Cálculo A - Diva Flemming
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Cálculo A - Diva Flemming


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CAPÍTULO 1 \u200bEDITORA 
MAKRON \u200bBooks 
NÚMEROS REAIS 
Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos 
funções que são definidas e assumem valores nesses con- juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e 
integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. 
Neste 1 \u200b2 \u200bcapítulo, vamos analisar o \u200bconjunto dos números reais. \u200bEnunciaremos os axiomas básicos, 
deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades. 
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados \u200binteiros \u200bpositivos ou naturais. \u200bTemos então o 
conjunto 
N = {1, \u200b2, 3, ...}. 
Os números \u20141, \u20142, \u20143, ... são chamados \u200binteiros negativos. \u200bA união do conjunto dos números naturais com os 
inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por 
Z={0,±1,±2,±3,...}. 
2 Cálculo A \u2014 Funções, Limite, Derivação, Integração 
Os números da forma \u200bmln, n \u200bO, m, \u200bn E Z, \u200bsão chamados de frações e formam o \u200bconjunto dos \u200bnúmeros 
racionais. \u200bDenotamos: 
Q= {x I x mln , m, n \u200be Z, n O}. 
Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma \u200bmln, n \u200bO, m, \u200bn \u200be \u200bZ, \u200btais como 
-& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., \u200be = \u200b2,71 ... . Estes números \u200bformam o conjunto dos \u200bnúmeros irracionais \u200bque 
denotaremos por \u200bQ'. 
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o 
conjunto dos números reais, \u200bque denotamos por 
1? = \u200bQu Q' 
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos 
números reais. 
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas \u200badi- ção \u200be \u200bmultiplicação \u200bque 
satisfazem os axiomas abaixo: 
1.1.1 Fechamento. \u200bSe a e b e \u200b1?, \u200bexiste um e somente um número real denotado por \u200ba + b, \u200bchamado 
soma e existe um e somente um número real, denotado por \u200bab \u200b(ou \u200ba x b, \u200bou \u200ba - b) \u200bchamado produto. 
1.1.2 Comutatividade. \u200bSe \u200ba, b e R \u200bentãoa+b=b+a e \u200ba-b=b-a. 
1.1.3 Associatividade. \u200bSe \u200ba, b e c e R \u200bentão 
a + (b + c) = (a + b) + c \u200be \u200ba (b \u200b- \u200bc) = (a\u2022b) \u2022 c. 
1.1.4 Distributividade. \u200bSe \u200ba, b, c E \u200b1? \u200bentão 
a\u2022 (b + \u200bc) = \u200bab + ac. 
1.1.5 Existência de Elementos Neutros. \u200bExistem O e 1 e R tais que \u200ba \u200b+ O = \u200ba \u200be \u200ba \u2022 \u200b1= \u200ba, \u200bpara 
qualquer a E \u200bR. 
Números reais 3 
1.1.6 Existência de Simétricos. \u200bTodo \u200ba \u200bE \u200bR \u200btem um simétrico, denotado por \u200b\u2014a, 
tal que \u200ba + (\u2014a) = \u200bO. 
1.1.7 Existência de Inversos. \u200bTodo \u200ba \u200bE \u200bIR, a \u200b \u200bO tem um inverso, denotado por 
1/a, tal que \u200ba \u2022 \u200b1\u200b\u2014\u200ba \u200b= 1. 
Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais. 
1.1.8 Subtração. \u200bSe \u200ba, b \u200bE \u200bIR, \u200ba diferença entre \u200ba \u200be \u200bb, \u200bdenotada por \u200ba \u2014 b, é \u200bdefinida 
por \u200ba \u2014 b = a + (\u2014b). 
1.1.9 Divisão. \u200bSe \u200ba,bEIReb \u200b \u200bO, o quociente de \u200ba \u200be b é definido por \u200b\u2014\u200ba \u200b= a \u200bb\u2022 
1.2 DESIGUALDADES 
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, deve- mos introduzir o conceito de 
número real positivo e uma relação de ordem. 
1.2.1 Axioma de Ordem. \u200bNo conjunto dos números reais existe um subconjunto 
denominado de números positivos, tal que: 
(i) \u200bse \u200ba \u200bE \u200bE, \u200bexatamente uma das três afirmações ocorre: \u200ba -= \u200bO; \u200ba \u200bé positivo; 
\u2014 a \u200bé positivo; 
(ii) a soma de dois números positivos é positiva; 
(iii) \u200bo produto de dois números positivos é \u200b. \u200bpositivo. 
1.2.2 Definição. O \u200bnúmero real \u200ba \u200bé negativo se e somente se \u2014 \u200ba \u200bé positivo. 
1.2.3 \u200bOs símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos: 
(i) a \u200b< \u200bb \u200b<=> \u200bb \u200b\u2014 \u200ba \u200bé positivo; 
(ii) a \u200b> \u200bb \u200b.:;=> \u200ba \u200b\u2014 \u200bb \u200bé positivo. 
4 Cálculo A \u2014 Funções, Limite, Derivação, Integração 
1.2.4 \u200bOs símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: 
(i) a 5_ b <=> a < b ou a =-- b; 
(ii) a \u200b \u200bb<=>a>boua=b. 
Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI- GUALDADES. \u200ba<bea>b \u200bsão 
desigualdades estritas enquanto \u200ba \u200b^ \u200bbea \u200b \u200bb \u200bsão desigualdades não estritas. 
1.2.5 Propriedades. \u200bSejam \u200ba, b, c, d \u200be \u200bN. 
(i) Sea>b eb>c, \u200bentão a > \u200bc. 
(ii) Se a>bec> \u200bO, então \u200bac > bc. 
(iii) Se a>be c< \u200bO, então \u200bac < bc. 
(iv) Se a > b, \u200bentão \u200ba+c>b+c \u200bpara todo real \u200bc. 
(v) Sea>bec> \u200bd, \u200bentãoa+c>b+ \u200bd. 
(vi) Sea>b>Oec>d> \u200bO, então \u200bac>bd. 
As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo: 
Prova da Propriedade \u200bi). \u200b(Sea>beb> \u200bc, \u200bentão a > \u200bc). 
(def) \u200bSe \u200ba > b (a \u2014 b) > \u200bO. 
(def) \u200bSe \u200bb > c (b \u2014 c) > \u200bO. 
Usando 1.2.1 \u200b(ii), \u200btemos \u200b(a \u2014 b) + (b \u2014 c) > \u200bO 
(def) \u200bou \u200ba\u2014c>0a>c. 
Números reais 5 
Prova da Propriedade \u200bii). \u200b(Se \u200ba > b e c > \u200bO, então \u200bac > bc). 
(def.) \u200bSe \u200ba > b (a \u2014 b) > \u200bO. 
Usando 1.2.1 (iii) temos \u200b(a \u2014 b) \u2022 c > \u200bO ou \u200b(ac \u2014 bc) > \u200bO e finalmente, pela \u200bdefinição, \u200bac > bc. 
1.3 VALOR ABSOLUTO 
1.3.1 Definição. \u200bO valor absoluto de \u200ba, \u200bdenotado por lal, é definido como 
lal = \u200ba, \u200bse \u200ba \u200bO 
lal = \u2014 \u200ba, \u200bse \u200ba < O. 
1.3.2 Interpretação Geométrica. \u200bGeometricamente o valor absoluto de a, também \u200bchamado módulo 
de a, representa a distância entre \u200ba \u200be O. Escreve-se então 
lal = \u200b. 
1.3.3 Propriedades. 
(i) lxl < a <=> \u2014a < x < a, \u200bonde \u200ba \u200b> O. 
(ii) >a<=>x>aoux<\u2014a, \u200bonde \u200ba \u200b> O. 
(iii) \u200bSe \u200ba, b \u200bE \u200bIR, \u200bentão la \u2022 bl = Ia! \u2022 Ibl. 
(iv) \u200bSe \u200ba,bEReb \u200b \u200bO, então \u200ba\u200bb 
lal Ibl \u2022 
(v) (Desigualdade triangular) 
Se \u200ba, b \u200be \u200bIR, \u200bentão la + \u200bbl \u200blal + 
(vi) \u200bSe \u200ba, b \u200bE R, \u200bentão la \u2014 bl 5 \u200blal \u200b+ Ibl. 
(vii) Se \u200ba, b E IR, \u200bentão Ia! \u2014 Ibl .5 Ia \u2014 bl. 
6 Cálculo A \u2014 Funções, Limite, Derivação, Integração 
Vamos provar algumas das propriedades citadas. 
Prova da Propriedade \u200bi). (Ix1 < a <=> \u2014 a < x < a, \u200bonde \u200ba \u200b> 0). 
Provaremos por partes: 
Parte 1: \u2014 a < x < a, com a > O Ixl < a. 
Se \u200bx \u200b \u200b_ \u200b0, lx1 = \u200bx. \u200bComo, por hipótese, \u200bx < a, \u200bvem que Ixl < \u200ba. 
Se \u200bx \u200b< O, lxl = \u2014 \u200bx. \u200bComo \u2014 \u200ba < x, \u200baplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí- mos que \u2014 \u200bx < a. 
Assim, lx1 = \u2014 \u200bx \u200b< \u200ba \u200bou seja Ixl < \u200ba. 
Parte \u200b2: lxl < \u200ba \u200bonde \u200ba \u200b> O \u200b\u2014 a < x < a. 
Se \u200bx .\u200b \u200b0, então Ixl = \u200bx. \u200bComo lx1 < \u200ba, \u200bconcluímos que \u200bx < a. \u200bComo \u200ba > \u200b0, segue que \u2014 \u200ba \u200b< O e então \u2014 
a \u200b< O \u200bx \u200b< \u200ba \u200bou seja \u200b\u2014a<x<a. 
Se \u200bx \u200b< O, lxl = \u200b\u2014 x. \u200bComo por hipótese Ixl < \u200ba, \u200btemos que \u200b\u2014x < a. \u200bComo \u200bx \u200b< 0, segue que \u2014 \u200bx > \u200b0. 
Portanto, \u2014 \u200ba < \u200b0 < \u200b\u2014 x < a \u200bou de forma equivalente \u2014 \u200ba < x < a. 
Prova da Propriedade \u200biii). \u200b(Se \u200ba, b E I? \u200bentão Ia \u2022 bl = lal . lbl). 
Usando 1.3.2, vem 
labl = \u200bI(ab)\u200b2 \u200b= \u200b'Va\u200b2 \u200b\u2022 b\u200b2 \u200b= .Va\u200b2 \u200b\u2022 \u200b'NF\u200bT \u200bo \u200blal \u2022 Ibl. 
Prova da Propriedade \u200biv). \u200b(Se \u200ba, b E \u200bR e b t O então 
a\u200bb 
Usando 1.3.2, vem 
= &quot;\I = \u200bb\u200b2 \u200bI \u200b\u2014 \u200b*NW \u200b\u2014 \u200b1 \u200ba \u200b1 \u200bb \u200b1 
b O. \u200bla 1 \u200blb 1 ). \u200ba\u200bb 
Números reais 7 
Prova da Propriedade \u200bv). (Se \u200ba, b E I?, \u200bentão la + bl 5_ lal + lb1). 
Como a, \u200bb E R, \u200bde 1.2.1(i) vem que \u200bab \u200bé positivo, negativo ou zero. Em qualquer caso vale, 
ab \u200blabl = tal Ibl. (1) 
Multiplicando (1) por 2, temos 
2ab \u200b2 lal IbI. (2) 
Da igualdade \u200b(a + b)\u200b2 \u200ba\u200b2 \u200b+ \u200b2ab + \u200bb\u200b2 \u200be de (2) 
vem que \u200b(a + b)\u200b2 \u200ba\u200b2 \u200b+ \u200b2 lal Ibl +b\u200b2 
(a + \u200bb)\u200b2 \u200bla1\u200b2 \u200b+ 2 lal Ibl + Ib1\u200b2 
(a + b)\u200b2 \u200b5_ (Ial + 1b1)\u200b2\u200b. \u200b(3) 
Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos 
la + bl 5_ lal + Ibl. 
Prova da Propriedade \u200bvi). \u200b(Se \u200ba, b \u200be \u200b1?, \u200bentão la \u2014 bl 5 lal + 1b1). 
Basta escrever \u200ba \u2014 b = a + (\u2014b) \u200be aplicar a propriedade v). 
Ia \u2014 bl = la + (\u2014b)I lal + I \u2014bl 
lal + Ibl. 
Prova da Propriedade \u200bvii). \u200b(Se \u200ba, b E R, \u200bentão lal \u2014 Ibl la \u2014 b1). 
Vamos fazer \u200ba \u2014 b = c. \u200bAplicando a propriedade v, vem 
lal = Ic + bl Icl + 1bl 
lal