3-Matemática

esquerda 
e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados 
para solucionar a questão:
Sabemos também que a soma de dois termos equidis-
tantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos 
seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de 
termos, então o termo central tem exatamente o valor de 
metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
Progressão Geométrica
Denomina-se progressão geométrica(PG) a sequência 
em que se obtém cada termo, a partir do segundo, multi-
plicando o anterior por uma constante q, chamada razão 
da PG.
Exemplo
Dada a sequência: (4, 8, 16)
q=2
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o ante-
rior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 
0 < q < 1.
- Decrescente: Quando cada termo é menor que o an-
terior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 
< 0 e q > 1.
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal con-
trário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto 
ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA 
de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG 
estacionaria.
- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto 
ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
Termo Geral da PG
Pelo exemplo anterior, podemos perceber que cada 
termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma po-
tência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é 
igual à posição do termo menos uma unidade.
Portanto, o termo geral é:
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica 
Finita
Seja a PG finita de razão q e de soma 
dos termos Sn:
1º Caso: q=1
2º Caso: q≠1
Exemplo
Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular:
a) A soma dos 6 primeiros termos
b) O valor de n para que a soma dos n primeiros ter-
mos seja 29524
Solução
a) 
b) 
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MATEMÁTICA
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica 
Infinita
1º Caso:-1<q<1
Quando a PG infinita possui soma finita, dizemos que a 
série é convergente.
2º Caso:
A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a sé-
rie é divergente
3º Caso: 
Também não possui soma finita, portanto divergente
Produto dos termos de uma PG finita
ANÁLISE COMBINATÓRIA E 
PROBABILIDADE
Análise Combinatória
A Análise Combinatória é a área da Matemática que 
trata dos problemas de contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrên-
cia de um evento composto de duas ou mais etapas.
Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a decisão E2 pode ser tomada de n2 modos, então o número de maneiras de se tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2.
Exemplo
O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(cal-
ças). 3(blusas)=6 maneiras
Fatorial
É comum nos problemas de contagem, calcularmos o 
produto de uma multiplicação cujos fatores são números 
naturais consecutivos. Para facilitar adotamos o fatorial.
Arranjo Simples
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a 
p, toda sequência de p elementos distintos de E.
Exemplo
Usando somente algarismos 5, 6 e 7. Quantos números 
de 2 algarismos distintos podemos formar?
Observe que os números obtidos diferem entre si:
Pela ordem dos elementos: 56 e 65
Pelos elementos componentes:56 e 67
Cada número assim obtido é denominado arranjo sim-
ples dos 3 elementos tomados 2 a 2.
Indica-se 
Permutação Simples
Chama-se permutação simples dos n elementos, qual-
quer agrupamento(sequência) de n elementos distintos de 
E.
O número de permutações simples de n elementos é 
indicado por Pn.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra CHUVEIRO?
21
MATEMÁTICA
Solução
A palavra tem 8 letras, portanto:
Permutação com elementos repetidos
De modo geral, o número de permutações de n ob-
jetos, dos quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 são iguais a C etc.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra PARALELEPIPEDO?
Solução
Se todos as letras fossem distintas, teríamos 14! Per-
mutações. Como temos uma letra repetida, esse número 
será menor.
Temos 3P, 2A, 2L e 3 E
Combinação Simples
Dado o conjunto {a1, a2, ..., an} com n objetos distin-tos, podemos formar subconjuntos com p elementos. Cada 
subconjunto com i elementos é chamado combinação sim-
ples.
Exemplo
Calcule o número de comissões compostas de 3 alunos 
que podemos formar a partir de um grupo de 5 alunos.
Solução
Números Binomiais
O número de combinações de n elementos, tomados 
p a p, também é representado pelo número binomial .
Binomiais Complementares
Dois binomiais de mesmo numerador em que a soma 
dos denominadores é igual ao numerador são iguais:
Relação de Stifel
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton
Denomina-se binômio de Newton todo binômio da 
forma , com n∈N. Vamos desenvolver alguns bi-
nômios:
Observe que os coeficientes dos termos formam o 
triângulo de Pascal.
Probabilidade
Considere um experimento aleatório de espaço amos-
tral E com n(E) amostras equiprováveis. Seja A um evento 
com n(A) amostras.
Eventos complementares
Seja E um espaço amostral finito e não vazio, e seja A 
um evento de E. Chama-se complementar de A, e indica-se 
por , o evento formado por todos os elementos de E que 
não pertencem a A.
22
MATEMÁTICA
Note que 
Exemplo
Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas 
coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retira-
da uma bola vermelha é Calcular a probabilidade de ter 
sido retirada uma bola que não seja vermelha.
Solução
são complementares.
Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, 
finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de 
se obter um número par ou menor que 5, na face superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que 
ocorreu o evento B, definido por:
E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6
B={2,4,6} n(B)=3
A={2}
Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espa-
ço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada por:
OPERAÇÕES COM CONJUNTO
Representação
-Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 
2, 3, 4, 5}
-Simbolicamente: B={x∈ N|2<x<8}, enumerando esses 
elementos temos:
B={3,4,5,6,7}
- por meio de diagrama:
Quando um conjunto não possuir elementos chamares 
de conjunto vazio: S=∅ ou S={ }.
Igualdade
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem 
exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:
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MATEMÁTICA
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisa-
mos saber apenas quais são os elementos.
Não importa ordem:
A={1,2,3} e B={2,1,3}
Não importa se há repetição:
A={1,2,2,3} e B={1,2,3}
Relação de Pertinência
Relacionam um elemento com conjunto. E a indicação 
que o elemento pertence (∈) ou não pertence (∉)
Exemplo: Dado o conjunto A={-3, 0, 1, 5}
0∈A
2∉A
Relações de Inclusão
Relacionam um conjunto com outro conjunto. 
Simbologia: ⊂(está contido), ⊄(não está contido), 
⊃(contém), (não contém)
A Relação de inclusão possui 3 propriedades:
Exemplo:
{1, 3,5}⊂{0, 1, 2, 3, 4, 5}
{0, 1, 2, 3, 4, 5}⊃{1, 3,5}
Aqui vale a famosa regrinha que o professor ensina, 
boca aberta para o maior conjunto
Subconjunto
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de 
A é também elemento de B.
Exemplo: {2,4} é subconjunto de {x∈N|x é par}
Operações 
União
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro 
formado pelos elementos que pertencem pelo menos um 
dos conjuntos a que chamamos conjunto união e represen-
tamos por: A∪B. 
Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x B}
Exemplo: