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1 FIS 227 – FÍSICA EXPERIMENTAL II UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA 2 ÍNDICE ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS --------------------------------------------------- 03 CONSTRUÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS ----------------------------------------- 10 LINEARIZAÇÃO DE CURVAS (COLETA DE DADOS) -------------------------------------- 21 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS ------------------------------------------------------------------- 23 QUEDA LIVRE ------------------------------------------------------------------------------------------ 25 ATRITO ESTÁTICO ----------------------------------------------------------------------------------- 28 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON E EQUIVALENTE ELÉTRICO DO CALOR ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 32 OSCILAÇÕES -------------------------------------------------------------------------------------------- 36 ÓTICA GEOMÉTRICA ------------------------------------------------------------------------------- 41 ÓTICA FÍSICA----------------------------------------------------------------------------------------- 48 ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UMA CORDA-------------------------------------------------- 53 CONSTRUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS: Software (I)---------------------- 57 CONSTRUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS: Software (II) . SEGUNDA LEI DE NEWTON --------------------------------------------------------------------------------------- 58 ANEXO: MODELO DE RELATÓRIO DE ATIVIDADE EXPERIMENTAL-------------- 61 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. NOÇÕES SOBRE A TEORIA DE ERROS O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e suas conseqüências, de modo a expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam compreensíveis a outras pessoas. Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 1.1 ERROS E DESVIOS Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. Matematicamente: erro = valor medido − valor real Entretanto o valor real ou exato da maioria das grandezas físicas nem sempre é conhecido. Quando afirmamos que o valor da carga do elétron é 1,60217738 x 10 -19 C, este é, na verdade, o valor mais provável desta grandeza, determinado através de experimentos com incerteza de 0,30 partes por milhão. Neste caso, ao efetuarmos uma medida desta grandeza e compararmos com este valor, falamos em desvios e não erros. DESVIO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros. 1.2 CLASSIFICAÇÃO DE ERROS Por mais cuidadosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe uma incerteza ao se comparar uma quantidade de uma dada grandeza física com sua unidade. Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: grosseiros, sistemáticos e aleatórios ou acidentais. 1.2.1 ERROS GROSSEIROS: Ocorrem devido à falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Devem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições. 1.2.2 ERROS SISTEMÁTICOS: Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Estes fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. Erros sistemáticos podem ser devidos a vários fatores, tais como: • Ao instrumento que foi utilizado; Ex: intervalos de tempo feitos com um relógio que atrasa; 4 • Ao método de observação utilizado; Ex: medir o instante da ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado; • A efeitos ambientais; Ex: a medida do comprimento de uma barra de metal, que pode depender da temperatura ambiente; • As simplificações do modelo teórico utilizado; Ex: não incluir o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda de um objeto a partir de uma dada altura. 1.2.3 ERROS ALEATÓRIOS OU ACIDENTAIS: São devidos a causas diversas e incoerentes, bem como a causas temporais que variam durante observações sucessivas e que escapam a uma análise em função de sua imprevisibilidade. Podem ter várias origens, entre elas: • Os instrumentos de medida; • Pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos, etc.); • Fatores relacionados com o próprio observador sujeitos à flutuações, em particular a visão e a audição. De um modo simples podemos dizer que uma medida exata é aquela para qual os erros sistemáticos são nulos ou desprezíveis. Por outro lado, uma medida precisa é aquela para qual os erros acidentais são pequenos. O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente eliminado. Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas, é necessário avaliar quantitativamente os erros cometidos. 1.3 DESVIO MÉDIO − VALOR MÉDIO Quando um mesmo operador efetua uma série de medidas de uma grandeza, utilizando um mesmo instrumento, as medidas obtidas terão valores que poderão não coincidir na maioria das vezes, isso devido aos erros experimentais inerentes a qualquer processo de medida. Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão era 1 cm (régua centimetrada), de modo que os milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento). Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem nas diferentes avaliações da menor divisão. A tabela ao lado mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas. n Ln(cm) )(cm)L(LΔL nn 1 5,7 0,0 2 5,8 + 0,1 3 5,5 - 0,2 4 5,6 - 0,1 5 5,5 - 0,2 6 5,7 0,0 7 5,8 + 0,1 8 5,7 0,0 9 5,9 + 0,2 10 5,8 + 0,1 N=10 57cmLn 1,0cmLn 5 Calculando-se a média aritmética das medidas efetuadas tem-se: 5,7cmcm 10 57cm 10 5,85,95,75,85,75,55,65,55,85,7 N L L n que é o valor mais provável para o comprimento da barra. O valor médio é mais preciso e exato quanto maior for o número N de medidas. Define-se o desvio de uma medida como sendo a diferença entre o valor medido (L n ) e o valormédio ( L ). ΔL n = (L n −L ) O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na tabela. Desse conjunto deve-se extrair a incerteza que afeta o valor médio. Considera-se, para esse fim, a média aritmética dos valores absolutos dos desvios denominada desvio médio ( LΔ ): 0,1cmcm 10 1,0cm 10 0,10,20,00,10,00,20,10,20,10,0 N ΔL LΔ n Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio (L= 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em outras palavras, o valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser expresso como: L=( LL ) ou seja L= (5,7 ± 0,1) cm 1.4 DESVIO AVALIADO OU INCERTEZA Se o experimentador realiza apenas uma medida da grandeza, o valor medido evidentemente será o valor adotado, já que não se tem um conjunto de dados para ser analisado, como no caso anterior. Aqui, também, o valor adotado representa a grandeza dentro de certo grau de confiança. A incerteza de uma única medida, em geral, depende de vários fatores como: o instrumento utilizado, as condições em que a medida se realiza, o método utilizado na medida, a habilidade do experimentador, a própria avaliação do último algarismo (fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento) etc... 1.5 DESVIO PADRÃO O desvio padrão σ de uma série de medidas é definido como sendo: 1N L 2n , (5) onde nL é definido como na equação (2). O valor final para L é, então, escrito como N LL . (6) É costume tomar a incerteza de uma medida como sendo a metade da menor divisão da escala do instrumento utilizado. 6 1.6 DESVIO RELATIVO PERCENTUAL E ERRO RELATIVO PERCENTUAL O desvio relativo percentual ou o erro relativo percentual são obtidos, multiplicando-se o desvio relativo ou o erro relativo por 100%. O desvio relativo/erro relativo nos dá, de uma certa forma, uma informação a mais acerca da qualidade do processo de medida e nos permite decidir, entre duas medidas, qual a melhor. Isto é, quanto menor o desvio relativo, maior a precisão da medida. a) No caso de uma única medida: b) No caso de uma série de medidas: 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (A.S.) A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que usamos para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso. Claramente o número de algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a medida, maior o número de algarismos significativos. Assim, por exemplo, se afirmamos que o resultado de uma medida é 3,24 cm estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. Portanto, denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos exatos acrescidos de um único algarismo duvidoso. Algumas observações devem ser feitas: i- Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. Assim, tanto L=32,5 cm como L=0,325 m representam a mesma medida e tem três algarismos significativos. Outros exemplos são: 5 = 0,5x10 = 0,05x10 2 = 0,005x10 3 (1 A.S. ) 26 = 2,6x10 = 0,26x10 2 = 0,026x10 3 (2 A.S. ) 0,00034606 = 0,34606x10 -3 = 3,4606x10 -4 (5 A.S.) ii- O zero à direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. Portanto, L=32,5 cm e L=32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S. enquanto que a segunda é mais precisa e tem 4 A.S. iii- É significativo o zero situado entre algarismos significativos. Por exemplo: L = 3,25 m tem 3 A.S. enquanto que L=3,025 m tem 4 A.S. iv- Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm ≠ 5,0 cm ≠ 5,00 cm Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único algarismo duvidoso E%= X100% esperadovalor esperadovalor -medidovalor E%= X100% esperadovalor esperadovalor -medidas das médiovalor 7 ≠5,000cm, já que estas medidas tem 1 A.S., 2 A.S., 3 A.S. e 4 A.S., respectivamente. Em outras palavras, a precisão de cada uma delas é diferente. v- Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utilizaremos a seguinte regra: quando o último algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; quando o último algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior. Por exemplo: 8,234 cm é arredondado para 8,23 cm 8,235 cm é arredondado para 8,23 cm 8,238 cm é arredondado para 8,24 cm Em seguida serão fornecidos alguns exemplos de como escrever corretamente o resultado de uma medida realizada em laboratório com os números corretos de algarismos significativos. Exemplo 1: Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela abaixo. n Dn(mm) (mm)10ΔD 2n 1 12,20 -1,25 2 12,30 +8,75 3 12,10 -11,25 4 12,20 -1,25 5 12,20 -1,25 6 12,10 -11,25 7 12,40 +18,75 8 12,20 -1,25 N=10 97,70mmDn )mm1000,55(D 2n x Com esse conjunto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio médio. Valor médio: 12,2125mmmm 8 97,7 N D D n Desvio médio: 0,07mm0,06875mmmm 8 55,00x10 N ∆D D∆ 2n O valor da grandeza é D = (12,2125 ± 0,06875) mm. No entanto, observa-se que a incerteza no valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa decimal desse valor. Assim, os outros algarismos posteriores perdem o significado e não são significativos, já que entre os algarismos significativos é admitida a presença de um único algarismo duvidoso. No entanto, esses algarismos presentes tanto no valor médio quanto no desvio médio devem ser considerados para efeito de cálculo, devendo ser desprezados na apresentação final. Escreve-se o resultado final da seguinte maneira: D = (12,21 ± 0,07) mm Normalmente, ao serem feitas aproximações, como no caso acima, é costume, quando o primeiro algarismo desprezado for maior ou igual a cinco, acrescentar uma unidade ao último algarismo mantido. Exemplo 2: Suponha-se que um processo de medidas e cálculos tenha originado para a resistividade por uma unidade de área de material o valor médio de 32,765 Ω/m com um desvio médio de 0,0241 Ω/m. 8 Tem-se então: m m m m /)02,077,32(/)0241,0765,32( Deve-se notar que o valor médio pode apresentar um número de algarismos significativos maior que as medidas individuais. Esse resultado, aparentemente sem sentido, é explicável já que está se tratando estatisticamente um conjunto de dados, e as medidas individuais deixam de ter importância, prevalecendo o conjunto como um todo, ou seja, o valor médio. Exemplo 3: O resultado de uma experiência forneceu o valor médio e o desvio médio iguais a: 1) m = (13,4258 ± 0,0342) g → m = (13,43 ± 0,03) g = (1,343 ± 0,003) x 10 g 2) m = (7836,6 ± 12,8) g → m = (784 ± 1) x 10 g = (7,84 ± 0,01) x 103 g Ao se trabalhar com algarismos significativos, não se deve esquecer de que os zeros à esquerda não são significativos, mas os da direita o são. Portanto, são significativos todos os números isentos de dúvida, a partir do primeiro não nulo, e também o primeiro algarismo duvidoso e mais nenhum. 2.1 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS− REGRAS ADOTADAS a) Na adição e subtração: faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando critério de arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. Exemplos: Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001 = 12.620 Subtração - (12.441,2 − 7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9 b) Na multiplicação e divisão: o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. Exemplos: Multiplicação - (12,46 x 39,83) = 496.2818 = 496,28 Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,33 c) Na potenciação e radiciação: o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação). Exemplos: Potenciação - (1,52 x 10 3 ) 2 = 2,31 x 10 6 Radiciação - (0,75 x 10 4 ) 1/2 = 0,87 x 10 2 2.2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS EM MEDIDAS COM ERRO: Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra L, tenha obtido os seguintes resultados: - comprimento médio, L = 82,7390 cm - erro estimado, ΔL = 0,538 cm Como o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou seja, o erro estimado de uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos de erro são utilizados apenas para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. Neste caso ΔL deve ser expresso apenas por ΔL = 0,5 cm. 9 Os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 9 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los: estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será então: L = (82,7 ± 0,5) cm Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever os algarismos significativos da grandeza mensurada com critério. 3. PROPAGAÇÃO DE ERROS: MEDIDAS INDIRETAS Seja y uma função das variáveis x1, x2, ..., xn, ou seja: y = f(x1, x2, ..., xn), (7) onde xi é uma medida experimental com incerteza xi, ou seja: xi = xi xi. (8) A incerteza y em y devido aos erros xi das medidas de xi pode ser obtido através da expressão: n n 2 2 1 1 x x yx x yx x yy (9) O resultado final é escrito como: y = f(x1, x2, x3, ..., xn) y (10) Exemplo: Para se calcular o volume de um cilindro foram feitas medidas de sua altura L e de seu diâmetro D. Os resultados foram: L = (5,00 0,02) cm D = (2,00 0,01) cm (11) Sabemos que o volume de um cilindro é dado pela expressão: 4 LDV 2 . (12) Portanto temos: 32 cm70796,15 4 00,500,2 V , (13) e .cm21991,0 02,0 4 00,201,0 2 00,500,2L 4 DD 2 DLL L VD D VV 3 22 (14) Arredondando o valor de V para um único algarismo significativo vemos que a incerteza em V está na primeira casa decimal. Portanto, arredondando o valor de V para apenas uma casa decimal temos o resultado final: V = (15,7 0,2) cm3. 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II CONSTRUÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS 1. INTRODUÇÃO Frequentemente, em experiências de física, medimos os valores de uma dada grandeza em função da variação nos valores de outra grandeza. Como resultado, temos uma coleção de medidas relacionando ambas as grandezas, o que gera uma tabela de dados. Entretanto, suponha que também desejamos conhecer o comportamento de outros valores, os quais não aparecem na tabela de dados. Nesse caso um procedimento científico consiste em apresentar os dados da tabela na forma de um gráfico (método gráfico). Um gráfico tem a grande vantagem de tornar visível como a variação de uma grandeza afeta a outra. Assim sendo, um gráfico, frequentemente, nos permite determinar a dependência funcional entre as variáveis envolvidas e assim poder estimar por interpolação ou extrapolação outros valores que não tenham sido dados pela tabela. Para tal fim, ligamos os pontos experimentais por uma curva suave e através da análise gráfica (análise do gráfico) obtemos a relação matemática entre as variáveis. Trata-se de uma poderosa ferramenta de análise de dados experimentais, a qual tem levado à formulação de novas leis físicas. Além disso, o método gráfico é extremamente útil na comparação de dados teóricos e experimentais, pois qualquer discrepância entre a teoria e o experimento é facilmente observada. 2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Etapas na construção de um gráfico: a) Em geral, em um gráfico, a grandeza representada em cada eixo recebe o nome de variável. O primeiro passo, a seguir, é identificar as variáveis (grandezas) cujos valores serão lançados em cada eixo do gráfico. Assim os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade (indicada por vírgula ou parênteses). O eixo horizontal é chamado de abscissa e nele lança-se os valores numéricos da variável independente. No eixo vertical, ou ordenada, lança-se os valores numéricos da variável dependente. b) A seguir devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, de acordo com o número de algarismos significativos dos dados. Como a escolha da escala para cada eixo vai depender dos algarismos significativos dos valores numéricos da variável correspondente, as escalas adotadas para cada eixo, em geral, serão diferentes. No entanto, uma boa escolha das escalas deve permitir que todos os pontos experimentais fiquem contidos na região do papel delimitada pelos dois eixos de forma que o gráfico não fique comprimido em um canto. As escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais e com o número correto de algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos, nem mesmo os valores dos pontos experimentais, pois são os intervalos que irão nos auxiliar na visualização da ordem de grandeza de ditos valores, como ilustrado na Figura 2.1. Figura 2.1- Modo de se indicar os intervalos e os pontos experimentais em um gráfico. 11 c) Lançar os valores numéricos dos pares de valores contidos na tabela de dados. Cada par de valores da tabela gera um ponto no gráfico (ponto experimental), é costume indicá-los por uma pequena cruz ou um pequeno círculo. Para tal fim devemos determinar o ponto de interseção entre as retas paralelas aos eixos traçadas a partir dos valores numéricos nos eixos correspondentes. d) A última etapa compreende a análise gráfica da seqüência dos pontos experimentais, a parte mais importante do trabalho experimental. 2.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM UMA ESCALA LINEAR (PAPEL MILIMETRADO) Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre marcas sucessivas das escalas, ao longo de cada eixo, é constante. O papel milimetrado é um exemplo de escala linear. 2.1.1 ESCALA Ao construir um gráfico numa escala linear, devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um dado valor da grandeza. Assim, por exemplo, numa folha de papel quadriculado ou milimetrado, como ilustrado na Figura 2.2, que são exemplos de escalas lineares, cada unidade de comprimento passará a corresponder a um dado valor da grandeza. O parâmetro de correspondência chama-se de fator de escala e.As dimensões típicas de um papel milimetrado são 180 mm x 280mm. Segue abaixo um procedimento padrão para se determinar o fator de escala: Seja x a grandeza cujos valores numéricos serão lançados num dos eixos do gráfico, vamos supor, por exemplo, no eixo de 180 mm do papel milimetrado. Primeiro identificamos, na tabela de dados, o menor valor de x, denotando-o x 0 , o qual é tomado como o referencial no eixo (em alguns casos é conveniente considerar x 0 igual a zero). Neste caso, o fator de escala pode ser obtido pela seguinte regra de três: 180 mm corresponde a ( xmax- x0 ) 1 mm corresponde a ( xmax - x0 )/180 mm Note: Como mencionado anteriormente, em muito casos é mais conveniente considerar x 0 igual a zero Exemplo : Construa uma escala linear em um segmento de reta de 150 mm, para representar os tempos x listados na tabela abaixo. Considere intervalos de 10 segundos. x (s) x (s) 2 4 8 14 22 30 a) Cálculo do fator de escala: 1. Partindo do zero: xmax= 30 s e façamos x0 = 0 (escolha arbitrária). 150 mm corresponde a 30 unidades de segundos 1 mm corresponde a 30 unidades de segundos /150 mm e = 30 unidades de segundos /150 mm = 0,2 unidades de segundos/mm Esse fator de escala nos informa que cada 10 mm do papel milimetrado corresponderá a 2 s. Figura 2.2- Exemplo de um papel com escala linear (papel milimetrado). 12 2. Não partindo do zero: xmax= 30 s e x0 = 2 s (escolha arbitrária). 150 mm corresponde a 28 unidades de segundos 1 mm corresponde a 28 unidades de segundos /150 mm e = 28 unidades de segundos /150 mm = 0,1867 unidades de segundos/mm b) Neste exemplo teremos, portanto, a seguinte escala linear: Algumas informações úteis que devem ser seguidas ao se escolher a melhor escala de um gráfico: a) Procurar sempre utilizar uma escala limpa e fácil de ser lida, ou seja, escolha uma escala que não sejam necessários muitos cálculos para se encontrar a localização dos pontos no gráfico. Uma boa escala é aquela que além de ocupar bem o papel, permite encontrar facilmente a localização dos pontos no gráfico. Logo, para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, utilize uma escala que seja bem clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique não usar todo o papel milimetrado. b) A escala utilizada em um eixo é totalmente independente da escala usada no outro. c) Sempre escreva no eixo, a escala que está sendo utilizada. 3. ANÁLISE GRÁFICA A análise gráfica consiste em descobrir a dependência funcional entre as variáveis plotadas nos eixos; isto é, achar a fórmula matemática que descreva a sua inter-relação. A análise gráfica permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege um fenômeno físico. O conhecimento dessas leis é muito importante para a elaboração de modelos teóricos que expliquem o fenômeno estudado. A seguir, considerando a dependência funcional mais simples entre duas variáveis que é a relação linear, este será o primeiro caso a ser discutido. 3.1 RELAÇÃO LINEAR Uma relação linear entre as variáveis x e y obedece à seguinte equação: y = a x + b, onde a e b são constantes. O gráfico resultante é uma reta. A interseção da reta com o eixo y fornece o valor do coeficiente linear da reta, b, pois quando x = 0, y = b. Já o coeficiente angular, a, exprime a taxa de variação da variável dependente em relação à variável independente, a=Δy/Δx. O coeficiente angular não deve ser confundido com a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal. Observe que se você mudar as escalas, muda o ângulo também, entretanto o coeficiente angular não muda. No exemplo ilustrado na Figura 2.4 a escala no eixo Y foi mudada do caso (a) para (b). Compare o valor do coeficiente angular com a tangente dos ângulos em cada situação. São iguais? Figura 2.4 - Gráficos da posição x em função do tempo transcorrido, num movimento com velocidade constante. Ambas as figuras têm o mesmo coeficiente angular, a=Δy/Δx, que neste caso corresponde ao valor da velocidade do móvel. Entretanto, note que as tangentes são diferentes. 150 mm Figura 2.3- Exemplo de uma escala linear. (a) (b) 13 No gráfico, a seqüência dos pontos experimentais irá sugerir uma reta. Por se tratar de dados experimentais podemos esperar uma pequena dispersão em torno de uma reta representativa (reta média). Estas dispersões refletem o grau de incerteza associado a cada ponto e é costume indicá-las através de barras de incertezas. Portanto, neste caso, o objetivo da análise gráfica é determinar a equação da reta média (relação analítica ente as grandezas y=ax+b). Os parâmetros a e b devem ser calculados através da melhor reta visual ou do método de mínimos quadrados (método da regressão linear). 3.2 MELHOR RETA VISUAL Uma maneira direta de analisar os dados em um gráfico linear é traçar manualmente uma reta que visualmente melhor se ajuste aos pontos do gráfico, obter o ponto que a reta intercepta o eixo vertical, b, e calcular a inclinação desta reta utilizando a expressão a=Δy/Δx, onde os valores de Δx e Δy são sempre calculados utilizando pontos da reta traçada, e nunca pontos da tabela de dados. É importante observar que não é necessário que qualquer um dos pontos experimentais esteja sobre a reta traçada. Exemplo: Análise gráfica através da melhor reta visual A tabela a segir mostra resultados experimentais (fictícios) obtidos em uma aula de laboratório, da posição de um determinado objeto(x) em função do tempo (t). t (s) x (m) 1,6 4,4 5,8 17,5 9,9 33,7 16,1 42,0 20,1 53,3 Com esses dados foi possível obter o seguinte gráfico: Análise gráfica: 1) Para obter a inclinação da reta, deve-se usar pontos da reta e não os pontos experimentais. (Para essa reta a= 2,6 m/s). 2) O ponto que a reta intercepta o eixo posição quando o tempo é igual a zero, nos fornece o valor de b. (Para essa reta b= 2,7 m). 3) Sempre coloque unidades em a e b. 4) A relação analítica obtida ente x e t, será portanto: x=(2,6 m/s)t+2,7 m 5) A inclinação da reta sempre nos traz um resultado físico. Neste caso, a inclinação representa a velocidade do que foi medido. Portanto, a = velocidade = 2,6 m/s. 6) O coeficiente b nem sempre possui um significado físico, pois em alguns casos ele pode estar relacionado a erros experimentais. Nesse exemplo, b possui um significado físico. O gráfico nos diz que no tempo zero segundos, o objeto em estudo se encontrava a 2,7 m da origem. t (s) x (m ) b x t a=x/t t (s) Figura 2.5 - Gráficos da posição x em função do tempo transcorrido, num movimento com velocidade constante. 14 3.3 MÉTODO DA REGRAÇÃO LINEAR Aplicaremos o método de regressão linear para obter a expressão analítica de uma relação linear entre as variáveis x e y. Sendo assim, procuramos uma equação da forma: y = a x + b. (1) que é a equação da reta média. O método consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta média. Portanto, devemos minimizar a seguinte quantidade: 2n 1i ii baxyS , (2) onde n é o número de medidas (número de pares de valores na tabela de dados). Minimizar S corresponde a fazer ∂S/∂a = 0 e ∂S/∂b = 0, o que gera as duas equações: iiii yxxaxb 2 e (3) ii yxanb . (4) Resolvendo simultaneamente (3) e (4), obtemos o valor dos coeficientes da reta (1): 22 ii iiii xxn yxyxn a e (5) 22 2 ii iiiii xxn xyxxy b . (6) As incertezas em a e b, Δa eΔb, respectivamente, são dadas por 22 2 22 22 iiii i xxn nb xxn x a , (7) onde iii i axbyy n y 2 2 . (8) Uma outra constante, denominada de coeficiente de correlação linear (r), mede o grau do relacionamento linear entre as duas variáveis y e x cuja relação analitica é dada por (1). O valor de r pode ser obtido por meio da equação: 2 i 2 i 2 i 2 i iiii yynxxn yx)y(xn r . (9) r = 1 Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis, neste caso, y e x. Isto significa que se uma variável aumenta, a outra sempre aumenta. (y e x são diretamente proporcionais). r = − 1 Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis. Isto é, se uma aumenta, a outra sempre diminui. (y e x são inversamente proporcionais). r = 0 Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, pode existir uma dependência não linear. 15 Exemplo: Método da regressão linear. A partir da seguinte tabela de dados, obter y como uma função linear de x usando o método de regressão linear. xi 1,0 1,6 2,0 3,0 3,4 4,0 5,0 5,5 6,0 7,0 38,5x i yi 1,4 1,6 2,0 2,3 2,6 3,1 3,4 3,8 4,1 4,6 28,9yi Procuramos uma equação da forma y = a x + b. Para isso calcularemos as quantidades indicadas na tabela abaixo. xi yi 1,40 2,56 4,00 6,90 8,84 12,4 17,0 20,9 24,6 32,2 8,301yx i i xi2 1,00 2,56 4,00 9,00 11,6 16,0 25,0 30,3 36,0 49,0 5,841x 2i A seguir determinamos o valor dos coeficientes angular e linear da reta através das equações (5) e (6), com n = 10: 0,5438,5184,510 28,938,5130,810a 2 e 20,838,5184,510 38,5130,8184,528,9 2 b . Obs: Neste caso a e b não possuem unidades pelo fato de x e y também não possuírem. Logo, a relação procurada é: y = 0,54x + 0,82 . Como pode ser observado no gráfico da Figura 2.6 a reta média, reta da regressão linear, não passa necessariamente sobre os pontos no gráfico. Para traçar esta reta, basta substituir alguns valores de x (pelo menos 3) na relação analítica obtida, encontrar os correspondentes valores de y, marcar esses pontos no gráfico e traçar a reta correspondente. O coeficiente de correlação linear obtido foi muito próximo de +1 o que implica em uma correlação linear positiva muito boa entre as duas variáveis y e x. Isto significa que se x aumenta, y também aumenta. Ou seja, y e x são diretamente proporcionais 4. LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que na relação linear é muito simples o processo de se determinar e associar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular) a grandezas físicas. Portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é recomendável, pois deve- se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a indicada pela sequência de pontos experimentais no gráfico. Existem duas funções matemáticas especiais que aparecem com bastante frequência em alguns fenômenos físicos, as chamadas funções logarítmicas. Para essas funções Figura 2.6 - Gráficos de y em função de x, com a respectiva reta da regressão linear. 16 foi desenvolvido um tipo de papel que, em vez da escala linear milimetrada, tem-se uma escala logarítmica. Nesse tipo de papel, essas funções resultam diretamente em um gráfico linearizado, o que facilita a determinação das constantes desconhecidas. Vamos discutir aqui como linearizar um gráfico utilizando papel milimetrado e papel com escala logarítmica. Para isso vamos estudar dois tipos de funções que serão bastante vistas em nossos experimentos: função tipo potência (y = kx n ) e função do tipo exponencial (y = k.e nx ), onde k e n são constantes. 4.1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MILIMETRADO Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo y =kxn. Suponha que fazendo uma medida de duas grandezas, observamos que a relação entre as duas é dada pela equação: y=3x2 (10). Se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de y versus x nós não teremos uma reta, como ilustrado na Figura 2.7 (a). Para linearizarmos o gráfico, temos que ter uma função do tipo y = a x + b que é a equação de uma reta. Logo, basta fazermos um gráfico com uma nova função: y’ = a x’ + b (11), onde x’= x2. Esse novo gráfico de y versus x2, como ilustrado na Figura 2.7 (b), estará linearizado e neste gráfico os valores dos coeficientes linear e angular da reta podem ser calculados pelo método da regressão linear ou pela melhor reta visual (como se trata de uma função exata, em ambos os métodos obteremos a=3 e b=0, como era de se esperar). Note que no caso do uso do método da regressão linear deve-se usar o novo x’= x2, ou seja, os coeficientes a e b, devem ser obtidos com as variáveis y e x’. Figura 2.7 - Representação gráfica de (a) uma relação tipo potência y=3x 2 e (b) exemplo de mudança de variável para a linearização do gráfico. Em (b), os coeficientes a e b podem ser obtidos pela melhor reta visual ou regressão linear. 4.2 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL COM ESCALA LOGARÍTMICA Novamente, seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: y =kxn . (12) Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, teremos: log (y) = log (k) + n log (x). (13) Fazendo: log (y) = y' , log (k) = b, a=n e log (x) = x' , obteremos: y' = a x'+b, (14) que é a equação de uma reta. Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência (equação 12) em uma relação linear (equação 14) aplicando o logaritmo. Além do mais, se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de y versus x, mas o gráfico de log (y) versus log (x) nós teremos uma reta. Essa linearização seria trabalhosa de ser feita utilizando um papel milimetrado, pois necessitaríamos de uma nova tabela com log (y) e log (x), e a partir dessa nova tabela é que teríamos que construir o gráfico linearizado. Para facilitar (a) y=3x 2 (a) y=ax' +b, onde x'= x 2 17 o nosso trabalho existem papéis que já possuem escala logarítmica na base 10, os papeis mono-log e di-log. No papel di-log (log-log) ambos os eixos do papel possuem uma escala logarítmica de base 10, dividida em décadas (cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). A Figura 2.8 ilustra um modelo de papel di-log. Em geral o papel di-log tem duas décadas em um dos eixos e três décadas no outro eixo. Note que o papel di-log não começa do ponto (0,0), pois como o papel possui escala logarítmica, ele começa do ponto (1,1) , uma vez que log 1= 0. Numa escala logarítmica as distâncias entre marcas sucessivas não é constante (como numa escala linear) aqui elas são proporcionais às diferenças entre os logaritmos das variáveis. Isto é, a escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log 2 - log 1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a (log 3 - log 2); e assim por diante (como tarefa observe as escalas numa folha impressa de papel mono-log ou log-log). Sendo assim fica evidente que tanto no gráfico mono-log como no log-log o aspecto do gráfico será diferente de quando você usa escalas lineares. Nessa escala, aocolocarmos diretamente os valores de x e y no papel, estamos fazendo com que as distâncias entre sucessivos valores de x e y sejam proporcionais a log (x ) e log (y), porque as escalas foram construídas assim. Após a linearização utilizando o papel di-log ou o papel mono-log, os valores dos coeficientes linear e angular da reta devem ser calculados utilizando a melhor reta visual ou o método de regressão linear, nesse caso considerando-se as novas variáveis log(y) e log(x), como ilustrado na Figura 2.9. (Lembre-se, os coeficientes só podem ser calculados em gráficos já linearizados). Figura 2.9 - Exemplos de mudança de variáveis na linearização de (a) uma relação tipo potência: y=kx n , e (b) tipo exponencial: y = kenx. Como indicado na Figra 2.9 (a) o coeficiente angular da reta exprime a taxa de variação de log(y) em relação a log(x), e o coeficiente linear b = log(k) corresponde à interseção da reta com o eixo que passa pela origem de log(x) (pois quando log(x) = 0, log(y) = log(k)). Finalmente, achado log(k) segue que k = 10 b . b= log k x b= log k b= log k log (y) log (y) log (x) x Δlog(x) Δlog(y)a x Δlog(y)a Figura 2.8 - Modelo de papel di- log (log-log). 18 Exemplo: Em uma experiência sobre o movimento de um projétil, no plano (x,y), o gráfico em escala linear dos dados correspondentes gerou a curva indicada na Figura 2.10. Figura 2.10 - Movimento de um projétil, no plano (x,y), Observando o gráfico acima, podemos inferir que a relação matemática entre as variáveis, altura percorrida (y) e deslocamento na horizontal (x), é do tipo potência: y = kx n . Portanto, para podermos determinar os parâmetros k e n é preciso linearizar o gráfico acima. Neste caso, a expressão linearizada é log (y) = log (k) + a log (x), que corresponde a uma relação linear entre as novas variáveis log(x) e log(y). Para determinar a reta média calcularemos o coeficientes linear, b = log(k), e o coeficiente angular, a=n, pelo método de regressão linear, a partir dos dados listados na tabela a seguir. Logo, obtemos: 21,96150,9910,228310 1,8540,9910,438910a 2 0,0090,9910,228310 0,9910,43890,22831,854-b 2 Finalmente, achado b = log(k) = 0,009 teremos k = 10 0,009 = 1,02. Portanto, a relação analítica procurada, a qual descreve o movimento de um projétil, é dada por: y = 1,02 x 2 (m). Observe que se trata de uma trajetória parabólica. y=kxn 19 Agora, seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: y =kenx . (15) Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, teremos: log (y) = (n loge) x+ log (k) (16) Fazendo: log (y) = y' , log (k) = b, a= n loge (é uma constante), obteremos: y' = a x+b, (17) que é a equação de uma reta. Em consequência, como indicado na Figura 2.9 (b), o gráfico log (y) versus x gerará uma reta. Novamente, fazer essa linearização utilizando o papel milimetrado seria um tanto trabalhoso, pois seria preciso calcular uma nova tabela para, a partir dela, construir o gráfico que fornece uma reta. Para evitar este trabalho existe o papel mono-log que consiste em um papel com uma das escalas sendo linear e a outra logarítmica. A Figura 2.11 ilustra um modelo de papel mono-log. Figura 2.11 - Modelo de papel mono-log. Assim como no papel di-log não é preciso calcular os logaritmos dos valores tabelados obtidos no experimento, como seria feito se fosse utilizado o papel milimetrado para linearizar o gráfico. Neste caso é necessária somente a indicação dos pontos tabelados diretamente no gráfico e o gráfico assim obtido no papel mono-log, será equivalente ao gráfico log (y) versus x obtido no papel milimetrado. 20 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 1) Durante uma aula de laboratório o objetivo dos estudantes era descobrir a dependência entre duas grandezas X e Y. Durante o experimento verificou-se que um aumento na grandeza X implicava em um aumento na grandeza Y. A tabela abaixo mostra os valores medidos para X e Y: Y (cm) 78,2 54,9 42,7 28,7 21,4 17,2 11,7 X (cm) 1,6 5,2 12,0 45,0 120,0 250,0 900,0 a) Faça o gráfico de Y versus X no papel di-log (log-log) em anexo. b) Partindo do pressuposto de que Y = kXn e utilizando o método da regressão linear, encontre o relacionamento analítico entre Y e X. (A calculadora pode ser usada no cálculo da regressão linear). c) Após a linearização do gráfico os estudantes calcularam o coeficiente de correlação linear e obtiveram um valor muito próximo de -1. O que significa este resultado? 2) Em um laboratório de pesquisa avançada na área de novos materiais, e utilizando-se os equipamentos adequados, os cientistas verificaram como o comprimento (L) de uma barra cilíndrica, feita de uma super liga metálica recentemente descoberta, variava de uma forma inesperada em função da temperatura (T). Foi obtida a seguinte tabela após as medidas. L(cm) 50,50 79,20 147,10 248,00 495,50 T (0C) 2,0 23,0 42,0 60,0 90,0 Após vários teses e estudos foi obtida a seguinte relação teórica entre o comprimento L da barra e a temperatura T. L= µRT2+ L0, onde µ é um coeficiente característico da liga metálica e R é o raio da barra. a) Utilizando o papel milimetrado e o conhecimento da relação teórica entre L e T construa um gráfico já linearizado. Esboce a melhor reta visual que se ajuste, segundo a sua avaliação, aos pontos experimentais. b) Utilizando o esboço da curva de ajuste (melhor reta visual), encontre o relacionamento analítico entre as grandezas L e T. c) Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? d) Calcule o valor de µ sabendo que R=5,00 cm . (Lembre-se, jamais use pontos experimentais para esse cálculo). 21 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II PRÁTICA: LINEARIZAÇÃO DE CURVAS (COLETA DE DADOS) 1. OBJETIVOS: Coleta de dados para serem utilizados como material para: Construção de gráficos em papéis milimetrado e di-log (log-log). Linearização de curvas. 2. PRIMEIRA PARTE: 2.1 PROCEDIMENTOS: a) Disponha verticalmente uma mola, estabelecendo, com segurança, a posição de equilíbrio de sua extremidade inferior sobre uma régua centimetrada. Suspenda, na extremidade livre da mola, um peso conhecido e meça o respectivo deslocamento vertical em relação à posição de equilíbrio. b) Repita o procedimento anterior para diferentes pesos, completando a tabela a seguir: F (gf) 10 20 30 40 50 60 70 x (cm) 2.2 ATIVIDADES: 1) Construa, em um papel milimetrado, o gráfico F versus x correspondente, sendo F a ordenada e x a abscissa. 2) Esboce a curva que, a seu juízo, melhor caracteriza o relacionamento entre essa grandezas físicas (Melhor reta visual). O relacionamento analítico entre as grandezas é linear? 3) Utilizando a melhor reta visual feita em 2, determine o relacionamento analítico entre F e x. Para isso, encontre o valor das constantes a e b, lembrando que como a relação entre F e x é linear, F= ax+b. Qual o significado físico das constantes a e b? 4) Faça a análise de regressão linear e determine o relacionamento analítico entre F e x. As grandezas F e x são diretamente proporcionais? (Faça essa análise através do cálculo do coeficiente de correlação linear r). 3. SEGUNDA PARTE: 3.1 PROCEDIMENTOS: a) Disponha, sobre um disco graduado em graus, dois espelhos planos formando um ângulo . b) Coloqueà frente dos dois espelhos um objeto qualquer e conte o corresponde número de objetos N vistos nessa situação (N=Número de imagens mais 1, correspondente ao objeto real). c) Complete a tabela a seguir, repetindo o procedimento para os diferentes ângulos apresentados. (grau) 45,0 60,0 72,0 90,0 120,0 180,0 N(unidades) 22 3.2 ATIVIDADES: 1) Construa, em um papel milimetrado, o gráfico N versus . A relação entre essas grandezas é linear? 2) Utilizando um papel milimetrado, linearize a curva. Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre N e . (Para isso, encontre os valores de a e b, sendo que a relação analítica entre as grandezas é dada por N=a(1/)+b). Qual o significado físico de a e b? Calcule o coeficiente de correlação linear (r) entre N e 1/ e discuta o significado do resultado obtido? 3) Linearize a curva, utilizando um papel di-log. Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre N e . (Para isso, encontre os valores de k e n, sendo que a relação analítica entre as grandezas é dada por N=kn). Calcule o coeficiente de correlação linear (r) entre log N e log e discuta o significado do resultado obtido? OBSERVAÇÒES: 1) As análises pela melhor reta visual e regressão linear SÓ PODEM ser feitas em gráficos já linearizados. 2) Pode-se usar diretamente as funcionalidades da calculadora científica no cálculo de a, b e r pelo método da regressão linear. 23 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II PRÁTICA: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS 1. OBJETIVO: Verificar experimentalmente a trajetória de um projétil em um plano e obter a velocidade inicial do projétil no caso de um lançamento horizontal. 2. INTRODUÇÃO: Nesta prática, se fará um estudo do movimento parabólico. É pertinente lembrar que o movimento de uma partícula em queda livre não é necessariamente vertical. Considera-se queda livre todo movimento sujeito apenas à força gravitacional (peso), como é o caso do movimento parabólico de um “projétil”. A trajetória desse movimento deve ser analisada nas duas direções: • vertical (y). A componente vertical do vetor velocidade (v y ) é variável, pois nesta direção atua a aceleração da gravidade (g), sempre para baixo, oriunda da força gravitacional. • horizontal (x): A componente horizontal do vetor velocidade (v x ) é constante pois nenhuma força (desprezando qualquer tipo de resistência) atua sobre o corpo nessa direção. Assim, as equações para cada componente, adotando o eixo vertical (y) positivo orientado para baixo, são: 2 00 2 1 tatvrr . (1) Como na horizontal ax=0 e na vertical ay=g, teremos: 1) Horizontal: tvxx x00 (2) 2) Vertical: 200 2 1 gttvyy y (3) No caso de um lançamento horizontal, como o que será realizado na prática, v0y=0. 3. METODOLOGIA: MATERIAL UTLIZADO: Calha, esfera, régua centimetrada, folha de papel carbono coberta com papel branco, fita adesiva, corda com peso na ponta (prumo), nível, papel milimetrado. PROCEDIMENTOS: A Figura 1 ilustra o aparato que será utilizado para a realização do experimento. A esfera será abandonada do topo de uma calha (ponto A). No ponto B, tomado com a origem do sistema de referência (y0=0 e x0=0), a esfera abandonará a calha e atingirá o piso no ponto C. Vamos fazer uma tabela com medidas diferentes de y e de x, mantendo para cada conjunto de medidas a mesma configuração inicial. Para isso, selecione um valor para a altura y e a seguir solte a esfera sempre de uma altura h fixa. Com isso conseguiremos para cada lançamento a mesma velocidade inicial no final da calha (ponto B). O ponto em que a esfera se choca com o piso (ponto C) refere-se ao alcance x correspondente a esta altura y. Passos para a realização das medidas: a) Nivele a base horizontal da calha para garantir um lançamento horizontal (voy=0). 24 Figura 1- Esquema do aparato experimental. e) Faça um lançamento teste para um determinado y e onde a esfera tocar o piso coloque a folha de papel carbono coberta com papel branco. A esfera deixará uma marca no papel branco e através desta marca o valor de x poderá ser obtido. f) Varie y 8 vezes e para cada valor de y faça 3 lançamentos. Meça com uma régua centimetrada o valor médio de x para cada y e complete a tabela a seguir. y (cm) x (cm) xx (cm) 22 xx (cm2) 4. ATIVIDADES: 1) Faça um gráfico de y versus x no papel milimetrado. Que tipo de relação existe entre x e y? 2) Linearize o gráfico fazendo um gráfico de y versus x2 em um outro papel milimetrado. 3) Encontre o relacionamento analítico entre as grandezas y e x. 4) Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? (DICA: Do movimento horizontal temos t = x/v0X. Substituindo este tempo na equação (3) você pode obter uma equação para y em função de x2. Esta será a equação para a trajetória do projétil, deduzida a partir das equações dadas.) 5) Adotando-se o valor de g = (9,78 ± 0,01) m/s 2 , determine a velocidade com que a esfera abandonou o extremo inferior da calha (vox). 6) Compare o valor de vox obtido no item anterior com o obtido utilizando o sensor e discuta o resultado. Ponto A h y x Ponto B Ponto C g b) Com o auxílio do prumo marque no piso o ponto x0=0. Esse ponto deve ser sempre o mesmo em todas as medidas. c) Marque o ponto inicial de lançamento na calha (Ponto A). d) Utilizando um sensor de tempo (Photogate), obtenha o valo de v0X (esperado). Para isso, faça três medidas do tempo que a esfera leva para passar pelo sensor e com um paquímetro, meça o diâmetro da mesma (d). t1= t2= t3= mm tt (s) = d = v0X (esperado)= mt d = __________________ 25 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II PRÁTICA: QUEDA LIVRE 1. OBJETIVO: Medir a aceleração da gravidade local a partir do estudo do movimento de uma esfera em queda livre. 2. INTRODUÇÃO: Ao longo do dia é muito comum observarmos o movimento de queda de objetos. Seja uma caneta que cai da mesa, um pingo de chuva que cai na terra ou mesmo uma folha seca que cai da árvore no inverno. Dessa forma, o estudo desse tipo de movimento se torna algo importante para o entendimento de processos tais como os exemplificados. Normalmente, num movimento de queda como esses, a força de atrito também influencia no movimento, entretanto, num tratamento mais simplificado, desconsiderando os efeitos desta força, pode-se dizer que a força peso é a responsável pela queda do objeto até o chão. Portanto, este objeto deve ter um movimento acelerado com aceleração igual à aceleração da gravidade, onde seu deslocamento vertical y , ao longo da queda, considerando o eixo y positivo de cima para baixo, será: 2 00 2 1 attvyy (1) onde 0y é a posição inicial do objeto, que pode ser considerado zero dependendo da referência escolhida, 0v é a velocidade inicial de queda do objeto, que também pode ser considerada nula se o objeto parte do repouso, e a é o módulo da aceleração do objeto, que em queda livre é a própria aceleração da gravidade local g . Como a posição depende do tempo de queda, este é incluído como a variável t . Com essas considerações, temos que uma versão mais simplificada da equação acima é dada por: 2 2 1 gty (2) Nota-se desta equação que o deslocamento de um objeto em quedalivre ao longo da posição representada pela coordenada y aumenta com o quadrado do tempo de queda e que a constante de proporcionalidade está intimamente ligada à aceleração da gravidade no local da queda do objeto. 3. METODOLOGIA: MATERIAL UTILIZADO: Dispositivo para medição de tempo, suportes, esferas e trena. PROCEDIMENTOS: Nesta prática deseja-se coletar dados de tempo de queda t referente à respectiva altura y da qual a esfera foi abandonada. Passos para a realização das medidas: a) Disponha o equipamento como mostrado na Figura 1. Use uma esfera de 16 mm de diâmetro como o objeto em queda. b) Ajuste a altura da qual a esfera cai até a base, em 1,80m. Meça tal altura e anote o valor na Tabela 1. Pressione o botão RESET no medidor de tempo e libere o parafuso do disparador tal que a esfera seja liberada. Anote o valor de tempo medido, 1t , na Tabela 1. Repita a medida pelo menos mais 4 vezes, anotando o correspondente valor do tempo de queda. Calcule o valor médio do tempo, medt , e anote na tabela. 26 c) Repita o procedimento anterior para as diferentes alturas apresentadas na tabela. Esfera y (m) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) tmed ± ∆ tmed (s) tmed2 ± ∆ tmed2 (s2) 1,80 1,60 1,40 1.20 1,00 0,80 0,60 Esfera de 16 mm 0,40 Tabela 1: Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 16 mm de diâmetro. d) Repita os passos anteriores utilizando agora a esfera de 19 mm. Esfera y (m) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) tmed ± ∆ tmed (s) tmed2 ± ∆ tmed2 (s2) 1,80 1,60 1,40 1.20 1,00 0,80 0,60 Esfera de 19 mm 0,40 Tabela 2: Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 19 mm de diâmetro. f) Utilizando o software da Logger Pro e o sensor adequado para o experimento, encontre o valor de g. g = _____________________ base Medidor de tempo Esfera no disparador y Figura 1- Esquema de montagem do equipamento para medida do tempo de queda da esfera. 27 ATIVIDADES: 1) Para cada esfera, faça um gráfico de y versus tmed no papel milimetrado. Que tipo de relação existe entre y e t? 2) Linearize o gráfico fazendo outros dois gráficos de y versus 2medt em um outro papel milimetrado. Fazendo a análise pela melhor reta visual e pela regressão linear, encontre o relacionamento analítico entre as grandezas y e 2medt . 3) A partir dos gráficos linearizados, responda: Se os gráficos são retas, calcule o coeficiente angular de cada gráfico. Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? A aceleração é constante para cada esfera? Como se conclui isso a partir dos gráficos? 4) Determine, graficamente, a aceleração da gravidade local. A aceleração obtida foi a mesma para cada esfera? 5) Adotando g = (9,78 ± 0,01) m/s2 como sendo o valor esperado para a aceleração da gravidade local, qual o erro relativo percentual obtido para as duas esferas e utilizando o sensor? 6) Descreva o experimento e discuta sobre seus resultados. Sob que condições os resultados obtidos são válidos? Como os erros experimentais afetam as conclusões? Como se poderia melhorar o experimento? 28 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II PRÁTICA: ATRITO ESTÁTICO 1. OBJETIVO: Determinar o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies em contato. 2. INTRODUÇÃO: O atrito é um fenômeno físico presente nas diversas atividades do cotidiano. Este é percebido como sendo uma dificuldade ao movimento relativo de duas superfícies em contato, cujas rugosidades produzem pontos de encaixe entre ambas. Essa dificuldade ao movimento significa que, devido ao atrito, pode ocorrer desgastes entre as superfícies de contato e, assim, liberar energia sob as formas de som, luz e calor. A experiência mostra que quando duas superfícies sólidas estão em contato o módulo da força de atrito é dado pelas seguintes leis: fe eN ( atrito estático ), (1) fk = kN ( atrito cinético ), (2) onde fe e fk são as forças de atrito estático e cinético, respectivamente, N é o módulo da força perpendicular com a qual uma superfície pressiona a outra (força normal) e e e k são os coeficientes de atrito estático e cinético, respectivamente. Na primeira equação percebe-se que a força de atrito estático pode variar do valor zero até eN, ou seja, esta força de atrito variável surge quando, ao se aplicar uma força externa a duas superfícies em contato, não há movimento de uma em relação à outra. Assim, ao se mudar a intensidade da força externa, o módulo da força de atrito também muda. Portanto, na eminência de uma superfície entrar em movimento em relação à outra tem-se a relação fA fe(máx) = e N. (3) É esta equação que será usada no presente experimento. 3. METODOLOGIA: PRIMEIRA PARTE: SUPERFÍCIE HORIZONTAL MATERIAL UTILIZADO: Superfície horizontal, blocos de madeira, dinamômetros, balança, régua. PROCEDIMENTO: Sejam duas superfícies em contato, uma delas fixa e outra a face de um bloco apoiado sobre a primeira, conforme mostra a Figura 1. Existe uma força máxima (F) no dinamômetro, paralelo às superfícies, que tende a deslocar o bloco, ou seja, deixá-lo na eminência do movimento. Variando-se o número de blocos (empilhando-os), de tal modo a não alterar o bloco inferior, tem-se diferentes intensidades da componente normal (N). A intensidade da força de atrito máximo (fA), para cada situação, será igual a força máxima (F) aplicada ao bloco. Conhecendo a força F e a massa (m) dos blocos empilhados pode-se determinar fA e N, respectivamente. F dinamômetrobloco superfície Figura 1- Montagem do experimento. 29 Passos para a realização das medidas: a) Meça a massa de um dos blocos e o coloque em cima da superfície do plano inclinado (mantido na horizontal). Coloque o bloco de maneira que uma face de fórmica do bloco fique em contato com a superfície, também de fórmica, do plano. Calcule o valor de N (considere g = (9,78 ± 0,01) m/s2). b) Prenda um dinamômetro no bloco e, mantendo o dinamômetro na horizontal aplique uma força até que o bloco comece a se mover. Use o dinamômetro mais adequado para a medida da força F. Faça três medidas de F. c) Coloque um segundo bloco em cima do primeiro e repita o procedimento acima. Meça a massa total dos dois blocos. d) Coloque mais três blocos (um de cada vez) e repita os procedimentos acima. Complete a Tabela 1. Massa (kg) N (N) Medidas de F (N) Fmed ± ∆ Fmed (N) Tabela 1: Valores medidos para a primeira parte (face 1). e) Repita as medidas colocando uma das faces de feltro do bloco em contato com a superfície do plano inclinado mantido na horizontal). Complete a Tabela 2. Massa (kg) N (N) Medidas de F (N) Fmed ± ∆ Fmed (N)) Tabela 2: Valores medidos para a primeira parte (face 2). e) Utilizando o sensor de força juntamente com o software da Logger Pro encontre o valor de e tanto para a fórmica quanto para o feltro. Faça pelo menos três medidas para cada massa. Fórmica Resultado Final: e ± ∆e ____________________________________ Massa (kg) N (N) Medidas de fe(máx (N) Medidas de e e (médio)30 Feltro Resultado Final: e ± ∆e =____________________________________ ATIVIDADES: 1) Faça um gráfico de fA versus N e encontre, graficamente, o valor de e para cada uma das práticas realizadas na primeira parte. 2) Faça um esboço dos gráficos obtidos utilizando o software na parte e) e explique de forma sucinta como foi obtido o valor de e a partir desses gráficos. 3) Tomando o valor de e obtido utilizando o sensor como sendo o valor esperado, calcule o erro relativo percentual obtido na prática e discuta as prováveis fontes de erro. SEGUNDA PARTE: PLANO INCLINADO MATERIAL UTILIZADO: Plano inclinado com suporte, blocos de madeira, dinamômetros, balança, régua. PROCEDIMENTO: Sejam, agora, duas superfícies em contato, uma delas fixa e outra a face de um bloco apoiado sobre a primeira, conforme mostra a Figura 2. Um método simples para determinar e é inclinar a superfície fixa e medir o ângulo máximo de inclinação sem desequilibrar o bloco. Massa (kg) N (N) Medidas de Fe Medidas de e e (médio) 31 Passos para a realização das medidas: a) Encontre, em função de Le H, a expressão usada para se obter e nesse método (plano inclinado) . b) Use o mesmo bloco (e face) usado na primeira parte e faça três medidas para a determinação de e. Mantenha o valor de H sempre fixo (para que o bloco parta sempre da mesma posição). H = ( ± ) cm c) Complete a Tabela 3. Massa (kg) Medidas de L (cm) Lmed ± ∆ Lmed (cm) e ± ∆e Tabela 3: Valores medidos para a segunda parte (face 1). d) Repita as medidas colocando uma das faces de feltro do bloco em contato com a superfície do plano inclinado. Complete a Tabela 4. Massa (kg) Medidas de L (cm) Lmed ± ∆ Lmed (cm) e ± ∆e Tabela 4: Valores medidos para a segunda parte (face 2). ATIVIDADES: 1) Compare os valores de e obtidos nessa parte com os obtidos na primeira parte. Espera-se que esses valores sejam próximos? Discuta. Figura 2- Montagem do experimento. L H 32 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II PRÁTICA: LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON E EQUIVALENTE ELÉTRICO DO CALOR PRIMEIRA PARTE: LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON 1. OBJETIVO: Verificar experimentalmente a Lei de resfriamento de Newton. 2. INTRODUÇÃO: A Lei de resfriamento de Newton estabelece que a taxa de variação da temperatura de um fluido é proporcional à diferença entre as temperaturas do sistema e do meio em que se encontra. Supondo que tal fluido à uma temperatura uniforme T se encontre em um ambiente cuja temperatura seja Ta, sendo T Ta, podemos escrever: aa TTkdt dTTT dt dT . (1) Resolvendo esta equação diferencial, obtém-se: kt aa eTTTT )( 0 (2) onde k=hA/C; A=área da seção reta, C= capacidade térmica e h= coeficiente de película (que depende das propriedades físicas do fluido, da forma, natureza e rugosidade da superfície e do tipo de escoamento). Fazendo, aTTT e aTTT 00 tem-se: kteTT 0 . (3) 3. METODOLOGIA: MATERIAL UTILIZADO: Ebulidor, dois beckers com diferentes áreas de seção reta (A1 e A2), vasilhames de isopor, termômetros e cronômetro ou relógio. PROCEDIMENTO: Passos para a realização das medidas: a) Meça a temperatura ambiente. Ta = ( ± ) 0C. b) Aqueça a água até aproximadamente 800C, transportando cerca de 200 ml para cada um dos beckers. c) Coloque os beckers no vasilhame de isopor para evitar perdas de calor por condução através das paredes de vidro dos mesmos. d) Meça a temperatura da água em cada um dos beckers. Esta temperatura será considerada a temperatura inicial T0. e) A partir desse instante, meça a temperatura da água nos instantes estabelecidos e complete a tabela abaixo. t(min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 50 60 70 A1 T (0C) A2 A1 T (0C) A2 33 ATIVIDADES: 1) Faça uma ilustração da montagem. 2) Construa, em uma mesma folha de papel milimetrado, o gráfico T versus t para os dois beckers (A1 e A2). 3) Construa, em uma mesma folha de papel mono-log, o gráfico linearizado de log T versus t para os dois beckers (A1 e A2). Obs: Para linearizar a curva aplicamos a função log na equação (3) e obtemos a seguinte relação: 0log)log(log TtekT . 4) Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre T e t. Para isso, encontre os valores de k e T0. Trace a reta da regressão linear. 5) Tomando o valor de T0 esperado como aquele medido com o termômetro no tempo zero (ver tabela), calcule o erro relativo percentual obtido no experimento. Discuta sobre as possíveis fontes de erros. 6) Calcule o coeficiente de correlação linear (r) entre log T e t e discuta o significado do resultado obtido. 7) Discuta os valores de k obtidos nos beckers de diferentes áreaa de seção reta. SEGUNDA PARTE: EQUIVALENTE ELÉTRICO DO CALOR 1. OBJETIVO: Calcular o fator de conversão de calorias em joules e vice-versa usando um calorímetro. 2. INTRODUÇÃO: Os sistemas físicos são formados por corpos constituídos por partículas que estão constantemente em movimento, sendo assim, possuem uma energia de movimento ou energia de agitação das partículas, chamada de energia térmica do corpo. A energia térmica dependerá da substância que constitui o corpo, bem como da quantidade de matéria envolvida ou massa, além da temperatura, que é uma medida do estado de agitação das partículas constituintes do corpo. Quando dois corpos em temperaturas diferentes são colocados em contanto, espontaneamente haverá transferência de energia na forma de calor até que ambos os corpos alcancem o equilíbrio térmico, onde terão a mesma temperatura. Notamos que o que rege a transferência de calor de um corpo para outro é exatamente a diferença de temperatura entre eles. E a energia térmica que passa de um corpo a outro , que recebe o nome de calor, pode ser interpretada como sendo a energia em trânsito de um corpo para outro. Quando um corpo recebe calor de outro corpo este pode sofrer uma variação de temperatura ou uma mudança de estado. Quando ocorre variação de temperatura T , o calor transferido é chamado de calor sensível. Se ocorrer apenas mudanças de estado, falamos que o calor é latente ou de transformação. Dessa forma, quando um corpo de massa m sofre uma variação de temperatura, pode-se calcular a quantidade de calor Q envolvida na mudança de temperatura do corpo como sendo: TcmQ .. , (4) pois verifica-se experimentalmente que a quantidade de calor Q é proporcional à variação de temperatura do corpo, sendo que a constante de proporcionalidade depende da massa m do corpo e de um fator específico de cada material, que chamamos de calor específico c do material. Um corpo pode, também, absorver ou ceder 34 0. 0 5 V Fonte de Tensão 0.005 A 10 ADC A mA COM 0.05 V 10 ADC V mA COM Calorímetro Voltímetro Amperímetro calor sem que haja variação em sua temperatura. Isto ocorre durante mudanças de fases realizadas à pressão constante. O calor transferido (cedido ou recebido) em uma mudança de fase é dado por: Q = mL , (5) sendo m a massa do corpo que muda de fase e L o calor de transformação (ou calor latente). Em um sistema isolado, se tivermos vários corpos em diferentes temperaturas em contatoentre si, os mesmos trocarão calor até atingirem o equilíbrio térmico. Entretanto, o calor que é liberado por um corpo será recebido por outro de forma a manter a energia térmica total constante. Portanto, a soma das quantidades de calor recebidas pelos corpos mais frios deve ser igual à soma das quantidades de calor cedidas pelos corpos mais quentes, ou seja: recebidocedido QQ . (6) Esta equação nos diz que a energia total do sistema pode ser transformada mas deve ser conservada. Em experiências de calorimetria, os corpos são geralmente acondicionados em um recipiente chamado de calorímetro. É importante lembrar que o calorímetro também participa da troca de calor entre os corpos. 3. METODOLOGIA: MATERIAL UTILIZADO: Um calorímetro com resistor e bornes elétricos, uma proveta de 100 ml, dois multímetros, uma fonte de tensão variável 0 a 15V – 3A, um cronômetro, um termômetro, três cabos de ligação, dois cabos de ligação com derivação. PROCEDIMENTO: Passos para a realização das medidas: a) Coloque 100 ml de água na proveta. Considerando que para a água 1 ml = 1 g, determine a massa de água m1 = __________ g. b) Coloque esta água no calorímetro e agite suavemente para facilitar o equilíbrio térmico (~ 3min), meça a temperatura inicial do sistema. T1=__________ oC c) Monte os equipamentos conforme o esquema da Figura 1 ao lado. d) Ajuste a escala de tensão da fonte em 12 V, ligue o circuito e acione o cronômetro. Figura1: Esquema de montagem do calorímetro e dos equipamentos de medida. 35 e) No amperímetro e no voltímetro, faça a leitura da intensidade de I (corrente) e V (voltagem) e anote o resultado. I = ___________ A. V = ___________ V. f) Marque o tempo transcorrido até que a temperatura tenha elevado de 20 oC em relação à temperatura inicial do sistema e anote a respectiva temperatura. t = __________ s . TF = __________ oC ATIVIDADES: 1) Calcule a potência elétrica que o resistor dissipou durante o processo. ( i V. P ) P = ________ W. 2) Calcule a energia elétrica dissipada (transformada em calor ) pelo resistor durante o aquecimento do conjunto, isto é, no tempo t. tPQ t QP . Q1= _________ J. 3) Calcule a quantidade de calor 2Q que foi necessária para aquecer a água e o calorímetro até a temperatura final. OHocalorímetr QQQ 22 . Logo: TcmQ OHeocalorímetr .. 2 e TcmQ OHOH .. 22 1 . Então: TcmmQ OHe .. 212 , onde OHc 2 =1 cal/g oC. Q2= _________ cal 4) Como o calor que aqueceu o sistema veio da conversão de energia elétrica em calor, podemos agora calcular o fator que permite converter calorias em joules e vice-versa, por meio de uma igualdade. 12 QQ . Compare o valor experimental obtido com o valor que se encontra em livros, isto é, que 1cal = 4.1868 J. Calcule o erro relativo percentual obtido no experimento. Consideraremos o equivalente em água do calorímetro igual a 20g (me = 20g). 36 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FIS 227 – Física Experimental II PRÁTICA: OSCILAÇÕES 1. OBJETIVO: Observar experimentalmente e discutir alguns fenômenos oscilatórios 2. INTRODUÇÃO: Na natureza há um grande número de processos que se repetem em intervalos de tempo iguais. São os chamados fenômenos periódicos, entre os quais podem ser citados o movimento de um pêndulo, a oscilação de um massa suspensa em uma mola e a vibração de uma corda. Embora se diferenciem, as naturezas destas oscilações são bastante análogas as formulações matemáticas utilizadas para descrevê-las. Uma grandeza física fundamental para a análise de todos esses fenômenos é o período T, definido como o tempo correspondente a uma oscilação completa. Já ao número de oscilações efetuadas por unidade de tempo denominamos frequência f, sendo a relação entre essas grandezas T f 1 . (1) Se o período é expresso em segundos (s), a frequência deverá ser expressa em s-1 ou hz (hertz). Pode- se demonstrar que, na ausência de atritos, o período de uma massa m que oscila verticalmente na extremidade de uma mola de constante elástica k é dado por: k mT 2 . (2) Por outro lado, no caso de uma massa m oscilando na extremidade de um fio de comprimento L numa região onde a aceleração gravitacional é g, o período de oscilação, também na ausência de efeitos dissipativos, será: ...... 24 3 2 1 22 112 42 2 2 2 2 mm sensen g LT , (3) onde θm é o deslocamento angular máximo da massa (amplitude de oscilação). Pode-se então concluir que, no caso da oscilação de um pêndulo com amplitude inferior a 15º, os termos senoidais são muito pequenos, sendo o período dependente praticamente apenas do comprimento L e da aceleração gravitacional g, isto é: g LT 2 . (4) Cada um desses osciladores, conjunto bloco-mola e pêndulo simples (este no caso de pequenas amplitudes) apresentam, portanto, uma única frequência natural, podendo ressonar (entrar em ressonância) com um agente externo que atue sobre o sistema com uma freqüência igual ou muito próxima da respectiva frequência natural. Como pode ser demonstrado, esse fenômeno (ressonância) é caracterizado pela otimização de transferência de energia (do agente externo para o sistema oscilante), ocasionando uma significativa elevação na amplitude de oscilação. 3. METODOLOGIA: PRIMEIRA PARTE: PÊNDULO SIMPLES MATERIAL UTILIZADO: Barbante, uma massa de 20 g e uma massa de 100 g, cronômetro e trena milimetrada. 37 PROCEDIMENTO: Passos para a realização das medidas: a) Amarre a massa de 20 g na extremidade de um barbante de 1,60 m de comprimento, fixando a outra extremidade no teto, de tal forma que esse pêndulo simples oscile num plano vertical. b) Afaste lateralmente a massa formando um ângulo menor que 15º com a vertical e abandone a massa. Após abandoná-la, meça o tempo correspondente a 10(dez) oscilações completas. Determine o período médio desse pêndulo. (T = tempo das 10 (dez) oscilações completas/10). Faça pelo menos três medidas. c) Reduza o comprimento do barbante a um quarto do valor original e repita o procedimento.Qual a razão entre os períodos obtidos ? Qual seria a razão esperada ? d) Repita a oscilação do pêndulo mais comprido, agora com a massa de 100 g suspensa. Houve alteração no período anteriormente obtido ? e) Com a montagem do item (a) e obtenha o período para diferentes amplitudes de oscilações. Utilize amplitudes maiores que 15º, como por exemplo, 50º e 80º f) Discuta a dependência do período de um pêndulo com a amplitude de oscilação. ATIVIDADES: 1) A partir das atividades realizadas na primeira parte preencha o quadro abaixo: Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 1 Medição dos períodos de pêndulos simples de massa 20 g e comprimentos L e L/4. 2 Medição dos períodos de pêndulos simples de comprimento L e massas de 20g e 100 g. 3 Medição do período de um pêndulo simples de massa 20 g e com amplitudes variadas. SEGUNDA PARTE: SISTEMA MASSA-MOLA MATERIAL UTILIZADO: Massas variadas, barbante, molas com diferentes constantes elásticas, tripés, hastes e cronômetro. PROCEDIMENTO: Passos para a realização das medidas: T1= , T2= , T3= Tmédio= T1= , T2= , T3= Tmédio= T1= , T2= , T3= Tmédio= TMédio(amplitude 1)= TMédio(amplitude
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