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TEORIA DAS ESTRUTURAS I CCE0370 Centro Universitário Estácio de Santa Catarina Paulo Cesar Martins Penteado 2018 Teoria das Estruturas I CCE0370 2 Apresentação Esta apostila, longe de ser original, consiste em um apanhado de trechos de autores consagrados, relacionados na Bibliografia Básica e na Bibliografia Complementar, assim como de outras referências, e tem por objetivo dar uma visão geral dos principais tópicos, conceitos e aplicações da teoria a ser desenvolvida durante o semestre e facilitar o estudo do acadêmico. Torna-se importante destacar que a consulta aos livros das Bibliografias é fundamental para o bom andamento e desenvolvimento das habilidades e competências necessárias para o prosseguimento dos estudos nas disciplinas que se seguirão. As críticas, sugestões e correções dos eventuais erros serão sempre bem-vindas. Paulo Cesar Martins Penteado Teoria das Estruturas I CCE0370 3 TEORIA DAS ESTRUTURAS I – CCE0370 ÍNDICE 1. A Teoria das Estruturas I ................................................................................................... 5 1.1 Contextualização ................................................................................................... 5 1.2 Bibliografia Básica ................................................................................................ 5 1.3 Bibliografia Complementar .................................................................................... 5 1.4 Mapa conceitual de Teoria das Estruturas I ............................................................. 6 1.5 A Teoria das Estruturas no currículo de Engenharia ..................................................... 8 1.6 Domínio do estudo da Análise Estrutural ................................................................. 9 2. Introdução à Teoria das Estruturas I .................................................................................... 11 2.1 Algarismos significativos ........................................................................................ 11 2.2 Grandezas importantes: força e momento ............................................................... 12 2.3 Sistema de forças-binário ....................................................................................... 13 2.4 Equilíbrio do corpo extenso rígido ............................................................................ 13 Exercícios – Série 1 ............................................................................................................... 13 2.5 Carga distribuída ................................................................................................... 16 2.6 Graus de liberdade ................................................................................................ 17 2.7 Aparelhos de apoio ................................................................................................. 18 Exercícios – Série 2 ............................................................................................................... 20 3. Estruturas rotuladas .......................................................................................................... 26 3.1 Apoios internos .................................................................................................... 26 3.2 Grau hiperestático ................................................................................................ 26 3.3 Grau de hiperestaticidade para treliças planas ......................................................... 27 3.4 Grau de hiperestaticidade de pórtico plano sem separação nas rótulas ....................... 28 3.5 O software Ftool ................................................................................................... 28 Exercícios – Série 3 ............................................................................................................... 29 4. Vigas isostáticas ................................................................................................................ 32 4.1 Esforços internos ................................................................................................... 32 4.2 Convenção de sinais dos esforços internos.................................................................. 33 4.3 Diagrama de esforços internos ................................................................................. 33 4.4 Análise e obtenção dos diagramas de esforços .......................................................... 34 4.5 Relações entre carga, força cortante e momento fletor ............................................. 34 Exercícios – Série 4 ............................................................................................................... 36 5 Vigas Gerber ..................................................................................................................... 39 5.1 Introdução ........................................................................................................... 39 5.2 Obtenção das reações de apoio em vigas Gerber ...................................................... 40 Exercícios – Série 5 ............................................................................................................... 41 6. Vigas inclinadas ................................................................................................................ 43 Exercícios – Série 6 ............................................................................................................... 45 7. Pórticos isostáticos planos ................................................................................................. 46 Exercícios – Série 7 ............................................................................................................... 46 8. Pórticos e barras curvas .................................................................................................... 47 Exercícios – Série 8 .............................................................................................................. 47 Teoria das Estruturas I CCE0370 4 9. Estruturas isostáticas tridimensionais .................................................................................. 48 9.1 Exemplo de aplicação .............................................................................................. 48 Exercícios – Série 9 .............................................................................................................. 49 10. Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas .............................................................. 51 10.1 Classificação das cargas ....................................................................................... 51 10.2 Cargas trem-tipo ................................................................................................... 51 10.3 Linhas de influência ............................................................................................ 52 10.4 Linhas de influência para reações de apoio ............................................................. 54 10.5 Linha de influência da força cortante ..................................................................... 56 10.6 Linha de influência do momento fletor ................................................................... 57 10.7 Envoltória de esforços ......................................................................................... 58 Exercícios – Série 10 ............................................................................................................60 11. Revisão geral .................................................................................................................. 61 11.1 Determinação de reações de apoio e de esforços internos ......................................... 61 11.2 Diagramas de esforços internos ............................................................................ 61 Exercícios – Série 11 ............................................................................................................. 62 Respostas ........................................................................................................................... 63 Teoria das Estruturas I CCE0370 5 1. A TEORIA DAS ESTRUTURAS I 1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO A disciplina de Teoria das Estruturas I está no Eixo Básico de Formação do Engenheiro Civil, sendo ministrada no sexto período, quando o aluno já possui conhecimentos em elasticidade, e mecânica. Esse conhecimento foi construído com conteúdos das disciplinas de Física Teórica, Física Experimental, Resistência dos Materiais e Mecânica Geral. O aluno também possui conhecimentos em cálculo diferencial e integral que lhe foram conferidos nas disciplinas de Cálculo Integral e Diferencial I, II e III, já tendo aplicado esses conhecimentos em problemas de equilíbrio de tensões em volumes elementares, cálculo de áreas sob curvas, máximos e mínimos de funções e outros. A disciplina concentra-se principalmente na determinação de reações de apoio e da distribuição de esforços em estruturas isostáticas submetidas a forcas e carregamentos externos, sendo consideradas estruturas reticuladas em duas e três dimensões. Conceitos tais como linearidade, princípio da superposição, grau de liberdade e grau hiperestático também são contemplados. Também são considerados problemas envolvendo a ação de cargas móveis sobre vigas isostáticas. A cadeira prepara o aluno para cursar Teoria das Estruturas II, ministrada no sétimo período e que trata de estruturas hiperestáticas. Esses conhecimentos são fundamentais para as disciplinas de estruturas do Eixo Profissional Específico Estruturas e Geotécnica, particularmente para as disciplinas de Estruturas de Concreto I, II, III, Fundações e Contenções, Estruturas e Aço, Estruturas e Madeira, e Pontes. 1.2 BIBLIOGRAFIA BÁSICA MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. SORIANO, H. L. Estática das estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. I ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2009 1.3 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural: Volume 1, Estruturas isostáticas 2. Ed. Porto Alegre: Globo, 1977. GORFIN, B.; OLIVEIRA, M. M. Estruturas Isostáticas. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1975. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 1. 1.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995. Teoria das Estruturas I CCE0370 6 1.4 MAPA CONCEITUAL DE TEORIA DAS ESTRUTURAS I Bloco 1 – Introdução – Propriedades elásticas dos materiais – tipos de estruturas (1d, 2d e 3d) – forças, momentos e carregamentos – equações de equilíbrio estático – apoios e reações de apoio – esforços – rótulas internas – estruturas estaticamente indeterminadas Bloco 2 – Vigas Isostáticas – esforços e diagramas de esforços em vigas – equação de equilíbrio de vigas e suas aplicações diretas – vigas Gerber Bloco 3 – Pórticos isostáticos planos – esforços em pórticos planos – diagramas de esforços em pórticos planos Bloco 4 – Estruturas tridimensionais – esforços em pórticos tridimensionais – diagramas de esforços em estruturas tridimensionais Bloco 5 – Estudo das cargas móveis – cargas móveis e trem tipo – linhas de influência – envoltória de esforços Teoria das Estruturas I CCE0370 7 Teoria das Estruturas I CCE0370 8 1.5 A TEORIA DAS ESTRUTURAS NO CURRÍCULO DE ENGENHARIA As Estruturas são sistemas físicos constituídos de componentes interligados e deformáveis, capazes de receber e transmitir esforços. As estruturas aqui consideradas são estacionárias, diferentemente das estruturas de máquinas que têm componentes móveis projetados para alterar o efeito de forças. Em caso de estrutura a ser construída, esses componentes necessitam ser dimensionados para ter capacidade resistente ao próprio peso e às demais ações que lhe serão aplicadas, além de ter adequado desempenho em serviço, isto é, a estrutura não deve vir a apresentar deformações e vibrações excessivas que prejudiquem o uso e a estética da mesma. A laje de um edifício, por exemplo, além de resistir ao seu peso e às forças que lhe são transmitidas pelos elementos posicionados sobre a mesma, deve permanecer suficientemente plana a fim de não afetar a sua utilidade. Uma escada ou uma passarela, além de resistir ao próprio peso e ao de seus usuários, não deve vir a ter vibrações que causem desconforto aos mesmos. Em descrição simples, um projeto tem as seguintes etapas: – Concepção arquitetônica-estrutural, dependente da estética e da funcionalidade da futura estrutura; – Determinação dos esforços reativos e internos, além de deslocamentos, a partir de um pré- dimensionamento, da especificação dos materiais, das condições de apoio e das ações externas à estrutura; – Verificação do dimensionamento dos componentes estruturais e de suas ligações, com base nos resultados anteriores. A segunda dessas etapas é denominada análise. A Análise das Estruturas constitui grande parte da formação do engenheiro e um dos conteúdos programáticos mais fascinantes e desafiadores ao intelecto do estudante. É simples em seus conceitos fundamentais e de grande utilidade prática. Contudo, devido à grande amplitude de seus métodos e aplicações, esse conteúdo é compartimentado em diversas disciplinas ao longo de praticamente todo o curso de graduação de engenharia, o que dificulta a percepção da integração de suas diversas partes. Assim, ao iniciar este estudo, é importante para se ter motivação, que se entenda a utilidade e a complementaridade dessas disciplinas, como descrito a seguir. No que se refere à Engenharia Civil, essa análise costuma ser dividida em disciplinas de acordo com o esquema mostrado na próxima figura, cujos nomes não são únicos e costumam dizer respeito a mais de uma disciplina, com limites que em vários aspectos se interpenetram. Para a compreensão do contexto em que se insere essa análise, as disciplinas mais intimamente ligadas à mesma estão indicadas dentro de retângulos em tracejado. Teoria das Estruturas I CCE0370 9 Na descrição dessa figura, a Análise das Estruturas fundamenta-se em princípios da Estática dos Corpos Rígidos que é a parte do conteúdo programático da disciplina Mecânica em que o conceito tempo não é envolvido. Com esses princípios, na Estática das Estruturas determinam-se principalmente esforços reativos e esforços internos em estruturascompostas por barras e em cujas análises sejam suficientes as equações de equilíbrio da estática. São as denominadas estruturas isostáticas. Assim, enquanto a estática estudada naquela disciplina trata dos corpos rígidos em equilíbrio, a Estática das Estruturas trata das estruturas isostáticas. Em sequência, na disciplina Resistência dos Materiais estuda-se o comportamento das barras no que se refere à determinação de tensões e deformações nas mesmas, além da verificação do dimensionamento de estruturas simples. A seguir, a disciplina Hiperestática é a parte da Análise das Estruturas em que, através de procedimentos simplificados de reduzido volume de cálculo, determinam-se deslocamentos, esforços reativos e esforços internos em estrutura constituída de barras e em cuja análise seja necessário considerar deformação (pelo fato das equações de equilíbrio não serem suficientes). São as chamadas estruturas hiperestáticas. Assim, a diferença entre essa disciplina e a que lhe precede é que a primeira está focada no comportamento das barras, enquanto a segunda trata do comportamento das estruturas hiperestáticas. 1.6 DOMÍNIO DO ESTUDO DA ANÁLISE ESTRUTURAL A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consistindo este estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam sujeitas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimentos de seus apoios, etc.). As estruturas se compõem de uma ou mais peças ligadas entre si e ao mundo exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê- las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante. As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três dimensões. Três casos podem ocorrer: a) duas dimensões são pequenas em relação à terceira; b) uma dimensão é pequena em relação às outras; c) as três dimensões são consideráveis. No 1º caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a dimensão maior é o comprimento da peça, estando as duas outras dimensões situadas no plano a ele perpendicular Teoria das Estruturas I CCE0370 10 (plano da seção transversal da peça). Neste caso, o estudo estático da peça, que será denominada barra, pode ser feito considerando-a unidimensional, isto é, considerando-a representada pelo seu eixo, lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções transversais. Uma barra será dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto ou curvo. Conforme os eixos das diversas barras que compõe a estrutura estejam ou não contidos no mesmo plano, a estrutura será chamada estrutura plana ou espacial. Exemplo de barras curvas na Ponte JK, em Brasília O 2º e o 3º caso são aqueles, respectivamente, das placas, das cascas (cuja espessura é pequena em presença da superfície da peça, superfície esta plana para as placas e curva para as cascas), das paredes e dos blocos (caso das barragens) e não serão abordados nesta disciplina. Nesta disciplina fartemos o estudo da teoria estrutural das barras. A teoria aqui desenvolvida tem precisão excelente para barras cuja relação do comprimento para a altura seja superior a 10:1, apresentando precisão ainda boa para relações até 5:1. Estas relações englobam a esmagadora maioria das barras da prática. Nos casos em que esta relação se torne inferior, a peça não mais poderá ser classificada como barra, devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso. Nesta disciplina daremos ênfase às estruturas reticulares, compostas por barras. Tais estruturas são vigas, pórticos, treliças e grelhas, como representadas abaixo. Teoria das Estruturas I CCE0370 11 2. INTRODUÇÃO À TEORIA DAS ESTRUTURAS I 2.1 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS A medição de qualquer grandeza física guarda aproximações devido a eventuais irregularidades da entidade medida e por melhores que sejam o equipamento de medida e a habilidade da pessoa que o utiliza. O número de algarismos significativos expressa a precisão do resultado de uma medição. Estes são os algarismos utilizados na representação de quantificações de grandezas físicas, inclusive o zero, desde que não seja utilizado para localizar a casa ddecimal. Assim, por exemplo, o valor 5000, quando considerado com dois algarismos significativos, deve ser escrito sob a forma 50·102 ou 5,0·103. Na multiplicação e divisão Quando multiplicamos ou dividimos valores de grandezas, o número de algarismos significativos do resultado é o mesmo que o número de algarismos significativos do valor da grandeza que tem o menor número de algarismos significativos. Na adição e subtração. Semelhantemente, quando são somados ou subtraídos vários valores, o resultado deve ter no máximo o número de casas decimais que o de qualquer termo da operação. A ABNT NBR ISO 80000-1:2011 estabelece o seguinte procedimento de arredondamento em representação de um resultado com n algarismos significativos: a – Se o dígito de ordem (n + 1), da esquerda para a direita, for menor do que 5, esse dígito e os que lhe são superiores em ordem devem ser eliminados. Exemplo: o número 1,770741, com 3 algarismos significativos é escrito como 1,77. b – Se o dígito de ordem (n + 1) for igual a 5 seguido de zeros, o dígito de ordem n deve ser arredondado para o número par superior mais próximo se esse número for ímpar e, caso contrário, o dígito de ordem n deve permanecer inalterado. Exemplo: os números 1,775 e 1,765, com 3 algarismos significativos, são escritos, respectivamente, como 1,78 e 1,76. c – Se o dígito de ordem (n + 1) for igual ou superior a 5 seguido de qualquer quantidade de dígitos diferentes de zero, o dígito de ordem n deve ser aumentado de uma unidade e os dígitos de ordem superior a n devem ser eliminados. Exemplo: o número 1,765004, com 3 algarismos significativos, deve ser escrito como 1,77. Outra razão para a não utilização de diversos algarismos nas representações dos valores numéricos de certas grandezas físicas é que as quantificações em engenharia são usualmente estabelecidas com base em normas de projeto que adotam procedimentos semiprobabilísticos. Este é ocaso da velocidade do vento que se utiliza em projetos de edificações, que é prevista com determinada probabilidade de ocorrência em certo período de tempo. Outro exemplo é o caso dos valores das cargas de projeto de lajes de edificações. Também, os limites de resistência mecânica dos materiais guardam flutuações em torno de valores característicos, além do fato de Teoria das Estruturas I CCE0370 12 que toda teoria de análise é aproximativa ao fenômeno físico a que diz respeito. Contudo, ao resolver um problema com umasequência de resultados intermediários, esses resultados devem ser retidos com maior número de algarismos que o dos dados iniciais, para evitar propagação de aproximações que afetem a precisão do resultado final. Não é possível estabelecer de forma geral com quantos dígitos devem ser retidos os resultados intermediários ao resolver um problema de engenharia, muito embora três algarismos significativos sejam plenamente suficientes em resultados finais dos problemas usuais da engenharia. 2.2 GRANDEZAS IMPORTANTES: FORÇA E MOMENTO Vamos usar as palavras esforço ou carga para representar ou força, ou momento, ou ambas. Força As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por uma direção, um sentido e uma intensidade. Podemos classificar as forças em: A unidade de medida de força que é adotada em Engenharia Estrutural é a tonelada-força, cujo símbolo é tf. Eventualmente, usaremostambém o Sistema Internacional de Unidades, no qual a força é medida em newton (N). kN10kN9,80665kgf1000tf1 Momento de uma força A grandeza física que representa a tendência de rotação de um corpo em torno de um ponto, provocada por uma força, é função da força e de sua distância ao ponto e esta grandeza recebe o nome momento da força. Por definição, o momento de uma força em relação a um ponto O é o produto vetorial do vetor OP , sendo P um ponto qualquer da linha de ação da força F , pela força F . Assim: FOPM Observe que o sentido do vetor M (representado por seta dupla) é dado pela regra da mão direita, como mostra a figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 13 Na forma escalar, o módulo do momento é dado por: dFM , em que d é a distância do ponto O à linha de ação da força F . Em nosso curso, o módulo do momento de uma força será, muitas vezes, medido em tf·m. Numa modelagem plana, com a estrutura no plano x-y, o eixo z não é representado e os momentos e rotações a ele associados são representados por setas curvas, ou , no próprio plano x-y. 2.3 SISTEMA FORÇA-BINÁRIO Reduzir um sistema de forças a um determinado ponto O é, em outras palavras, determinar a ação, em relação ao ponto O, das forças e momentos que compõem o sistema. Assim, dado um sistema de esforços e um ponto O, diremos que os esforços ΣFx, ΣFy e ΣMO, aplicados no ponto O, são estaticamente equivalente ao sistema de esforços dados. 2.4 EQUILÍBRIO DO CORPO EXTENSO E RÍGIDO Um corpo extenso e rígido encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso e que não esteja sofrendo nenhuma rotação. Para que essas condições sejam satisfeitas, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve ser nula e o momento resultante de todas as forças atuantes, em relação a qualquer ponto, deve ser nulo. Essas condições podem ser impostas de forma escalar: 0xF 0yF e 0zF (impede a translação do corpo) 0xM 0yM e 0zM (impede a rotação do corpo) A solução, em um sistema tridimensional, é obtida por um sistema de seis equações e seis incógnitas. Se o sistema for plano teremos um sistema de três equações, sendo duas relativas às forças e uma dos momentos, e três incógnitas. Exercícios – Série 1 1. Determine, para o sistema de esforços mostrado na figura a seguir, a força resultante e o momento equivalente em relação ao ponto A. Teoria das Estruturas I CCE0370 14 2. Quatro cargas são aplicadas a uma placa de aço, como está ilustrado na figura ao lado. Substitua este carregamento por um sistema força-binário em A. 3. Determine a força normal interna resultante que age na seção transversal no ponto A em cada coluna. Em (a), o segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em (b), a coluna tem uma massa de 200 kg/m. 4. Determine o torque resultante interno que age sobre as seções transversais nos pontos C e D do eixo. O eixo está preso em B. 5. Determine o torque resultante interno que age nas seções transversais nos pontos B e C. 6. Determine a força interna normal, a força cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da viga mostrada ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 15 7. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C da viga mostrada na figura ao lado 8. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B. 9. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reações nos apoios, A e B sejam verticais. 10. Determine as cargas resultantes internas que agem na seção transversal em C do eixo de máquina mostrado na figura ao lado. O eixo está apoiado em mancais em A e B, que exercem somente forças verticais no eixo. 11. O guindaste na figura ao lado é composto pela viga AB e roldanas acopladas, além do cabo e do motor. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C se o motor estiver levantando a carga W de 2.000 N (≈ 200 kg) com velocidade constante. Despreze o peso das roldanas e da viga. Teoria das Estruturas I CCE0370 16 12. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B do cano mostrado na ao lado. A massa do cano é 2 kg/m, e ele está sujeito a uma força vertical de 50 N e a um momento de 70 N·m em sua extremidade A. O tubo está preso a uma parede em C. Adote: g = 9,81 m/s2. Sugestão: imponha o equilíbrio do trecho AB. 13. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força de 80 N. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção no ponto A. 14. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D do elemento AB. 15. A viga AB falhará se for atingido o momento fletor máximo em D de 800 N∙m ou a força normal no membro BC for 1500 N. Determine a carga máxima w que a estrutura pode suportar. Resposta: 2.5 CARGA DISTRIBUÍDA É importante que o engenheiro desenvolva, desde cedo, a capacidade de simplificar cálculos utilizando sempre o bom senso. Esta habilidade é exigida para a representação, nos modelos matemáticos, dos carregamentos reais atuantes nas estruturas. A figura abaixo representa um exemplo das três possíveis formas de considerar a ação dos pneus de um carro sobre a laje de uma ponte. Teoria das Estruturas I CCE0370 17 A representação real tridimensional é bastante complexa e a sua resolução demandaria esforço e tempo bem maiores do que os necessários em soluções aproximadas. O nível de aproximação mais conveniente depende do problema em análise, levando-se em conta aspectos tais como tempo de resolução e precisão numérica. Em nosso curso vamos considerar, como uma primeira aproximação, forças concentradas ou linearmente distribuídas (que não existem na prática) no lugar das reais forças superficialmente e volumetricamente distribuídas. A tabela a seguir mostra, para modelos planos, os carregamentos distribuídos mais utilizados na prática com suas resultantes e os seus pontos de aplicação. Carregamento distribuído Resultantes e Ponto de aplicação Uniforme Triangular Trapezoidal 2.6 GRAUS DE LIBERDADE Uma força F quando aplicada a um corpo rígido impõe a este uma tendência de deslocamento linear, ou translação. Um momento M quando aplicado a um corpo rígido impõe a este uma tendência de deslocamento angular, ou rotação. Teoria das Estruturas I CCE0370 18 No espaço, utilizando um sistema de eixos referenciais, os vetores deslocamentos lineares (translações D ) e os vetores dos deslocamentos angulares (rotações θ ) são expressos por suas componentes nos 3 eixos ortogonais x, y e z, as quais são denominadas graus de liberdade. Assim, qualquer movimento de um corpo no espaço tridimensional fica definido por meio destas seis componentes ou seis graus de liberdade. No plano, o movimento fica definido por três graus de liberdade, sendo dois de translação e um de rotação. A figura abaixo ilustra estas duas situações. 2.7 APARELHOS DE APOIO Conforme acabamos de ver, um corpo ou uma estrutura no espaço tridimensional possui seis graus de liberdade, ou seja,possui três graus de mobilidade translacional e três graus de mobilidade rotacional. É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, por meio do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que eles impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas à estrutura, formando este conjunto de cargas e reações um sistema de forças em equilíbrio, para os diversos tipos de sistemas de força que podem ocorrer na prática. Os apoios serão classificados em função do número de graus de liberdade permitidos (ou do número de movimentos impedidos), podendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, podendo impedir 5, 4, 3, 2, 1, ou nenhum grau de liberdade). Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que será o mais frequente na Teoria das Estruturas I, existem 3 graus de liberdade a restringir. Supondo uma estrutura situada no plano x-y, os graus de liberdade a restringir são as translações nas direções Ox e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano, no caso a direção Oz. São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: Teoria das Estruturas I CCE0370 19 apoio de 1º gênero Este tipo de apoio é, basicamente, um suporte sobre o qual se assenta a estrutura (podendo ou não ter roletes) e que impede o movimento em uma única direção e nesta direção aparecerá uma reação de apoio R. No caso do apoio da foto ao lado, ele impede o movimento da estrutura na direção vertical. A representação esquemática deste apoio é mostrada abaixo. apoio de 2º gênero Se no apoio do 1º gênero substituirmos os roletes por uma chapa presa completamente ao plano suporte, estaremos impedindo todas as translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo pino. Na direção das translações impedidas aparecerão as reações H e V, indicadas no esquema abaixo, e cuja composição vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do 2º gênero. apoio de 3º gênero Se ancorarmos a estrutura em um bloco de dimensões que possam ser consideradas infinitas em comparação com as dimensões da estrutura, na seção de contato ente ambos o bloco estará impedindo, por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura e dizemos, então, que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado esquematicamente da forma indicada abaixo, aparecendo na direção de cada movimento impedido (2 translações e 1 rotação) as reações de apoio H, V e M. Teoria das Estruturas I CCE0370 20 Exercícios – Série 2 1. Para a viga isostática mostrada na figura ao lado determine as reações nos apoios A e B. 2. Para a estrutura mostrada na figura ao lado determine as reações nos apoios A e B. 3. Determine as componentes horizontal e vertical das reações no ponto A e no ponto B para a viga mostrada na figura ao lado. 4. Uma estrutura em arco treliçado é fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 30° com a horizontal. O vão AB mede 20 m. O peso próprio da estrutura é de 100 kN. A força resultante dos ventos é de 40 kN, e situa-se a 4 m acima de A, horizontalmente, da direita para a esquerda. Determine as reações dos apoios A e B. 5. A viga da figura ao lado tem peso 1000 N e está submetida à carga concentrada de 1200 N, como representado. Determine as reações no engaste A. 6. Determinar as reações de apoio das estruturas apresentadas abaixo: a) b) A CG B 20 m 30° 40 kN Teoria das Estruturas I CCE0370 21 c) d) e) f) g) h) i) j) 7. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 8. Calcular as reações de apoio para a viga biapoiada da figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 22 9. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 10. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 11. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 12. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 13. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 23 14. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 15. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 16. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. 17. Obter as reações de apoio para o pórtico plano da figura ao lado. 18. Obter as reações de apoio para a estrutura da figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 24 19. Determine as reações de apoio para o pórtico plano engastado e em balanço mostrado na figura ao lado. 20. Determine as reações de apoio para o pórtico plano biapoiado mostrado na figura ao lado. 21. Determine as reações de apoio para o pórtico plano biapoiado mostrado na figura ao lado. 22. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os ângulos entre barras são de 90°. 23. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os ângulos entre barras são de 90°. Teoria das Estruturas I CCE0370 25 24. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os ângulos entre barras são de 90°. 25. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os ângulos entre barras são de 90°. 26. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. O ângulo entre o trecho AB e o trecho BC é 135°. 27. Determinar as reações de apoio para a grelha engastada em balanço da figura abaixo. Teoria das Estruturas I CCE0370 26 3. ESTRUTURAS ROTULADAS 3.1 APOIOS INTERNOS Duas ou mais barras podem estar unidas entre si, através dos baricentros de suas seções transversais, de várias maneiras. As figuras a seguir mostram duas destas maneiras. O engastamento interno impede qualquer movimento de translação ou rotação relativo entre as seções, transmitindo, então, de uma barra à outra, duas forças ortogonais entre si e um momento. A articulação, um apoio simples fixo interno, também chamado de rótula, só fornece liberdade ao movimento relativo de rotação, transmitindo de uma barra à outra, duas forças ortogonais entre si. Portanto, numa rótula interna, o momento é nulo. As duas situações anteriores podem ocorrer simultaneamente, como mostrado abaixo e é importante verificar, ao calcular esforços internos em uma das seções, se a respectiva seção está ou não submetida a momento fletor. 3.2 GRAU HIPERESTÁTICO Já vimo que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Existem várias formas de determinar o grau de hiperestaticidade de uma estrutura. Podemos definir o grau de hiperestaticidade g de uma estrutura como: )equilíbriodeequaçõesde(nºestático)problemadoincógnitasde(nº g Três casos podem então ocorrer: Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura: 0g Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema. Diremos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura: 0g Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então, instável. Teoria das Estruturas I CCE0370 27 (Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios não forem capazes de impedir; será, então, um caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína). As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura: 0g Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações universais da Estática não serão, então, suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações, conforme será estudado em Teoria das Estruturas II. A estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, poderíamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável). O grau de hiperestaticidade de modelos isostáticos e hiperestáticos não é suficiente para caracterizar a estabilidade da estrutura, pois apenas contabiliza o número de incógnitas do problema do equilíbrio estático e o número de equações de equilíbrio. Situações que provocam instabilidade, como as indicadas a seguir, devem ser analisadas. O pórtico, mostrado ao lado, apresenta três componentes de reações de apoio que são verticais, não existindo nenhum vínculo que impeça o movimento horizontal do pórtico. Se uma força horizontal for aplicada, a equação global de equilíbrio na direção horizontal não fica satisfeita. A estrutura ao lado tem três reações de apoio concorrentes em um ponto. Portanto, não é possível equilibrar o momento de forças atuantes, como a carga P, em relação ao ponto de convergência das reações de apoio. A estrutura triarticulada, mostrada a seguir, tem os dois apoios do 2º gênero e a rótula interna alinhados. Para a solicitação indicada, as reações de apoio têm de ser forças horizontais para que o momento fletor na rótula seja nulo. Entretanto, as reações horizontais não são capazes de equilibrar a carga P aplicada. 3.3 GRAU DE HIPERESTATICIDADE PARA TRELIÇAS PLANAS Número de incógnitas em uma treliça plana. uma força incógnita em cada barra (força normal à barra); as reações de apoio. Número de equações de equilíbrio em uma treliça: Duas equações de equilíbrio por nó. Teoria das Estruturas I CCE0370 28 Então: Nas treliças isostáticas : g = 0 nb + nra = 2 nn Nas treliças hiperestáticas : g > 0 nb + nra > 2 nn Nas treliças hipostáticas : g < 0 nb + nra < 2 nn 3.4 GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE PÓRTICO PLANO SEM SEPARAÇÃO NAS RÓTULAS Para um pórtico plano, teremos: O número de equações introduzidas por rótulas internas, ner, deve ser obtido para cada rótula individualmente. Para isso, se n é o número de barras que chegam a uma determinada rótula, então, o número de equações introduzidas por esta rótula é (n ‒ 1). 3.5 O SOFTWARE FTOOL Ftool (Two-dimensional Frame Analysis Tool) é um programa gráfico-interativo para ensino e aprendizagem do comportamento de estruturas. O software foi desenvolvido pelo professor Luiz Fernando Martha, da PUC-Rio, e permite que problemas de estruturas reticuladas bidimensionais sejam facilmente resolvidos. Sugerimos que os alunos façam o download do programa Ftoll e respectivo manual na página https://www.alis-sol.com.br/Ftool/. Atenção: Não faça o download do programa por outros sites (Baixaki, por exemplo). Alunos que o fizeram relataram problemas com vírus. Teoria das Estruturas I CCE0370 29 Exercícios – Série 3 1. Determine o grau de hiperestaticidade de cada pórtico plano representado a seguir: a) d) b) e) c) f) 2. Determine o grau de hiperestaticidade do pórtico plano ao lado. 3. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 30 4. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura ao lado. 5. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura ao lado. 6. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura ao lado. 7. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura abaixo. 8. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 31 9. Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou sob compressão. 10. Determine a força em cada elemento da treliça carregada e indique se os elementos estão sob tração ou sob compressão. Explique porque não é necessário conhecer o comprimento dos elementos. 11. Determine a força em cada membro da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou sob compressão. 12. Determine a força em cada elemento da treliça carregada e indique se os elementos estão sob tração ou sob compressão. 13. Determine a força em cada elemento da treliça carregada e indique se os elementos estão sob tração ou sob compressão. Teoria das Estruturas I CCE0370 32 4. VIGAS ISOSTÁTICAS As vigas são estruturas planas capazes de serem definidas por meio de um único elemento. Uma condição necessária para que uma viga seja isostática é que o número de componentes de reação de apoio seja igual ao número de equações de equilíbrio. 4.1 ESFORÇOS INTERNOS A determinação dos esforços internos independe das características dos materiais: depende somente da forma geométrica e dos esforços externos ativos e reativos. É um problema que pode ser resolvido pela mecânica estática. A determinação dos esforços internos é de fundamental importância para o dimensionamento correto dos elementos estruturais. Determinados esforços internos, muitas das decisões de projeto são tomadas. Por exemplo, a escolha do material mais adequado para execução do sistema estrutural e as dimensões mais adequadas dos elementos que compõem o sistema entre outras. Portanto, para projetar e dimensionar um elemento estrutural ou mecânico é necessário conhecer as cargas ‒forças e momentos‒ que atuam dentro do elemento, a fim de garantir que o material possa resistir a essas cargas. Consideremos a viga em balanço engastada em A, mostrada na figura ao lado, sujeita às cargas F1 e F2 e um ponto B, ao longo de seu comprimento. Os esforços internos que atuam na seção transversal da viga que passa pelo ponto B podem serdeterminados usando o método das seções. A B F1 F2 O método das seções, também conhecido como método de Ritter, é utilizado para se determinar as forças atuantes dentro de um elemento estrutural. Esse método baseia-se no princípio de que se um corpo está em equilíbrio, qualquer parte dele também está. O método consiste em seccionar o elemento estrutural no ponto que se deseja determinar os esforços e aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo extenso e rígido na região seccionada. Para a viga que estamos considerando, teremos: A B F1 F2 MA Ax Ay BB F1 F2VB NB MB MB NB VB A componente de força NB, que atua perpendicularmente à seção transversal, é chamada de esforço normal. A componente de força VB, que é tangente à seção transversal é chamada de esforço cortante. O momento de binário MB é denominado momento fletor. As componentes de força NB e VB impedem a translação relativa entre as duas partes da estrutura e o momento de binário MB impede a rotação relativa entre elas. De acordo com o princípio da ação e da reação ou terceira lei de Newton esses esforços devem atuar em sentidos opostos em cada segmento, como mostrado na figura anterior. Teoria das Estruturas I CCE0370 33 Os esforços NB e VB e o momento MB podem agora ser determinados aplicando as equações de equilíbrio do corpo extenso e rígido a qualquer um dos dois segmentos. No caso exemplificado, a escolha do segmento da direita é mais adequada, visto não envolver as reações do engate em A. 4.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DOS ESFORÇOS INTERNOS Para os sinais dos esforços internos, adotaremos aqui a convenção estabelecida em HIBBELER, R. C. Estática: Resistência dos Materiais. 7ª edição. Editora Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010, e que é a mais usada. O esforço normal N é considerado positivo se criar tração. O esforço cortante V é positivo se fizer com que o segmento da viga sobre o qual atua gire no sentido horário. O momento fletor M será positivo quando tender a curvar o segmento no qual ele atua de uma maneira côncava para cima, causando compressão nas fibras superiores do elemento e tração nas fibras inferiores do elemento. Os esforços que são opostos a estes são considerados negativos. A tabela a seguir ilustra essa convenção de sinais para os esforços internos em uma seção transversal S. Se o segmento sob análise estiver sujeito a uma carga tridimensional externa, então os esforços internos geralmente são expressos como positivos ou negativos, de acordo com um sistema de coordenadas x, y e z adotado. 4.3 DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS Os esforços internos estão associados à seção transversal considerada. Assim, se mudarmos a seção considerada, poderá acorrer a mudança do(s) esforço(s) interno(s). Desta forma é possível determinar como cada tipo de esforço varia, de seção em seção, ao longo dos eixos das barras de uma estrutura. Para isso, é necessário seccionar a viga a uma distância arbitrária x a partir de uma extremidade e, depois de aplicar as equações de equilíbrio ao segmento de comprimento x, obter N, V e M em função de x, ou seja, N = N(x), V = V(x) e M = M(x). Esta variação pode ser mostrada graficamente usando os eixos das barras como eixos das abscissas e os esforços representados nos eixos das ordenadas. Sendo assim é possível traçar, para cada tipo de esforço, um gráfico que mostra como este esforço varia ao longo do comprimento do(s) eixo(s) da(s) barra(s). Estes gráficos, representando as funções de variação dos esforços internos em cada seção da estrutura, recebem o nome diagrama de esforços internos ou linhas de estado. Teoria das Estruturas I CCE0370 34 As funções que representam os esforços internos são contínuas em trechos. Por este motivo, ao traçar um diagrama de estado devemos fazê-lo um trecho de cada vez. Um trecho é o conjunto de seções transversais limitado por seções onde: aparece, ou desaparece, uma carga externa ou uma barra e/ou ocorre mudança na lei que rege a direção do eixo da barra. As seções que limitam um trecho são chamadas de seções limites do trecho 4.4 ANÁLISE E OBTENÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Reações de apoio Determine todas as forças reativas e momentos de binário que atuam sobre a viga e decomponha todas as forças em componentes que atuam perpendicular e paralelamente ao eixo da viga. Funções de esforço normal, esforço cortante e momento fletor Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na extremidade esquerda da viga e estendendo-se para trechos da viga entre forças concentradas e/ou momentos de binário, ou onde a carga distribuída é contínua. Seccione a viga a cada distância x e desenhe o diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Cuide para que N, V e M apareçam atuando em seu sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal. O esforço normal N é obtido somando-se as forças direcionadas ao longo do eixo da viga. O esforço cortante V é obtido somando-se as forças perpendiculares ao eixo da viga. O momento M é obtido somando-se os momentos em relação à extremidade seccionada do segmento. Diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor Desenhe o diagrama do esforço normal (N versus x), o diagrama do esforço cortante (V versus x) e o diagrama de momento (M versus x). Se os valores calculados das funções descrevendo N, V e M forem positivos, os valores são desenhados acima do eixo x, enquanto valores negativos são desenhados abaixo do eixo x. Geralmente, é conveniente fazer os gráficos dos diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. 4.5 RELAÇÕES ENTRE CARGA, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos diferentes, determinar V e M em função de x e representar essas equações em gráfico pode ser bastante trabalhoso. Entretanto, existe um método mais simples para construir os diagramas de força cortante e momento fletor - um método baseado em duas relações diferenciais que existem entre carga distribuída, força de cisalhamento e momento fletor. Para obter essas duas relações diferenciais, considere a viga mostrada na figura abaixo, que está sujeita a um carregamento arbitrário. Teoria das Estruturas I CCE0370 35 Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento Δx da viga é mostrado na figura ao lado. Visto que esse segmento foi escolhido em uma posição x onde não há nenhuma força concentrada nem momento conjugado, os resultados que serão obtidos não se aplicarão a esses pontos de carregamento concentrado. Observe que todos os carregamentos mostrados no segmento agem em suas direções positivas, de acordo com a convenção de sinal estabelecida. Além disso, ambos, cisalhamento e momento internos resultantes, que agem na face direita do segmento, devem sofrer uma pequena mudança finita para manter o segmento em equilíbrio. Observe também que a carga distribuída foi substituída por uma força resultante w(x)Δx que age a uma distância fracionária k(Δx) da extremidade direita, sendo 0 < k < 1. Se, por exemplo, w(x) for constante, então k = 1/2. Aplicando as duas equações de equilíbrio ao segmento, temos: 00 )()(; VVxxwVFy xxwV )( (I) + 00 )()]([)(; MMxkxxwMxVMO 2)()( xkxwxVM (II) Dividindo (I) e (II) por Δx e calculando o limite quando Δx → 0, essas duas equações tornam-se: )(xw dx dV V dx dM Essas equações podem ser interpretadas, respectivamente, como: As equações obtidas também podem ser reescritas na forma dV = ‒w(x)dx e dM = Vdx. Observandoque w(x)dx e Vdx representam áreas diferenciais sob o diagrama de carga distribuída e força cortante, respectivamente, podemos integrar essas áreas entre quaisquer dois pontos na viga e escrever: dxxwV )( dxxVM )( Teoria das Estruturas I CCE0370 36 Mais uma vez, podemos interpretar essas equações, respectivamente, como: Os diagramas de esforços solicitantes, na Análise Estrutural, costumam ser representados sobre a própria estrutura, como mostram as figuras ao lado. Observe que, para o diagrama do esforço cortante (DEC), e também para o diagrama do esforço normal (DEN), representa-se o respectivo sinal do esforço, mas o diagrama do momento fletor (DMF), por convenção, é sempre representado no lado tracionado da barra. Na representação dos diagramas de esforços internos em estruturas reticulares planas, adotaremos aqui a mesma convenção de sinais utilizada no software Ftool. Para usar esta convenção devemos definir quais são as fibras inferiores e superiores das seções transversais das barras que constituem a estrutura. A figura ao lado mostra uma estrutura que contém barras com todas as direções possíveis. Nessa figura, as linhas cheias indicam as fibras superiores e as linhas tracejadas as fibras inferiores de cada barra. De acordo com essa convenção: força normal e força cortante positivas são representadas no lado das fibras superiores dos elementos; força normal e força cortante negativas são representadas no lado das fibras inferiores dos elementos; momento fletor sempre representado no lado das fibras tracionadas. Exercícios – Série 4 1. Para a estrutura da figura ao lado, determinar as funções que expressam os esforços interno e traçar seus diagramas. 2. Traçar os diagramas dos esforços cortantes V e de momentos fletores M da viga biapoiada, sujeita a três cargas concentradas representadas na figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 37 3. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga ao lado. 4. Um suporte de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento para o suporte quando submetido à carga das longarinas mostradas na figura. Considere que as colunas em A e B exercem somente reações verticais no suporte. 5. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. Expresse também a força cortante e o momento no eixo em função de x dentro da região 125 mm < x < 725 mm. 6. Para a viga biapoiada submetida a um momento concentrado, conforme indicado na figura ao lado, determinar as funções que expressam os esforços internos e traçar os diagramas. 7. Para a viga biapoiada submetida a um momento concentrado, conforme indicado na figura ao lado, determinar as funções que expressam os esforços internos e traçar os diagramas. 8. Para a viga biapoiada submetida a um carregamento vertical uniformemente distribuído, conforme indicado ao lado, determinar as funções que expressam os esforços internos e traçar seus diagramas. 9. Para a viga biapoiada submetida a um carregamento vertical uniformemente distribuído, conforme indicado ao lado, determinar as funções que expressam os esforços internos e traçar seus diagramas. Teoria das Estruturas I CCE0370 38 10. Um homem de massa 75 kg está sentado no meio de um barco com largura uniforme e peso de 50 N/m. Determine o momento fletor máximo exercido sobre o barco. Considere que a água exerce uma carga distribuída uniforme para cima na parte inferior do barco. Adote: g = 9,81 m/s2 11. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 12. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força cortante e o momento em toda a viga em função de x. 13. Obter as funções e traçar os diagramas dos esforços internos em uma viga biapoiada submetida a um carregamento triangular, conforme indicado ao lado. 14. Obter as funções e traçar os diagramas dos esforços internos em uma viga biapoiada submetida a um carregamento triangular, conforme indicado ao lado. 15. Obter as funções e traçar os diagramas do esforço cortante e do momento fletor para a viga biapoiada submetida ao carregamento indicado na figura ao lado. 16. A equação dos esforços cortantes atuantes numa viga biapoiada de 6 m de vão é V(x) = 8 ‒ 2x +x2/6 (tf, m), sendo x a distância do apoio esquerdo à seção genérica que descreve a viga. Sabendo-se que, se houver carga-momento atuante, ela estará aplicada no apoio direito, pede-se: a) reconstituir o carregamento atuante; b) obter o momento fletor máximo atuante. Teoria das Estruturas I CCE0370 39 5. VIGAS GERBER 5.1 INTRODUÇÃO As vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemão Heinrich Gerber (1832-1912) que inventou este tipo de estrutura para a construção de pontes. Estas vigas surgiram por duas razões: estruturais, pois permitem deformações, evitando o surgimento de esforços internos devidos a recalques diferenciais nos apoios; construtivas, pois permitem o lançamento de vigas pré-moldadas em vãos sobre leitos de rio ou de difícil acesso. A figura ao lado é uma representação simplificada de uma viga Gerber. Os dentes Gerber nada mais são do que rótulas (Mrot = 0) convenientemente introduzidas na estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torná-la isostática. As vigas Gerber têm lugar de importância na engenharia estrutural, e a tendência é de cada vez mais serem utilizadas, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e montagem de estruturas. Teoria das Estruturas I CCE0370 40 5.1 OBTENÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO EM VIGAS GERBER Consideremos a estrutura representada abaixo, estando o detalhe da seção C ampliado. Suponhamos carregado o trecho CD: este trecho não tem evidentemente estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia, então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma força horizontal, o que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir estas forças ao trecho ABC. Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga biapoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD. Se tivermos carregado o techo ABC, a carga solicitará apenas este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações equilibrantes. O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o esquema estático da estrutura representado conforme a figura abaixo. As vigas Gerber podem, portanto, ser consideradas como uma associação de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com balanços ou engastadas e livres), umas com estabilidade própria (CEP) e outras sem estabilidade própria (SEP). Importante ressaltar que as partes SEP são também estáveis, entretanto a estabilidade delas depende da estabilidade das vigas sobre as quaisse apoiam. As vigas Gerber, por serem associações de vigas isostáticas simples, podem ser calculadas estabelecendo o equilíbrio de cada uma de suas partes, resolvendo inicialmente as vigas simples que não têm estabilidade própria (SEP). A determinação das forças reativas das vigas SEP permite, pelo princípio da ação e reação, a aplicação da ação destas sobre as vigas simples com estabilidade própria (CEP). Alguns exemplos são dados na figura a seguir. Teoria das Estruturas I CCE0370 41 As figuras a seguir mostram alguns exemplos de como uma viga Gerber pode ser decomposta. Os números indicam a sequência de resolução e as setas à transmissão de cargas. É importante ressaltar o fato de que um dos apoios da viga Gerber deve ser capaz de absorver forças horizontais, que irão diretamente para ele através das rótulas, provocando esforços normais na viga ao longo de sua trajetória. As cargas verticais, somente, serão as responsáveis pelos momentos fletores e esforços cortantes atuantes na viga Gerber, e é para obtê-los que necessitamos fazer a sua decomposição. É por esta razão que nesta decomposição não nos preocupamos se o apoio é do 1º ou 2º gênero, pois, para as cargas verticais, todos funcionam como se fossem do 1º gênero. Observação: Na figura acima, note que a última viga Gerber, devido ao fato de ter a rótula sobre o apoio intermediário (o que significa que os trechos AB e BC têm momento fletor nulo em B) funciona como se fossem duas vigas biapoiadas AB e BC independentes, que têm como única particularidade o fato das reações em B se somarem no apoio único existente. Exercícios – Série 5 1. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. Teoria das Estruturas I CCE0370 42 2. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. 3. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. 4. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. 5. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Os dois segmentos estão interligados por um pino em B. 6. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Gerber da figura ao lado. 7. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta da figura ao lado. Os segmentos são conectados por um pino em B. Teoria das Estruturas I CCE0370 43 8. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Gerber da figura a seguir. 9. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Gerber da figura a seguir. 10. Obtenha os diagramas de esforços solicitantes (momento e cortante) para a viga Gerber da figura abaixo. 6. VIGAS INCLINADAS É conveniente que as vigas inclinadas fechem o estudo de vigas e antecedam o estudo dos pórticos ou quadros planos. Nas vigas inclinadas surge, em geral, a necessidade de se trabalhar com dois sistemas de eixos referenciais: um global X-Y (para a determinação das reações de apoio) e um local x-y (para a determinação dos esforços solicitantes internos). No estudo das vigas inclinadas é de fundamental importância que se observe: a direção da viga inclinada, expressa pelo ângulo que a viga faz com a horizontal; as orientações dos apoios e das respectivas forças reativas; as direções dos carregamentos aplicados; a forma de representação do carregamento distribuído - ao longo das projeções horizontais Lh e/ou verticais Lv ou - ao longo do comprimento inclinado L da viga Viga inclinada submetida a um carregamento distribuído ao longo da projeção horizontal (Lh) Considere a viga de comprimento L e inclinada de um ângulo com a horizontal e sujeita a uma carga uniformemente distribuída q ao longo de sua projeção horizontal (Lh). Teoria das Estruturas I CCE0370 44 Para a determinação das reações de apoio, utilizando o sistema X-Y global, substituímos a carga distribuída q por uma carga concentrada R = q·Lh. As equações de equilíbrio permitem, então, obter as reações de apoio. Obtidas as reações de apoio, passamos a utilizar o sistema x-y local. Observe que, na figura anterior, o carregamento distribuído foi decomposto em suas componentes ortogonais no sistema de eixos x-y. O mesmo será feito com as reações de apoio. Conhecidas as cargas que atuam na direção x e na direção y locais, obtêm-se os diagramas de esforços. Viga inclinada submetida a um carregamento distribuído ao longo da projeção vertical (Lv) Consideremos agora a viga de comprimento L e inclinada de um ângulo com a horizontal e sujeita a uma carga uniformemente distribuída q ao longo de sua projeção vertical (Lv). Para a determinação das reações de apoio, utilizamos, mais uma vez, o sistema X-Y global, substituindo a carga distribuída q por uma carga concentrada R = q·Lv. As equações de equilíbrio permitem obter as reações de apoio. Teoria das Estruturas I CCE0370 45 Obtidas as reações de apoio, passamos a utilizar, como já fizemos anteriormente, o sistema x-y local. Observe que, na figura anterior, o carregamento distribuído foi decomposto em suas componentes ortogonais no sistema de eixos x-y. O mesmo será feito com as reações de apoio. Conhecidas as cargas que atuam na direção x e na direção y locais, obtêm-se, então, os diagramas de esforços. Viga inclinada submetida a carregamento distribuído perpendicular a seu eixo. No caso de um carregamento distribuído perpendicular ao eixo da viga, como mostrado abaixo, pode-se decompor tal carregamento em dois carregamentos, um distribuído ao longo da projeção horizontal e outro distribuído ao longo da projeção vertical. Recaímos, então, nos casos discutidos anteriormente. O resultado final é obtido com o princípio da superposição. Exercícios – Série 6 1. Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes (normal, cortante e momento fletor) para a viga inclinada da figura ao lado. 2. Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços internos (normal, cortante e momento fletor) para a viga inclinada sujeita ao carregamento mostrado ao lado. 3. Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços internos (normal, cortante e momento fletor) para a viga inclinada sujeita ao carregamento mostrado ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 46 7. PÓRTICOS ISOSTÁTICOS PLANOS Em aulas anteriores já vimos como obter as reações de apoio em pórticos planos, com ou sem rótulas internas, carregados. Para isso definimos um sistema de eixos ortogonais, definido de maneira que as coordenadas x, y e z fossem sempre positivas. Este sistema de eixos costuma ser chamado de eixos globais e, a partir daqui, passaremos a representar tais eixos por X, Y e Z, como representado ao lado. Sistema de eixos globais Vamos agora determinar os diagramas de esforços internos atuantes em pórticos carregados e, para isso, é necessário que se defina, para cada elemento que compõe a estrutura, um sistema referencial local. Conforme mostrado na figura ao lado, os eixos locais serão representados pelas letras x, y e z minúsculas. Os eixos locais são obtidos fazendo coincidir os eixos x com os eixos dos elementos, sendo as origens posicionadas nos nós iniciais destes. A imposição desta única condição, no entanto, permite a escolha de diferentes sistemas locais.Sistema de eixos locais Objetivando uma uniformidade, as seguintes regras (válidas para os pórticos planos) serão estabelecidas: as direções e os sentidos dos eixos z-locais devem ser os mesmos do eixo Z-global; os sentidos dos eixos x-locais serão tais que a fibra inferior do elemento esteja sempre voltada para o interior do pórtico, conforme ilustrado pela linha tracejada da figura anterior. Observe que, para a barra vertical da direita, esta orientação do eixo x-local tem sentido oposto ao adotado pelo software Ftool. Cada elemento ou barra que compõe as estruturas reticulares tem o seu eixo local que, assim como o elemento, é definido pelos nós inicial e final de cada um destes elementos. A análise dos esforços internos solicitantes em cada elemento de um pórtico plano é feita utilizando o eixo local do elemento e a teoria de viga já estudada. Exercícios – Série 7 1. Determinar as reações de apoio e os diagramas de esforços internos para o pórtico plano da figura ao lado. Teoria das Estruturas I CCE0370 47 2. Determinar as reações de apoio e os diagramas de esforços internos para o pórtico plano triarticulado da figura ao lado. 3. Determinar as reações de apoio e os diagramas de esforços internos para o pórtico plano biapoiado com articulação e tirante (ou escora) da figura ao lado. 8. PÓRTICOS E BARRAS CURVAS Nos pórticos simples podem ocorrer elementos ou barras com eixos curvos, conforme mostrado na figura abaixo. A ocorrência de elementos curvos nos pórticos em nada altera a sua análise a não ser pelo fato de os sistemas locais das barras curvas terem, nas seções em análise, os eixos x tangentes e os eixos y perpendiculares aos eixos das barras. Exercícios – Série 8 1. Para a viga biapoiada, definida por uma semicircunferência de raio R e submetida a uma força concentrada P, conforme indicada na figura ao lado, determinar os esforços internos em uma seção genérica S em função do ângulo θ e traçar os diagramas correspondentes. Teoria das Estruturas I CCE0370 48 2. Para a viga curva engastada, mostrada na figura ao lado, determinar os esforços internos em uma seção genérica S em função do ângulo θ e traçar os diagramas correspondentes. 3. Para a viga curva engastada, mostrada na figura ao lado, determinar os esforços internos em uma seção genérica S em função do ângulo θ e traçar os diagramas correspondentes. 9. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS TRIDIMENSIONAIS O procedimento utilizado na análise das estruturas reticulares espaciais é análogo ao utilizado para estruturas reticulares planas. Para o caso mais geral das estruturas espaciais tem-se: Deslocamentos ZYXZYX DDD θeθ,θ,,, Esforços externos ZYXZYX MMMFFF e,,,, Esforços internos N, VY, VZ, T, MY e MZ Equações de equilíbrio estático 0e00,0,,0,0 ZYXZYX MMMFFF 9.1 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Como exemplo, vamos determinar os diagramas de esforços solicitantes para a grelha da figura ao lado. Como a estrutura está engastada não será necessário começar a resolução calculando as reações de apoio. O cálculo deve começar pela haste BC, encontrando-se os esforços internos no ponto B. Então, analisando-se o trecho BC, obtemos os esforços mostrados na figura ao lado: Teoria das Estruturas I CCE0370 49 A seguir, transferimos esses esforços para o mesmo ponto B, agora da haste AB. Observe que o momento fletor da haste CB será transferido como um momento torsor para a haste AB. Podemos, então, calcular as reações no engaste A e obter: Os diagramas correspondentes são mostrados a seguir: Exercícios – Série 9 1. Obter as reações de apoio e os diagramas solicitantes para a grelha triapoiada da figura abaixo. 2. Obter os diagramas solicitantes para a grelha da figura ao lado, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90°. Teoria das Estruturas I CCE0370 50 3. Obter as reções de apoio VB, VC e VE e os diagramas de esforços solicitantes para a grelha triapoiada da figura abaixo cujas barras formam, em todo os nós, ângulos de 90°. 4. Obter os diagramas solicitantes para a grelha da figura a seguir, em que a carga de 2 tf é perpendicular ao plano ABC. 5. Obter os diagramas solicitantes para a grelha da figura abaixo. OBS: Os ângulos entre as hastes não são 90º. Teoria das Estruturas I CCE0370 51 10. ESTUDO DAS CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 10.1 CLASSIFICAÇÃO DAS CARGAS As cargas que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em dois grandes grupos: o de cargas permanentes e o de cargas acidentais. As cargas permanentes são aquelas que atuam constantemente na estrutura, ao longo do tempo, e são devidas ao seu peso próprio e aos revestimentos e materiais de enchimento que ela suporta. O estudo dos esforços provocados por elas não apresentam maiores dificuldades, pois se tratam de cargas cuja posição e valor são conhecidos e invariáveis e temos estudado, até agora, esse tipo de carga. As cargas acidentais, conforme a própria denominação, são aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxos de terra ou de água, impactos laterais, forças introduzidas por frenagens ou acelerações de veículos, sobrecargas (cargas de utilização) em edifícios, peso de materiais que vão preencher a estrutura (caso de reservatórios d’água, silos, etc.), efeitos de terremoto (de importância fundamental para os projetos em regiões sujeitas a abalos sísmicos), peso de neve acumulada em regiões frias e, finalmente, pelas assim denominadas cargas móveis, que são aquelas devidas a veículos que percorram a estrutura (caso de pontes rodoviárias ou ferroviárias, viadutos, pontes rolantes industriais) Para fins de análise estática, as cargas acidentais, com exceção das cargas móveis, são cargas que têm posição e valor conhecidos na estrutura, podendo ou não atuar ao longo do tempo. Seus esforços são calculados, pois, da mesma forma que os devidos a cargas permanentes, como temos feito até agora. O mesmo não acontece para as cargas móveis, pois, quando de sua ocorrência (embora tenham valores conhecidos), as posições que ocupam na estrutura variam à medida que os veículos por ela representados a atravessam. Se fôssemos estudá-las pelo processo até aqui empregado, teríamos que calcular esforços para cada uma das infinitas posições que elas podem ocupar enquanto percorrem a estrutura. Tal forma de tratamento é, evidentemente, inadequada e impraticável. Procuraremos, portanto, outra forma para resolver o problema das cargas móveis. 10.2 CARGAS TRENS-TIPO Vamos supor que nossa missão seja projetar um viaduto ou ponte. Que veículos (cargas móveis) colocaremos sobre a estrutura? Em que ordem? A esta pergunta, diversos pesquisadores, em diversos países, responderam com a criação de veículos ideais, denominados trens-tipo (por influência das pontes ferroviárias), definidas pelas Teoria das Estruturas I CCE0370 52 normas de projetos de cada país e que variam dependendo da natureza e da forma de projeto de cada país e da natureza e forma de utilização de cada estrutura. Os trens-tipos compõem-se de compressores, caminhões e multidão. A multidão representa o tráfego de veículos de pequeno porte que pode acompanhar a passagem do caminhão e/ou do compressor. A multidão é constituída por carga uniformemente distribuída Uma
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