Aula_9

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1
Aula 9 – Econometria
Profa. Dra. Margarida Garcia de Figueiredo
margaridagf@ufmt.br
mgfiguei@gmail.com
10/07/2014
2
Violação da Pressuposição 3:
HETEROCEDASTICIA
Natureza da heterocedasticidade
Consequências
Testes para detecção
Medidas corretivas
3
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
A heterocedastia não destrói as propriedades de não
tendenciosidade e de consistência dos 
estimadores, porém, eles deixam de ser eficientes, 
tornando de valor dúbio os habituais procedimentos de 
testes de hipóteses.
Portanto, são necessárias medidas corretivas, havendo
duas abordagens para a correção: quando 𝜎2𝑖 é 
conhecido e quando 𝜎2𝑖 não é conhecido.
4
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
1. Quando é conhecido: 2i
Neste caso, o procedimento
correto é utilizar o método dos 
mínimos quadrados
generalizados, ou mínimos
quadrados ponderados, pois os
estimadores assim obtidos são
BLUE
5
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
GENERALIZADOS (MQG)
Quando os valores 𝜎2𝑖 forem conhecidos, 
podemos fazer uma transformação dos 
dados e, ao aplicarmos o método dos MQO 
normalmente nos dados transformados, os
estimadores obtidos serão considerados
BLUE.
6
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
GENERALIZADOS (MQG)
A transformação:


 i
i
i
i
i
i
ii
i XXY



















2*
2
1*
1
*
0
1
 iiii XXY  22110








 i
i
i
i
i
i
ii
i XXY

2
2
1
1
0
 **2*2*1*1*0* iiii XXY 
7
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
GENERALIZADOS (MQG)
Qual é o propósito de se transformar o modelo original?
)(
1 2
2


i
i
E









i
i
i EEVar i
2
2*
)()( *
 22)( iiE 
Sabendo-se que:
 

2
2
1
i
i

1)( *  iVar
Portanto: Que é constante
8
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
GENERALIZADOS (MQG)
Esse procedimento de transformar as variáveis originais, 
de modo que as variáveis transformadas atendam as 
pressuposições do modelo clássico e então aplicar-lhes
os MQO, é conhecido como o método dos mínimos
quadrados generalizados (MQG).
Em síntese, os MQG são os MQO aplicados a variáveis
transformadas, as quais satisfazem as premissas
básicas inerentes ao método dos MQO. Os estimadores
assim obtidos são considerados BLUE.
9
A DIFERENÇA ENTRE OS MQO E OS MQG
Nos MQG minimizamos uma soma ponderada de 
quadrados residuais, com funcionando como
pesos.
O peso atribuído a cada observação i nos MQG é 
inversamente proporcional a seu , isto é, as 
observações provenientes de populações com maiores
terão um peso relativamente menor na soma dos 
quadrados dos resíduos, e vice-versa.
 i1
 i
 i
10
Número de empregados
4 9 19 49 99 249 499 999 2499
Ramo da 1 2994 3295 3565 3907 4189 4486 4676 4968 5342
empresa 2 1721 2057 3336 3320 2980 2848 3072 2969 3822
3 3600 3657 3674 3437 3340 3334 3225 3163 3168
4 3494 3787 3533 3215 3030 2834 2750 2967 3453
5 3498 3847 3913 4135 4445 4885 5132 5342 5326
6 3611 4206 4695 5083 5301 5269 5182 5395 5552
7 3875 4660 4930 5005 5114 5248 5630 5870 5876
8 4616 5181 5317 5337 5421 5710 6316 6455 6347
9 3538 3984 4014 4287 4221 4539 4721 4905 5481
10 3016 3196 3149 3317 3414 3254 3177 3346 4067
Média 3396 3787 4013 4014 4146 4241 4387 4538 4843
DP 743,7 851,4 727,8 805,06 929,9 1080,6 1243,2 1307,7 1112,5
Prod. Média 9355 8584 7962 8275 8389 9418 9795 10281 11750
EXEMPLO: Remuneração média por empregado X
Número de empregados
(Tabela 11.1 do livro do Gujarati) População de 90 empresas
11
EXEMPLO: Remuneração média por empregado X
Número de empregados
4 9 19 2499…
R
e
m
u
n
e
ra
ç
ã
o
p
o
r
e
m
p
re
g
a
d
o
Y
Número de empregados
EXEMPLO: Remuneração média por empregado X
Número de empregados
12
𝑌 = 𝛽0+𝛽1X+𝜀
Estimar uma regressão linear
Y é a remuneração média por empregado
X é o número de empregados na empresa
Remuneração Empregados 𝛔𝐢 2
3396 4 743,7
3787 9 851,4
4013 19 727,8
4014 49 805,06
4146 99 929,9
4241 249 1080,6
4387 499 1243,2
4538 999 1307,7
4843 2499 1112,5
13
Estimativa no GretL + Teste para detectar heterocedasticia
EXEMPLO: Remuneração média por empregado X Número de empregados
14
𝑌∗ = 𝛽0*+𝛽1X*+ 𝜀
∗
Estimar uma regressão linear
Y* é a remuneração média por empregado /𝛔𝐢
X* é o número de empregados na empresa /𝛔𝐢
Remun.
Y*
Empregados
X* 𝛔𝐢 2 𝛔𝐢
3396 / 27,27 4 / 27,27 743,7 27,27
3787 / 29,18 9 / 29,18 851,4 29,18
4013 / 26,98 19 / 26,98 727,8 26,98
4014 / 28,37 49 / 28,37 805,06 28,37
4146 / 30,49 99 / 30,49 929,9 30,49
4241 / 32,87 249 / 32,87 1080,6 32,87
4387 / 35,26 499 / 35,26 1243,2 35,26
4538 / 36,16 999 / 36,16 1307,7 36,16
4843 / 33,35 2499 / 33,35 1112,5 33,35
Transformação dos dados
15
Estimativa no GretL + Teste para detectar heterocedasticia
(Modelo transformado – MQG)
16
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
2. Quando não é conhecido 2i
Se o não for conhecido, duas opções utilizadas para a 
correção seriam:

2
i
1. Método de Glejser
2. Método de White
17
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
2. Quando não é conhecido 2i
Se o não for conhecido, duas opções utilizadas para a 
correção seriam:

2
i
1. Método de Glejser
2. Método de White
18
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
2. Quando não é conhecido (Método de 
Glejser):

2
i
Outra forma de correção do modelo quanto à 
heterocedasticia, seria utilizar a variável da
regressão auxiliar que acusou o problema, de 
acordo com o teste de Glejser, para ponderar as 
variáveis, transformando-as e procedendo a 
estimação de MQG, ou seja, MQO nas variáveis
transformadas
19
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
Pressuposições a respeito do padrão de heterocedasticidade:
1. A variância do erro é proporcional a Xi
2
XE ii
222)(  
Neste caso, transformamos o modelo original dividindo-o por Xi:
XX
X
XX
Y
i
i
i
i
ii
i 
 21 v
XX
Y
i
ii
i
 
21
1
20
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
Neste caso, verifica-se que:
)(
1
)( 2
2
2
2  i
i
i E
XX
EvE
i
i 






X
X
vE i
i
i
22
2
2 1)(  
22)( vE i
Consequentemente, a variância de vi agora é 
homocedástica, e podemos aplicar o MQO 
normalmente na equação transformada
21
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
Em resumo:
vXe iii 
2
21

Se a regressão auxiliar que apontou o 
problema tiver esta forma funcional
Neste caso, transformamos o modelo original dividindo-o por Xi:
XX
X
XX
Y
i
i
i
i
ii
i 
 21 v
XX
Y
i
ii
i
 
21
1
É porque a variância do erro é proporcional a Xi
2
22
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
Pressuposições a respeito do padrão de heterocedasticidade:
2. A variância do erro é proporcional a Xi
XE ii  22)( 
Neste caso, transformamos o modelo original dividindo-o por 𝑋𝑖:
XX
X
XX
Y
i
i
i
i
ii
i 
 21 vX
XX
Y
ii
ii
i
 
21
1
23
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
Neste caso, verifica-se que:
)(
1
)( 2
2
2  i
i
i E
XX
EvE
i
i 








X
X
vE i
i
i  22
1
)(  
22)( vE i
Consequentemente, a variância de vi agora é 
homocedástica, e podemos aplicar o MQO 
normalmente na equação transformada.
24
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
Em resumo:
Se a regressão auxiliar que apontou o 
problema tiveresta forma funcional
Neste caso, transformamos o modelo original dividindo-o por 𝑋𝑖:
É porque a variância do erro é proporcional a Xi
vXe iii   21
XX
X
XX
Y
i
i
i
i
ii
i 
 21 vX
XX
Y
ii
ii
i
 
21
1
25
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Empresa P&D VENDAS
1 62,50 6.375,30
2 92,90 11.626,40
3 178,30 14.655,10
4 258,40 21.869,20
5 494,70 26.408,30
6 1.083,00 32.405,60
7 1.620,60 35.107,70
8 421,70 40.295,40
9 509,20 70.761,60
10 6.620,10 80.552,80
11 3.918,60 95.294,00
12 1.595,30 101.314,10
13 6.107,50 116.141,30
14 4.454,10 122.315,70
15 3.163,80 141.649,90
16 13.210,70 175.025,80
17 1.703,80 230.614,50
18 9.528,20 293.543,00
Deseja-se verificar se os 
investimentos em P&D são 
influenciados pelas vendas das 
empresas. Utilizou-se uma 
amostra com 18 empresas 
diferentes.
Exemplo de correção 
no Eviews utilizando-se 
o método de Glejser
26
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Utilizando-se o método de Glejser
Ao efetuarmos o teste de Glejser pelo Eviews, verificamos que havia uma
relação linear entre os valores absolutos dos resíduos e os valores da
variável vendas (variável X explicativa do modelo)
Neste caso, a correção poderá ser feita utilizando-se a variável vendas
para transformar os dados, e depois aplicamos o MQO nos dados 
transformados, que é a mesma coisa que aplicar os MQG ou mínimos
quadrados ponderados
O modelo transformado será:
𝑌𝑖
𝑋𝑖
=𝛽1
1
𝑋𝑖
+ 𝛽2
𝑋𝑖
𝑋𝑖
+ 𝑣𝑖
27
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de Glejser - Eviews
Estima a equação de 
pd/sqr(vds) em
função de 
vds/sqr(vds) e uma
constante
28
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de Glejser - Eviews
29
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de Glejser – GretL
Cria as variáveis
𝑣𝑑𝑠
𝑣𝑑𝑠
𝑒
𝑝𝑑
𝑣𝑑𝑠
Definir nova variável
30
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de Glejser – GretL
Estima os 
parâmetros por 
MQO, sobre os 
dados 
transformados.
31
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de Glejser – GretL
32
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
2. Quando não é conhecido 2i
Se o não for conhecido, duas opções utilizadas para a 
correção seriam:

2
i
1. Método de Glejser
2. Método de White
33
PROVIDÊNCIAS CORRETIVAS
2. Quando não é conhecido (Método de White):
• Variâncias e erros-padrão consistentes para
heterocedasticidade de White: White mostrou que as
estimativas podem ser feitas de tal modo que possam ser
tiradas inferências estatísticas assintoticamente válidas (isto é,
para grandes amostras) sobre os verdadeiros valores dos
parâmetros.

2
i
Atualmente, vários programas de computador já fazem a 
correção do modelo em relação à heterocedasticidade, 
fornecendo os estimadores de matrizes de variâncias 
heterocedástico-consistentes de White.
Os erros-padrão com a correcão da heterocedasticidade de 
White também são conhecidos como erros-padrão robustos. 
34
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Empresa P&D VENDAS
1 62,50 6.375,30
2 92,90 11.626,40
3 178,30 14.655,10
4 258,40 21.869,20
5 494,70 26.408,30
6 1.083,00 32.405,60
7 1.620,60 35.107,70
8 421,70 40.295,40
9 509,20 70.761,60
10 6.620,10 80.552,80
11 3.918,60 95.294,00
12 1.595,30 101.314,10
13 6.107,50 116.141,30
14 4.454,10 122.315,70
15 3.163,80 141.649,90
16 13.210,70 175.025,80
17 1.703,80 230.614,50
18 9.528,20 293.543,00
Deseja-se verificar se os 
investimentos em P&D são 
influenciados pelas vendas das 
empresas. Utilizou-se uma 
amostra com 18 empresas 
diferentes.
Como continuação do 
exemplo para detecção
da heterocedasticia, 
segue implementação da
correção pelo Método de 
White no Eviews
35
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de White
Neste caso, estimamos o modelo
fazendo uma alteração na janela da 
estimação, clicando em “Options” e 
selecionando a caixa
“Heteroskedasticy” e clicando em
“White”.
36
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de White - Eviews
Digita a equação e clica em Options
37
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de White - Eviews
38
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de White - Eviews
39
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de White - GretL
40
EXEMPLO DE CORREÇÃO PARA HETEROCEDASTICIA
Método de White - GretL
OBS: Nem sempre funciona em amostras pequenas
41
EXEMPLOS PRÁTICOS PARA 
DETECÇÃO E CORREÇÃO DE 
ERROS DE ESPECIFICAÇÃO E 
HETEROCEDASTICIA
42
Y salário mensal
X1 média semanal de horas trabalhadas
X2 pontuação em um resultado de teste de QI
X3 pontuação do conhecimento do mundo do trabalho
X4 anos de educação formal
X5 anos de experiência no mercado
X6 anos com o empregador atual
X7 idade
X8 casado (binária = 1 se for casado e 0 se não for casado)
Legenda dos dados:
Obs: Consideramos uma amostra com 935 observações
Arquivo salvo como “Pasta de Trabalho do Excel 97 – 2003”
Nome do arquivo: salariom
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
43
Criar a pasta com 
dados não
estruturados em
séries temporais.
A amostra contém
935 observações
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
44
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
45
O arquivo contém 9 séries
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
46
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
47
X2 pontuação em um resultado de teste de QI
X3 pontuação do conhecimento do mundo do trabalho
X8 casado (binária = 1 se for casado e 0 se for solteiro)
Modelo estimado
considerando estas
três variáveis
Y é o salário mensal
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
48
Realizando o 
teste RESET
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
49
Teste RESET
Rejeita-se a 
hipótese nula a 1% 
de significância
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
50
Y é o salário mensal
X1 média semanal de horas trabalhadas
X2 pontuação em um resultado de teste de QI
X3 pontuação do conhecimento do mundo do trabalho
X4 anos de educação formal
X5 anos de experiência no mercado
X6 anos com o empregador atual
X7 idade
X8 casado (binária = 1 se for casado e 0 se for solteiro)
Modelo estimado
considerando todas
estas variáveis
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
51
Teste RESET
Rejeita-se a 
hipótese nula a 1% 
de significância
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
52
Y é o salário mensal
(no logaritmo)
X2 pontuação em um resultado de teste de QI
X3 pontuação do conhecimento do mundo do trabalho
X4 anos de educação formal
X5 anos de experiência no mercado
Modelo estimado
considerando estas
variáveis
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
53
Teste RESET
Não se rejeita a 
hipótese nula
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
54
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
No GretL
55
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
No GretL
56
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
No GretL
57
EXEMPLO: VARIAÇÃO DO SALÁRIO MENSAL DE UMA PESSOA
No GretL
58
EXEMPLO: PREÇO DOS IMÓVEIS
Y preço do imóvel
X1 número de cômodos
X2 distância ponderada da comunidade a cinco centros de emprego
Obs: Consideramos uma amostra com 506 observações
Arquivo salvo como“Pasta de Trabalho do Excel 97 – 2003”
Nome do arquivo: residências
59
EXEMPLO: PREÇO DOS IMÓVEIS
Y = preço do imóvel
X1 número de cômodos
X2 distância ponderada da comunidade a cinco centros de emprego
Modelo estimado
considerando estas
duas variáveis
60
EXEMPLO: PREÇO DOS IMÓVEIS
Rejeita-se H0 a 1% de 
significância, concluindo que
o modelo apresenta
heterocedasticia
61
EXEMPLO: PREÇO DOS IMÓVEIS
62
EXEMPLO: PREÇO DOS IMÓVEIS
No GretL
63
EXEMPLO: PREÇO DOS IMÓVEIS