diretamente proporcional a` forc¸a
resultante atuando sobre ele; tem o mesmo sentido
que essa forc¸a e e´ inversamente proporcional a`
massa do objeto.
Quantitativamente na forma escalar e na forma ve-
torial, respectivamente:
a =
Fres
m
(3.1)
~a =
~Fres
m
(3.2)
em que ~a e´ a acelerac¸a˜o que sofre o objeto, m e´
a massa do objeto, e ~Fres e´ a forc¸a resultante que
age sobre o objeto.
As equac¸o˜es (3.1) e (3.2) sa˜o simples, pore´m
devem ser usadas com cuidado para na˜o encon-
trar resultados incoherentes. Primeiro, devemos
escolher o objeto cuja acelerac¸a˜o sera´ determinada,
logo ~Fres deve ser a soma vetorial de todas as forc¸as
que agem sobre esse objeto, somente as forc¸as
que agem sobre esse objeto. Se sobre o objeto
esta˜o agindo n forc¸as, enta˜o
~Fres =
n∑
i=1
~Fi = ~F1 + ~F2 + · · ·+ ~Fn
Uma consequeˆncia da equac¸a˜o (3.2) e´ que
se a forc¸a resultante que age sobre um objeto e´
nula, enta˜o a acelerac¸a˜o do corpo tambe´m e´ nula
(~a = ~0). Se o corpo esta´ em repouso, permanece
em repouso; se esta´ em movimento, continua a se
mover com velocidade constante. Naquele caso, em
que as forc¸as que agem sobre um objeto se com-
pensam ou sa˜o nulas, dizemos que o objeto esta´
em equil´ıbrio. Logo podemos escrever a condic¸a˜o
de equil´ıbrio de um objeto como
~Fres = ~0∑
~F = ~0 (3.3)
2Massa de um cilindro feito de uma liga de platina-ir´ıdio
que se encontra guardada em Biroˆ Internacional de Pesos e
Medidas em Se`vres, na Franc¸a.
em que o somato´ria se estende a todas as forc¸as
que agem sobre o objeto.
A segunda lei de Newton no´s permite definir
a unidade da forc¸a, newton (N) como:
1 N = 1 kg ·m/s2
Terceira lei de Newton
Terceira lei de Newton: Sempre que um
objeto exerce uma forc¸a sobre outro objeto, este
exerce uma forc¸a igual e oposta sobre o primeiro.
Por exemplo, se voceˆ apoia um livro L em
uma caixa C, tal como se mostra na Figura 3.1(a),
o livro e a caixa interagem3: a caixa exerce uma
forc¸a horizontal ~FLC sobre o livro e o livro tambe´m
exerce uma forc¸a horizontal ~FCL sobre a caixa,
pore´m esta ultima forc¸a e´ oposta ao primeiro. Esse
par de forc¸as sa˜o mostradas na Figura 3.1(b), em
que tanto o livro e a caixa sa˜o representado como
um ponto.
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L C
(b)
(a)
Livro L
Caixa C
~FLC ~FCL
Figura 3.1: (a) O livro L esta´ apoiado na caixa C.
(b) As forc¸as ~FLC (forc¸a da caixa sobre o livro) e
~FCL (forc¸a do livro sobre a caixa) teˆm o mesmo
mo´dulo e sentidos opostos.
Para o exemplo da Figura 3.1, podemos es-
crever
FLC = FCL
ou na forma vetorial
~FLC = −~FCL
onde o sinal negativo indica que as forc¸as teˆm sen-
tidos opostos. O livro e a caixa esta˜o em repouso,
mas a terceira lei seria va´lida se estivessem em mo-
vimento uniforme ou mesmo acelerado.
3Dizemos que dois corpos interagem quando empurram
ou puxam um ao outro, ou seja, quando cada um exerce
uma forc¸a sobre o outro.
3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton 22
As forc¸as que existem entre dois objetos que
interagem sa˜o denominados par de forc¸as da ter-
ceira lei.
Exemplo 3.1: Como outro exemplo, vamos exami-
nar os pares de forc¸as da terceira lei que existem
no sistema da Figura 3.2(a), constitu´ıdo por uma
abo´bora, uma mesa e a Terra. A abo´bora interage
com a mesa e esta com a Terra (desta vez, existem
treˆs corpos cujas interac¸o˜es devemos estudar).
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(a)
~FAM (forc¸a normal da mesa)
(b)
Abo´bora A
Mesa M
Terra T
~FAT (forc¸a gravitacional)
Abo´bora
~FAT
~FTA
Terra
(c)
(d)
~FMA
~FAM
Figura 3.2: (a) Uma abo´bora esta´ em repouso so-
bre uma mesa na superf´ıcie da Terra. (b) As forc¸as
que agem sobre a abo´bora sa˜o ~FAM e ~FAT . (c) Par
de forc¸as da terceira lei para a interac¸a˜o abo´bora-
Terra. (d) Par de forc¸as da terceira lei para a in-
terac¸a˜o abo´bora-mesa.
Soluc¸a˜o: A Figura 3.2(b) mostra as forc¸as que
agem sobre a abo´bora: a forc¸a ~FAM que a mesa
exerce sobre a abo´bora e a forc¸a ~FAT a Terra exerce
sobre a abo´bora (forc¸a gravitacional). Essas for-
mam um par de forc¸as da terceira lei? Na˜o, pois
sa˜o forc¸as que atuam sobre um mesmo corpo, a
abo´bora, e na˜o sobre os dois corpos que interagem.
Para encontrar um par de terceira lei pre-
cisamos nos concentrar na˜o na abo´bora, mas na
interac¸a˜o entre a abo´bora e outro corpo. Na in-
terac¸a˜o abo´bora-Terra, tal como mostra a Figura
3.2(c), a Terra atrai a abo´bora com uma forc¸a gra-
vitacional ~FAT e a abo´bora atrai a Terra com uma
forc¸a gravitacional ~FTA. Essas forc¸as formam um
par de forc¸as da terceira lei? Sim, porque as forc¸as
atuam sobre os dois corpos que interagem e a forc¸a
a que um esta´ submetido e´ causada pelo outro, as-
sim pela terceira lei de Newton
~FAT = −~FTA
A Figura 3.2(d) mostra a interac¸a˜o abo´bora-
mesa, a forc¸a da mesa sobre a abo´bora e´ ~FAM e a
forc¸a da abo´bora sobre a mesa e´ ~FMA. Essas forc¸as
tambe´m formam um par de forc¸as da terceira lei e,
portanto,
~FAM = −~FMA
3.2 Aplicac¸o˜es das leis de
Newton
Diagrama de corpo livre (DCL)
Para resolver problemas que envolve a se-
gunda lei de Newton frequentemente desenhamos
um diagrama de corpo livre, que consisteem
mostrar somente aquele corpo de interesse, se-
guindo o seguinte roteiro.
(i) Primeiro, vamos desenhar um ponto
geome´trico que representa o corpo de
interesse, logo desenhamos as setas que repre-
sentam as forc¸as que agem sobre o corpo, as
setas devem ter origem no ponto geome´trico
que representa o corpo.
(ii) Segundo, desenhamos um sistema de coorde-
nadas apropriadamente, e usualmente dese-
nhamos a acelerac¸a˜o do corpo mediante outra
seta de outro cor ou de outro tipo.
Forc¸a externa e forc¸a interna
Um sistema e´ formado por um ou mais cor-
pos, qualquer forc¸a que sofre um corpo do sistema
devido a um agente fora do sistema e´ chamada de
forc¸a externa. A forc¸a que sofre um corpo devido
a outro corpo que pertence ao sistema denomina-se
forc¸a interna.
Exerc´ıcio 3.1: A Figura 3.3 mostra duas forc¸as
horizontais atuando em um bloco de massa m = 1
kg apoiado em um piso sem atrito. Se uma terceira
forc¸a horizontal ~F3 tambe´m esta´ agindo sobre o
bloco, determine o mo´dulo e a orientac¸a˜o de ~F3 se
o bloco esta´:
(a) em repouso;
(b) se movendo para a esquerda com uma veloci-
dade constante de 5 m/s;
(c) se movendo com uma acelerac¸a˜o constante de
2 m/s2.
(d) se movendo com uma acelerac¸a˜o constante de
-2 m/s2.
3.3 Algumas forc¸as especiais 23
3 N 5 N
Figura 3.3: Bloco apoiado em um piso sem atrito.
Exerc´ıcio 3.2: Nas Figuras 3.4, uma ou duas
forc¸as agem sobre um disco meta´lico que se move
sobre o gelo sem atrito ao longo do eixo x, em um
movimento unidimensional. A massa do disco e´
m = 0, 20 kg. As forc¸as ~F1 e ~F2 atuam ao longo
do eixo x e teˆm mo´dulos F1 = 4, 0 N e F2 = 2, 0
N. A forc¸a ~F3 faz um aˆngulo θ = 30
o com o eixo x
e tem um mo´dulo F3 = 1, 0 N. Qual e´ a acelerac¸a˜o
do disco em cada situac¸a˜o?
(a)
~F1
A B C
~F1
x
Disco
x
~F1~F2
x
~F2
θ
x~F3
x
~F1
~F2
(b) (c)
(f)
x
θ
(d) (e)
~F2
~F3
Figura 3.4: (a)-(c) Em treˆs situac¸o˜es, forc¸as atuam
sobre um disco que se move ao longo do eixo x. (d)-
(f) Diagramas de corpo livre.
Exerc´ıcio 3.3: A Figura 3.5 mostra a vista su-
perior de uma lata de biscoitos de 2,0 kg que e´
acelerada a 3,0 m/s2 na orientac¸a˜o definida por ~a,
em uma superf´ıcie horizontal sem atrito. A ace-
lerac¸a˜o e´ causada por treˆs forc¸as horizontais, das
quais apenas duas sa˜o mostradas: ~F1, de mo´dulo
10 N, e ~F2, de mo´dulo 20 N. Determine a terceira
forc¸a, ~F3. Qual e´ o mo´dulo e a orientac¸a˜o desta
forc¸a?
3.3 Algumas forc¸as especiais
Forc¸a gravitacional
Qualquer objeto colocado nas proximidades
de nosso planeta Terra sofre uma forc¸a atrativa,
o que causa que todos os objetos tendem cair na
direc¸a˜o do centro da Terra (verticalmente para
baixo). Essa forc¸a denomina-se forc¸a gravitacio-
nal ~Fg, que e´ devido a presenc¸a da Terra. Esse
tipo de forc¸a age a distaˆncia, e´ dizer o objeto na˜o
precisa estar em contato com a Terra para sofrer a
forc¸a da gravidade.
x
y
~F1
y
(a) (b)
~F2
~a
50◦
30◦
−~F2
m~a
~F3
−~F1
Figura 3.5: (a) Vista superior de duas das treˆs
forc¸as que agem sobre uma lata de biscoitos, pro-
duzindo uma acelerac¸a˜o ~a, ~F3 na˜o e´ mostrada. (b)
Um arranjo de vetores m~a, −~F1 e −~F2 para deter-
minar a forc¸a ~F3.
Exemplo 3.2: Determine a forc¸a gravitacional que
sofre um corpo de massa “m”, por simplicidade,
considere que o corpo esta´ em queda livre com ace-
lerac¸a˜o g.
Soluc¸a˜o: Se desprezarmos os efeitos da resisteˆncia
do ar a u´nica forc¸a que age sobre o corpo e´ a forc¸a
gravitacional ~Fg. Logo a forc¸a resultante sera´ igual
a forc¸a gravitacional, enta˜o usando a segunda lei
de Newton podemos encontrar uma relac¸a˜o entre a
forc¸a gravitacional e a acelerac¸a˜o de queda livre g.
x
y
~a
~Fg
Terra
Figura 3.6: Diagrama de corpo livre.
Fazendo o diagrama de corpo livre, tal como
mostra a Figura 3.6, e usando a segunda lei de
Newton (equac¸a˜o (3.1)), temos
g =
Fg
m
mg = Fg
Fg = mg (3.4)
a forc¸a gravitacional sobre um corpo e´ proporcio-
3.3 Algumas forc¸as especiais 24
nal a sua massa. A forc¸a gravitacional na forma
vetorial sera´
~Fg = −mgjˆ
o sinal negativo indica que a forc¸a gravitacional
sempre aponta verticalmente para baixo.
Essa mesma forc¸a gravitacional Fg = mg age
sobre o corpo de massammesmo quando na˜o esteja
em queda livre, por exemplo, quando se encontra
em repouso sobre uma mesa ou movendo-se sobre
a mesa. A forc¸a gravitacional nunca se anula, para
que a forc¸a gravitacional desaparec¸a, a Terra teria
que desaparecer.
Exerc´ıcio 3.4: Se a forc¸a gravitacional sobre um
objeto e´ proporcional a sua massa, por que um ob-
jeto de maior massa na˜o cai com maior acelerac¸a˜o
que um objeto de menor massa?
Peso
Definic¸a˜o 3.3: O peso P define-se como a forc¸a
sobre um objeto devido a` gravidade, quantitativa-
mente define-se como o mo´dulo da forc¸a gravitaci-
onal que age sobre o objeto, e´ dizer,
P = mg (3.5)
O peso de um objeto e´ proporcional a sua massa,
por isso, massa e peso podem com frequeˆncia ser
trocados um pelo outro. Ale´m disso, massa e peso
a`s vezes sa˜o confundidos porque e´ costumeiro medir
a quantidade de mate´ria nas coisas (massa) por
meio da atrac¸a˜o gravitacional da Terra (peso).
O peso de um objeto na˜o e´ equivalente a sua
massa. Se voceˆ levar um objeto para um local onde
o valor de g e´ diferente, o valor do seu peso mudara´,
pore´m sua massa continuara´ a mesma, isto devido
a que a massa e´ uma propriedade intr´ınseca de um
objeto, diferentemente do peso. Por exemplo, o
peso de uma bola de boliche de massa 7,2 kg e´
apropriadamente 71 N na Terra, mas apenas 12 N
na Lua, pois o valor da acelerac¸a˜o de queda livre
na Lua e´ apenas g = 1,6 m/s2. Pore´m, a massa e´
a mesma na Terra e na Lua.
Forc¸a normal
Se voceˆ ficar em pe´ em um colcha˜o, a Terra
puxara´ voceˆ para baixo, mas voceˆ permanecera´ em
repouso. Isso acontece porque o colcha˜o se deforma
sob o seu pe´ e empurra voceˆ para cima. Da mesma
forma, se voceˆ esta´ sobre um piso, ele se deforma
(ainda que imperceptivel) e o empurra para cima.
A forc¸a exercido pelo colcha˜o ou pelo piso sobre o
pe´ de voceˆ denomina-se forc¸a normal e denota-se
por ~FN . O nome vem do termo matema´tico nor-
mal, que significa perpendicular. A forc¸a que o
piso ou colcha˜o exerce sobre o pe´ de voceˆ e´ perpen-
dicular ao piso.
Definic¸a˜o 3.4: Quando um corpo exerce uma
forc¸a sobre uma superf´ıcie, a superf´ıcie se deforma,
ainda que a superf´ıcie seja aparentemente r´ıgida.
Imediatamente depois que comec¸ar a deformac¸a˜o
da superf´ıcie, a superf´ıcie comec¸a exercer uma forc¸a
sobre o corpo, a componente normal ou perpendi-
cular desta forc¸a define-se como a forc¸a normal
e denota-se por ~FN , e a componente tangencial re-
cebe o nome de forc¸a de atrito.
Exemplo 3.3: A Figura 3.7(a) mostra um bloco
de massa “m” que pressiona uma mesa para baixo,
isto devido a forc¸a gravitacional ~Fg que sofre o
bloco. Determine a forc¸a normal sobre o bloco.
x
Bloco
y
~Fg
~FN
(b)(a)
Bloco
Forc¸a normal ~FN
~Fg
Figura 3.7: (a) Um bloco que repousa sobre uma
mesa recebe uma forc¸a normal ~FN perpendicular a`
superf´ıcie da mesa. (b) Diagrama de corpo livre do
bloco.
Soluc¸a˜o: A mesa empurra o bloco para cima com a
forc¸a normal ~FN . A Figura 3.7(b) mostra o DCL
do bloco, as forc¸as ~Fg e ~FN sa˜o as u´nicas forc¸as que
atuam sobre o bloco, e ambas sa˜o verticais. Logo,
a forc¸a resultante sera´:
~Fres = (FN − Fg)jˆ
em que jˆ e´ um versor que aponta verticalmente
para cima. Substituindo na segunda lei de Newton,
temos
~a = (FN − Fg)jˆ/m
de onde reconhecemos que ax = 0 e ay = (FN −
Fg)/m, logo
FN = may + Fg
Dado que Fg = mg, Finalmente obtemos a forc¸a
normal
FN = m(ay + g) (3.6)
em que ay e´ a acelerac¸a˜o vertical