Geometria Analítica
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Geometria Analítica


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UM CURSO DE
GEOMETRIA ANALI´TICA E A´LGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/\u2dcregi
Julho 2010
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear
Copyright c\u20dd 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100628)
E´ proibida a reproduc¸a\u2dco desta publicac¸a\u2dco, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via autorizac¸a\u2dco, por
escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa\u2dco, Supervisor de Produc¸a\u2dco, Capa e Ilustrac¸o\u2dces:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-006-1
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237u Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2010.
1. A´lgebra Linear 2. Geometria Anal\u131´tica I. T\u131´tulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´do
Prefa´cio vi
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o\u2dces com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Aplicac¸a\u2dco: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ape\u2c6ndice I: Notac¸a\u2dco de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.3 Sistemas Lineares Homoge\u2c6neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes 70
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
iv Conteu´do
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa\u2dco (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.3 Me´todo para Inversa\u2dco de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.4 Aplicac¸a\u2dco: Interpolac¸a\u2dco Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.1.5 Aplicac¸a\u2dco: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Ape\u2c6ndice II: Demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 131
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.2.2 Projec¸a\u2dco Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Ape\u2c6ndice III: Demonstrac¸a\u2dco do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4 Retas e Planos 201
4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1.1 Equac¸o\u2dces do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1.2 Equac¸o\u2dces da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.2 A\u2c6ngulos e Dista\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.1 A\u2c6ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.2 Dista\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5 Espac¸os \u211dn 258
5.1 Independe\u2c6ncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.1.1 Os Espac¸os \u211dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.1.2 Combinac¸a\u2dco Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
Conteu´do v
5.1.3 Independe\u2c6ncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.1.4 Posic¸o\u2dces Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Ape\u2c6ndice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.3 Produto Escalar em \u211dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.4.1 Rotac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
5.4.2 Translac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.4.3 Aplicac¸a\u2dco: Computac¸a\u2dco Gra´fica - Projec¸a\u2dco Ortogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6 Diagonalizac¸a\u2dco 356
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.1.1 Motivac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.1.3 Diagonalizac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.2 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.2.1 Motivac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Ape\u2c6ndice V: Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.3 Aplicac¸a\u2dco: Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.3.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.3.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Respostas dos Exerc\u131´cios 445
Bibliografia 558
I´ndice Alfabe´tico 562
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso